Biografía De Isaac Newton Y Otros.docx

Biografía de Isaac Newton Nació en Woolsthoroe, Lincolnshire en 1642. Fundador de la física clásica, que mantendría plena vigencia hasta los tiempos de Einstein, la obra de Newton representa la culminación de la revolución científica iniciada un siglo antes por Copérnico. En sus Principios matemáticos de la filosofía natural (1687) estableció las tres leyes fundamentales del movimiento y dedujo de ellas la cuarta ley o ley de gravitación universal, que explicaba con total exactitud las órbitas de los planetas, logrando así la unificación de la mecánica terrestre y celeste. Hijo póstumo y prematuro, su madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos y filosóficos de mediados del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo Galilei, Johannes Kepler, Francis Bacon, René Descartes y otros. Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la investigación en física y matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces había ya obtenido una cátedra en su universidad (1669). Protagonista fundamental de la «Revolución científica» de los siglos XVI y XVII y padre de la mecánica clásica, Newton siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por la que muchos de ellos se conocieron con años de retraso. Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de Newton). Las aportaciones esenciales de Isaac Newton se produjeron en el terreno de la física. Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de la luz blanca como mezcla de los colores del arco iris, formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos; más tarde recogió su visión de esta materia en la obra Óptica (1703). También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica. La mecánica newtoniana Pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica. En su obra más importante, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento, hoy llamadas Leyes de Newton: la primera ley o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera o ley de acción y reacción, que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario.

De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es la más conocida: la ley de la gravedad, que según la leyenda le fue sugerida por la observación de la caída de una manzana del árbol. Descubrió que la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna era directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, calculándose dicha fuerza mediante el producto de ese cociente por una constante G; al extender ese principio general a todos los cuerpos del Universo lo convirtió en la ley de gravitación universal. La mayor parte de estas ideas circulaban ya en el ambiente científico de la época; pero Newton les dio el carácter sistemático de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del Universo durante más de dos siglos. Si todavía en nuestros días resulta admirable la elegancia y sencillez de la mecánica newtoniana, puede imaginarse el deslumbramiento que produjo en sus contemporáneos aquella clarificación de un vasto conjunto de fenómenos; así lo expresó un compatriota suyo, el poeta Alexander Pope: "La Naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche, pero dijo Dios: ¡Hágase la luz!, y nació Isaac Newton". Hasta que terminó su trabajo científico propiamente dicho (hacia 1693), Newton se dedicó a aplicar sus principios generales a la resolución de problemas concretos, como la predicción de la posición exacta de los cuerpos celestes, convirtiéndose en el mayor astrónomo del siglo. Sobre todos estos temas mantuvo agrios debates con otros científicos (como Edmund Halley, Robert Hooke, John Flamsteed o el citado Leibniz), en los que encajó mal las críticas y se mostró extremadamente celoso de sus posiciones. Como profesor de Cambridge, Newton se enfrentó a los abusos de Jacobo II contra la universidad, lo cual le llevó a aceptar un escaño en el Parlamento surgido de la «Gloriosa Revolución» (1689-90). En 1696 el régimen le nombró director de la Casa de la Moneda, buscando en él un administrador inteligente y honrado para poner coto a las falsificaciones. Volvería a representar a su universidad en el Parlamento en 1701. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres. Y en 1705 culminó la ascensión de su prestigio al ser nombrado caballero. Las principales aportaciones de Isaac Newton (1642-1727) llevaron al mundo a una revolución científica como pocas en la historia de la humanidad. Isaac Newton (16421727) fue un genial físico y matemático inglés, autor del libro Principia, considerado como el trabajo científico más importante jamás escrito. Las tres leyes de Newton que sentaron las bases de la mecánica clásica Newton desarrolló las tres leyes de movimiento: inercia, F = ma y acción-reacción. Las tres aparecen en su obra “Principia” y describen la relación entre un cuerpo y las fuerzas que actúan sobre él. Es decir, cuando dichas fuerzas actúan sobre un cuerpo y producen movimiento. Estas leyes sentaron las bases de la mecánica clásica y son fundamentales en el estudio tanto en matemáticas como en física. Ley de Gravitación En Principia, Newton también formuló la ley de Gravitación Universal. Esta ley establece que cada masa atrae a otras masas por una llamada “gravedad” y se formula de la siguiente Newton usó esta fórmula para explicar las trayectorias de los cometas, las mareas, la

