Geometria De Las Figuras Planas

Geometría Es una ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, estudia las propiedades de las figuras cuyos puntos no están en el mismo plano. Las propiedades de la geometría del espacio resultan ser una secuencia lógica de los postulados y propiedades de la geometría plana, los entes geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano. Tanto como la recta como el plano son conjuntos de puntos, y el conjunto de puntos son lugares geométricos.

1.1. Trazados Geométricos básicos El punto: Es lo que no tiene partes. No tiene dimensión, podemos considerarlo como una posición del espacio. Se representa con los símbolos +, x ó o, que hacen referencia a la intersección de dos rectas y al centro de una circunferencia, respectivamente. Se identifican con letras mayúsculas o números. Existe una serie de puntos que cumplen una función u ocupan una posición que los diferencia de los demás puntos. Los vértices, centros, puntos medios etc., son ejemplos de estos puntos que se conocen como puntos notables Línea: Es la longitud sin anchura. La línea se puede considerar como un punto en movimiento continuo. Si el movimiento es siempre en la misma dirección, la línea es recta, curva si cambia continuamente de dirección y poligonal si cambia de dirección a intervalos. Tiene sólo una dimensión, la longitud, que es el espacio recorrido por el punto. Se representan con trazos de diferentes grosores según su función en el dibujo y se nombran con letras minúsculas. Las rectas notables son las más importantes de una figura. El movimiento de una recta en la misma dirección determina un plano. Recta: Es una línea que yace uniformemente en todos sus puntos. Superficie: Es sólo lo que tiene longitud y anchura. Plano: Es una superficie tal que el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de ella, pertenecen íntegramente a dicha superficie. Es ilimitado, si limitamos el plano con rectas obtenemos figuras planas como los polígonos. Los ángulos son porciones de planos limitados por dos rectas. Las curvas cerradas son intervalos de planos limitados por líneas curvas cerradas. Los planos se nombran con letras mayúsculas y los intervalos de planos por sus puntos y rectas notables. A pesar de ser una superficie ilimitada, el plano se representa por un paralelogramo.

Π Es frecuente designar a un plano por la letra griega Π

1.2. Lugares geométricos Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición que sólo pueden cumplir ellos. Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos. La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos. b) La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas. c) La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo. a)

Fig 1 Trazado de la mediatriz

Fig 2 Trazado de la Bisectriz

c) Circunferencia  Es un conjunto de puntos de un plano cuya distancia al punto fijo o del plano se llama centro, es una constante llamada radio.  Es una línea cerrada y plana, cuyos puntos gozan de una propiedad de que todos están a igual distancia de otro punto interior llamado centro. El diámetro de la circunferencia es igual a 2r.

Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 su diámetro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi”:

1.- ) Elementos de una circunferencia Radio: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. 1.2) Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. 1.3) Diámetro es una cuerda que pasa por el centro. 1.4) Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. 1.1)

Circulo Es la superficie plana limitada por una circunferencia. El centro y el radio del círculo son los de la circunferencia El área de un círculo es: A =π r2 Al área comprendida entre un arco y los radios que unen al centro con sus extremos se le denomina sector circular, y a la región comprendida entre una cuerda y un arco se le conoce como segmento circular. En ambos casos, se puede hablar de área mayor o menor en caso de ambigüedad. Si T es un sector circular cuyo ángulo central es α y radio r, la longitud de su arco y su área se calculan mediante las fórmulas

2πα cuando α se expresa en grados, mientras que si α se expresa en 360 0 Arco = rα radianes, Arco =

Área =

2π 2α 360 0

cuando α se expresa en grados es, mientras que si se expresa

en radianes es, Área =

r 2α 2

Relación entre rectas y circunferencias Recta secante: aquella recta que toca dos puntos de la circunferencia. Recta tangente: aquella recta que toca un solo punto de la circunferencia. Recta exterior: aquella recta que no toca ningún punto.

Recta secante

Recta tangente

Recta exterior:

Relación entre dos circunferencias

concéntricas

Interiores

Tangentes interiores

Circunferencias concéntricas: Son aquellas que comparten el centro. Circunferencias interiores: No comparten ningún punto, una esta dentro de la otra. Circunferencias tangentes interiores: Comparten un punto estando una dentro de la otra.

Secantes

tangentes exteriores

Circunferencias exteriores:

Circunferencias secantes: aquellas que comparten dos puntos. Circunferencias tangentes exteriores: son aquellas que comparten un solo punto, la distancia entre sus centros es la suma de sus dos radios. Circunferencias exteriores: son aquellas en que no comparten ningún punto, la distancia entre sus centros es mayor a la suma de sus radios.

1.3 Construcción de polígonos Los polígonos son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de rectas planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos. Si todos los lados y todos los ángulos del polígono son iguales el polígono se llama polígono regular. Si los ángulos no son iguales el polígono se llama irregular. Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares. Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º. Las diagonales: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos Los polígonos más importantes son, el triángulo y los cuadriláteros. 1.3.1) Triángulo Es una porción limitada por tres rectas que se cortan. Los puntos de intersección de las tres rectas se llaman vértices. Un triángulo es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos. La suma de sus ángulos es 180º. El área del triángulo es un medio del producto de su base por su altura

Se clasifican según sus lados en:

Según la magnitud relativa de sus lados en:

Equilateros. Si tienen tres lados iguales

Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.

Isósceles. Si tienen dos lados iguales Escalenos. Si tienen tres lados desiguales

Rectángulos. Si tienen un ángulo recto. Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.

