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MATEMÁTICA BÁSICA Sesión N°11

POLIEDROS REGULARES

Departamento de Ciencias

¿Cuántos poliedros hay en las fotos?

¿Por qué es importante para tu carrera conocer poliedros?

RESPONDA:

¿Qué es un Poliedro?

¿Una pelota será un Poliedro?

¿Cómo se determina el volumen de un Prisma?

¿ De qué trata el Teorema de Euler?

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Una casa de playa será remodelada, colocarán bloques de vidrio para separar la piscina y el hall. Los bloques de vidrio serán guardados en el almacén que tiene como medidas 5m de largo, 3m de ancho y 2m de alto. Los bloques de vidrio tiene como medida 10dm de largo,6dm de ancho y 4dm de alto. ¿ Cuántos bloques de vidrio podemos almacenar en dicho almacén?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión los estudiantes resuelven problemas vinculados a su entorno, haciendo uso de las áreas de poliedros, para aplicarlo en diversas situaciones de su desarrollo profesional.

CONTENIDOS

1.

DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO

2.

POLIEDROS, CLASIFICACIÓN

3.

TEOREMA DE EULER

4.

POLIEDROS REGULARES, ÁREA Y VOLUMEN

1.

PRISMA, ÁREA Y VOLUMEN

2.

PIRÁMIDE,ÁREA Y VOLUMEN

3.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DETERMINACIÓN DE ÁNGULO EN EL ESPACIO

 Entre Recta y Plano

 Entre Planos

DETERMINACIÓN DE ÁNGULO EN EL ESPACIO • Perpendicularidad entre rectas y planos

Teorema de tres perpendiculares:

POLIEDROS Es el sólido formado por cuatro o más polígonos planos, que abarcan un volumen finito.

CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS CÓNCAVO: En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

CONVEXO: En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos

Identifica cual o cuales son poliedros cóncavos o convexos

CONCAVO

CONCAVO

CÓNVEXO

CÓNVEXO

CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS

b) Poliedro Cóncavo

a) Poliedro Convexo

z c) Poliedro Regular

d) Poliedro Irregular

TEOREMA DE EULER

En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número aristas más dos unidades

C+V=A+2

Dónde: C = # de caras. V = # de vértices. A = # de aristas.

POLIEDROS REGULARES Un poliedro es regular cuando sus caras son regulares de igual número de lados

polígonos

Sólo existen cinco poliedros regulares: Tetraedro regular, hexaedro regular o cubo, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.

TETAEDRO REGULAR

HEXAEDRO REGULAR

OCTAEDRO REGULAR

DODECAEDRO REGULAR

ICOSAEDRO REGULAR

ÁREA Y VOLUMEN DE POLIEDROS REGULARES TETRAEDRO Está limitado por 4 regiones triangulares equiláteras.

a a

h h

a a

h  altura h  altura a6 h = a6 h= 3 3

a a

a a

EJEMPLO: Calcule el área de un tetraedro regular de arista 6cm. SOLUCIÓN: arista = a = 6cm , reemplazando tenemos: A = 36

cm2

A = a2 3 A = a23 3 a 2 V = a 3 2 V = 12 12

HEXAEDRO a Está limitado por 6 cuadrados de igual tamaño.

d a

a

diagonal del cubo

D

d

a

d=a 3 a

a

a a

EJEMPLO: Calcule el área y el volumen de un hexaedro regular de arista 4cm. SOLUCIÓN: arista = a = 4cm , reemplazando tenemos: A = 96

cm2

A = 6a 2

V = 64 cm3

V = a3

OCTAEDRO Esta limitado por ocho regiones triangulares equiláteras unidas de cuatro en cuatro.

aa

dd

d=a 2 d=a 2

aa

a

a

aa

A = 2a2 3

a 3 2A = 2 V= d diagonal del 3 dsólido diagonal d el V= a sólido

aa

EJEMPLO: Calcule el área y el volumen de un octaedro regular de arista 3cm. SOLUCIÓN: arista = a = 3cm , reemplazando tenemos: A = 18

cm2

V=9

2 cm3

DODECAEDRO Es el poliedro limitado por 12 pentágonos regulares iguales.

