Phan Thuyet Trinh Cua Thinh

6.6.1 Tính tích phân lượng giác xác định:  Tích phân có dạng: ∫ F (cosθ , sin θ )dθ 2∏

0



Phương pháp : chuyển dạng tích phân lượng giác thành dạng tích phân phức, với đường cong C là đường tròn │z│=1 có tâm tại O. Thực hiện phép đổi biến số với z=eiθ ,0≤θ≤2л ta có:



Từ dz=ieiθdθ và z-1 =1/z=eiθ, ta có:



Ta chuyển hóa được tích phân lượng giác xác định thành tích phân đường bằng cách thay dθ, cosθ và sinθ theo công thức trên.



lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 1

Ví dụ. Tích phân thực lượng giác   

Tính Giải Chúng ta sử dụng (4) để biến tích phân lượng giác trở thành tích phân đường cong

Đơn giản ta được Chúng ta khai triển đa thức z2+4z+1=(z-z1)(z-z2) với z1=−2−

và z2 = −2+

3

nên tích phân có thể viết

3

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 2



Vì chỉ có z2 là nằm bên trong đường tròn C nên



Khi tính thặng dư cần chú ý z2 là một cực cấp 2 và chúng ta sử dụng (2) của phần 6.5



Do đó



Cuối cùng

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 3

6.6.2 Tích phân mở rộng  



Tích phân có dạng: Giả thiết y=ƒ(x) là 1 hàm thực đuợc xác định và liên tục trong miền [0,∞).Trong cách tính thông thường thì tích phân mở rộng được chuyển thành tích phân xác định bằng giới hạn

Nếu giới hạn trên là tồn tại thì tích phân I1 được gọi là hội tụ; nếu không tích phân0 I1 được gọi là phân kỳ. f ( x ) dx ∫ Tương tự với tích phân I2= −∞ ta sẽ có:

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 4



Cuối cùng nếu hàm ƒ liên tục trên miền (-∞,+∞), thì sẽ được xác định



Với cả I1,I2 đều hội tụ. Nếu 1 trong 2 tích phân I1 hoặc I2 phân kỳ thì là phân kỳ. Một chú ý quan trọng là vế phải của biểu thức trên không giống với công thức:

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 5



Với tích phân hội tụ, giới hạn ở công thức (5) và (6) phải tồn tại độc lập. Trong trường hợp chúng ta đã biết tích phân là hội tụ ta có thể tính nó bằng công thức



Mặt khác giới hạn ở công thức (9) có thể tồn tại cho dù tích phân mở rộng là phân kỳ. VD: tích phân là phân kỳ do . dù vậy theo (9) ta có:

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 6



Giới hạn ở công thức (9), nếu tồn tại được gọi là giá trị Cauchy (P.V.) của tích phân và được ký hiệu:

Trong (10) chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 7

Giá trị Cauchy 



Khi 1 tích phân ở dạng (2) hội tụ, giá trị Cauchy của nó chính là kết quả của tích phân. Nếu tích phân là phân kỳ thì chúng có thể vẫn có 1 giá trị Cauchy. Một vấn đề cuối về giá trị Cauchy: Giả thiết ƒ(x) liên tục trên miền (-∞,+∞) và là 1 hàm chẵn ( ƒ(-x)=ƒ(x) ) thì đồ thị của nó đối xứng qua trục y và :

và

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 8



Từ (12) và (13) chúng ta kết luận nếu giá trị Cauchy tồn tại thì cả 2 tích phân đều hội tụ. Giá trị của tích phân là: và



Để tính tích phân với hàm hữu tỷ f(x)=p(x)/q(x) liên tục trên (-∞,+∞), bằng lý thuyết thặng dư chúng ta thay x một biến phức z và tích phân của hàm phức ƒ trên đường C nằm trong khoảng [-R,R] trong hệ trục thực và 1 nửa đường tròn CR có bán kính lớn đủ để bao quanh tất cả các điểm cực của f(z)=p(z)/q(z) trong nửa mặt phẳng Im(z)>0. Theo định lý 6.16 ta có:

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 9



Với zk, k=1,2…n biểu thị các cực trong nửa mặt phẳng trên. Chúng ta có thể chỉ ra rằng tích phân khi R->∞ và ta có:

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 10

Ví dụ 2.Cauchy của một tích phân mở rộng 

Tính giá giá trị cauchy của

Giải Ta có f(z) = 1/(z2+1)(z2+9) với (Z2+1)(z2+9)=(z=i)(z+i)(z-3i)(z+4i) Chúng ta cần lấy diểm C là đường viền đóng bao gồm khoảng [−R, R] trên trục x và hình bán nguyệt CR có bán kính R > 3.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 11

=I1+I2 

Và

Tại cực đơn z=i và z=3i.ta có tương ứng Res(f(z), i) = và Res(f(z), 3i)= 1 1 − Vì vậy 

16 i

48i

Chúng ta giả sử R->∞ trong (15).chúng ta sử dụng bất đẳng thức (10) của phần 1.2 lưu ý trên đường viền CR

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 12

 



Từ chiều dài L Của hình bán nguyệt là iR.nó đi theo sau Từ định lý 5.3 của phần 5.2 ta có

