Proyeccion Estereografica De Taludes.docx

I.

INDICE

Contenido 1. INTRODUCCIÓN A LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE TALUDES……………………………………………………………………………………3 2. OBJETVOS…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….….5 3. ANTECEDENTES…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………..……6 4. BASES TEORICAS O TEORIAS SUSTANTIVA……………………………………………………………………………8 4.1.

USOS

DE

LA

PROYECCIÓN

ESTEREOGRÁFICA

EN

INGENIERÍA

GEOLÓGICA………………………………………………………………………………..12 5.PROYECCION ESTEREOGRAFICAS……………………..……………….…………..24 6. CONCLUSIONES………………………………………………………………………..40 7. BIBLIOGRAFIA…………………………………………….…………………………..41

1. Introducción a la proyección estereográfica de taludes: Proyecciones estereográficas transfieren un objeto de tres dimensiones a una superficie de dos dimensiones (papel). Durante este proceso matemático se pierde informaciones. Generalmente se conocen proyecciones cuales traspasan los ángulos correctos pero las distancias salen falso o distorsionado o proyecciones con las distancias correctas, pero con los ángulos incorrectos. Además, existe un gran número de proyecciones entre los dos extremos. Pero nunca ambos parámetros se encuentran sin distorsión. El uso más común de proyecciones es por supuesto la topografía y la cartografía. Una carta es una proyección de la tierra redonda a un plano. Los cartógrafos se enfrentan con los mismos problemas ya mencionados: La carta aparece distorsionado por sus ángulos o por sus distancias - o se buscan proyecciones "intermedias" que cometen ambos errores, pero en una forma disminuida.

En la geología, especialmente en la geología estructural y en la cristalografía, se necesitan un método para visualizar la orientación de los planos geológicos en diagramas. El problema principal es, que los planos geológicos (o los elementos geológicos y tectónicos) cubren los tres dimensiones (orientación de un plano) y un papel tiene solamente dos dimensiones. Entonces se usan las proyecciones para reducir un objeto tridimensional a un gráfico (diagrama) de dos dimensiones. La proyección estereográfica es un tipo de proyección azimutal muy usado en cristalografía y geología estructural para establecer la relación angular existente entre las caras de los cristales o entre las estructuras geológicas.

Todas las proyecciones permiten la representación de objetos tridimensionales en una superficie de dos dimensiones. Cualquiera que sea el sistema de proyección elegido, la representación plana presenta deformaciones que pueden ser lineales, angulares y superficiales. Dependiendo de la finalidad de la representación elegiremos uno u otro tipos de proyección. Por ejemplo, nos puede interesar que los ángulos se proyecten en verdadera magnitud aunque las magnitudes lineales y superficiales sufran deformaciones en mayor o menor grado.

OBJETIVOS: 

Tener la ventaja de que con una sola proyección las relaciones angulares entre rectas y planos, que suponen generalmente los datos más significativos pueden determinarse de forma mucho más sencilla y directa.



Lograr un completo análisis de estructuras planas y lineales.



ANTECEDENTES:

Meteorización Las areniscas de la formación Quiriquina se encuentran en general en un estado meteorizado avanzado, en pocas palabras, la roca se puede desintegrar fácilmente debido, principalmente a una cementación débil. Las características climáticas y en particular los elementos de precipitación y temperatura determinan la naturaleza e intensidad de los procesos de meteorización. De acuerdo a Cooke y Doornkamp (1990) la meteorización química en Concepción es moderada dado que la temperatura media anual es de aproximadamente 10ºC y la precipitación anual fluctúa entre 900 mm y 1200 mm (Figura 2).

Procedimientos de análisis de estabilidad El estudio de la estabilidad de un talud considera la determinación de un factor de seguridad al deslizamiento. Para esto es necesario conocer los parámetros tanto geométricos del talud, como geotécnicos del material que compone el talud. Una vez determinada la cinemática de falla del talud, el siguiente paso es realizar un análisis de estabilidad utilizando el método del

equilibrio límite para comparar las fuerzas resistentes, con las fuerzas que actúan a favor del movimiento. Conocido el rango o diferencia entre estos dos grupos de fuerzas se podrá establecer el factor de seguridad para la estabilidad del talud.