EJEMPLO: Calcule el área de un dodecaedro regular de arista 4cm. SOLUCIÓN:

arista = a = 4cm , reemplazando tenemos:

ICOSAEDRO Está limitado por 20 triángulos equiláteros iguales.

EJEMPLO: Calcule el área de un icosaedro regular de arista 3cm.

PRISMAS Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

CLASES DE PRISMAS, ÁREA Y VOLUMEN Prisma Oblicuo Tiene las aristas laterales oblicuas con respecto a la base.

ASL = (2PSR).a

AST = ASL + 2(ABASE)

V = (ABASE ).H Donde: • SR: sección recta

• 2P

SR

:Perímetro de la sección recta

CLASES DE PRISMAS, ÁREA Y VOLUMEN Prisma Recto • Es el que tiene las aristas perpendiculares a la base.

ASL = (2PBASE ). a AST = ASL + 2(ABASE)

V = (ABASE).h

PIRÁMIDE Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y en su parte lateral limitada por regiones triangulares consecutivas que tienen un vértice común, el cual a su vez es el vértice de la pirámide. ELEMENTOS DE PIRÁMIDE

PIRÁMIDE Pirámide Regular Una pirámide es regular si sus aristas laterales son congruentes y su base es un polígono regular.

O

B

h

C

H A

M

O = Vértice h =SL Altura = Semiperímetro de la base . 𝑨𝒑𝒐𝒕𝒆𝒎𝒂 OM = Ap = Apotema de la Pirámide HM = ap = Apotema de la Base AL = Área lateral AT = Área total

V = Volumen ST = SL + Área de la base

D O = Vértice h = Altura OM = Ap = Apotema de la Pirámide HM = ap = Apotema de la Base AL = Área lateral AT = Área total V = Volumen

AL = Pbase . Ap AT = Pbase

V = (Ap + ap)

V = 1 . Sbase . h 3

𝐀𝐫𝐞𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐛𝐚𝐬𝐞 . 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚 𝟑

PARALELEPÍPEDO Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

EJEMPLOS: EJEMPLO 1: Determine el área lateral , volumen y área total de un prisma recto cuya base es un triángulo recto, donde sus catetos son: 16 cm y 12 cm ; además su altura es de 10 cm. SOLUCIÓN:

AL = 480 cm2

V = 960 cm3

AT = 672 cm2

EJEMPLO 2: Determine el área lateral , volumen y área total de una pirámide cuadrangular cuya base es un cuadrado de lado 10cm y de altura 12cm. SOLUCIÓN:

AL = 260 cm2

V = 400 cm3

AT = 360 cm2

EJEMPLO 3: Un paralelepípedo tiene como aristas 3cm, 6cm y 8cm de longitud. Calcule su área total, volumen y su diagonal. SOLUCIÓN: A = 180 cm2

V = 144 cm3

D = 109 cm

DESARROLLO DEL PROBLEMA: Una casa de playa será remodelada, colocarán bloques de vidrio para separar la piscina y el hall. Los bloques de vidrio serán guardados en el almacén que tiene como medidas 5m de largo, 3m de ancho y 2m de alto. Los bloques de vidrio tiene como medida 10dm de largo,6dm de ancho y 4dm de alto. ¿ Cuántos bloques de vidrio podemos almacenar en dicho almacén?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AUTOR

TÍTULO

EDITORIAL

PÁGINAS

MILLER, HEEREN, HORNSBY

Matemáticas PEARSON y aplicaciones.

509 – 535

SALVADOR TIMOTEO.

Razonamiento matemático.

999 – 1030

SAN MARCOS