precesión de los equinoccios y otros fenómenos astrofísicos. Además eliminó por completo el modelo heliocéntrico que sostenía que el sol estaba en el centro del Universo. La ley de gravitación universal de Newton fue reemplazada por la teoría de la relatividad general de Einstein, pero sigue siendo utilizada como una excelente aproximación a los efectos de la gravedad. Principia es una de las obras más importantes de la historia de la ciencia El 5 de julio de 1687 se publicó por primera vez el “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de Newton”, conocido simplemente como Principia. Además de las leyes y principios que ya mencioné, el libro fue fundamental para el surgimiento de la Revolución Industrial. Se considera no sólo como la obra más importante de Newton sino también como el trabajo fundamental para toda la ciencia moderna. Isaac Newton inventó el cálculo Newton también creó el cálculo como una respuesta a las insuficiencias en matemáticas de la época en que vivió. Al principio lo llamó fluxiones, y le sirvió para resolver problemas complejos sobre órbitas, curvas y otros temas que la geometría clásica no podía resolver. El cálculo es en extremo útil para esto, ya que produce información sobre las cosas que están cambiando continuamente, por ejemplo la velocidad de un objeto que cae. La verdadera forma de la Tierraanera: El físico inglés también predijo que la Tierra estaba formada como una esfera que experimentó aplanamiento en los polos. Esta teoría, como se sabe, fue más tarde verificada por distintas mediciones. ¿Por qué es tan importante? Porque Newton descubrió que la Tierra no es perfectamente redonda. Por esto, la distancia del centro de la Tierra hasta el nivel del mar es aproximadamente 21 kilómetros más grande en el ecuador que en los polos. Inventó el primer telescopio reflector En 1668, Newton inventó el primer telescopio reflector, que ahora se conoce como el telescopio newtoniano. Hasta ese momento, los telescopios eran grandes y molestos, pero el genio de Newton utilizó espejos en vez de lentes. Los espejos son instrumentos más poderosos y diez veces más pequeños que un telescopio tradicional. Newton revolucionó el mundo de la óptica A finales de la década de 1660 y principios de la de 1670, Newton determinó que la luz blanca era una mezcla de colores que se pueden separar con un prisma. También demostró que el espectro multicolor producido por un prisma puede ser recompuesto en luz blanca con una lente y un segundo prisma. De esta manera, Newton fue capaz de contrarrestar a los que creían que la luz era simple y homogénea. A partir de entonces, la heterogeneidad de la luz se convirtió en la base de la óptica física.

Otras grandes aportaciones de Isaac Newton también formuló una ley empírica sobre el enfriamiento, estudió la velocidad del sonido e introdujo la noción de “fluido newtoniano”. Más allá de su trabajo en matemáticas, óptico y físico, Newton también dedicó una cantidad significativa de tiempo estudiando la cronología bíblica y la alquimia, pero la mayor parte de su trabajo en estas áreas permaneció inédita hasta mucho después de su muerte. Sir Isaac Newton fue el segundo científico en ser caballero En 1696, Newton fue nombrado Guardián de la Casa de la Moneda Real. También sirvió como miembro del Parlamento de Inglaterra en 1689-1690 y 1701-1702. Fue elegido presidente de la Royal Society en 1703. Como líder de la Real Casa de la Moneda, Newton utilizó su poder para castigar a los falsificadores y en 1717, con la “Ley de la Reina Ana”, movió la libra esterlina del patrón de plata al patrón oro. En 1705, Newton fue nombrado caballero por la reina Ana. De ese modo, Sir Isaac Newton fue el segundo científico que fue nombrado caballero, después de Sir Francis Bacon. Su inspiración a otros grandes científicos Newton fue un científico que dedicó su vida a la ciencia e investigación. Sus descubrimientos y esfuerzo fueron admirados por otros grandes científicos porteriores, como Albert Einstein y Stephen Hawking. Galileo Galilei, Newton, Einstein y Hawking son posiblemente los tres científicos más destacados de la historia y la inspiración de muchos otros no tan conocidos pero que se han esforzado y dado su vida por la ciencia.

