Prijemni 09-matematika Kljuc Test2

Математика Тест 2 Кључ за оцењивање

ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације које могу да се јаве у одговорима на различита питања, а која је важно да сви оцењивачи реше на јединствен начин. 1. Задатак са исправним поступком и тачним резултатом (одговором) добија максимални број поена без обзира да ли је рађен на други начин од оног који предвиђа кључ. 2. Бодови се не одбијају ако тачан резултат (решење, одговор) није уписан у кућицу предвиђену за резултате. 3. Задатак у коме се појављује мерна јединица добија максималан број поена чак иако та јединица није написана. 4. Максималан број поена добија се за тачно урађен задатак у чијем решењу постоји слика (или цртеж) иако та слика (цртеж) није урађена, осим ако се то изричито тражи. 5. Бодови се не одбијају ако је цртеж у задатку тачно урађен графитном оловком. 6. Прегледач уписује бодове у предвиђену кућицу поред задатка. За погрешно урађен задатак у кућицу уписати нулу, а за неурађен задатак уписати црту. 7. Уколико је ученик написао тачан резултат (решење) а није урадио поступак у задацима у којима је поступак потребан, добија нула поена. 8. Уколико је ученик уочио грешку и прецртао део поступка и након тога урадио тачно задатак, добија максималан број поена предвиђених за тај задатак. 9. Број � се мора уписивати и током израде задатка и у одговору ако је то у тексту назначено.



–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 3. a ⋅ b = a ⋅ b , a ≥ 0, b ≥ 0