Deslizamiento plano o falla plana La falla plana se produce a favor de la superficie preexis- tente, que puede ser una estratificación, una junta tectónica, una falla u otro tipo de discontinuidad. Este deslizamiento se puede producir a lo largo de una superficie plana. Hoek y Bray (1981) establecen las condiciones cinemáticas y mecánicas que deben cumplirse para que se produzca este tipo de falla (ver Figura 8). Primero, la superficie de falla corresponde a un plano continuo que debe tener un rumbo paralelo o casi paralelo a la superficie del talud, sin diferir en más de ± 20º. Segundo, la superficie de falla debe buzar hacia el exterior del talud, es decir, el buzamiento de la superficie de falla ψp, debe ser menor que el buzamiento de la superficie del talud ψf. Tercero, el buzamiento de la superficie de falla debe ser mayor que el ángulo de fricción en este plano, en el caso de no haber cohesión. Y cuarto, las superficies laterales que separan el plano deslizante deben tener una resistencia despreciable frente al conjunto talud y plano de falla. En la Figura 8(b) la línea de color negro representa el plano de deslizamiento, la de color azul representa el plano de la cara del talud, mientras que las líneas rojas representan los límites en que se pueden trazar círculos máximos que representen el plano de deslizamiento para el talud, es decir, todos los planos que se generen entre estas líneas rojas podrían ser superficies potenciales de deslizamiento.

Figura 8: a) Condiciones en el análisis cinemático de falla en el mecanismo plano y b) proyección estereográfica del mecanismo de falla plana (adaptado de Hoek y Bray 1981)

El caso más general de análisis propuesto por Hoek y Bray (1981) utiliza las fuerzas actuantes sobre la superficie de falla considerada, además de incluir el caso en que exista una grieta de tracción en la corona o cara del talud (Figura 9).

Figura 9: Falla plana con grieta de tracción en (a) corona del talud y (b) cara del talud (adaptado de Hoek y Bray 1981)

El cálculo del factor de seguridad FS viene dado por la siguiente fórmula, (1)

donde c’ es la cohesión a lo largo del plano de deslizamiento en kPa, A es el área de la superficie de deslizamiento por unidad de ancho en m2, H y z representan la altura del talud y profundidad de la grieta de tracción respectivamente y W es el peso del bloque que desliza. En el caso que la grieta de tracción se encuentre en la corona del talud el peso del bloque queda definido como sigue,

(2)

(3)

En el caso en que la grieta de tracción se encuentre en la cara del talud el peso del bloque W queda dado por:

(4)

donde ψP es el ángulo que forma el plano de deslizamiento con la horizontal, V es la fuerza que ejerce el agua en la grieta de tracción del talud y se determina según,

(5)

donde γw es el peso unitario del agua y zw es la altura del agua en la grieta de tracción. La fuerza U ejercida por la presión del agua a lo largo de la superficie de deslizamiento, o empuje del agua, queda definido por,

(6)

A continuación se presenta un ejemplo de análisis con el objetivo de mostrar el procedimiento de cálculo. Por lo tanto el ejemplo no representa un caso en particular sino que cubre rangos posibles de factores de seguridad para falla plana de un talud con grieta de tracción en la corona. No obstante lo anterior se consideran los ángulos de fricción y cohesión máximos y

residuales determinados de los ensayos de corte directo. Además se adopta un valor de peso unitario saturado determinado para la arenisca parda γsat = 19.64 kN/m3, altura del talud H = 20 m, profundidad de la grieta de retracción z = 5 m, altura de agua en la grieta de retracción Zw=2.5 m, buzamiento del talud ψF = 75° y un buzamiento de plano del falla ψn de 30° y 35°. Con estos datos y las expresiones de (1) a (6) es posible determinar el área, peso del bloque deslizante y también las fuerzas del agua en la grieta y sobre la superficie de falla.

En la Figura 10 se puede observar como FS aumenta con la cohesión de la arenisca y con el ángulo de fricción interna. La condición con valores de cohesión y fricción máximos conducen a factores de seguridad mayores a 1, excepto para el caso de cohesión menor a 12 kPa y plano de falla de 35º. Se destaca con círculos los valores correspondientes a la cohesión determinados en el laboratorio. Este ejemplo presenta una condición de saturación de la arenisca, la cual se podría dar en condiciones de lluvias intensas y prolongadas, situación posible durante el otoño e invierno Penquista. Es por ello que FS resulta menor a 1 para valores residuales y planos de falla mayores a 30º.

