Aula Probabilidade

PROBABILIDADE Leandro S. A. Gonçalves

Teoria dos conjuntos: Notação: letra maiúscula - conjunto. letra minúscula – elemento do conjunto. Exemplo: A = {a,b,c} Relacionar elementos e conjuntos:

∈=" pertence" a∈ A ∉=" não..pertence" m ∉ A Relacionar conjunto com conjunto:

⊂=" está contido" ⊃=" contém"

Operações entre conjuntos: ∪ = união ∩ = interseção _

⊂ = A = complementar do conjunto A U A

Lei dos conjuntos: 1) Lei cumulativa:

A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A

2) Leis associativas:

3) Leis distributivas:

A ∪ B ∪ C = ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )

A∪µ = µ 4) Lei da identidade: A ∪ φ = A A∩µ = A A ∩φ = φ _______

__

__

_______

__

__

5) Leis complementares ou leis de Morgan: A ∪ B = A∩ B

A ∩ B = A∪ B

Diagrama de VENN – O retângulo funciona como o universo

B A

A∩C = φ C

A e C são conjuntos disjuntos μ

_______

__

__

Mostrar que A ∪ B = A∩ B Representar, em diagramas de VENN, as seguintes operações: __

a)A ∩ B _

b)B ∩ A c)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) d)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e)A ∩ B ∩ C

1 - Introdução A teoria das probabilidades, surgiu nos séculos XV e XVI, relacionadas com jogos de azar.

Com o advento da teoria das probabilidades, foi possível estabelecer as distribuições de probabilidade, consideradas hoje a espinha dorsal da teoria estatística, pois todos os processos inferências são aplicações de distribuição de probabilidade.

Assim, o conhecimento dos conceitos advindo da teoria das probabilidades é de grande importância para uma correta utilização da técnica estatística.

Espaço Amostral É o universo de todos os possíveis resultados do experimento. É representado pela letra S. Lançamento de um dado S={1,2,3,4,5,6} Lançamento de uma moeda S={cara,coroa} Os elementos do espaço amostral S são chamados de pontos amostrais Eventos São subconjuntos do espaço amostral S. Um espaço amostral S possui vários eventos. Ex: lançamento de um dado S={1,2,3,4,5,6}

Sejam os eventos A: Ocorrência de números impares: A = {1,3,5}⇒ A ⊂ S ⇒ A é um evento. B: Ocorrência de números pares: __

B = {2,4,6} ⇒ B = A ⇒ B ⊂ S ⇒ B é um evento. Eventos Mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se os conjuntos A e B são disjuntos.

A ∩ B = φ ⇒ Os conjuntos são disjuntos e os eventos mutualmente exclusivos.

Probabilidade de um evento A: P(A)

P(A) =

nº de elementos do evento A nº de elementos do espaço amostral S

P(A) =

nº (A) ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1 nº (S)

Exemplo: Dado o experimento E: lançamento de dois dados (1,1) (2,1)  (3,1) S= (4,1) (5,1)  (6,1)

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)  = 36 pontos amostrais (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)  (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Sejam os eventos A – Ocorrer nº impar no 1º dado

P(A) =

18 1 = 36 2

B – Ocorrer soma dez B = {(4,6),(5,5),(6,4)}

P(A) =

3 1 = 36 12

TEOREMAS 1. Se Φ representa o conjunto vazio, então P(Φ)=0 A = A ∪φ P(A) = P(A ∪ φ ) P(A) = P(A) + P(φ ) P(φ ) = P(A) - P(A) = 0

Ex: Lançamento de um dado S = {1,2,3,4,5,6} A = {sair a face 8}

P(A) =

0 =0 6

_

_

_

2. Se A for o evento complementar de A, então P( A ) = 1 - P(A) ou P(A) = 1 - P( A)

S A _

A

3. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B) S A

B

4. Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Exemplo: Uma urna contém 15 bolas enumeradas de 1 a 15. Sendo A e B os eventos retirar uma bola múltipla de 3 e 4, respectivamente, pede-se:

P(A ∪ B) = S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} A={3,6,9,12,15}

P(A)=5/15

B{4,8,12}

P(B)=3/15

A ∩ B = {12} = P ( A ∩ B ) = 1 / 15

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 5/15 + 3/15 - 1/15 = 7/15

Se A, B, C forem três eventos quaisquer, então : P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) - P(A ∩ B ∩ C)

ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular, se S contém n pontos, então, a probabilidade de cada ponto será 1/n.