A) 23, 7 − 6,11 a + 0,a25 ⋅ 60 1= 17,59 + 15 = 32,59 ; бројем –2,5. 6. Збир бројева 4. =–1,25 , aи ≥7 0, bподелити > МАТЕМАТИКА 0 ТЕСТ 2 2 b b Б) 0,8 + 1, 4 ⋅ 5 − 0,32 : 0,8 = 0,8 + 7 − 0, 4 = 7, 4 . 1. 1 7. Производ бројева 2 и 2,5 умањити за збир бројева 8,5 и 3,34. 1 5 20.  Израчунати: 6.  −1, 25 + 7  : ( −2,5 ) = ( −1, 25 + 7,5 ) : ( −2,5 ) = 6, 25 : ( −2,5 ) = 62,5 : ( −25 ) = − 2,5 .  за рад: 2  92 Место 1 1 2.1СТЕПЕН И1 КВАДРАТНИ ⎛ 1 ⎞ 1 КОРЕН 8. Дати А) су 11 ⋅изрази 32 − ; А = ⋅ − и B = + ⎜ − ⎟ : . Израчунати вредност разлике А – B. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 3 ⎝ 3⎠ 3 3 3 3 3 1   ⋅ 2,5  − ( 8,5 +13,342 ) =израза = се 5,5зна − 11,84 7. 9. 2 Израчунати 2 вредност a −) −b11,84 + 3.c ,АЛГЕБАРСКИ ако даИЗРАЗИ је = − 6,34 . ( 2, 2 ⋅ 2,5 ⋅ 4 СТЕПЕН . Б) И КВАДРАТНИ КОРЕН  5 ( 3 ⋅ 2 ) − 2. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 32 1 a = 1,5 − 0,9 + 2 ;3 b2 = 1 − 0,125 ; c =2 0,5 . 3 2 1 1 12 915( 2 1⋅ 3 ) : 62+ 281 21. Израчунати 2 − 3 ⋅10 . ( 8. 20.A =А) ⋅ 11−⋅ 3 − = −2= 11 = ⋅ 9−− ; =2 99) − 27 = 72 ; 3 3 ( 23a − 339b ) 3+ 12ab 9=3 4a − 12ab + 9b 2 + 12ab = 4a 2 + 9b 2 . За a = 2 и b = 3 вредност 49. 10. Израчунати: 22. Израчунати: 2 Поступак обавезан - 21 поен 3. АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ 1− 228 21 једнака 2 ) : (1је 2828 : 2008 : 20 0, 28 − 0, 2 ; А) 4 2 + 9 3 овог израза ( ) 1 1 1 2 3   2 Б) 3 ⋅ 2 − ⋅ 4 = 6 − ⋅ 16 = 36 − 8 = 28 .= 4 ⋅ 2 + 9 ⋅ 3 = 8 + 27 = 35 . –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– B = +(5− )⎛ 2: ⎞2 = 4 − 1 = −2 . А) 2 +3⎜ 3⎟ − 3 ; 3 Б) 3 0,01 32 ⋅ ⎝0,1 3 ⎠–320,192: 0,012 + 0,01 : 0,1. 2 3 x − 1=) ⋅ (((2 283. x⋅a9+–АЛГЕБАРСКИ 1:3)6b−+)(2(x+ 29)ab =ИЗРАЗИ 4 x=a2 = −721 −:26( − xи2100 4 x=+312 4. ) − 100 = − 88 . 21. Израчунати 2 ⋅ 3 )A: ⋅6C+−вредност 2B − =3 )( ⋅210 8−−12 ⋅100 ) ) (50. ( 49. израза за b− = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 11. Израчунати: 3 2 2 2 2 2 6 4   2 2 A⎛−−=B3 4⎞=x⋅2(−12 Дакле, −−17 4x = − 4− = +3 x 2 += 4−x − 5+. = . 3− 1− =−)+ . Б) 2x ⎜ ⎟ 50.-6,34 Дати су биноми А 2 x – x3– 2 15 и 9C =892x 48 + 91. Израчунати A ⋅ C – B2. 3.А) АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ 9 3 5 ⎝⋅5102,34 4 5 1,8B9=16 25 ⎠ 2  ⋅ 20; 5 22. А) +2  − = 2+ − = + − 2 = −2 ; –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2 ab 49. Израчунати 2a11 −323b7) 3+вредност 12 ab a911 − 12 ab(5x+9⎞−921b)2 +x27 12 =1 − 4327 a( x ++291b) 27 (51. 27 27 2 9 = 4израза  51. + x + x. −2За −x 2x a−+ 1=x)−. 12 −и( x 3b −= x 23+ вредност 11 3 ⎛ ⎞ ⎛ ( ) ( 3 2 x − 1 x + x + 1 − x + 1 x − x + 1 = x + x + x x + x 2 − x + 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ + 2 ⋅ ⎜⋅ 4− ⎟ + ⋅ ⎜1 2 ⎟ . 2. 23. Б)Израчунати 2 . 30 ⎝2 12+ 3 3 30 2⎝ 30 12 2 2 432⎠је 4 2 8 + 27 . овог једнака 2 52. 2 израза 3  = x − 1 − x =27одузети xa3=⎠−9 12−3квадрат x327 −=1 4=⋅ 32бинома −+вредност 29 .⋅ 3 = –2x 16 : 8 Од полинома 4x – – 3= и35упростити добијени ( + 12ab = 4a − 12ab + = 4−a17+) 6x 9+b=12+).−3За ⋅ 25 = −и b = Б)9b +−12ab⋅ (12 . 5 Место за рад: израз. 12. 2Да лису52тачне неједнакости: 125 5  2 2 +A9⋅ C − 3 B 22 == 4(⋅22x+−91⋅)3⋅ ( = .2 = 4 x 2 − 1 −2( x 2 − 4 x + 4 ) аза једнака је 4 50. 2xx−8+3+1))27 − =( = x 4−35 22 )− 2−израза: вредност 53. Израчунати 4 x − 6 x + 3 − 2 x 6 x7 + 3 − ( 4 x + 12 x + 9 ) 52. 2 4 ( 3 2 ⋅ ; 223 ⋅ 24 А)23 ⋅ −412 2 ⋅ ( −1,222 )⋅<( 20,8 ) 2 2 2 74=+ =x 0, = 22 = 4 . 23. А)= 2 40,35 x 23=−2 1=+ −x2x⋅ −20,35 +6 x42 x+⋅ 0, −3 465 3−x65 +2x;4−3x9− = 5=. − 18 4 − 12 8 5 x−6. 2 4 3 8 16 : 8 2 : 2 2 = ( 2 x − 1) ⋅ ( 2 x + 1) − ( x − 2 ) = 4 x( 2−)1 −: 2( x − 4 x + 4 ) 1 2 1 22 72 < 121,5 25 ⋅(0,x⋅ 3, −x10 ⋅)0,−⋅2( x+?+ 1 .1) ( x 2 − x + 1) =2 x 3 + x 2 + x − x 22 − x − 1 − ( x 3 − x 2 + x + x 2 − x + 1) + + 1 − x 2 + 4 x − 4 = 351. x 2 +Б) 4(53. xx−−− 515).А) ⋅ 0, 65 + 0, = ( 0,35 = 1; 3 65 2+ 0, 65 ) 2 0,35 +2 23⋅40,35 3 6 3 8 4 2 2 ) 3 ⋅ 23 24 ) ⋅ 24 43 ⋅ 8 вредност 35 ( 5 3 3 16 ⋅ 2 израза: 3 ( 5 2 ⋅2 3 2 ⋅2 54. Израчунати = x − 1 − x + 1 = x − 1 − x − 1 = − 2 . 24. 2 ⋅ 2 6 3 2( ⋅2 3 ) 3 2= 2 ⋅ − 2 ⎛⋅3 1 2⎞ 3 1= 2 ⋅ 4 6 − 2 ⋅ 3 9 2 3 3 1 x + 1) 2 2 2 ⋅2 + x + 1) − ( x + 1)13. + је x2 2+вредност 122−)(2 x⋅ 23 6−Ax=2 + 25 ⋅⋅0, 2 2од− 1 вредности 2⋅x8− x − x − ( x 2 −Заx + 1колико )4 =⋅Б)2 x 25 израза израза ⋅ 2 + 1 =мања ⎜ −2x:2+3⋅⋅(5x2⋅⎟0,− ( ) ⋅ 0, 2 − 10 ⋅ 0, 2 + 1 = 5 ⋅ 0, 2 = 0. ( ) ( ) 5 4 12 ( ) ⎝ ⎠ 8 − 2 ; А) 2Поступак обавезан 2- 1 поен 2 1 = − 2. 2 − ( x3 + 1) = x352. − 1 − x43x− 3+ ⎞3 − (3−42 x −332 ) = 4 x − 6 x + 3 − ( 4 x + 12 x + 9 ) ⎛29−2 6 x212 B== ⎜( 3 −2⋅ 22 − ⎟2:1 = 8382)−?⋅ (−3222 2 =+=216 Б) 8−3−−9)28. ==88−⋅ .182x+−26 .= 10 − 2 16 = 10 − 8 = 2 ; 54. А) 53 469 x⎠ + = 4 x − 3 − 4 x − 12 x ⎝ 2 2 2 2 + 3 − ( −2 x − 3) 55. = 4 x 2Помножити − 6 x + 3 − ( 4 xполиноме + 12 x + 9 )x – 1 и x2 + x + 1. 2 14. Колико пута је вредност израза 3 2 2 8 34 ) ⋅⋅0, 3265 : 3+ ( 81 ⋅ 30,35 32 (:= 33 3 +230,10265 :−3)322 =3132;7 = 18 − 12 = 6 . 6 x + 3 − 4 x 2 − 12 56. x− 9 =Упростити − 18 x Б) −: 27 62.израз 53. А) + 2 ⋅ 0,35 0, 65322 ⋅ 3= 0,35 3 2 − 2 3 3 2 + = = = = 7 = 1. 25. 2 4 ⎛ 335 ⎞⋅ 9 3 ⎛ 1 335⎞⋅ 33 37 + by). 37 3 1+ : ⋅ (x – y) – (аx − b)⎟⋅: (x ++⎜y) − + +(a –⎟ b) (а ⎜ 24 2 2 4 4 2 8 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 65 + 2 ⋅ 0,35 ⋅ 0, 6557. + 0, 65Раставити 0,35 +20, ;17 = ( 354⋅ 0, 22 )2 −62 2 ⋅ 5 ⋅ 0, 27 + 1 12= (357 ⋅ 0,72 − 1)2 = 0 . )+⋅ −0,x=32+7 1+1изразе: 212 Б) − 10 4 = (25 6 ⋅ 0,на 7 чиниоце x − 1 ⋅ x 55. ( ) 26. 3 + 36 + 15 − 6 ⋅ 5 ( ) == x3 −+x( 6+ )x +−(x3+⋅ 5x) −−1 6= −x 3−⋅15. 3. мања од 2 96? 42 А)= 39a –61216; + +⋅ 0, 372⋅25+71−=612( 5−⋅30,7 ⋅25−7 1=)2 3=4 0= . 81 . 0, 22 − 10 ⋅ 0, 2 + 115. =54.( 5 ⋅Израчунати 0, 2 − 2 ⋅ 5 ) : − (2a −8 b⋅ ) ⋅2( x+ −2 y=) −10 56.4xy(–a8 16x +− b )22⋅y.( x += y8) + ( ax− 2+ by16) = 10 − 8 = 2 ; Б)А) 5 2 7 5 5 2 5 ( 3++by1бинома )− ax= − by9+1 3 + 3 2+ +;3+ ax − ay3−⋅bx А)рад: ⋅ +ay 3 ⋅ 3+ −5by +−3bx = ax + 10 by . = 5 ; 2 Место =+4 25 = = 27. заИзраз А) − −7x=72 ++ax 58. 10x написати као квадрат и наћи његову вредност за x = 995. 5 5 2 5 2 2 2 − 2 = 8 − 2 8 ⋅ 2 + 2 =3 10 − 2 16 = 10 − 8 = 2 ; 5 Б) 1 3 −123 − 2 3 33 ⋅ 322 +− 23 23 = 33 ⋅ (23 −−1)2 3 9=− 118 − 12 8= 6 . 4 А) 98a 2+формулу −12 16⋅ −= ( 3. aза) квадрат − 42 = бинома, 3a + 4 ) ; 59. Б) А)57.Користећи 1052. ( 3a −3 4 ) ⋅ (израчунати − ⋅− 5 5 3 2 5 33 528 −2825 2 ⋅ 2183−−2122 = 26 .2 ⋅ ( 2 − 1) 3 2 − 1 8 −1 7 2 − 2 3 3 2 + 2 55. 3 Б) =Б) 3формулу заx5разлику =95 ⋅ 105. = . 12)8 ⋅ ( x−25 +2x=+ 1) 5= =2 x3 − +=x − x5 квадрата, + x 3− 1 = израчунати x= − 1 .3 ( x 3−Користећи 2 Б) + 2 4 xy − 16 2 x⋅ 2y = + 24 xy (1 − 24 x ⋅) (. 2 + 1) 2 +1 8 +1 9 Упростити израз3 (3x + 1)2 – (2x + 5) ⋅ (2x – 5) – 5x2. 2 3 60.2 2 6 3 x + x + 1) = x −28. x + xА) 56. b+)ax⋅2(−bx1+c =:y()−x+3a(−a21b−.) b=) ⋅ (−x4−ay24b)2−c (; ax + by ) ( a− +x12 2 2 Поступак обавезан 58. . За x =није вредност овог израза је ( 995 x +разлику 10 x + 25 квадрата = (x + 5 ) збира + 52b = 1000000 . ) =и1000 61. Одредити и995 квадрата разлике монома 3a и средити = ax + ay + bx + by +Тачан ax − ayодговор − bx + byпод − axА) − by = ax + by . - 0,5 поена добијени 3израз. x + y ) + (a − b) ⋅ ( x − y ) − a b) 3c : ( 2ab 2 c ) = −22a 2b . Б)( ax−+4by 2 2 под Б) - 0,52поена Тачан одговор 59.квадрата А)2 105 = 1002 монома + 5 2) = 2x 100и +3y2 ⋅одузети 100 ⋅ 5 + 5 = 10000 + 1000 + 25 = 11025 ; Од разлике y + bx + by + ax6−62. ay + by9−aax by4. = ( 3a − 57.− bx А) −−16by ==( 3(ax a )+ − 4 ) ⋅ ( 3a + 4 ) ; разлику њихових квадрата и добијени израз раставити на чиниоце. 4 3 3 5 x x : x ⋅ ( ) x12 =⋅ x(3100 : x5 − 5 ) ⋅x(10100 + 5 ) = 1002 − 52 = 10000 − 25 = 9975 . 2 Б) 95 ⋅ 105 2 2 формула =4 xтачне: 29. − 16 = ( 3a ) − 463. = (Које 3aБ)− 4од 3 a−3 16 + 4x=) ;y Б) А) = 43xy3 (1 −су )4⋅xy (следећих )x.9 = x . x5 : x 2 )2 ( 2 2( x ) А) (x – y) = x2 – y ; 60. ( 3 x2+ 1) 2 − ( 2 x + 52) ⋅ ( 2 x − 5 ) − 5 x 2 = 9 x 2 + 6 x + 1 − ( 4 x 2 − 25 ) − 5 x22 − 16 x 2 y = 4 xy (12− 4 x 58. )Б).x 2 (x + 10 x ++51; ) . За x = 995 вредност овог израза је ( 995 + 5 ) = 10002 = 1000000 . + x1)+ 25 = x=+(2x 2 = 9 x2 + 6 x2 + 1 − 4 x 2 + 25 − 5 x 2 = 6 x + 26 . 5.

