Problemas De Funciones Definidas Por Trozos Y Funciones Lineales.docx

PROBLEMAS DONDE SE APLICAN FUNCIONES LINEALES Y FUNCIONES DEFINIDAS POR TROZOS 1. El período P de un péndulo sencillo; es decir, el tiempo requerido para una oscilación completa, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud l. a) Exprese P en términos de l y una constante de proporcionalidad. b) Si un péndulo de 2 ft de largo tiene un período de 1.5 s, encuentre el valor de la constante de proporcionalidad. Exprese correctamente las dimensionales de la constante. c) Proporcione el período de un péndulo de 6 ft de largo. 2. Un automóvil sale del punto A, a una velocidad constante de 25m/s, hacia el punto B. Un segundo automóvil sale 5 segundos más tarde, a 30m/s, desde el punto B hacia el punto A. Si hay 1km de distancia entre los puntos A y B, a) ¿A qué distancia del punto A se encontrarán ambos automóviles? b) ¿Cuánto tiempo después de que sale el segundo automóvil ocurre el encuentro? 3. El ingreso mensual total (en quetzales) de una guardería, obtenido del cuidado de x niños, está dado por I= 450x. Sus costos mensuales totales , en quetzales, están dados por C = 380x + 3500. a) ¿Cuál es el valor de la inversión inicial o costo fijo mensual? b) ¿Cuánto paga cada niño mensualmente? c) ¿Cuál es el costo mensual por atender a un niño? d) ¿Cuántos niños se necesita atender mensualmente, para llegar al punto de equilibrio? 4. Suponga que usted decide contratar los servicios de una empresa dedicada a servir banquetes para una cena con sus 9 compañeros de trabajo. Las condiciones de dicha compañía son las siguientes.  Por los servicios del mesero y el uso de la vajilla se cobran Q575  El precio de cada plato servido es Q105 Suponga que a la cena llegan los 9 compañeros y que uno de ellos decide llegar con su hijo Roberto, el cual se comió únicamente media porción. Utilice la función máximo entero para determinar la función de cobro C(x) (siendo x la cantidad de platos servidos) y úsela para calcular cuánto le costará la cena. 5. La compañía de taxis rotativos TUC-TUC desea formular un modelo para poder calcular lo que deberá cobrarle a sus clientes para un viaje de x km basándose en las siguientes especificaciones:  Por el servicio a domicilio y el primer kilómetro o fracción recorrido se cobran Q15.00.  Por cada kilómetro o fracción adicional se cobran Q3.50. a) Trace la gráfica del cobro para los primeros 6 kilómetros recorridos. b) Utilice la función máximo entero para modelar la función de cobro C(x). c) Determine lo que el cliente debe pagar por un viaje de 5.7 kilómetros.

6. Cierto país grava los primeros $ 20,000 del ingreso de una persona a razón del 15% y todo el ingreso de más de esa cantidad se grava al 20%. Encuentre una función T definida por trozos, que especifique el impuesto sobre un ingreso de x dólares. 7. Cierto libro en encuadernación rústica se vende en $12. Al autor se le pagan regalías del 10% en los primeros 10.000 ejemplares vendidos, 12.5% en los siguientes 5.000 y 15% en cualquier ejemplar adicional. Encuentre una función R definida por trozos, que especifique si se venden x ejemplares. 8. Un Café Internet cobra Q. 6.00 por la primera hora o fracción, Q. 5.00 por la siguiente hora o fracción y Q. 3.00 por cualquier tiempo que pase de 2 horas.  Escriba la función para calcular la tarifa T(x) por consumo de x horas.  Grafique la función.  ¿A cuánto asciende la cuenta, si un usuario se tardó 5 horas y media? 9. Un Parqueo cobra Q. 8.00 por la primera hora o fracción y Q. 5.00 cada hora o fracción, hasta un máximo de 8 horas.  Escriba la función para calcular la tarifa T(x) por parqueo x horas en el intervalo de 0 a 8 horas.  Grafique la función.  ¿A cuánto asciende la cuenta, si una persona dejó su carro por 5 horas y media? 10. Una compañía generadora de electricidad cobra a sus clientes $0.0577 por kilowatt-hora (kWh) por los primeros 1.000 kWh consumidos, $0.0532 por los siguientes 4.000 kWh y $0.0511 por cualquier kWh arriba de 5.000. Encuentre una función C definida por trozos, para la cuenta de x kWh de un cliente. 11. Hay dos opciones de renta de autos disponible para un viaje de cuatro días. La opción 1 es $45 por día, con 200 millas gratis y $0.40 por milla por cada milla adicional. La opción 2 es de $ 58.75 por día con un cargo de $0.25 por milla.  Modele la función de costo por cada opción de cuatro días.  Determine el costo de un viaje de 500 millas para ambas opciones. ¿Cuál es mejor? 12. En momentos de necesidad, un puma puede correr a 20 m/s, mientras que un guepardo lo hace a 27 m/s. En un descuido por parte del guepardo, el puma toma el antílope que tanto trabajo le llevó al guepardo capturar y se lo lleva, corriendo al máximo de su capacidad, a velocidad constante. 120 segundos más tarde el guepardo se da cuenta de que su presa ya no está y sale corriendo a su máxima velocidad (constante) en busca del puma. El puma corrió durante 5 minutos antes de dejar en el suelo al antílope muerto. a) ¿Alcanzó el guepardo al puma? b) ¿Cuánto tiempo le tomó al guepardo recuperar a su presa? c) ¿Qué distancia recorrió?

13. La siguiente gráfica muestra el comportamiento económico de un negocio de sudaderas de los estudiantes de Pensamiento Cuantitativo . Las sudaderas llevan el siguiente logotipo: “Me gusta la matemática”. Una de las dos rectas representa los costos totales y otra los ingresos totales. Complete la siguiente tabla de cuestionamientos. La variable x representa la cantidad de sudaderas. El eje y representa el dinero en quetzales. Encuentre: a) El costo fijo b) El costo unitario c) El precio unitario d) El margen de contribución e) Una expresión para el costo total f) Una expresión para el ingreso total g) Una expresión para la utilidad h) La capacidad máxima de producción de la compañía i) El punto de equilibrio j) El valor de x, a partir del cual se obtiene una ganancia mayor o igual que Q4000.

Fórmulas importantes  Movimiento Uniforme 𝑆 = 𝑉𝑡  Movimiento Uniformemente variado 𝑉 = 𝑉𝑜 + 𝑎𝑡 𝐶 = 𝐶𝑓 + 𝑐𝑥  Costos e Ingresos 𝐼 = 𝑝𝑥 𝑈 =𝐼−𝐶 °𝐶 = 𝑘 − 273.15  Escalas de temperatura °𝐹 = 32 + 9 °𝐶 5