Problemas De Las Figuras Planas

PROBLEMAS EL RADIO DEL CÍRCULO Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo.

Solución Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm.

Problema EL LADO DEL ROMBO

En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo? Solución Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo. Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m.

Problema EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo?

Solución Es 60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara.

Problema EL ÁNGULO OBTUSO ¿Cuánto mide el ángulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos medios de los lados.

Solución Es 120°. Sólo hace falta terminar de dibujar el hexágono regular ABCDEF.

Problema EL ÁNGULO EXTERIOR

Solución Puesto que es isósceles: B = C = (180°-A)/2 = 130°/2 = 65°. Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65° = 115°. Problema Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?

Solución MN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta.

Problema del Foro A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor?

En lugar de inscribir el cuadrado como mostraba la figura anterior, hagámoslo girar 45 hasta la posición que muestra la figura siguiente. Se observa que el área del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito; es decir, 8 unidades. Problema del Foro SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectángulo constituido por el cuadro completo y el rectángulo de la tela pintada ¿serán semejantes?

No lo son, puesto que las fracciones: b/a y (b+2h)/(a+2h) son siempre distintas, salvo en el caso del cuadrado (a=b).

PROBLEMAS FORO TRIÁNGULOS ORIGINALES ¿Cuál tiene una superficie mayor, un triángulo con lados 5, 5, 6 o uno con lados 5, 5, 8? Tienen la misma área. Ambos pueden dividirse por la mitad para dar lugar a dos triángulos 3, 4, 5. Problema EN GENERAL: DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE? Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice es par si de el parten un número par de caminos. El problema es imposible si en la red hay más de dos vértices impares. Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más de dos vértices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de ellos y termina en el otro.

Solución Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la fila inferior. PROBLEMA LOS TRES CUADRADOS. Tenemos tres cuadrados iguales dispuestos como se muestra en la figura. Usando solamente geometría elemental (no trigonometría) demostrar que el ángulo C es igual a la suma de los ángulos A y B.

Solución Solución 1: La siguiente construcción muestra la solución del problema

Solución 2: Esta otra construcción también muestra la solución del problema. Los triángulos APO y OQR son semejantes, por lo que los ángulos A y O son iguales. Y como C=B+O, C=B+A.

Solución 3. Usando trigonometría: tg(A+B) = ... = 1 = tgC. Luego A+B=C.

tgA=1/3,

tgB=1/2,

tgC=1.

Problema VENTANA DIVIDIDA EN DOS. Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede Vd. dar una explicación de tan extraño fenómeno?

Solución La siguiente figura muestra la solución PROBLEMA EL HEXÁGONO Y EL TRIÁNGULO Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el hexágono tiene una superficie de 6 m2., ¿qué área tiene el triángulo?

Solución La simple observación de la figura muestra la solución.

Problema ÁREA DEL CUADRADITO Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?

Solución La simple observación de la siguiente figura muestra que el área del cuadradito es la quinta parte del área del cuadrado. Es decir, 20 cm2.

PROBLEMA RECTÁNGULO, DIAGONAL Y TRIÁNGULO La longitud del rectángulo ABCD es 8 y su anchura 3. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF?

Solución Los triángulos AEB, BEF y FCB tienen la misma área pues tienen la misma altura e iguales bases. Así pues, cada uno la tercera parte del área

del triángulo ABC, Área del triángulo BEF = 1/3 1/2 8 3 = 4.

es

decir:

PROBLEMA LOS DOS CÍRCULOS El círculo 1, cuya área es 4, pasa por el centro del círculo 2 al que es tangente. ¿Cuál es el área del círculo 2? Solución: Área(2)/Área(1) = Pi R2/Pi r2 = (2r)2/r2 = 4. Entonces: Área(2) = 4 Área(1) = 4 4 = 16.

PROBLEMA LA ZONA SOMBREADA ¿Cuál es el área de la zona sombreada de la figura?

Solución: Es la cuarta parte del área del cuadrado: 16/4 = 4.

PROBLEMA LAS 4 CABRAS DEL PRADO

En un prado cuadrado de 100 metros de lado, hay cuatro cabras. Cada una atada a una esquina del prado con una cuerda de 50 metros, lo que permite comer una cierta parte de la hierba del prado, quedando en el centro un trozo que ninguna de ellas alcanza. El propietario, tras vender tres de las cabras, alargó la cuerda de la que quedaba en una de las esquinas, de tal forma que el área sobre la que podía pastar era equivalente al área sobre la que pastaban anteriormente las cuatro. ¿Qué longitud le dio a la cuerda?

Solución El área utilizada por las cuatro es un círculo de radio 50 m., es decir S=Pi 50². La que queda sola ha de pastar sobre un cuadrante de círculo cuya superficie sea la misma: Pi x²/4 = Pi 50² ===> x=100 m. Justamente la longitud del campo.