1

( )

1

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)(

) (

) (

1

(

)

)

(

)(

) (

) (

)( )

) (

) (

)

)

4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

4. 4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 99.––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

100.

1

На графику су приказане највиша и најнижа дневна температура у току једне седмице:

4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

99. Највиша температура Најнижа температура

А) Ког дана је забележена највиша температура? Б) Ког дана је забележена највећа разлика између највише и најниже температуре и колика је та разлика у степенима?

100.

А) Највиша температура забележена је у среду; Б) Највећа разлика између највише и најниже температуре забележена је у понедељак и та разлика је износила 15ºC.

Поступак није обавезан Тачан одговор под А) - 0,5 поена Тачан одговор под Б) - 0,5 поена

100.

22

А) у среду

А) Највиша температура забележена је у среду; Б) Највећа разлика између највише и најниже температуре забележена је у понедељак Б) у понедељак и та разлика је износила 15ºC. 3

то јест 1 = 1, што тачно. Заокружити број је испoд тачног одговора. 113. 4.Број девојчица Иу ЛИНЕАРНА математичкој секцији је: КООРДИНАТЕ ФУНКЦИЈА yA(1,–3), = 2 x − 3 садржи P(–l,–5)припадају једино ако јеграфику функције функције ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 88. График Које од тачака B(2,1) тачку и P(–l,–5) 60 МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2 ⋅ 40 = 24. y = 2x – 3? 100−5 = 2 ⋅ (−1) − 3 , фик функције 5. y = 2Одредити x − 3 садржи тачку А A(1,чија –3) једино ако је –2 и која припада графику функције 89. тачку је ордината то јестнових −5 = − 5 , што је тачно. Уписом y = –3x + 1.чланова, укупан број ученика у секцији је 50. Ако са x означимо −3 = 2 ⋅1 − 3проценат , девојчица у секцији, тада је: Према график фукције 2 x − 3 садржи тачке и P(–l, не и Место рад: томе, 90. за Одредити тачку P која припадаy =графику функције y =B(2, 5x –1)12 и чија–5), је али ордината 24 : 50 = x :100, ест –3 = –1. Наравно, то није тачно, па график те функције не садржи тачку А. A(1, –3).апсциси. тачку једнака њеној 24 ⋅100 y = 2Тачка x − 3 садржи 1) једино ако је фик функције89. А(x, припада функције y = −3x + 1 једино ако је x = –2)тачку , B(2,графику 91. Линеарна функција је одређена формулом 3x – y + 6 = 0. 50 1 = 2⋅2 − 3, −2 = − 3 x + 1 , 1) Одредити то јест x = 48%. нулу те функције. ест 1 = 1, што је тачно. то 2) јест: Одредити x за које је y = –3. Дакле, доласком фик функције y = 2 x − 3 проценат садржи ако јенових чланова у секцији умањио за 3 x =тачку 2девојчица + 1, P(–l,–5)сеједино 60% – 48% = 12%. 3 x = 3, −5 = 2 ⋅ (−1) − 3 , читаве дужи.5.Тада важи 114.18 Означимо са x дужину = 1. ПРОПОРЦИЈЕ ест −5 = − 5 , што је тачно. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 30 :100 = 42 : x , Траженаyтачка = А(1, тачке –2). B(2, 1) и P(–l, –5), али не и ма томе, график фукције = 2 x −је 3A садржи одакле се добија 90. Два Тачка P(x, x), чија је ордината једнака њеној апсциси x, припада графику функције ку A(1, –3). 111. суплементна угла = 100 ⋅ 42су , у размери 5 : 7. Одредити те углове. y = 5 x −30 12⋅ xједино ако је ка А(x, –2) припада графику функције y = −3x + 1 једино ако је Дванаест радника радећи по 8 часова дневно заради 120.000 динара. Колико сати 112. односно x = 5 x − 12 , треба100 да ⋅ради −2 = − 3 x + 1 дневно , 42 10 радника да би зарадили 150.000 динара? , Поступак обавезан - 1 поен то јест: x = 30 ест: 113. У математичкој секцији једне школе има 40 чланова, од којих су 60% девојчице. У ту −cm. 4 x = − 12 , је x = 140 се учланило 10 нових чланова. Ако су сви нови чланови дечаци, за колико се 3 x = 2 + 1, пасекцију смањио проценат девојчица? x = 3 . 3 x =115. 3, Нека је x тражени проценат. Како је број 60 повећан за 75 – 60 = 15, биће: Тражена процената тачка је P = P (дужи 3,3) . износи 42 cm. Колика је дужина читаве дужи? x = 1. 114. Тридесет 60 :15 = 100 једне :x,

1

жена тачка је 91. A = А(1, –2). 1) колико Нула функције 3 x − y повећати + 6 = 0 је вредност x за коју је y = 0 , то јест број 60 да бипроменљиве се добио број 75? 115. За 60 xпроцената = 15 ⋅100треба , решење једначине ка P(x, x), чија је ордината једнака њеној апсциси x, припада графику функције 15 ⋅ 100 Књига је купљена 116. 5 x − 12 једино 6. ако је 0 , . књига са попустом од 20% и плаћена је 656 динара. Колика x =3 x − 0 + 6на==сајму 25 је цена те књиге 60без попуста? x = 5Место x − 12 , за рад: па је нула дате функције: x = − 2 . 117. Тражени На дијаграму је приказано како је Милица потрошила свој месечни џепарац. проценат је x25%. ест: 2) кружном Тражени број је решење једначине

1

−4 x 116. = − 12Нека , − (−3)без + 6 попуста. = 0, Тада важи је x цена3xкњиге x = 3. 3 x == 100 − 9 ,: xпа то јест 80 : 656 , је x = − 3 . жена тачка је P = P ( 3,3) . књижара пекара одакле је Нула функције 3 x − y + 6 = 0 је вредност променљиве x за коју је y = 0 , то јест 656 ⋅100 решење једначине x = , позориште 80 3x − 0 + 6 = 0 ,

2 . динара. па је нула дате функције: xx == − 820 Тражени број x је решење једначине 117. А) У пекари; Б) 25%. 3x − (−3) + 6 = 0 ,

дискотека

телефон

19

А)јеГде је Милица потрошила највећи део џепарца? x = − 3. то јест 3 x = − 9 , па Поступак обавезан

26

118.