Por outro lado, se um evento A contém t pontos, então:

1 r P(A) = r.  = n n

nº de vezes em que o evento A pode ocorrer P(A) = nº de vezes em que o espaço amostral S ocorre

Combinação de r elementos tomados (combinados) p a p (p ≤ r). Calcula-se por:

r r! Cr, p =   =  n  p!( r − p)! Exemplo: Quantas comissões de três pessoas podem-se formar um grupo de dez pessoas.

Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule: a) A probabilidade de ambas serem defeituosas? b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas? c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosas?

Exemplo – Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) Ela não tenha defeitos graves? b) Ela não tenha defeitos? c) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves?

Exemplo – Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) Ambas sejam perfeitas? b) Pelo menos uma seja perfeita ? c) Nenhuma tenha defeito grave ? d) Nenhuma seja perfeita ?

PROBABILIDADE CONDICIONAL Seja E um experimento. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento. A probabilidade de A ocorrer dado que B já tenha ocorrido é chamado probabilidade condicional de A dado B, e é definida por:

P(A/B) =

P(A ∩ B) ; P(B) > 0 P(B)

Existem duas condicionais:

P(A ∩ B) ; P(B) P(A ∩ B) P(B/A) = ; P(A) P(A/B) =

Exemplos: 1) Um comerciante possui um lote de 100 lâmpadas, dos quais 80 são da marca A e as restantes da marca B. Sabendo-se que das lâmpadas marca A 30 apresentam defeitos e somente uma da marca B apresenta defeito. Perguntase: Se o comerciante pega ao acaso uma lâmpada. b) Qual a probabilidade dela ser da marca A dado que sabemos ser defeituosa? c) Qual a probabilidade de ser defeituosa dado ser ela marca B? d) Se a lâmpada é da marca A, qual a probabilidade de não ser defeituosa. Marca A Marca B

Total

Defeituosa 30

1

31

Perfeita

50

19

69

80

20

100

2 – Uma urna contém 20 bolas das quais 9 são brancas, 5 azuis e 6 vermelhas. Duas bolas são retiradas sucessivamente da urna sem reposição. Determinar as seguintes probabilidades: a) Da 2º bola extraída ser vermelha, se a 1º foi vermelha? b) De extrairmos bolas de cores diferentes? c) De extrairmos bolas de cores iguais?

3 – Em um colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado aleatoriamente. Pergunta-se: a) Se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ter sido reprovado em matemática? b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em química? c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em química ou matemática? d) Qual a probabilidade de não ter sido reprovado em nenhuma delas? e) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em matemática? f) Qual a probabilidade de ter sido reprovado somente em química?

TEOREMA DO PRODUTO “ A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço-amostra, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro. Assim:

P(A ∩ B) P(A/B) = ⇒ P(A ∩ B) = P(B)(A/B) P(B) P(B/A) =

P(A ∩ B) ⇒ P(A ∩ B) = P(A)(B/A) P(A)

EXEMPLO Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?

INDEPENDÊNCIA ESTATÍSITCA Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade condicional de A dado B, isto é, se:

P(A) = P(A/B) É evidente que, se A é independente de B, B é independente de A; assim:

P(B) = P(B/A) Considerando o teorema do produto, pode-se afirmar que: se A e B são independentes, então:

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

EXEMPLO Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas.

EXEMPLO Uma urna contém cinco bolas pretas, três vermelhas e duas brancas. Foram extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?

TEOREMA DE BAYES

Seja A 1 , A 2 , A 3 , ...., A n , n eventos mutualmente exclusivos tais que A 1 ∪ A 2 ∪ A n = S. Sejam P(A i ) as probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um evento qualquer de S tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/A). Então, para cada " i" , tem - se :

P(A i ).P(B/A i ) P(A i / B) = P(A 1 ).P(B/A 1 ) + P(A 2 ).P(B/A 2 ) + ...... + P(A n ).P(B/A n )

EXEMPLO Admita a seguinte configuração: Urnas

u1

u2

u3

Pretas

3

4

2

Brancas

1

3

3

Vermelhas

5

2

3

Cores

Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? da 3?

EXEMPLO As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente 2/3; 4/5 e 7/10 Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de: a)Todos acertarem? b)Apenas um acertar? c)Todos errarem? EXEMPLO Numa bolsa temos cinco moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retiramos duas moedas, obtermos R$ 1,50?