Kết quả cuối cùng |I2| → 0 tại R → ∞,và chúng ta kết luận limR→∞ I2 = 0.từ (15) limR→∞ I1 = π/12;nói cách khác

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 13

Định lý 6.17 Giá trị của tích phân khi R->∞ Giả thiết f(z)=p(z)/q(z) là 1 hàm hữu tỷ, với bậc của đa thức p(z) là n và bậc của đa thức q(z) là m ≥ n+2. Nếu CR là 1 nửa đường tròn z=Reiθ, 0≤θ≤л, thì tích phân khi R->∞. Nói 1 cách khác, tích phân đường theo CR tiến đến 0 khi R->∞ nếu đa thức ở mẫu có bậc nhỏ hơn ít nhất là 2 so với đa thức ở tử.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 14

Ví dụ 3.cauchy P.V của tích phân mở rộng Ước lượng giá trị chính cauchy của Giải Bằng cách kiểm tra tích phân chúng ta thấy những điều kiên trong 6.17 là thỏa mãn .hơn nửa chúng ta biết từ ví dụ 3 ở muc 6.5 ta có f(z) = 1/(z4 + 1) có một cực đơn trong nửa mặt phẳng tại z=eΠi/4 và z=e3Πi/4 thặng dư tại cực là và 

theo (14)

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 15

∞

Tích phân có dạng ∫ f ( x) cos α xdx và −∞

∞



Vì tích phân mở rộng có dạng ∫ f ( x) sin α xdx thường −∞ gặp trong các ứng dụng của phân tích Fourier nên người ta còn gọi nó là tích phân Fourier. Tích phân Fourier xuất hiện trong phần thực và phần ảo của tích phân không xác định theo công thức Eule eiαx = cosαx + isinαx, với α là số thực dương, chúng ta có thể viết

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 16



Hai tích phân ở vế phải luôn hội tụ. Giả thiết ƒ(x)=p(x)/q(x) là 1 hàm hữu tỷ liên tục trên (-∞,+∞). Khi đó cả 2 tích phân ở vế phải có thể được tính bằng cách xét đến tích phân phức , với α>0, và đường cong C chứa khoảng [-R,R] trên hệ trục tọa độ thực và nửa đường tròn CR có bán kính đủ lớn để chứa tất cả các cực của f(z) ở nửa mặt phẳng trên



Ta sẽ cho rằng điều kiện đủ để tích phân đường theo CR tiến đến 0 khi R->∞

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 17

Định lý 6.18 Giá trị của tích phân khi R->∞ 

Giả thiết f(z)=p(z)/q(z) là 1 hàm hữu tỷ, với bậc của đa thức p(z) là n và bậc của đa thức q(z) là m ≥ n+2. Nếu CR là 1 nửa đường tròn z=Reiθ, 0≤θ≤л, và α>0 thì tích phân khi R->∞.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 18

Ví dụ 4 : sử dụng tính đối xứng Tính giá trị cauchy của Giải cần lưu ý đến cận lấy tích phân trong đó tích phân đã cho không phải dạng -∞ đến ∞ nên ta đưa về dạng -∞ đến ∞ để giải .vì hàm (x.sinx/x2+9) là hàm chẳn nên ta có

Với α=1 chúng ta có tích phân đường viền

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 19

Với C là chu tuyến được biểu diễn trong hình 6.12 Theo định lý 6.16 

Với f(z)=z/(z2+9) và

Từ (4) của mục 6.5,khi đó từ định lý 6.18 chúng ta kết luận khi R→∞

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 20

Đặt thành phương trinh thực và ảo và Cuối cùng ta có giá trị của tích phân.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 21

Định lý 6.19 Giá trị của tích phân khi r->o 

Giá trị của tích phân khi r->0 Giả thiết hàm f có cực đơn tai z=c trên hệ tọa độ thực. Nếu CR là 1 đường cong có phương trình z=c+reiθ, 0≤θ≤л, khi đó

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 22



Chứng minh: Từ f có 1 cực đơn tại z=c theo chuỗi laurent ta có



Với hệ số a-1 = Res(f(z),c) và g khả tích tại c. Sử dụng chuỗi Laurent và tính định hướng của Cr ta có



Trước hết ta có:

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 23



Lại có g khả tích tại c và nó liên tục tại điểm đó và lân cận của nó; như vậy tồn tại 1 điểm M sao cho │g(c+reiθ)│≤M . Ta sẽ có



Theo bất đẳng thức cuối ta có limr->oI2 │=0 hay limr>oI2 =0 .Lấy giới hạn khi r->0 ta có điều phải chứng minh.

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 24

Ví dụ: Sử dụng đường bao lõm Tính giá trị Cauchy của tích phân  Giải Tích phân cho theo dạng (3),chúng ta sử dụng tích phân 

Hàm ƒ(z) =1/z(z2-2z+2) có cực tại z=0 và tại z=i+1 trong nửa mặt phẳng trên. Đường C theo hình bên. Ta có

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 25



Với .Nếu ta lấy giới hạn của (20) khi R->∞ và khi r->0, theo định lý 6.18 và 6.19 ta có

Lại có và Vậy

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 26



Dùng e-1+i=e-1(cos1+ isin1), rút gọn so sánh phần thực và phần ảo ta có đẳng thức

Và

lý thuyêt thặng dư và ứng dụng

Trang 27