Aplicación De Regresión Polinomica

Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Quesada, Laura. Estimación De Balance General

1

Estimación del balance general del año 2010 para Saprama Ltda. Quesada, Laura [email protected] Fundación Universitaria Konrad Lorenz

Resumen: en el presente artículo se examinarán los balances generales de la empresa Saprama Ltda., desde su inicio en el 2002 hasta el 2008 y, en busca de una estimación para el año 2010, se aplicará el aprendizaje obtenido en el curso de métodos numéricos que permita encontrar un resultado aproximado para dicho problema. Índice de Términos: balance general, activos, pasivos, patrimonios, regresión.

I. INTRODUCCIÓN A lo largo de la historia las empresas han sido expuestas a miles de cambios económicos generados por diferentes factores como lo son las crisis mundiales, inflación, oferta y demanda, etc. Por ello las quiebras, los recortes de personal, el desempleo entre otros; por lo general al iniciar una empresa se hacen proyecciones que revelan si la empresa es rentable y productiva, cuando la empresa está en funcionamiento se realizan este tipo de estimaciones que facilitan la toma de decisiones al incluir un nuevo servicio o al invertir capital; estos procedimientos se han hecho cada vez más comunes ya que las empresas no desean arriesgar su dinero, menos en épocas de recesión económica, además, porque son la forma más confiable para encontrar este tipo de datos, ya que son utilizados desde hace muchísimos años.

II. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Para hacer una proyección hacia el año 2010 debemos evaluar el movimiento financiero de la empresa, en este caso Saprama Ltda., como esta inició actividades en el 2002 tomaremos todos los valores de sus balances hasta el 2008. El balance general es un resumen de todo lo que tiene la empresa, lo que debe, lo que le deben y lo que realmente le pertenece a una fecha determinada. Al elaborarlo se obtiene la información sobre su negocio, como el estado de sus deudas, lo que debe cobrar y la disponibilidad de dinero en el momento. Se conforma por los Activos, pasivos y el patrimonio. Los Activos son todo lo que la empresa tiene y posee valor, los Pasivos son todo lo que la empresa debe, el Patrimonio es el valor que le pertenece al empresario a la fecha del balance [1], en los balances el total de los activos es igual al total de la suma entre el total del pasivo y el total del patrimonio. A continuación se presentaran los balances generales de Saprama limitada evaluados en los activos, los pasivos y los patrimonios, como se podrá observar los totales son iguales en las dos tablas, por lo que solo se hablará de cada año y su respectivo total, es decir, tomaremos como valores de “x” los años y como valores de “y” el total de los activos para cada año.

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2

SAPRAMA LTDA. SEM SOCIEDAD ADMINISTRADORA DE LA PLAZA DE MERCADO Y MATADERO MUNICIPAL BALANCE GENERAL COMPARATIVO EN MILES DE PESOS ACTIVOS Cód.

ACTIVO

31-dic-02

31-dic-03

31-dic-04

31-dic-05

31-dic-06

31-dic-07

31-dic-08

31.222 11.773 19.449 -

26.410 5.440 20.970 -

34.211 5.583 293 28.335 -

39.125 14.531 668 23.926 -

54.368 35.983 18.385 -

59.310 37.237 22.073 -

95.952 88.845 7.107 -

NO CORRIENTE (2) 285.990 Rentas por cobrar Deudores Propiedades, planta y equipo 1.942 Bienes de beneficio y úso público Recursos naturales y del 18 ambiente 19 Otros activos 284.048 Saldo neto consolidacion cuentas (CR)*

287.516 1.923 -

281.849 2.895 -

263.764 4.345 -

250.838 4.010 -

250.729 3.901 -

271.612 3.503 -

285.593

278.954

259.419

246.828

246.828

268.109

313.926

316.060

302.889

305.206

310.039

367.564

CORRIENTE (1) Efectivo Inversiones Rentas por cobrar Deudores Otros activos saldo neto consolidación cuentas

11 12 13 14 19

13 14 16 17

TOTAL ACTIVO

317.212

SAPRAMA LTDA. SEM SOCIEDAD ADMINISTRADORA DE LA PLAZA DE MERCADO Y MATADERO MUNICIPAL BALANCE GENERAL COMPARATIVO EN MILES DE PESOS PASIVOS Y PATRIMONIOS Cód.

PASIVO CORRIENTE (4)

22 23 24 25 27 29

Deuda pública Obligaciones financieras Cuentas por pagar Obligaciones laborales Pasivos estimados Otros pasivos

31-dic-02

31-dic-03

31-dic-04

31-dic-05

31-dic-06

31-dic-07

31-dic-08

5.356 2.403 2.953

10.897 763 6.171 3.963 -

19.356

17.835

28.225

28.781

39.788

763 13.281

229 11.501

229 19.258

26.240

5.312

6.105

8.738

20.137 258 8.386

8.386 5.162

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PATRIMONIO (7) Hacienda pública 32 Resultado del ejercicio 3

31

TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO

3

311.856 311.856

303.030 303.030

296.704 308.343 -11.639

285.054 308.343 -23.289

276.981 308.343 -31.362

281.258 309.112 -27.854

327.776 310.666 17.110

317.212

313.927

316.060

302.889

305.206

310.039

367.564

Lo que se puede observar en la gráfica 1. es el movimiento financiero de la empresa donde el eje “x” representa el numero del año y el eje “y” el valor del balance, a partir de estos datos obtendremos el valor para el punto 9, para ello se realizará una regresión polinomica.