Тачно је постављена “формула” - 0,5 поена Б) Који проценат џепарца Милица потрошила у књижари? Укупно 1 поен После преласка на ново радно место једном раднику је плата повећана за 20%. Колика му је била плата ако је то повећање 3.200 динара?

119. На једном километру дужине пута успон износи 48 m. Колики је тај успон у 19 820процентима? динара 4 120.

Трговац је извесну робу платио 48.000 динара. Половину те робе продао је уз зараду од 15%, трећину уз зараду од 8%, а остатак уз губитак од 6%. Колико је трговац

a′ 30 y − b′ =30−1, 2. = , , 5= тоАко јест:су8 катете 10 правоуглог троугла a = 6 cm и b = 8 cm, одредити катете њему сличног 6285. 10 161. Решити систем једначина c' 30 cm. је30 хипотенуза b′ 30=МАТЕМАТИКА a′ = 6 ⋅троугла 3, b′ чија =a′ 8 ⋅ 3. ТЕСТ 2 4 x − 1 65 y=+ 110 , 1 8 = 10 , = 5cm ′ и b′ су+јеa′висок жене катете = 18 и иb′ стоји = 24 cm. 286. l,5m поред јарбола који је ортогоналан на водоравном 7. aМарко 3 4 6 ′ ′ a 6 3, b 8 3. = ⋅ = ⋅ плочнику. У једном тренутку, дужине сенки Марка и јарбола су 0,5 m и 6 m. Одредити 3x + 7 2 y + 9 2 ко и његовависину сенкатог један јарбола. 7 . + одређују = b3′ су a′ = 18 cm и b′ = 24 cm. Тражене катете 4катетама 3 aa′=и1,5 воугли троугао са m и Место за рад: Странице троугла ABC су a = 12 cm, b = 18 cm и c = 8 cm. Одредити обим њему 287. 0,5 m . 162. На исти начин, јарбол једначина и сенка његова Решити систем 286. Марко и троугла његова одређују један27 cm. сличног чија је најдужа страница ка одређујуправоугли правоугли троугао са троугао са катетама 1,5 m и a = x− y x+ y 3= 5 −, где је h етама a′ = hb =и 0,5 b′ + = 6 m На исти начин, његова су јарбол a = 18 иcm, b = 6 cm и c = 21 cm. Одредити странице њему 288. Странице 3 m . троугла 5 ABC ина тог јарбола. сличног троугла је обим 30 cm. сенка правоугли троугао са x − 2одређују 3 y + 1 чији B − = − 1. оварајуће странице таa′два катетама = hтроугла и b′ =су6 m , где је h 2 2 h Тачке A иисте B сууглове. са истеЗато стране равни α. алелне,289. па они имају висина тог јарбола. B' су A' ипа 163. Ако Проверити даортогоналне ли је уређенпројекције пар (–1, 1) решење система једначина ти троуглови слични, су њихове Одговарајуће странице та два троугла су А и B на ту раван и тачака h оварајуће странице 3x + 2y +пропорционалне. 1 =они 0 имају исте углове. Зато паралелне, па ме је: суA'B' ти= + троуглови слични, па = су9 cm, њихове A 0,2x = y +AA' 3,8.= 125 cm, 4 cm , BB' a′ : a =одговарајуће b′ : b странице пропорционалне. 164. Решити систем једначина је: дужину дужи AB. h :1,5 Тиме 6 : 0,5 =одредити B΄ 4 x − 1 a2′ :(ax −= yb) ′ : b7 0,5 ⋅ h = 6 ⋅1,5 − = 6 6 3 6 h :1,5 = 6 : 0,5 1 1,5 A΄ h = 9 /⋅ 21 α 3x − y + 1 Поступак обавезан 2 − = −0,5 ⋅ h = 6. ⋅1,5 2 4 Тачно постављена пропорција 6 - 0,5 поена h = 18. 0,5 7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕП 1 1,5 (није потребно објашњење h = 9 /једначина ⋅2 165. Pешити систем ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– жена висина јарбола је2h = 18 m. о сличности троуглова) 290. Кругови , Ry)+иx )k1 (S, r) се додирују 18. 0, 7 x = h2k−=((O0,3 0,5 споља у тачки T. Права која садржи 166. Применом формуле за разлику квадрата и поједностављивањ y − 3T висина Тражена јарбола је 18 m. h = сече те кругове у тачкама A и B. тачку = 0, 2 x − 1, 2. ( x − 5) ⋅ ( x + 5) − (1 − 3 y ) = x 2 + 4 2 Ако је R = 12 cm и r = 8 cm, одредити x + y ) − y ⋅ ( y + 2) = 2 − y2 ( 2НЕПОЗНАТЕ 84 166. размеру 7. :СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ AT TB. једначина Решити систем 8.

1

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2

2

x − 25 − 1 + 3 y = x + 4 ( x − 5) ⋅ ( x + 5) − (1 − 3 y ) = x + 4 2 x + y − y 2једначина, − 2 y = 2 − yдобија 7.−СИСТЕМИ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ2НЕПОЗНАТЕ и поједностављивањем се: 166. Применом =ЛИНЕАРНИХ y ⋅ ( y + за 2 ) разлику 2 − y 2 . квадрата ( 2 x + y )формуле 2 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Место за рад: ( x − 5 ) ⋅ ( x + 5 ) − (1 − 3 y ) = x + 4 x 2 − x 2 + 3 y = 4 + 26 167. Ако је 3x + 5 y = 14 и x − y = 6 ,2онда је x + y једнако: 2 ( 2x + y ) − y ⋅ ( y + 2) = 2 − y 2 x − y − yједначина, + y 2 = 2 добија се: 166. Применом А) 0; формуле за разлику квадрата и поједностављивањем ( x 2− 5) ⋅ ( x + 5) − (1 −23 y ) = x 2 + 4 3 y = 30 Б) 5; x − 25 − 1 + 3 y = x + 4 2 2 2 x y y y y 2 + − ⋅ + 2 = 2 − )− y −( 2 y = )2 − y 2x − y = 2 В) 6;( 2

Г) 7.xx2 2−−25 x 2−+13+y3=y 4= +x 226+ 4

y2 22xx+−yy−слово Заокружити одговора. yy2==22− тачног −yy2 2−+2испред 168.

30

y = 10 2 x − 10 = 2

1

55

2 Одредити y = kx + n чији графикy садржи тачке А(–2, 0) и B(3, 2). = 10 30+ 3 y = 4 функцију x32 y−=xлинеарну + 26 2 x = 12 22xx−−yy−=y22 + y 2 = 2

3 yy = = 10 30 22xx−−y10 = =2 2

y = 10 x=6 Решење система је уређени пар (6, 10).