Figura 10: Variación del factor de seguridad con la cohesión, para valores máximos y residuales del ángulo de fricción interna, se destacan con círculos los valores medidos de cohesión

DESLIZAMIENTO DE CUÑA Hoek y Bray (1981) definen la rotura por cuña a aquella que se produce cuando dos planos de discontinuidad se interceptan y definen un bloque tetraédrico. En las Figuras 11(a) y 12 se puede observar la geometría de la falla por cuña de un talud y en la Figura 11(b) la proyección estereográfica. Según la proyección estereográfica el deslizamiento ocurrirá en la línea de intersección de los planos de debilidad del macizo rocoso. Dentro de las condiciones para el análisis cinemático de la falla en cuña se debe considerar que el rumbo de la línea de intersección de los planos debe ser cercano al rumbo de la cara del talud. El buzamiento de la línea de intersección debe ser menor al buzamiento de la superficie de talud ψ < ψ . Y el buzamiento de la línea del talud debe ser mayor que el ángulo de fricción promedio entre las dos superficies ψ > ϕ’ . El cálculo del deslizamiento de cuña es más complejo que el de falla plana, ya que el análisis involucra más parámetros.

Figura 11: (a) Mecanismo de falla en cuña y (b) proyección estereográfica de falla en cuña (adaptado de Hoek y Bray 1981)

Figura 12: Esquema general y geometría de taludes con deslizamiento en cuña (adaptado de Hoek y Bray 1981)

El caso de falla en cuña más simple de analizar, es el caso en que se asume que sólo existe fricción para los dos planos de cuña y que el ángulo de fricción es el mismo para ambos planos (Figura 12d). En este caso el factor de seguridad queda expresado como:

donde RA y RB son las reacciones normales a los planos que forman la cuña, ϕ es el ángulo de fricción y ψ es la inclinación de la cuña con respecto a la horizontal. Para obtener RA y RB se deben calcular las fuerzas actuantes en la dirección paralela y perpendicular a la línea de intersección de los planos que forman la cuña.

De esta manera el factor de seguridad queda expresado como:

…..(11)

Notar que la expresión (11) no incluye el efecto de la cohesión, para ello habría que agregarla en el numerador de (7) como una fuerza C + (RA + RB )tanϕ. Además no se incluye la fuerza

t

hidrostática dentro del cálculo de estabilidad de una cuña, la cual habría que sustraerla de RA y RB. Por lo tanto el posible deslizamiento dependerá sólo de los ángulos de inclinación t de la intersección de la falla ψ , el ángulo de fricción ϕ, el ángulo de apertura de la cuña ξ y el ángulo que forma la directriz de la línea de intersección de la cuña con la horizontal β .

La Figura 13 presenta los resultados de FS a partir del uso de la expresión (11) dejando fijo el ángulo de apertura de la cuña ξ = 60º y el ángulo entre la directriz de la cuña y la horizontal β = 60º. El factor de seguridad FS disminuye claramente con el ángulo de inclinación de la cuña de falla, siendo un valor de 40º el límite para la ocurrencia de deslizamiento al superarse la resistencia residual. La incorporación de la cohesión aumentaría el FS, pero para ello se debe calcular el peso de la cuña y la fuerza debida a la cohesión. Sin embargo, este análisis permite analizar el efecto de la geometría de la cuña.

Figura 13: Variación del factor de seguridad con respecto a la inclinación de la cuña de falla.

En la Figura 14 se presenta la variación del FS, pero en función del ángulo de apertura de la cuña de falla ξ. La inclinación de la línea de intersección de la cuña de falla ψt y el ángulo β permanecen fijos e iguales a 50° y 60° respectivamente. Deslizamiento ocurre para el caso

residual cuando la apertura de cuña es mayor a 40º. La situación más desfavorable es que el plegamiento genere un bloque de roca en forma de cuña muy abierta, es decir, con ángulos de apertura de cuña ξ mayores a 90º, ello induce a inestabilidad como se observa en la Figura 14. Esto en el caso sin cohesión y sin presencia de agua.

Figura 14: Variación del factor de seguridad con respecto al ángulo de apertura de la cuña de falla.