III. JUSTIFICACIÓN Algunos fenómenos resultan ser mejor representados por un polinomio aunque no se pueden expresar en una relación de causa y efecto entre las variables, es tan flexible y tan fácilmente manejable en forma matemática que resulta de gran utilidad [2]. Este es uno de esos, ya que los valores no se comportan de manera lineal sino que siguen una tendencia.

Valores Vs. Número de dato Gráfica 1 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0 0

2

4

6

DATOS REALES

En este artículo se pretende aproximar un valor en “y” por medio de un polinomio de grado “p”, si a dicho polinomio se le añaden potencias de “x” se aumentará la flexibilidad del modelo [2], es decir, su ajuste será mucho más acertado. Al ajustar un modelo polinomico es recomendable utilizar un grado de polinomio bajo, para ello es necesario hacer un análisis de los residuos que determinarán si el ajuste es apropiado [3]. ¿Como funciona? Primero se deben hallar los coeficientes para cada ecuación de manera tal que permita generar una función que minimice la suma de cuadrados para la regresión (SCR), se hace por medio de la siguiente ecuación.

y  a0  a1 x  a2 x 2  ...  am x m

(1)

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4

La suma de los residuos esta dada por n

Sr   ( y  a0  a1 xi  ...  am xim ) 2 i n

(2)

Derivando y reagrupando la ecuación 2 se concluye en las ecuaciones normales. Se necesitarán tantas ecuaciones como coeficientes haya, o una mas que el grado de la ecuación que se quiera ajustar [2].es decir que para encontrar los coeficientes se debe resolver un sistema de m+1 ecuaciones desde i=0 hasta n. donde n es el numero de datos que se tienen.

 n   n   n   n  (n  1)a0    xi  a1    xi2  a2      xim  am    yi   i 0   i 0   i 0   i 0   n   n 2  n 3  n m 1   n  x a  x a  x a    x a  x y  i  0  i  1  i  2  i  m  i i   i 0   i 0   i 0   i 0   i 0   n 2  n 3  n 4  n m2   n 2    xi  a0    xi  a1    xi  a2      xi  am    xi yi   i 0   i 0   i 0   i 0   i 0    n m  n m 1   n m2   n 2m   n m  (3)   xi  a0    xi  a1    xi  a2      xi  am    xi yi   i 0   i 0   i 0   i 0   i 0  El sistema de ecuaciones normales se puede expresar también de la siguiente manera m

n

a  x i 0

i

i j k

k 0

n

  xkj yk

j=0,1, 2,…, m

k 0

(4)

Una vez resuelto esto se pueden representar los datos con la siguiente ecuación

Pm ( x)  a0  a1 xi  a2 xi2    am xim  yi

(5)

𝑗

Lugo se multiplica esta ecuación por 𝑥𝑖 con j= 0, 1,2,…m y al mismo tiempo se genera la suma de i, lo que nos da como resultado la siguiente ecuación n

n

a0  xi  a1  x j

i 0

i 0

1 j i

n

 a2  x i 0

2 j i

n

   am  x i 0

m j i

n

  xij y i 0

(6)

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Para verificar que la regresión esta dada de la manera mas apropiada se calcula un coeficiente llamado de correlación, el Coeficiente de Correlación es un valor cuantitativo de la relación entre dos o más variables. El coeficiente de correlación puede variar desde -1.00 hasta 1.00. La correlación de proporcionalidad directa o positiva se establece con los valores +1.00 y de proporcionalidad inversa o negativa, con -1.00. [4] Para hallar el coeficiente de correlación se deben encontrar las sumas de los cuadrados de la regresión (SCR) y totales (SCT).

    n  n    n 2  n    n 3  n    n  n  n   x   y     x   y     x   y   k  1 k  1 k  1 k  1       2 3   a2   x y    a3   x y   k 1  k 1   SCR  a1   xy   k 1   k 1   k 1  n n n             (7) 2   n   n  y 2  SCT   y   k 1   k 1 n   

       (8)

Una vez hallados estos valores se tiene el coeficiente de correlación de la siguiente manera

 scr  R   sct   (9) 2

IV. INSUMOS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Para resolver el problema tendremos en cuenta las siguientes fórmulas y datos A la matriz 1. Se le halla la inversa la cual es multiplicada por la matriz 2. Lo cual dará como resultado los valores independientes para a₀, a₁, a₂ y a₃ 0

1

2

3

n

Matriz 1.

Matriz 2.