10 yy==10 167. Да бисмо израчунали збир вредности добијених за x и y, реш Поступак обавезан 22xx−=1012= 2 3x + 5 y = 14 Тачно израчуната једна променљива - 0,5 поена 10 ⋅5 x− y = 6 yy==10 2xx == 612 3 x + 5 y = 14 Решење система је уређени пар (6, 10). 5 x − 5 y = 30, y = 10 167. Да бисмо израчунали збир вредности добијених за x и y, решићемо систем једначина: сабирањем једначина добијамо 5 x3=x 6+ 5 y = 14 8 x = 44, Решење система је уређени пар (6, 10). ⋅5 x− y = 6

2rπ O α. l =и α =⋅ α = π cm 15°=, та се ⋅формула своди на: 360 360°AB једног круга је π cm, а централни угао над тим луком 15°. ° 2 Дужина кружног лука = 100, O = 15тог своди на: круга. B =Одредити π cm се Aформула своди на:ТЕСТ МАТЕМАТИКА 2 π =и αобим ⋅ ° ,, та = 25. 360° на приложеном цртежу и OO ⋅15као 9. 246. Акоπ су= ознаке °а, његов14.обим ПРИЗМА π ==r =50°, , олупречник датог круга је 5 cm , O =И2ПИРАМИДА rπα, и то ∠BAO одредити назначене углове β. јест 360° 24 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Место за рад: O π =обим, круга O = 24π cm. па је тражени 294. Дужина ивице 24 коцке је 5 cm. Израчунати површину и запремину коцке. олупречник и O обим тог круга. Дужина његовог лука који одговара OAB је једнакокраки, паπ јеcm. и ABO = 50° . Приповршину том је збир углова у том Троугао O = коцке па јеЗбир тражени обим круга 24 углу α је:246.295. дужина свих ивица је 24 cm. Одредити њеног дијагоналног троуглу једнак 180° , па из пресека. rπ = 50°O 2ABO . Троугао При том OAB је збир у том па је и ABO = 50° . При том је збир углова у том је углова једнакокраки, 246. = ⋅α = ⋅α . α + 50 ° + 50 ° = 180° 360° 360 ° Дужине ивица квадра 296.троуглу једнак 180° , па изсу 3 cm, 4 cm и 12 cm. Одредити површину тог квадра и дужину његове дијагонале. α = 80° . следи да је своди и α = 15° , та се формула α + 50° +на: 50° = 180° β је периферијски, УгаоОдредити а угао α је,централни угао над истим луком AB. Зато је O површину квадра који као на приложеном цртежу, састављен од четири 297. 80° . следи да је α = = ⋅15°, α =једнаке 2β , токоцке β = 80 јест 2ивице углови су α = 80° и β = 40° . a °=. 2Тражени cm. 360° угао над централни истим луком AB. Затоа јеугао α централни угао над истим луком AB. Зато је β Угао је периферијски, O α = 80А) β2β =, BOC 40јест ° . је централни, глови = ,су 247. аAB угао BAC периферијски луком α° и=Угао 2β 80° . Тражени α =је80над ° и истим β = 40 ° . BC. Зато је: углови су Угаотоизмеђу две= тетиве и AC једног круга 247. 24 60°. Ако полупречник тог круга 2. ⋅Зато 2 ⋅ 60 BOCје BC = BAC ° , r = 6 cm и C периферијски над24Угао истим луком је: а= угао π cm. и обим круга BOC је централни, BAC 247.O = А) тачка O његов центар, одредити: периферијски над истим луком BC. Зато је: то јест BOC = 120° .14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА 2 ⋅Поступак 60је BOC = =;2 ⋅50 BAC = том ° , збир углова обавезан угао BOC –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– B је једнакокраки, па А) је и ABO ° . При у том ученик све углове Б) Како је OB = OC = r , (Уколико троугао OBC је упише једнакокраки. Зато су углови на његовој ак 180° , па из тоБ) јестугао BOC =; 120° . OBC цртежу признати и50 тоcm као поступак) основици OBC = иOCB у=том 180° је:4 m и a , b иједнаки: c ивицена 298. Ако су квадра ако је. Збир a =углова 0,5троуглу m , b =је40 cm, па = 0, C је° +једнакокраки. су углови на његовој + 50 50° = 180cБ) ° = Зато В) дужину тетиве BC. Тачно израчунат угао α 0,5 поена OB OC = r +, јетроугао Како је=OBC 45 cm  0, 45=+ m , тада површина: 180 OCB тражена BOC =OBC °, је једнакокраки. Зато су углови на његовој Збир углова у том троуглу је 180° ,па је:OBC Тачно израчунат угао β - у0,5 поена основици једнаки: =  OCB . Збир углова том троуглу је 180° , па је: α = 80° .  2 120 180 , ⋅ + ° = ° OBC 2 , P ab ac bc = ⋅ + + ( ) 0°, OBC + OCB + BOC = 180°, 604°+. 0,5 ⋅=OBC периферијски, а угао α P2централни угао над⋅ 0,истим луком је 2потребно 45 + 0, 4 ⋅ 0, 45картона , . Зато ⋅ ( 0,5=⋅ 0, )AB 298. Колико је OBC квадратних метара да се направи кутија облика квадра  2 120 180 , ⋅ + ° = ° = 80°= и30β° . = 40° . јест 2β = 80° . Тражени углови су α OBC Тражени чије су cm) ,и 45 cm? 2 ⋅ ( 0,је2= 0, 225 0,18 P2 димназије =угао +50 +40 60 . cm. ⋅ °cm, OBC 248. Обим круга је 62,8 Колики је централни угао α који одговара кружном луку 212,56 P = периферијски ⋅ 0, 605, OC је централни, а угаодужине BAC истим луком BC . Зато је је:49 cm2, а висина призме је 3 cm. 3,14)? (π ≈над базе правилне призме 299. Тражени угао је cm 30° . OBC = четворостране 10. Површина 2 површину призме. m ПРИЗМА . BOC = 2 ⋅70 BAC = 2Израчунати ⋅ 60°P, = 1, 21 14. И ПИРАМИДА –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Место за рад: 2 BOC = 120°300. . Значи, потребно основе је 1, 21 m картоначетворостране да се направипризме кутија датих димензија. Дијагонала правилне је 5 cm, а висина призме је 12 cm. 70 Израчунати запремину призме. 298. Ако су a , b и c ивице квадра и ако је a = 50 cm = 0,5 m , b = 40 cm = 0, 4 m и 2 OB = OC299. = r , троугао OBC јечетворостране једнакокраки.призме Зато су његовој База правилне је углови квадратна (видети цртеж), па из B = a то јест 45 cm 0, 45 m c = = , тада је тражена површина: и једнаки: OBC =  OCB . Збир углова у том троуглу је 180° , па је: 2 четворостране призме су дијагонале cm и 12 cm. 301. 49 =Основа a , добијамо a = 7 cm . Какојејеромб њеначије висина H = 3 cm ,дужине тражена16површина 46 Израчунати површину призме ако је њена висина 4 cm. 2 ⋅180 P = =је: OBC + OCB + призме BOC ( ab°,+ ac + bc ) ,

r) = 6 +8 ,

За l 245. За l

1

1

OBC + 120° 302. , 2 ⋅ ( 0,5 = 180 °Дијагонала P = ++0,5 + 0, 4 ⋅ 0, 45 ) , призме нагнута је према P =⋅ 0,24B M ⋅, 0, 45четворостране правилне 2 под углом од 60º. Ако је дијагонала основе OBC = 60°. P =равни 2 ⋅ ( 0, =+ 0, 2a225 ++ 4 ⋅0,18 P 2основе a ⋅ H) , 6 2 cm, израчунати призме. и угао је OBC =P 30 = 2 ⋅ 49 + 4 ⋅ 7 ⋅запремину 3, = °2. ⋅ 0,P605,

299.

