Problema 2 Liceo Scientifico 2009

Problema 2 ordinamento esame di stato 2009 pag.1 di 2

© Giancarlo Albricci2009

Problema 2 punto 1) Il grafico della funzione y = log x con i punti richiesti dal testo è tracciato qui sotto

•

Trovo l’equazione della tangente alla curva in un punto qualsiasi P di coordinate ( x0 ; log x0 )

y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) y= •

→

y − log x0 = f ' (x0 )( x − x0 )

→

y − log x0 =

1 (x − x0 ) x0

x − 1 + log x0 x0

Mettendo a sistema l’equazione della tangente con l’equazione dell’asse y si ottengono le coordinate del punto A → A (0 ; − 1 + log x0 )

•

Il punto B ha cordinate date da: B(0 ; log x0 )

•

La lunghezza di AB è:

AB = yB − y A = 1 e questo vale indipendentemente dalla posizione del

punto P sulla curva Gf •

La funzione g ( x ) = log a x si trasforma, mediante cambiamento di base, in g ( x ) =

•

Le ordinate dei punti P, A, B sono quindi “scalate” di un fattore

•

log x log a

1 e la lunghezza di AB, che viene log a

scalata dello stesso fattore, rimane indipendente dalla posizione del punto P sulla curva

PUNTO 2

inclinazione della tangente a Gg

•

La retta tangente nel punto di ascissa 1 alla curva Gg ha coefficiente angolare m = g ' (1) =

•

δ = 45°

•

δ = 135°

→ →

m =1

m = −1

→

→

log a = 1

→

log a = −1

a=e →

a=

1 e

1 log a

Problema 2 ordinamento esame di stato 2009 pag.2 di 2

PUNTO 3

© Giancarlo Albricci2009

Area della regione D

La figura qui sotto identifica l’area della regione D da calcolare, determinata dai punti Q, R, O, T

•

Il punto Q si ottiene mettendo a sistema le equazioni della retta y = 1 e della curva y = log x

•

Le sue coordinate quindi sono: Q(e ; 1) 1

L’area della regione D si ottiene con gli integrali:

e

S D = ∫1 dx + ∫ (1 − log x ) dx = [x] 0 + [2 x − x log x ] 1 = 1 + [2e − e − 2 + 0] = e − 1 1

0

1

PUNTO 4 •

e

Volume del solido

Per far corrispondere la retta x = −1 con l’asse delle ordinate devo fare una traslazione del tipo

X = x +1

Y=y

•

Nel nuovo sistema l’equazione della curva è: Y = log( X − 1)

•

Per ruotare intorno all’asse Y mi serve la funzione inversa: X = 1 + eY

•

Gli estremi di integrazione in Y vanno da 0 a 1, quindi il volume del solido sarà dato dalla differenza tra il volume di rotazione rispetto all’asse Y e il volume del cilindro di raggio 1 e altezza 1, che è π : 1

(

V = π ∫ 1+ e

)

Y 2

1

(

)

dY − π = π ∫ 1 + 2eY + e 2Y dY − π =

0

0 1

1  1 1 5   1 = π Y + 2eY + e 2Y  − π = π 1 + 2e + e 2 − 0 − 2 −  − π = π  e 2 + 2e −  = 2 0 2 2 2   2 =

π

(e 2

2

)

+ 4e − 5 =

π 2

(e + 5) (e − 1)