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P( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3

(10)

    n  n    n 2  n    n 3  n   x y x y  n  n  n               x   y   SCR  a1   xy   k 1  k 1    a2   x 2 y   k 1  k 1    a3   x3 y   k 1  k 1    k 1   k 1   k 1  n n n             (7)

2   n   n  y SCT    y 2   k 1   k 1 n   

X Y

2002 317212

2003 313927

       (8)

 scr  R    sct  2

DATOS 2004 2005 316060 302889

2006 305206

2007 310039

(9)

2008 367564

V. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Se toman los datos donde “x” representará el numero del dato (año) y “y” el valor respectivo para ese dato, se realizan los cálculos necesarios para satisfacer la tabla.

Años 2002

1

317212

1

1

1

1

2003

2

313927

4

8

16

32

2004

3

316060

9

27

81

2005

4

302889

16

64

2006

5

305206

25

2007

6

310039

2008

7

367564

28

1 1,0062E+11

317212

317212

317212

9,855E+10

627854

1255708

2511416

243

729 9,9894E+10

948180

2844540

8533620

256

1024

4096 9,1742E+10

1211556

4846224

19384896

125

625

3125

15625 9,3151E+10

1526030

7630150

38150750

36

216

1296

7776

46656 9,6124E+10

1860234 11161404

66968424

49

343

2401

16807

117649

1,351E+11

2572948 18010636 126074452

2232897 140

784

4676

29008

184820 7,1519E+11

9064014 46065874 261940770

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7

Con estos se elaboran las matrices para hallar los coeficientes

0 7 28 140 784

1 28 140 784 4676

2 140 784 4676 29008

3 784 4676 29008 184820

Matriz 1

Inversa de la matriz 1

8,428571 -8,11905 2,142857 -0,16667

2232897

-8,11905 2,142857143 -0,1667 8,580026 -2,373015873 0,18981 -2,37302 0,678571429 -0,0556 0,189815 -0,055555556 0,00463

9064014 46065874 261940770

Matriz 2. Estas últimas se multiplican y dan como resultado los coeficientes

284762,7 45671,38 -17548,9 1808,167

a₀ a₁ a₂ a₃ Ahora se remplazan estos valores en la ecuación 10

P( x)  284762,7143  45671,38095x  17548,88095x 2  1808,166667 x3 Esto nos da como resultado un polinomio que modela el movimiento de los datos, por tal motivo se tomarán los datos iniciales y se compararán con el polinomio anterior.

Polinomio Modelador Gráfica 2. 400000 350000

300000 X

INICIAL

MODELADO

1

317212

2

313927 320375,2857

3

316060 312657,4286

4

302889 302388,8095

5

305206 300418,4286

6

310039 317595,2857

7

367564

314693,381

250000 200000

150000 100000 50000

0 0

2

4

6

364768,381 DATOS INICIALES

DATOS MODELADOS

8

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8

Como se puede observar en la gráfica 2. la curva del polinomio se ajusta muy bien a los datos iniciales, pero, para estar más seguros de la confiablidad del polinomio se hallará el coeficiente de correlación. Primero se debe hallar el SCR ecuación 7

SCR=

2778589438

SCT=

2926174731

Ahora el SCT ecuación 8

Teniendo estos valores podemos hallar el

R2

ecuación 10

R2

0,94956375

Esto significa un 95% de confiabilidad, teniendo en cuenta que para el ajuste perfecto el coeficiente de regresión sería igual a uno (1) siendo este el cien porciento (100%), conociendo esto podemos realizar la aproximación para el año 2010, recordemos que este año esta representado por x=9.

x 9

y 592499,3

Por ende

x 2010

y 592499,3

Ya se tiene el polinomio que se ajusta, el valor aproximado para el 2010 solo resta mostrar la grafica modelada con los valores para cada año.

REGRESIÓN

DATOS INICIALES

x

y

2002

314693

2003

320375

2004

312657

2005

302389

2006

300418

2007

317595

2008

364768

2010

592499

X 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Y 317212 313927 316060 302889 305206 310039 367564

APROXIMACIÓN x

y

2010

592499,3

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9

REGRESIÓN - Balances Vs. Años Gráfica 3. 900000

800000

700000

600000

500000

400000

300000

200000

100000

0 2001

2002

2003

2004

2005

DATOS INICIALES

2006

2007

regresion

2008

2009

2010

2011

APROXIMACION

Como se puede observar en la gráfica 3. el balance general para el año 2010 tiene un proyección de alza, es decir, la empresa generará cambios económicos en los activos y pasivos de manera tal que los activos el patrimonio aumenten y los pasivos disminuyan, en los balances mostrados al inicio del articulo se puede ver como la empresa, en los últimos tres años, sólo ha aumentado su valor total en el balance general.

2012

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REFERENCIAS [1] http://www.gerencie.com/balance-general.html [2] http://costaricalinda.com/Estadistica/Polino.htm [3] http://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec10_3.html [4] http://viref.udea.edu.co/contenido/menu_alterno/apuntes/gusramon/seminario_invest_vi/05correlacion-variables.pdf

Elaborado por: Laura M. Quesada G. Estudiante de Matemáticas Fundación Universitaria Konrad Lorenz 2009