H

P = 1, 21Pm 2=. 98 + 84, P = 182 cm 2 . Значи, потребно је 1, 21 m 2 картона да се направи кутија датих димензија.

a 2

База правилне четворостране призме је квадрат (видети цртеж), па из B = a aто јест 49 = a 2 , добијамо a = 7 cm . Како је њена висина H = 3 cm , тражена површина 300. је: Дијагонала основе правилне четворостране призме је призме d = a 2 (видети цртеж), па је зато:Поступак обавезан 2B + M , 303.P =Израчунати запремину правилне тростране призме чија је поена основна ивица 9 cm, а Тачно израчуната основна ивица призме - 0,5 2 5 = a бочне 2 , дијагонала стране је 15 cm. P = 2a + 4 ⋅ a ⋅ H , Тачно израчунат површина призме - 0,5 поена H H P = 2 ⋅ 49 + 4 ⋅ 75⋅ 3, 2 a = ⋅ , P = 98 + 84, 2 2

P = 182 cm52 . 2 то јест a = cm . 2 6 60Како је висина призме H = 12 cm , биће:

d a a

a

a

h 2 = 289, A B a Израчунати површину правилне четворостране пирамиде ако је висина пирамиде = 17 cm. 1280 cm3. 15 cm, hа запремина МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2 Тражена површина је: 312. правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица 24 cm, 11. Израчунати запремину 14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА P = B + M , а апотема 20 cm. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– S Место за рад:P = a 2 + 4 ⋅ a ⋅ h , запремину правилне четворостране 313. Израчунати 2 1 2 1. Запремина правилнеако четворостране пирамиде H , ајекако је V = 1280 cm3 пирамиде основна ивицајеaV= =8 cm⋅ aи ⋅ ако P = 256је+њена 2 ⋅16 ⋅17, 3 површина једне њене бочне стране 20 cm2. 2 и H = 15 cm добијамо: P = 800 cm .

2.

311.

H

1 2 1280 =Питагорине ⋅ a ⋅15, теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо 312. Применом висину HC D 3 пирамиде: a 1280 ⋅ 3 O S , a2 = 2 15 a 2 2 A B 2 H a = 256, = h −  2  ,   61 a = 16Hcm. 2 2 S = 20 − 122 , Применом Питагорине теореме на троугао OPS h H 2 = 256, H (видети цртеж), добијамо апотему h : H = 16 cm. D C 2 a 2 2 , h = запремина H +   је: Тражена h H 2 a P O D 2 h 2 = 225 + 64, C B⋅H V = , 2 h = 289, 3 A B a 2 a h = 17 cm. a ⋅ H P O 2 V = , Тражена површина је: 3 A B 576 ⋅16 a , P = BV+ =M , 3 a⋅h 3 2 P = aV +=4 ⋅3072 ,cm . 2 P = 256 + 2 ⋅16 ⋅17, 94

P = 800 cm 2 .

Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо висину H пирамиде: 2

H

2

H2

a = h −  , 2 = 202 − 122 , 2

H 2 = 256, H = 16 cm.

S Поступак обавезан Тачно израчуната висина H пирамиде - 1 поен Тачно израчуната запремина пирамиде - 0,5 поена

Тражена запремина је: V = V = V = V =

B⋅H , 3 a2 ⋅ H , 3 576 ⋅16 , 3 3072 cm3 .

H

h

D

C a O 2

A

a

P B

7

1,5

А) Тражена површина је: P = r 2π + rπ s, P = 182 π + 18 ⋅ π ⋅18 2, МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2

1,5

H=r

s

45 P = 324 π 1 + 2 cm . 342. B 12. Гомила песка има облик купе чији је обим основе 8π m, а висина O 3 m. Колико кубних метара песка има у тој гомили? Б) Тражена запремина је: Место за рад: 1 2 343. Полупречник V = r π ⋅лопте H , је 3 cm. Израчунати површину и запремину лопте. 3 1 2 4 V = ⋅18 π ⋅18, 344. Запремина лопте је π cm3. Одредити површину лопте. 3 3 3 V = 1944π cm . 345. Пречник лопте је 16 cm. Одредити површину и запремину лопте.

(

)

O

2

342. Обим основе купе је O = 8π m , па добијамо 346. Обим великог круга лопте је 36π cm. Израчунати запремину лопте. 8π = 2rπ , јест 347. тоПолупречник лопте је 4 cm. Ако се полупречник повећа за 3 cm, за колико ће се r = 4 m. лопте? повећати површина Тражена запремина је 11 B⋅H њене 348. Посуда облика , полупречника основе r = 5 cm, испуњена је водом до V = ваљка, 12 3 висине. Ако сеr 2уπту ⋅ Hпосуду потопи лопта полупречника r0 = 2,5 cm, ниво воде достиже , = V тачно врх те посуде. 3 Колика је њена висина H? 15. ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА π ⋅пластелина 42од 3 349. ПречникVлопте је 8 cm. Aко се од те лопте направи купа чији је пречник –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– , = 3 основе једнак пречнику лопте, колика је висина те купе? квадрата Изводница s купе m3 . V = је16πдијагонала S D За бојење дрвене кугле пречника 16 cm утрошено је 32g боје. Колико је боје потребно 350. 3 OBDS , па је s = 18 2 cm. 16π m2 dm? песка. Значи, у тој10гомили за бојење кугли има пречника O 45 А)343. Тражена површина је: s Тражена површина је: P = r 2π + rπ s, H = r P = 4r 2π , P = 182 π + 18 ⋅ π ⋅18 2,2 O 65 45 P = 4 ⋅ 3 ⋅π , 2 P = 324π 1 + 2 cm . 2 B O P = 36π cm . Б) Тражена запремина је: Тражена запремина је: 1 V = r 2π ⋅ H , 4 3 V = r 3π , 1 3 V = ⋅182 π ⋅18, 4 3 V3 = ⋅ 33 ⋅ π , 3 V = 1944π cm . V = 36π cm3 . Поступак обавезан O = 8израчунат π m , па добијамо 342. Обим основе купе јеТачно полупречник основе купе - 0,5 поена 8π = 2rπ , Тачно израчуната запремина купе - 1 поен то јест r = 4 m. Тражена запремина је B⋅H , V = 3 108 r 2π ⋅ H , V = 3 42 π ⋅ 3 , V = 3 V = 16π m3 .

(

)

Значи, у тој гомили има 16π m3 песка. 343.

Тражена 8 површина је: P = 4r 2π ,

3 6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ 138. У одељењу су ученика девојчице. Ако би дошле још четири девојчице, број дечака 3 4 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x  4  7x  7 7 и девојчица био7 би једнак. Одредити број ученика МАТЕМАТИКА ТЕСТ у2 том одељењу. 3 x  28  4 x , 137. 139. Ако су n, n + 1, n + 2 и n + 3 четири узастопна природна броја, тада је: 13. Мајка има 30 година, а син 6 година. За колико година ће мајка бити четири пута xn  старија од28.  1  n  2  n  3  1014, nсина?