La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes.

Rectas y puntos notables en un triángulo Son cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier triángulo. Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo opuesto, el punto donde se cruzan estas tres alturas se llama ortocentro.

Medianas: son los segmentos que van desde un vértice a la mitad del lado opuesto, el punto donde se cruzan se llama baricentro.

Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el punto medio, el punto donde se cruzan se llama circuncentro, este punto es el centro de una circunferencia que se circunscribe al triángulo.

Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada ángulo en dos partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, este punto es el centro de una circunferencia inscrita.

2.- Cuadriláteros: Son polígonos que tienen cuatro lados. Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos, lo que no permite construirlos por triangulación. Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son iguales.

Paralelogramos Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos e iguales dos a dos. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son iguales. Son paralelogramos el Rectángulo, el Cuadrado y el Rombo y Trapecio, que tienen dos lados paralelos, y trapezoides, que no tienen lados paralelos • • • •

En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Diagonal: Es la recta que une dos vértices, no consecutivos, de un polígono. Perímetro: Es la longitud de su entorno ó es la suma de sus lados

Construcción de cuadriláteros. Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por triangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedan divididos por una de sus diagonales.

Cuadrado conociendo la diagonal. Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y D del cuadrado. (Fig. 21) El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y C, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a la diagonal y la mediatriz de la misma. Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base.

Rectángulo conociendo la diagonal y un lado Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los triángulos son escálenos.

Paralelogramos Cuadrado

Paralelogramos Rectángulos

Área, A= Lx L

Área , A= Lx A

Perímetro, P= 4a

Perímetro, P= 4a

Rombo: cuyos cuatro lados son iguales pero tiene dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales. El Romboide: Que tiene sus lados iguales dos a dos, pero tiene dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.

Área=

D*d 2

Perímetro= 4L

Área=

D*d 2

Área =

Perímetro= 4L

Trapecio Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos, altura. De sus lados, los paralelos son las bases, distinguidas como base mayor (B) y base menor (b). La distancia entre ellas es la altura (h). Los ángulos interiores del trapecio suman 360º, como corresponde a todo cuadrilátero. Ello se deduce fácilmente si se nota que desde un mismo vértice sólo se puede trazar una diagonal, y por tanto el trapecio se descompone en dos triángulos. El área A de un trapecio es la suma de las bases a y b por altura h entre dos

.- Trapecio

Trapecio isósceles

Trapecio rectangular

P P=a+d+c+d

P= a+d+c+d

.- Trapecio escaleno

P=a+b+c+d P= a+d+c+d

.- Trapecio escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales. - Trapecio isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo desiguales. - Trapecio rectangular.- Es aquel que tiene dos ángulos rectos. Trapezoide:Es un cuadrilátero que no tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos.

Área de trapezoide (ABCD) =

Área de trapezoide (ABCD) =

POLIGONOS REGULARES : Sus lados son iguales y ángulos internos iguales IRREGULARES: Sus lados son distintos o ángulos internos distintos. Vértices : Las diagonales son los segmentos que unen vértices no consecutivos NÚMERO DE LADOS 3

NOMBRE Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octágono

9

Nonágono

10

Decágono

11

Endecágono

12

Dodecágono

Área de los Polígonos Regulares Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos. •

Cada uno de los segmentos se denomina lado.

• •

El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo. El número de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser mayor o igual a tres n 3 4 5 n

POLÍGONO Triángulo Cuadrilátero Pentágono Polígono

SUMA ÁNGULOS 180 180·2 = 360 180·3=540 180·(n-2)

DIAGONALES DE UN POLÍGONO. Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? Polígono

Nº Lados

Nº Diagonales d3= 0

Heptágono

3 4 5 6 7

d7 = 2+3+4+5=14

Polígono

n

2+3+4+5+....+(n-2)

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

Pentágono

d4=2 d5= 2+3=5 d6= 2+3+4=9

L.h.n A= 2

Perímetro L= lado; h= altura, n=número de

Ángulos internos

Área del polígono

P=5L 180(n-2)

lados(5)

Ap=

P.a 2

Numero de diagonales

ND=

n(n − 3) 2

a= apotema,altura

Hexágono

Apotema

Apotema de un hexágono Una apotema es una línea perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados. También es una perpendicular trazada desde el vértice de una pirámide regular a uno de los lados del polígono de la base o, lo que es lo mismo, la altura de las caras triangulares de una pirámide regular. Los elementos más importantes de un polígono regular son: centro, radio, lado y apotema. Centro, el punto que equidista de los vértices.

Radio R, es el segmento que une el centro con un vértice. Apotema a, segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En todo polígono regular se puede construir un triángulo rectángulo que tiene por lados la mitad del lado, el apotema y el radio 2

R

a

l 2 2   +a = R 2

l 2 Como un polígono regular tiene n ángulos iguales cada uno de ellos mide : A=

( n − 2).180 n

o

A= 180 −

360 n

CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES AREAS NOMBRE

DEFINICION

FIGURA

TERMINOS

Triángulo

Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta.

h=altura b=base

Paralelogramo

Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.

h=altura b=base

Cuadrado

Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.

l=lado d=diagonal

FORMULA

A=b.h

Rombo

Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º

d=diagonal mayor d'=diagonal menor

Trapecio

Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.

b=base mayor b'=base menor h=altura

Es la porción de plano limitada por segmentos Polígono regular de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.

Círculo

Es la porción de plano limitada por la circunferencia.

a=apotema l=lado n=número de lados

r=radio

A=p.r²