Introductorio De Matemáticas Contenido

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ENTEROS RACIONALES FRACCIONARIOS

NEGATIVOS

CERO

ENTEROS RACIONALES

POSITIVOS

FRACCIONARIOS

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El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.  En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 



En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

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El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces.  Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.  Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima: 

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Ley

Ejemplo

x1 = x

61 = 6

x0 = 1

70 = 1

x-1 = 1/x

4-1 = 1/4

xmxn = xm+n

x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n

x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn

(x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn

(xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn

(x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn

x-3 = 1/x3

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

Definición: Para toda base x, x1 = x. Esto es, cualquier número elevado a la uno es el mismo número.



Ejemplos: › 31 = 3 › (17)1 = 17 › (259)1 = 259 8



Definición: Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es igual a uno. Esto es, para toda base x, x ≠ 0, x0 = 1.



Ejemplos: › › › ›

30 = 1 (-5)0 = 1 (⅝)0 = 1 00 no está definido 9



Definición: Cualquier número diferente de cero y n un número entero, tenemos:



Ejemplos:

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En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.  Ejemplos: 

› x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5  x2x3 = x(2+3) = x5 › a2a9 = (aa) x (aaaaaaaaa) =

aaaaaaaaaaa = a11  a2a9 = a(2+9) = a11

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Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces. xm/xn = xm-n  Ejemplo: 

› x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2 › Y8-6 = y8/y6 = (yyyyyyyy) / (yyyyyy) =yy = y2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)  Esta ley también te muestra por qué x0=1 : 

› Ejemplo:  x2/x2 = x2-2 = x0 =1

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 



(xm)n = xmn Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces. Ejemplos: › (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) =

xxxxxxxxxxxx = x12

 Así que (x3)4 = x3×4 = x12

› (y2)5 = (yy)5 = (yy) (yy) (yy) (yy) (yy) =

yyyyyyyyyy = y10

 Así que (y2)5 = y2x5 = y10 13

 

(xy)n = xnyn Ejemplos: › (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy =

(xxx)(yyy) = x3y3

› (abc)4 = (abc)(abc)(abc)(abc) =

abcabcabcabc = aaaabbbbcccc = (aaaa)(bbbb)(bbbb)(cccc) = a4b4c4

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  

(x/y)n = xn/yn Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplos: › (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3 › (ab/cd)4 = (ab/cd) (ab/cd) (ab/cd) (ab/cd)

= (abababab) / (cdcdcdcd) = (ab)4/(cd)4 = a4b4/c4d4 15



Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):  Ejemplo: 

›

› y5/6 = y(5x1/6) = (y5)1/6 =

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

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):  Ejemplo: 

›

› y5/6 = y(5x1/6) = (y5)1/6 =

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Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.  Esta función se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales. 

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

Aplicado a la química y física. › En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. 19



En la medicina › Muchos

medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.



El crecimiento poblacional (Demografía) › El crecimiento de una región o población

en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. 20



Ecuaciones logarítmicas:

› Aquella ecuación en la que la incógnita aparece

sometida a la operación de logaritmación. › La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas. (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos") › Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas. 21





Logaritmo, en matemáticas, es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log10 100 = 2. El uso de los logaritmos se puede entender más fácilmente utilizando una serie de potencias del número 2: 21, 22, 23, 24, 25 y 26, que son la sucesión 2, 4, 8, 16, 32 y 64. Los exponentes 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son los logaritmos en base 2 de estos números. 22







La geología usa funciones logarítmicas para calcular la intensidad de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones como es el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. 23

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



Una ecuación es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables. Podemos tener en una ecuación datos conocidos y desconocidos (variables). › Los valores conocidos pueden ser números,

coeficientes o constantes. › Las incógnitas (variables) se representan normalmente por una letra y son el valor que e pretende encontrar. 25



Algunos ejemplos de ecuaciones:

3x + 2y = 10 6x + y – 5 = -7x + 4y +3 A = пr2 2x2 + 8x + 16 = 0 9x (7y) = 81x + 5y

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

Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables. En el sistema cartesiano representan rectas. 27



Las ecuaciones lineales se usan principalmente para resolver problemas sencillos de la vida diaria: › Calculo de velocidad: › Búsqueda de incógnitas  Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?  2x-2/x =54

X=36

 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?  35+ x = 3* (5+x)

x=10 28



Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. 29



Una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0.

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

La recta o línea recta, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea no posee principio ni fin.



Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x e y son variables en un plano, m es denominada la "pendiente de la recta" la inclinación de la recta respecto a un par de ejes. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

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

Las funciones trigonométricas, en matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. Tan β =cateto opuesto/ cateto adyacente Sen β = cateto opuesto / hipotenusa Cos β = cateto adyacente / hipotenusa

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



El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

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

Sen 2ᵹ+ Cos2 ᵹ= 1 › › › › ›



sen2(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x) cos2(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x) ½ - ½ cos(2x) + ½ + ½ cos (2x) ½ + ½ + [½ cos(2x)]-[½ cos (2x)] =1

Sen ᵹ/ Cos ᵹ= Tan ᵹ › › › ›

Sen = co/h Cos = ca/h Tan = co/ca Co/h ca/h = coh/cah = h/h =1 35

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

Podrían distinguirse dos tipos de comprensión de los enunciados: la comprensión literal y la comprensión inferencial, ambas necesarias y complementarias. Esta distinción, aunque es artificial, nos puede ser muy útil. En primer lugar, la parte del enunciado de carácter expositiva requiere una comprensión literal y exacta de todos y cada uno de los datos. No obstante, en este primer nivel se requeriría un cierto nivel de inferencia que nos permitiese discriminar la información relevante de aquella que no lo es. En segundo lugar, la parte interrogativa del enunciado nos lleva a volver a leer de nuevo la primera parte del enunciado con una lectura inferencial, es decir, deduciendo las operaciones que deben realizarse. 37

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.  Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.  Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva. 

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

Capacidad de abstracción reflexiva. Se refiere a la capacidad del sujeto para interiorizar conceptos que no le son tangibles o concretos

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

Capacidad para realizar generalizaciones. Se refiere a la capacidad del sujeto para pasar de lo particular a lo general. Esto es, extrapolar una propiedad de un conjunto menor a un conjunto mayor que contiene al anterior y en el que también se verifica la propiedad.

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



Capacidad de simbolización. Se refiere a la capacidad del sujeto para representar expresiones del lenguaje cotidiano por medio de signos convencionales. Esta capacidad implica la facultad para traducir dichas expresiones al lenguaje simbólico y viceversa. Capacidad de imaginación. Es la capacidad del sujeto para representar mentalmente imágenes de cosas reales o ideales. 41

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

Pensamiento correlacional. Es un concepto que implica la capacidad del estudiante para concluir si existe o no una relación causal entre dos variables, positiva o negativa, y para explicar los casos minoritarios por inferencia de las variables fortuitas. Este tipo de razonamiento, lleva a la conclusión de que los eventos, variables, etc., están o no relacionados y en situaciones más complejas, a determinar la fuerza de tal relación. 43



Pensamiento probabilístico. Corresponde al concepto que implica la capacidad para establecer una relación entre lo confirmable y lo posible. Se utiliza cuando los estudiantes calculan las probabilidades de un fenómeno donde intervenga el azar, de que ocurra algún suceso político dadas ciertas circunstancias previas y, en general, para predecir la ocurrencia de algún evento cuando se presentan determinadas circunstancias. Este esquema, es de importancia vital para entender un curso de probabilidad e inferencia estadística. 44



Pensamiento combinacional. Involucra al concepto que genera todas las posibles combinaciones de un número dado de variables, posibilidades, eventos y escenarios, cuando así lo requiere la solución a un determinado problema. Este esquema, permite a los alumnos razonar sobre los colores en el arte, los problemas de genética, las variaciones de ingredientes en las recetas y los problemas de análisis cualitativo en química. 45



Pensamiento proporcional. Se define como el concepto matemático que implica la capacidad para descubrir la igualdad entre dos razones que forman una proporción. Este tipo de pensamiento es necesario para comprender temas de geometría (semejanza de triángulos), de álgebra (ecuaciones con proporciones) y de física (variación proporcional). Pero, también, el hacer mapas, dibujos y modelos a escala presupone un razonamiento proporcional, así como la interpretación de analogías y metáforas. 46



Formas de conservación sin verificación directa. Implica la capacidad para deducir y verificar las propiedades de ciertos sistemas por observación de sus efectos y así inferir su existencia. Es importante para comprender el concepto de momento en física y cualquier otro fenómeno que no pueda observarse directamente. 47



Equilibrio mecánico. Se refiere a la capacidad para realizar, simultáneamente, la distinción y la coordinación de dos formas complementarias de reversibilidad: reciprocidad e inversión. Representa la coordinación de muchos grupos diferentes de compensaciones para mantener un balance o equilibrio. Este tipo de razonamiento, se requiere en problemas científicos, hidráulicos, de pistones y similares. También, en teorías económicas para mantener el equilibrio en el sistema, en fórmulas y en otras disciplinas literarias como el teatro y la novela. 48



Es la capacidad para coordinar dos sistemas, cada uno de los cuales involucra una operación directa y una inversa pero con uno de los sistemas en una relación de compensación o simetría en cuanto al otro. Representa un tipo de relatividad del pensamiento. Este esquema, es necesario para que el alumno comprenda los conceptos de variable dependiente y sus amplias aplicaciones en matemáticas (funciones, límites, derivadas, etc.), física (velocidad, óptica, ley de Ohm, etc.) y en otras disciplinas. 49

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