 

 



Место рад: у 6одељењу Бројза ученика је 28. 1  1014, 140. Када 4јеnпутник прешао 300 m, остало му је још пута до половине пута. Колика је 5 4n мајка 1008,ће имати 30 + x, а син 6 + x година. Према услову задатка важи: 139. Последужина x година целог пута? 8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА n  252. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––     30 x 4 6 x ,   141. Основица троугла cm. Ако је крак за 2 cm дужи од висине која Значи, тражениједнакокраког бројеви су 252, 253, 254јеи12 255. 8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА одговара израчунати ту висину.  24  4троугла, 30  xосновици , –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 8. xПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 138. 142. Ако је x тражени утроугла одељењу, тада је: ученика 4 x број 24 30, x катета Једна правоуглог има дужину 7 cm, а друга је за 1 cm краћа од хипотенузе. Колика је та хипотенуза? 8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 33 xкатета   6, 4 181. А) Једна x  4  правоуглог x  7 троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредити њeгову другу катету. 7 7 x  2. 181. А) Једна катета троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредити 3x  28  правоуглог 4 x, троугла Б)ће Катете правоуглог = 9 cm = 12 cm. Одредити његову хипотенузу. Мајка бити четири пута старијасуодa сина за и2 bгодине. њeгову другу катету. 2 x  28. Површина правоуглог троугла је 24 cm , а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити: 140. 182. Ако је дужинаправоуглог пута, тадатроугла је: Б)sКатете су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову хипотенузу. 27 Број1)ученика одељењу је 28. другу укатету тог троугла, 2 1 1 троугла је 24 cm , а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити: 182. Површина правоуглог 300 тог sтроугла.  s 10 2) обим 5мајкатог 2ће троугла, 1) x другу 139. После годинакатету имати 30 + x, Поступак а син 6 + x обавезан година. Према услову задатка важи: 183. Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину P 3000тог  2троугла. s  5s, Тачно постављена једначина - 0,5 поена 2) обим     30 x 4 6 x ,   и висину h која одговара хипотенузи. Укупно 1 поен s  1000 m троугла 1 km. су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину P 183. Катете30правоуглог x  24  4 x, ABCD 184. Страницеправоугаоника су 8 cm и 6 cm. Одредити растојање тачке B од праве и висину h која одговара хипотенузи. Дужина је 1000 m, то јест 1 km. којапута садржи тачке A и C. x  4 x  24  30, 8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМA 184. Странице правоугаоника ABCD су 8троугла, cm и 6 cm. Одредити растојање тачке Bосновици, од праве –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 141. 185. Ако са b означимо а са h висину Висина одговара основици једнакокраког троугла je h која = 12одговара cm, а његов крак 3која крак 6, A иједнакокраког x тачке која садржи C. према следи да је b = h + 2 cm. Троугао DBC је правоугли (видети b =услову 13 cm. задатка Одредити: 2. одговара основици једнакокраког троугла je h = 12 cm, а његов крак x која па јена зато: 185. Висина цртеж) основу теореме важи: 1) па основицу тог1Питагорине троугла, 1 Одредити: b =ће 13бити cm. Мајка четири пута старија од сина за 2 године. bhbh 2= 62ah ⋅ 2, b 22  , A 2) висину која одговара краку тог троугла. 2 C тог троугла, 140. Ако 1) је s основицу дужина2пута, тада је: 2 2 , bh = ah h  2  h  6 . 186. Ако су подаци као на приложеном  b која одговара краку тог троугла. A 14. 2) висину 1 1 цртежу,13одредити растојање d између 8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМA 300h за⋅10, s 10бинома добијамо: b =s12 Применом 186. Ако суAформуле подаци као на приложеном тачке и средишта S дужи BC. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 5 cm 13 cm 5 120 2квадрат 2 одредити растојање 2 цртежу, d између јест h3000 h4bh=2s4  5cm hs, . 36, Место заторад: 13 S дужи BC. тачке A и средишта па је зато: 5 cm 13 cm 14km. hs12 41000 hтроуглу  h 2mABC  36, h b важи: 186. У1правоуглом bhb = ah2 ⋅ 2, 2 2 42hBCје32, = ACm,−тоAB , 1 km. 2 Дужина пута 1000 јест C B S 2 bhb са= bah h ,BC  8 cm. = 169 − 25, 141. Ако означимо крак једнакокраког троугла, а са h висину која одговара основици, 2задатка 187. k са центром тачки S додирује p и qТроугао правог угла Ако је OS =(видети 6 cm, C 13hКруг 12 ⋅10, B DBCpOq. према услову је b = hкраке + 2 cm. је Sправоугли Висина троугла је= h144,  у8следи cm . да b = BC одредити полупречник тог круга k. цртеж) па120 на основу Питагорине теореме важи: B A 6 D 6 BCcm =. 12 cm. k са центром у тачки S додирује краке p и q правог угла pOq. Ако је OS = 6 cm, то187. јест hКруг b = 2 2 2 b BSполупречник  =h 6cm  6 , па тог одредити круга k. Одавде је13 се из правоуглог троугла ABS добија: C важи: У правоуглом троуглу 2ABC 2 22 2 hAS2 2 = AB BS 62. , 32  2 2 h + BC = AC 2− AB 2, AS = 5 + 62 , Применом формуле BC 2 = 169 −225, за квадрат бинома добијамо: AS 2 h  4h= 25 4 +  36, h 2  36, BC 2 = 144, 2 AS 2  4h=61, h 2   4  36, BC = 12hcm. h b d = AS = 61 cm. Одавде је BS = 6cm се из правоуглог троугла ABS добија: 4h , па32, 2 2 2 на поду, може 187.188.Нека су Q тачке у којима кругдаk досегне додирује краке p и q правог угла pOq. Тада су у ASСтојећи = P AB +8BS , Милан h и cm. висину од највише 2 m. Коју највећу висину Поступак четвороуглу OPSQ углови са теменима O, P обавезан и Q прави, па и његов четврти угао мора 2 ASМилан = троугла 52 +може 62 ,поду, Висина је h  8 cm . 0,4 m 188. Стојећи на Милан може да досегне досегнути ако се попне на бити прав: Тачно израчуната катета BC - 0,5 поена 2 висину од највише 2 m. Коју највећу висину B лествице чије су димензије као на цртежу? 6 AS = 25+PSQ 36, = 360 ° − 90 ° − 90° − 90°одстојање = 90° . 1dm=AAS - 0,56поенаD Тачно израчунато 0,4 m Милан може досегнути ако се попне на 2 је тај четвороугао правоугаоник. При томе су његове суседне странице SP и SQ Зато ASлествице = 61, чије су димензије као на цртежу? 1 mправоугаоник квадрат странице r. подударне (као полупречници r круга k) па је тај 32 d = AS = 61 cm. Дијагонала квадрата OPSQ је d = OS = 6 cm , па из d = r 2 следи да је Нека су P и Q тачке у којима круг k додирује краке p и q правог угла pOq. Тада су у 6 6 2 9 четвороуглу OPSQ rуглови са= теменима угао мора = = 3O,3 P . и Q прави, па и његов четврти 1,6 m 2 2 бити прав:

1

1

AB 2 = 256 + 144, AB 2 = 400,

1,5

МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2

AB = 20 cm. D Површина датог квадрата ABCD је 144 cm2. C ABCјеје центар пречник 2r његовог описаног круга. Зато је: Хипотенуза правоуглогкруга троугла k чији Одредити површину S =тог2r ,квадрата11. иКРУГ који његову средиште AB –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– AB = дели страницу 20 2r ,на три једнака дела. Место за рад: r = 10 cm.једнакостраничних троуглова са страницама a S= BC и 257. Ако су Pa и Pb површине b = AC Површина , тада важи:круга полупречника r = 10 cm је P = r 2π = 102 π . Тражена површина

15. 258.