El caso general para el cálculo del factor de seguridad para una falla en cuña donde sí se puede considerar la cohesión y la presencia del agua, se puede calcular a partir de la siguiente expresión, …….. (12) donde Ca y Cb son las cohesiones correspondientes al planode falla a y b respectivamente, ϕ y a ϕb son los ángulos de fricción para cada plano, γr y γW son el peso unitario de la roca y agua, respectivamente, H es la altura de la cuña de falla, las variables X, Y, A y B dependen de la geometría del talud y la cuña de falla, las que incorporan implícitamente el peso de la cuña de falla. (13)

(14) (15) (16)

Los subíndices indican las líneas que forman el ángulo indicado y na y nb se refiere a las normales de cada plano. La representación de estos parámetros se presenta en la Figura 15. Los valores para los ángulos relacionados a la geometría del talud, se obtienen a partir de la proyección estereográfica de la cuña de deslizamiento, cabe recalcar que el peso de la cuña de deslizamiento no aparece explícitamente en el cálculo del factor de seguridad, ya que en su lugar se incluyen los términos geométricos de la cuña de deslizamiento. En la proyección estereográfica los ángulos deben ser medidos como se muestra en la Figura 15.

Figura 15: Ángulos de la cuña de falla según proyección estereográfica (adaptado de Hoek y Bray 1981)

Se utilizará la proyección estereográfica de la Figura 15 para realizar el cálculo del factor de seguridad de la cuña. La geometría de la cuña a analizar considerará alturas de cuña desde 5 a 20 m, con rangos de 5 m. Cabe mencionar que los valores de rumbo y buzamiento indicados en la Tabla 3 son hipotéticos y no corresponden a mediciones del sector. Tabla 3: Rumbo y buzamiento de la cuña en análisis

El ángulo de inclinación del talud ψt es 10º (respecto a la vertical), la inclinación de la línea de intersección de los planos a y b se obtuvo mediante el programa computacional StereoNett (2008) utilizado para realizar la proyección estereográfica y es ψ5 = 34º al igual que el ángulo entre la normal del plano a y la intersección del plano b con la cara del talud Ѳ2na = 45.2º, el ángulo entre la normal del plano b y la intersección del plano a con la cara del talud Ѳ1nb = 59.5º. La Tabla 4 entrega los valores de los demás ángulos obtenidos con StereoNett (2008). Tabla 4: Ángulos entre los puntos de la Figura 15

La Figura 16 muestra resultados del factor de seguridad en función de la cohesión, altura de la cuña y ángulo de fricción interna en los planos a y b de una cuña saturada. Resulta evidente el gran aumento del factor de seguridad con la cohesión y la disminución de la altura de la cuña. Se ha asumido la misma cohesión en ambos planos a y b, no así el ángulo de fricción

que ha sido de 20º y 25º en los planos a y b para luego cambiar a 25º en el plano a y 20º en el plano b. Este último caso resulta ser el más desfavorable sumado a una cuña de 20 m de altura y cohesiones menores a la residual de 33 kPa (ver puntos azules en la Figura 16).

Figura 16: Variación del factor de seguridad con la cohesión presente en el plano a y b y la altura H de la cuña de deslizamiento.

CAPITULO III: Proyección estereográfica - taludes En la proyección estereográfica ecuatorial el plano de proyección pasa por el ecuador y el centro de proyección esta sobre la superficie de la esfera en una recta perpendicular a él. Este tipo de proyección define una inversión en el espacio que transforma los puntos de la esfera en puntos del plano. Además presenta la ventaja de que la proyección de los círculos de la esfera se produce como círculos, lo que hace muy sencillo la construcción de la proyección (figura 2). La proyección estereográfica es conforme, es decir, conserva la verdadera magnitud de los ángulos en la proyección, de ahí que también se denomine proyección equiangular.

Figura 2: Proyección estereográfica de la esfera y falsilla de Wulff. Para trabajar con la proyección estereográfica es preciso conocer, inicialmente, una serie de términos geométricos, que nos permitan definir de forma unívoca cada elemento (figura 3), estos términos nos determinan su orientación.

La orientación se define como la posición de un plano o línea en el espacio, referenciado mediante coordenadas geográficas y su relación con el plano horizontal de comparación. La orientación de un elemento queda definida mediante el rumbo y la inclinación: Inclinación: Ángulo vertical comprendido entre la horizontal y el plano o línea considerado. Rumbo o dirección: Ángulo horizontal comprendido entre una línea y una dirección preestablecida, el norte magnético en geología estructural.

Inclinación

Inclinación

Figura 3.- Elementos que definen una recta y un plano en geología

Figura 4.- Proyección estereográfica de un plano inclinado En la figura 4 hemos representado la proyección estereográfica de un plano inclinado respecto al plano horizontal, definido por los puntos A, B, C, situados en un círculo máximo sobre la esfera.

