Probabilidade - 1a Aula

PROBABILIDADE - INTRODUÇÃO Primeira aula Nesta aula, serão apresentados uma introdução histórica, depois o conceito de probabilidade, seguindo-se alguns exemplos e exercícios. No final, deixo algumas sugestões de atividades e listo os conteúdos trabalhados e seus objetivos.

1- A Origem da Teoria das Probabilidades A probabilidade, como conhecemos hoje, teve seu início quando um jogador, no ano de 1654 em Paris, chamado Chevalie de Mére, propôs ao matemático Braise Pascal algumas questões sobre possibilidades de vencer em jogos. Uma das questões foi: ''Um jogo de dados entre dois adversários chega ao fim quando um deles vence três partida em primeiro lugar. Se esse jogo fosse interronpido antes do final, de que maneira cada um dos jogadores deverá ser indenizado?'' As reflexões a respeito dos problemas propostos por Chevalie levaram Pascal a se corresponder com Fermat, o que desencadeou discursões a respeito dos princípios de uma nova teoria que veio ser chamada de teoria das probabilidades.(Texto retirado de Matemática – Manoel Paiva – Volume Único –Ed. Moderna – 2005 – pág 434)

2- O conceito de probabilidade Considere os seguintes exemplos: a)

No lançamento de um dado, qual a possibilidade de se obter um número par? É possível medir a possibilidade de se obter um número par e a medida desta possibilidade é chamada de probabilidade. Neste caso temos 3 possibilidades em 6, pois as faces do dado são numeradas de 1 até 6 e os pares desta lista são: 2, 4 e 6.

Neste caso, o conjunto E={1, 2, 3, 4, 5, 6} é chamado de Espaço Amostral e o subconjunto A de E é chamado de Evento. Logo A={2,4,6}. Logo A={2,4,6}. Então, a fração 3/6 é chamada de probabilidade de ocorrer um número par, no lançamento de um dado.

b) No lançamento de três moedas, qual a probabilidade de obtermos ternos iguais? Neste caso, observando a figura abaixo, podemos ver que A={(C,C,C), (K,K,K)} e E={(C,C,C), (C,C,K), (C,K,C), (C,K,K), (K,C,C),(K,C,K), (K,K,C), (K,K,K)}. Então, temos 2 chances em 8 de ocorrer lançamentos iguais. Logo, a fração 2/8 é a probabilidade de ocorrer termos iguais, no lançamento de duas moedas.

Definição: Sejam E um espaço amostral, finito e não vazio, e A um evento de E. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é indicada por P(A) e definida por: P(A)=

=

n( A) n( E )

Obs.1: E={(C,C,C), (C,C,K), (C,K,C), (C,K,K), (K,C,C),(K,C,K), (K,K,C), (K,K,K)}, é o conjunto de todos os resultados possíveis. Obs.2: O lançamento de três moedas é um exemplo de um experimento aleatório. Definição: Chamamos de experimento aleatório a todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. Definição: O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral desse experimento. Definição: Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Obs.3: Podemos identificar o evento fazendo a seguinte pergunta: Devo calcular a probabilidade do que? Por exemplo, no exemplo c, pergunto: Devo calcular a probabilidade do que? Resposta? Obter termos iguais. Então a lista dos termos iguais: (C,C,C) e (K,K,K) é que forma o Evento. Logo, A={(C,C,C),(K,K,K)}.

c)

No lançamento simultâneo de dois dados, qual a possibilidade de se obter um soma 7? Solução: No experimento “lançamento de dois dados”, temos como espaço amostral o conjunto: E={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), . . . (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Logo, n(E)=36. Por outro lado, temos que A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Logo, n(A)=6. Então,

n( A) 6 1 = = P(A)= N ( E ) 36 6

Exercícios 1)

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter, na face voltada para cima, um número: a) primo b) quadrado perfeito c) menor do que 5

2)

No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima: a) pelo menos uma cara? b) no máximo uma coroa?

3)

Um casal planeja ter três crianças. Então, qual é a probabilidade de que tenham: a) todas as crianças do mesmo sexo? b) dois meninos e uma menina? c) pelo menos uma menina? d) no máximo dois meninos? e) mais meninas do que meninos?

4)

Uma urna contém apenas bolas brancas e azuis. Retirando-se ao acaso uma bola dessa urna, a probabilidade de sair uma bola azul é o quádruplo da probabilidade de sair uma bola branca. Qual é a probabilidade de sair uma bola branca?

5)

No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima: a) soma dos pontos igual a 5; b) soma dos pontos igual a 6; c) soma dos pontos um número quadrado perfeito; d) soma dos pontos igual a um número primo.

6)

Em uma sala de crianças, há 6 meninos a mais que meninas. Sorteando-se uma dessas crianças, a probabilidade que a sorteada seja uma menina é 2/5. quantos meninos há nessa classe?

7)

Qual a probabilidade de, ao retirar ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, obter: a) uma carta de copas? b) um ás? c) uma “figura”? d) um três “vermelho?

Indicações: • Caso a escola disponha de um laborátório de informática, o professor pode iniciar a aula no laboratório, pedindo aos alunos que façam, a partir, do site do google, uma pesquisa sobre a origem da probabilidade. •

Ao final dessa introdução a probabilidade, o professor pode pedir que os alunos elaborem e depois joguem o jogo Role os dados, disponível no site http://www.mathema.com.br. Eu fiz esta atividade de jogo no ano passado, com minhas turmas de 3° ano de um curso de formação de professores, na rede estadual do RJ e foi muito compensador.

Bibliografia: • Paiva, Manoel – Matemática – Volume Único – Ed. Moderna – 2005. • Dante, Luiz Roberto – MATEMÁTICA – Volume Único – Ed. Ática – 2008. • http://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

Conteúdos 1. 2. 3.

A origem da teoria das probabilidades O conceito de probabilidade Definição de probabilidade

e

Objetivos

Ao final desta introdução, o aluno deverá ser capaz de: • pesquisar elementos históricos na web. • reconhecer um experimento aleatório; • determinar o espaço amostral de um experimento aleatório; • formar eventos de um espaço amostral; • determinar o número de elementos de um espaço amostral ou de um evento; • calcular a probabilidade de ocorrer um evento de um espaço amostral.