2 a2 b2 круга 3 око троуглаPbABC = је P3 = 100π cm . Pa =описаног 4 4 2 посматраног квадрата. Како 258. Нека је а aстраница b2 B A 2 : 3 36 3 = 3 : 3 64 3 = 3 је a = 1444 , то је a = 12 cm. D C 4 2 са M и N тачке у којима 2 круг k сече Означимо a b ⋅и 4 са T средиште 36 те = странице. ⋅ 4 Тада 64 = страницу AB 4 ABCDEF странице 6 cm, а круг k0 уписан у 259. јеКруг k је4 описан око правилног шестоугла 2 2 АCЕ. Одредити површину њиховог троугао a = 4 ⋅ 64 = 256, b = 4 ⋅ 36 = 144.кружног прстена. S a 1 1 1 = и MT =хипотенузом ⋅ a = a AB . , на основу Питагорине теореме ST правоугли Како је троугао ABC и са 2 3 6 2 важи: a MTS је правоугли, па за полупречник r Троугао r — AB 2 = BC 2 + AC 2 , 2 48 круга k важи: a — AB 2 = a 2 + b 2 , 2 2 6 T a a B A M N r 2 +=144,   +  , AB 2 = 256 2 6 2 AB 2 = 400, r = 62 + 22 , AB = 20 cm. r 2 = 40. Хипотенуза правоуглог троугла ABC је пречник 2r његовог описаног круга. Зато је: Површина круга k је: AB = 2r , P = r 2π , 20 = 2r , P = 40π cm 2 . r = 10 cm.

Површина круга полупречника r = 10 cm је P = r 2π = 102 π . Тражена површина круга описаног око троугла ABC је P = 100π cm 2 . 258.

Нека је а страница посматраног квадрата. Како је a 2 = 144 , то је a = 12 cm.

75 D

C

Означимо са M и N тачке у којима круг k сече страницу AB и са T средиште те странице. Тада је Поступак обавезан S 1 1 1 a квадрата - 0,5 поена и Тачно MT =израчуната ⋅ a = страница a. ST = 2 3 6полупречник круга - 0,5 поена 2 Тачно израчунат Тачно површина круга - 0,5r поена a па израчуната за полупречник r Троугао MTS је правоугли, — 2 круга k важи: a 2

2

a a r2 =   +   , 2 6 r 2 = 62 + 22 ,

r 2 = 40. Површина круга k је: P = r 2π , P = 40π cm 2 .

10

A

M

— T 6

N

B

Како је висина призме H = 4 cm , тражена D C Основа четворостране призме је ромб чије су дијагонале дужине 16 cm и 12 cm. површина је: Израчунати површину призме ако је њена висина 4 cm. O d1 МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2 a P = 2B + M , d2 2 302. Дијагонала правилне 2 d d четворостране призме нагнута је према 16. P = 2под ⋅ 1 2углом + 4aH од , 60º. Ако је дијагонала основе равни основе 2 a B A 6 2 cm, израчунати запремину призме. P = 16 ⋅12 + 4 ⋅10 ⋅ 4, Место за рад: P = 352 cm 2 . 301.

302. Троугао ACC1 је правоугли једним углом од C1 D1 14. ПРИЗМАса И ПИРАМИДА –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1.

2.

60° , а троугао AEC1 је једнакостранични (видети 30° AE = 2 d , други цртеж), па је његова страница Применом Питагорине теореме на троугао ABO (видети цртеж), добијамо основну ивицу a односно призме: AE = 12 2 cm . Висина призме H је DA11 B1 C1H 2 2 па ће бити: AEC троугла 303. висина Израчунати запремину правилне тростране призме чија је основна ивица 9 cm, а 1 d d  1  2 2 aдијагонала =   бочне +  стране , је 15 cm. 2 ⋅ 3  2   AE , 2 2 H 2= a = 8 +6 , 2 HC D a 2 = 100, 12 2 ⋅ 3 A 1 B1 , H = a = 10 cm. 2 a 60° 6 6 cm. H = Како је висина призме H = 4 cm , тражена D C a површина је: је дијагонала основе d = a 2 , биће: A 60 Како B O d1 a P = 2B + M , d2 2 6 2 = a 2, C 21 dd P = 2 ⋅ a1 2=+ 64aH cm., 2 a B A P = 16 ⋅запремина 12 + 4 ⋅10 ⋅ 4,је: Тражена 30° 30° P = 352Vcm=2 . B ⋅ H ,

V = a2 ⋅ H , Троугао ACC1 је правоугли са једним углом од V = 36 ⋅ 6 6 60° , а троугао AEC1 је једнакостранични (видети cm3 . V његова = 216 6страница AE = 2d , други цртеж), па је

H C1

D1

30°

60° A

односно AE = 12 2 cm . Висина призме H је A1 висина троугла AEC1 па ће бити: AE ⋅ 3 , 2 12 2 ⋅ 3 , H = 2 H = 6 6 cm.

C

d

B1

H

60° d

E

H =

90

D

C

a 60° Поступак обавезан Тачно израчуната висина H призме a - 0,5Bпоена A Како је дијагонала основе d = a 2 , биће: Тачно израчуната основна ивица a призме - 0,5 поена Тачно израчуната запремина призме 6 2 = a 2, C1 - 0,5 поена

a = 6 cm.

Тражена запремина је:

30° 30°

V = B⋅ H,

H

V = a2 ⋅ H , V = 36 ⋅ 6 6 V = 216 6 cm3 .

60° A

60° d

C

d

E

11

1,5

обима два круга полупречника r , то јест:

O = 2 ⋅ 2rπ = 24π cm. МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2

2

B

A

17. 269.

Круг полупречника 12 cm додирује краке датог C угла од 60°. Одредити D површину осенчене Место за рад: –––––––––––––––––––––––––––––––––––– фигуре.

и D преместимо (као на слици) шина квадрата и круга, то јест:

2

.

A

B

270.Уочимо, Тачке прво, A, B да и јеC суASB на =кругу центром O и 269. (видети цртеж). 120° са полупречником 8 cm. Одредити OASB је површину 360° , а Наиме, збир угловаr =делтоида D осенчене фигуреAако зна да је па ∠AOB углови код темена и Bсесу прави, је: = 20º и AC ⊥ OB. ASB = 360° − ( 90° + 90° + 60° ) = 120° .

C

B

С друге стране, површина делтоида OASB једнака S 120° је површини једнакостраничног троугла OB1S 30° странице 24 cm. Тражена површина једнака је 30° B разлици површина делтоида и кружног исечка са O 30° углом 120° : CA 271.централним Висина CD једнакостраничног троугла ABC је 6 cm и око на лука центалног угла од 90°. Ако темена A је описан круг полуB1 пречника AB. Одредити површину осенчене обим осенчене фигуре једнак збиру 2 2 576 3 144π фигуре. 24 3 12 π ⋅120° P = − = − = 144 3 − 48π = 48 3 3 − π cm 2 . 4 360° 4 3

(

A

D

)

B

79 51

Поступак обавезан Тачно израчуната површина делтоида - 0,5 поена Тачно израчуната површина кружног исечка - 0,5 поена Укупно 2 поена. B 120° O

30° 30° 30°

S

A B1

(

)

144 3 − 48π = 48 3 3 − π cm 2 . 12