Tipos de representaciones estereográficas Existen diversas formas de representación de los elementos planos y lineales en la proyección estereográfica. Todos ellos se llevan a cabo mediante el empleo de la falsilla de Wulff que se obtiene a partir de la proyección de los meridianos y paralelos de la esfera (figura 2). Diagrama de círculos máximos o diagrama beta Únicamente se utiliza para la representación de elementos planos. Se obtiene por proyección sobre el plano ecuatorial, del círculo máximo de la superficie plana considerada. Este círculo máximo representa la intersección del plano con la esfera (figura 4). En la figura 5.a. se muestra el diagrama de círculos máximos correspondiente al estudio de un macizo rocoso de calcarenitas bioclásticas.

0

0

J2 S0

J1

a)

b)

Figura 5.- a) Diagrama de círculos máximos (beta) y b) diagrama de polos (pi).

Diagrama de polos o diagrama pi Cuando las medidas a representar en el diagrama son muy numerosas, la representación mediante círculos máximos puede dificultar la lectura de los resultados en la falsilla, por lo que se suele recurrir a los diagramas de polos o diagramas pi. En este tipo de diagramas se representan únicamente los polos de los planos o rectas, es decir la intersección de la recta con la esfera en el caso de elementos lineales o la intersección de la normal al plano con la esfera si se trata de elementos planos. En la figura 5.b. se muestra la representación pi de los datos correspondientes al mismo macizo rocoso de la figura 5.a.. La concentración de polos superior izquierda (S0) corresponde con la estratificación de orientación aproximada N30E 35 SE. Las otras dos concentraciones observadas (J1 y J2) de orientaciones N60E 49NW y N160E 20SW corresponden a sendos juegos de diaclasas.

Diagrama de densidad de polos

La proyección estereográfica de un determinado elemento de la naturaleza, nunca es tan exacta como la de líneas y planos teóricos, ya que presentan irregularidades puntuales, falta de ajuste con la geometría ideal, en muchos casos, y posibles errores de precisión. Esto hace que se produzcan dispersiones que, dependiendo de su magnitud, pueden o no facilitar la interpretación de un polo o un círculo máximo. De ser así y producirse una gran dispersión de datos, será preciso recurrir a un análisis estadístico de una muestra grande de datos con el fin de determinar la dirección y buzamiento predominantes (figura 6). Este análisis estadístico no se puede realizar mediante la proyección estereográfica ya que se producirá una gran concentración de puntos en la parte central del diagrama (figura 6.b). Para realizar este análisis se recurre a la proyección equiareal, empleando la falsilla de Schmidt,

que nos permite el recuento directo de los polos, calcular su valor estadístico por unidad de superficie y determinar las direcciones y buzamiento predominantes (figura 6.a). 0

0

a)

b)

Figura 6.- Diagrama de densidad de polos: a) en proyección equiareal y en proyección estereográfica (equiangular).

USOS DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA EN INGENIERÍA GEOLÓGICA Aplicaciones en geología estructural La proyección estereográfica permite la representación en elementos de geología estructural. Los datos empleados se toman en el campo, de forma directa, mediante el empleo de la brújula de geólogo (figura 7.a.). Esta posee una brújula convencional que nos permite tomar las direcciones de los diferentes elementos tomando como referencia el norte magnético y un clinómetro que facilita el ángulo que forma el elemento a medir con respecto al plano horizontal.

J1

J2 J2

J2

J1 J1

a)

b)

Figura 7.- a) Brújula de geólogo. b) Afloramiento rocoso de margas con yesos.

Generalmente el desarrollo de los elementos no es perfecto como ocurre por ejemplo con las diaclasas. En la figura 7.b. se observan juegos de diaclasas en materiales margocalizos que definen planos según direcciones preferentes subverticales (J1 y J2) y normales entre si. Cuando el elemento a medir es un plano, el ángulo de inclinación recibe en geología el nombre de buzamiento (dip), mientras que cuando se trata de una recta la inclinación recibe el nombre de inmersión (plunge).

Figura 8.- Elementos de un plano y una recta.

Determinación de familias de diaclasas Para la determinación de los juegos de diaclasas o discontinuidades que afectan a un macizo rocoso suelen elaborarse diagramas pi de los planos de discontinuidad. Cuando la dispersión es muy pequeña, fácilmente podemos determinar los juegos que afectan al macizo situándonos sobre la zona de máxima densidad de puntos. Sin embargo, esto no siempre es así, ya que generalmente la dispersión es grande, debiendo recurrir a métodos estadísticos que nos permitan establecer las zonas de máxima concentración de polos.

