Problema 1 Liceo Scientifico Pni 2009

Problema 1 liceo scientifico PNI esame di stato 2009 pag.1 di 2

© Giancarlo Albricci2009

Problema 1 punto 1 • •

 x2 xn  f ( x ) = 1 + x + + ... +  e − x 2! n!   Per

la

derivata

si

applica

con n intero positivo e x ∈ R la

regola

del

n −1

prodotto

di

funzioni

e

si

riduce:

  −x  x x x x  x  e − 1 + x + f ' ( x ) = 1 + x + + ... + + ... +  e − x = − e − x (n − 1)!  2! 2! n!  n!   2

PUNTO 2 •

n

2

n

massimi, minimi e limitazione con n dispari

Se n è pari la derivata risulta negativa per x ≠ 0 e si annulla in x = 0 dove ha un punto di flesso con tangente orizzontale. La funzione è quindi decrescente nell’intervallo da − ∞ a + ∞ . I limiti agli estremi dell’intervallo a causa della prevalenza dell’esponenziale e pochè n è pari sono:

lim f ( x ) = +∞

x → −∞

e

lim f ( x ) = 0

Non ci sono dunque né massimi né minimi, né

x → +∞

assoluti né relativi. •

Se n è dispari la derivata risulta positiva per x < 0 , si annulla in x = 0 ed è negativa per x > 0 dove ha un punto di massimo assoluto con tangente orizzontale e coordinate (0 ; 1) . I limiti agli estremi dell’intervallo a causa della prevalenza dell’esponenziale e pochè n è dispari sono:

lim f ( x ) = −∞

x → −∞

e

lim f ( x ) = 0

C’è quindi un punto di massimo assoluto e non ci

x → +∞

sono punti di minimo né assoluti né relativi. L’ordinata del punto di massimo assoluto è 1, il che prova che per n dispari vale la disequazione f ( x ) ≤ 1 ∀x ∈ R

PUNTO 3

•

•



studio della funzione g ( x ) = 1 + x +



x2  − x e 2 

x2 − x e per quanto detto in precedenza la funzione è sempre 2 decrescente e ha un flesso a tangente orizzontale con coordinate (0 ; 1) . La derivata prima è:

g ' (x ) = −

I limiti agli estremi sono: lim g ( x ) = +∞ x → −∞

e

lim g ( x ) = 0 per cui la funzione ha un asintoto

x → +∞

orizzontale di equazione y = 0 quando x → +∞ . Non ci sono altri asintoti.

g ' ' ( x ) = − xe − x +

(

x2 − x 1 − x 2 e = e x − 2x 2 2

)

•

La derivata seconda è:

•

g ' ' ( x ) > 0 in (− ∞ , 0) ∪ (2 , + ∞ ) per cui la concavità è rivolta verso l’alto

•

g ' ' ( x ) < 0 in (0 , 2) per cui la concavità è rivolta verso il basso

•

Ci sono dunque due punti di flesso con coordinate: (0 ; 1)

Il grafico della funzione è riportato nella pagina seguente.

e

5  2 ; 2   e 

Problema 1 liceo scientifico PNI esame di stato 2009 pag.2 di 2

PUNTO 3

© Giancarlo Albricci2009



grafico della funzione g ( x ) = 1 + x +



x2  − x e 2 

2

PUNTO 4

Calcolo dell’integrale

∫ g (x ) dx 0

•

L’interpretazione geometrica dell’integrale definito da calcolare è che corrisponde all’area sottesa dalla curva grafico della funzione e l’asse delle ascisse in corrispondenza dei due punti di flesso. In altre parole, è l’area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione, l’asse delle ascisse, la retta di equazione x = 0 e la retta di equazione x = 2

•

Il calcolo dell’integrale (effettuato per parti) fornisce il seguente risultato: 2 2   −x x2  − x x2 − x  −x    ( ) g x dx = + x + e dx = e + xe + e  dx = 1 ∫0 ∫0  ∫0  2  2  2

2

 x2 − x  3 4 2 9 −x −x = − 3e − 2 xe − e  = − 2 − 2 − 2 + 3 − 0 + 0 = 3 − 2 2 e e e e  0