Preparado el diagrama de polos se procede a contar su densidad, para lo cual suele ser conveniente, tal y como ya se ha comentado con anterioridad, el uso de la representación equiareal que permite un tratamiento estadístico de los datos. Tras el recuento estaremos en condiciones de trazar las curvas de distribución que nos mostrarán los lugares geométricos donde el número de polos es el mismo, obteniendo así el diagrama de densidad de polos, y estableciendo el polo de las familias de diaclasas en los puntos de máxima concentración de polos (figuras 6).

Análisis cinemático de roturas en roca En el estudio de taludes excavados en macizos rocosos suele ser muy útil la determinación de las discontinuidades existentes para su posterior representación estereográfica junto con la representación del propio talud. Observando las orientaciones de los juegos de discontinuidades y del talud puede llegarse a deducir mediante un análisis sencillo cual será el tipo de rotura predominante (figura 9). Además, la proyección estereográfica nos permitirá en algunos de estos casos obtener las magnitudes angulares necesarias para el cálculo del factor de seguridad del talud. Al representar en proyección estereográfica la orientación del talud y de las discontinuidades existentes en el mismo se puede llegar a intuir un tipo de rotura plana (figura 9.a.) Siempre que exista alguna familia de discontinuidades de dirección similar a la del talud pero buzamiento menor que este. La dirección del movimiento tras producirse la rotura será perpendicular a la dirección del talud y en el sentido de buzamiento del mismo.

Figura 9.- Tipos de roturas en macizos rocosos y su representación estereográfica. Si se representa en proyección estereográfica la orientación del talud a estudiar y de los juegos de diaclasas existentes en el mismo podremos estimar la posibilidad de ocurrencia de una rotura en cuña cuando existen dos familias de discontinuidades con direcciones oblicuas respecto a la dirección del talud. La posible rotura en cuña (figura 9.b) quedará comprendida entre la de las dos familias de discontinuidades. La dirección de avance de la cuña será la de la línea de intersección de ambos planos de discontinuidad, cuya inmersión y dirección se obtienen directamente de la representación estereográfica. Si una vez representados los datos de las familias de discontinuidades observamos que existen dos familias de discontinuidades con direcciones subparalelas a las del talud, una de ellas con un buzamiento muy suave y en el mismo sentido que el talud y una segunda familia con un gran buzamiento opuesto al del talud y ligeramente perpendicular al juego anterior, la primera familia delimitará los bloques rocosos y proporcionará la superficie sobre la que deslizarán o girarán los bloques en función del buzamiento que posean, generando un tipo de rotura con vuelco (figura 9.c).

Determinación del eje y del plano axial de un pliegue El eje de un pliegue (figura 10.a) puede calcularse con ayuda de la proyección estereográfica con tan sólo tomar una serie de medidas de orientaciones de los flancos del pliegue (figura 10.b). Representando los polos de estas orientaciones, bastará con trazar el plano que contenga estas direcciones y que corresponderá a un plano normal al eje del pliegue cuyo rumbo e inmersión vendrán dados por el polo del citado plano (figura 10.c). La superficie de charnela plana es paralela al plano axial, al igual que el eje del pliegue será paralelo al plano axial, por lo que trazando en el estereograma una dirección equivalente a la medida en el campo para la superficie de charnela y haciendo que él contenga al eje (P) habremos obtenido un plano paralelo a la charnela y que contenga el eje, es decir habremos obtenido el plano axial con su correspondiente buzamiento y dirección.

Figura 10.- Determinación del eje y del plano axial de un pliegue cilíndrico con inmersión.

Otras aplicaciones en geología estructural El empleo de la representación estereográfica en geología estructural es innumerable. Los ejemplos mostrados no son más que una pequeña demostración del potencial de la proyección estereográfica para la resolución de problemas de geología estructural.

Además de las aplicaciones desarrolladas en el presente trabajo, mediante el empleo de la proyección estereográfica, se puede determinar: la orientación de una estructura lineal (foliación, eje perforación, etc.), la orientaciones de capas a partir de sondeos, el cálculo de direcciones y buzamientos reales de planos (estratificación, exfoliación, esquistosidad, superficie de falla, etc.) a partir de valores aparentes, la homogeneidad de los ejes de pliegue en una determinada región, la orientación de un elemento antes de sufrir una basculación, etc. 5.2.Aplicaciones en cristalografía La principal utilidad de la proyección estereográfica en cristalografía estriba en el hecho de que si representamos gráficamente las caras de los cristales podremos determinar la simetría del cristal y por tanto la clase cristalina a la que pertenece. Además, la proyección estereográfica, al ser una proyección conforme permite la medida directa de los ángulos cristalinos, ya que se mantiene su verdadera magnitud tras la proyección. A pesar de que el tipo de proyección es el mismo que el usado en geología estructural, en cristalografía, los polos y los círculos máximos se obtienen al intersectar las superficies de los cristales y los vectores normales a ellas con el hemisferio norte o superior de la esfera en lugar de con el hemisferio sur o inferior (figura 11).

Figura 11.- Concepto de proyección estereográfica de un cristal, modo de proyección y estereograma con ejes de simetría.

TIPOS DE PROYECCIONES: Equiángular: Ángulos correctos, distancias falsas, distorsionadas, se llama falsilla o proyección de WULFF. Por ejemplo, el ángulo entre Copiapó - a Hamburgo y Boston se mantiene correcta en la proyección. Pero las distancias entre las tres ciudades no se ven representadas en la planilla de proyección. Se usa esta proyección en la cristalografía para definir los ángulos en un cristal. Se prefiere para trabajos donde lo importante es el ángulo pero con cantidades de datos restringidos. La proyección WULFF no permite la interpretación de "nubes de datos".

Equidistancial: Distancias correctas, ángulos falsos= Falsilla (o red) de SCHMIDT Esta proyección sirve para la geología estructural porque se puede trabajar estadísticamente. Es decir, cantidades grandes de datos o "nubes de datos" mantienen su geometría.

IDEA DE UNA PROYECCIÓN EN GENERAL: Para proyectar un plano geológico de tres dimensiones a un papel (de dos dimensiones) se usan la línea normal del plano. La línea normal de un plano es la línea (imaginaria) perpendicular del plano. Cada plano entonces tiene su línea normal. Para cada línea normal solamente existe un plano correspondiente. La línea normal funciona como definición de un plano. Figura 1: La línea normal de un plano intercepta el plano en 90° en todas las direcciones. Cada plano tiene una línea normal. La línea normal es un vector.

Se usa el hemisferio abajo o sur para ejecutar la proyección. La línea normal del plano de interés cruza el punto central para choquear con el hemisferio y se proyecta hacia arriba a la superficie abierta del hemisferio. Este punto se llama polo (π).

Figura 2: Características de la proyección: - Hemisferior abajo - se proyecta la línea normal (hacia abajo) - Cada plano resulta como polo (punto en la proyección).

Conceptos básicos de la proyección estereográfica equiareal. A continuación, se exponen brevemente los conceptos básicos de la proyección estereográfica aplicada al análisis de la estabilidad de taludes con riesgo de rotura por planos de discontinuidad, ya que se considera que este tipo de proyección está especialmente indicado para el análisis de la rotura en cuña. En la proyección estereográfica un plano queda representado por un círculo máximo en la esfera de proyección, definido por la intersección del plano y la esfera de proyección, haciendo pasar el plano por el centro de la esfera. El plano también queda definido por la localización de su polo, que es el punto de intersección con la esfera de la recta perpendicular al plano que pasa por el centro de la esfera. En estabilidad de taludes normalmente se utiliza el hemisferio inferior de la esfera para la proyección estereográfica. En la Figura 9.18 se muestra en perspectiva un plano representado en la esfera. Según el modo de proyección de la esfera, se puede obtener la proyección ecuatorial o la polar, aunque esta última apenas se utiliza en el ámbito de la estabilidad de taludes. En la Figura 9.19 se pueden ver ambas proyecciones de la esfera.

Figura 9.18. Representación de un plano en proyección estereográfica (Hoek y Bray, 1974).

A continuación, se describe brevemente el procedimiento para dibujar un plano cualquiera y su polo en proyección estereográfica equiareal. En la Figura 9.20 se muestran separadamente las tres etapas del procedimiento. Las Figuras 9.18, 9.19 y 9.20 han sido tomadas de Hoek y Bray (1974).

Figura 9.20. Obtención del círculo máximo y del polo de un plano (Hoek y Bray, 1974).

Figura 9.19. Proyecciones ecuatorial y polar de una esfera (Hoek y Bray, 1974). Cortesía IMM

Hay que disponer de una hoja de papel vegetal semitransparente, que se coloca sobre el estereograma, en el que están dibujadas las proyecciones estereográficas de paralelos y meridianos de una esfera; en dicha hoja se marca la circunferencia de la falsilla, su centro y el norte. A continuación se mide la dirección de buzamiento del plano desde el norte en sentido dextrógiro. En la segunda etapa, se gira el papel hasta hacer coincidir la dirección de buzamiento con el eje E-O del estereograma. En esa posición, se lleva el buzamiento del plano desde la circunferencia exterior, señalando el círculo máximo que pasa por dicho punto. El polo se sitúa en la dirección de la línea de máxima pendiente del plano, pero en sentido opuesto, hasta formar 90º con el plano. También se puede llegar al mismo resultado tomando el ángulo de buzamiento desde el centro del estereograma en sentido contrario de la dirección de buzamiento del plano.

La línea de intersección de dos planos, representada por un punto en proyección estereográfica, queda definida por la intersección de los dos círculos máximos que representan a los dos planos. La inclinación de la línea de intersección se mide en el eje E-O, girando la hoja sobre el estereograma hasta situar el punto de intersección sobre el eje E-O, tal como se indica en la Figura 9.21. A continuación, se vuelve a girar la hoja sobre el estereograma hasta volverla a su posición original, en la que coincide el N de ésta con el N del estereograma.

Figura 9.21. Línea de intersección de dos planos (Hoek y Bray, 1974).

Figura 9.22. Línea de intersección de dos plano a partir de sus polos (Hoek y Bray, 1974).

También se podría haber llegado al mismo resultado con el procedimiento que se explica a continuación, señalado en la Figura 9.22, que tal como la 9.21, fue tomada de Hoek y Bray (1974). En primer lugar, se sitúan en el estereograma los dos polos de los dos planos A y B cuya intersección se va a obtener. Se gira la hoja sobre el estereograma hasta hacer pasar un círculo máximo por ambos puntos; ese círculo máximo es el plano definido por las perpendiculares a los planos A y B. A continuación, se determina el polo de dicho plano, que define el punto de intersección de los planos A y B. Si se trata de medir el ángulo que forman dos rectas en el espacio, representadas por dos puntos en proyección estereográfica, se sitúan ambos puntos sobre un círculo máximo del estereograma, según se indica en la Figura 9.23 (Según Hoek y Bray, 1974); a continuación se mide directamente el ángulo sobre dicho círculo máximo.

Figura 9.23. Ángulo de dos rectas (Hoek y Bray, 1974).

Conclusiones

Se ha presentado una metodología de análisis de taludes en areniscas meteorizadas de la formación Quiriquina. Se puede concluir que es fundamental contar con antecedentes geológicos que permitan caracterizar los posibles planos de deslizamiento y el grado de meteorización del macizo rocoso. Además es necesario determinar los valores de las propiedades geomecánicas del material por donde se espera que ocurra un deslizamiento. En este estudio se realizaron ensayos de corte directo en muestras saturadas. Además de la resistencia máxima se han considerado condiciones de resistencia residual. La saturación simula periodos de lluvia intensa y prolongada habituales en otoño e invierno alrededor de Concepción. La resistencia residual representa una condición para la cual ocurren los deslizamientos.

CAPITULO IV:

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Conclusiones

 La proyección estereográfica cuenta con una grande ventaja de que con una sola proyección las relaciones angulares entre rectas y planos, que suponen generalmente los datos más significativos, pueden determinarse de forma mucho más sencilla y directa.  Proporciona una herramienta fundamental en el estructuras planas y lineales .

análisis de

 La posibilidad de trabajar con la proyección del círculo máximo (diagrama beta) o con la proyección de los polos (diagrama pi) nos proporciona dos formas diferentes de representar los mismos datos en función del problema que estemos resolviendo.  Su principal deficiencia estriba en que dicha proyección no permite llevar a cabo un tratamiento estadístico de los datos.  Si taludes en areniscas meteorizadas de la formación Quiriquina, es fundamental contar con antecedentes geológicos que permitan caracterizar los posibles planos de deslizamiento y el grado de meteorización del macizo rocoso.  Además es necesario determinar los valores de las propiedades geomecánicas del material por donde se espera que ocurra un deslizamiento.

Bibliografías : http://www.geovirtual2.cl/Geoestructural/prak02.htm https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/21681/1/29.pdf https://es.pdfcoke.com/document/265458235/Aplicacion-de-La-Estereografia