Biografía de Wilhelm Leibniz Gottfried Leibniz nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig, dos años antes de que terminara la Guerra de los Treinta Años, hijo de Federico Leibniz, jurista y profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, y Catherina Schmuck, hija de un profesor de leyes. Siendo adulto, frecuentemente firmaba como «von Leibniz» y numerosas ediciones póstumas de sus obras lo nombran como «Freiherr G. W. von Leibniz»; sin embargo, no se ha encontrado documento alguno que confirme que se le haya concedido un título nobiliario. Su padre falleció cuando tenía seis años, de modo que su educación quedó en manos de su madre y de su tío, y según sus propias palabras, de sí mismo. Al morir su padre, dejó una biblioteca personal de la que Leibniz pudo hacer uso libremente a partir de los siete años, y procedió a beneficiarse de su contenido, en particular los volúmenes de historia antigua y de los Padres de la Iglesia. Para cuando tenía doce años había aprendido por sí mismo latín, el cual utilizó durante el resto de su vida, y había empezado a estudiar griego. En 1661, a la edad de catorce años, se matriculó en la Universidad de Leipzig y completó sus estudios a los veinte años, especializándose en leyes y mostrando dominio de los clásicos, lógica y filosofía escolástica. Sin embargo, su educación en matemáticas no estaba a la altura de franceses o británicos. En 1666 publicó su primer libro y también su tesis de habilitación, Disertación acerca del arte combinatorio. Cuando la universidad declinó el asegurarle un puesto docente en leyes tras su graduación, Leibniz optó por entregar su tesis a la Universidad de Altdorf y obtuvo su doctorado en cinco meses. Declinó después la oferta de un puesto académico en Altdorf y dedicó el resto de su vida al servicio de dos prominentes familias de la nobleza alemana. El primer puesto de Leibniz fue como alquimista asalariado en Núremberg, aunque no tenía ningún conocimiento sobre el tema. Entró en contacto con Johann Christian von Boineburg (1622–1672), antiguo ministro en jefe del elector de Maguncia, Juan Felipe von Schönborn, quien lo contrató como asistente y poco después lo presentó al elector, tras reconciliarse con él. Leibniz le dedicó un ensayo al elector con la esperanza de obtener un empleo. La estrategia funcionó, pues el elector le solicitó ayuda para una nueva redacción del código legal de su electorado, y en 1669 fue nombrado asesor de la Corte de Apelaciones. Aunque von Boineburg murió en 1672, permaneció al servicio de su viuda hasta 1674. Von Boineburg hizo mucho por promover su reputación, y su servicio con el elector pronto tomó un rol más diplomático. Publicó un ensayo bajo el seudónimo de un noble polaco, en el que argumentaba (sin éxito) en favor del candidato alemán a la Corona polaca. El principal factor en la geopolítica europea durante su vida adulta fueron las ambiciones de Luis XIV de Francia, respaldadas por su ejército y su poderío económico. La Guerra de los Treinta Años había dejado exhausta a la Europa de habla alemana, además de fragmentada y económicamente atrasada. Leibniz propuso protegerla distrayendo a Luis XIV de la siguiente manera: Se invitaría a Francia a tomar Egipto como un primer paso hacia una eventual conquista de las Indias Orientales Neerlandesas. A cambio, Francia se comprometería a no perturbar a Alemania ni a Holanda. El plan recibió un apoyo cauteloso del elector. En 1672 el gobierno francés invitó a Leibniz a París para su discusión, pero el plan se vio pronto superado por los acontecimientos y se

tornó irrelevante. De esta forma Leibniz inició una estancia de varios años en París, durante la cual incrementó considerablemente sus conocimientos de matemáticas y física y empezó a realizar contribuciones en ambas disciplinas. Conoció a Malebranche y a Antoine Arnauld, el principal filósofo francés de la época, estudió los escritos de Descartes, de Pascal, tanto los publicados como los inéditos y entabló amistad con el matemático alemán Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, con quien mantuvo correspondencia hasta el final de su vida. Especialmente oportuno fue el conocer al físico y matemático holandés Christiaan Huygens, quien por entonces también se encontraba en París. Al llegar a París, Leibniz recibió un duro despertar, pues sus conocimientos de física y matemáticas eran fragmentarios. Con Huygens como mentor, inició un programa autodidacta que pronto resultó en la realización de grandes contribuciones en ambos campos, incluyendo el descubrimiento de su versión del cálculo diferencial y su trabajo en las series infinitas. A principios de 1673, cuando quedó claro que Francia no llevaría adelante su parte del plan de Leibniz respecto de Egipto, el elector envió a su propio sobrino, acompañado por Leibniz, en una misión diplomática ante el gobierno británico. En Londres Leibniz conoció a Henry Oldenburg y a John Collins. Después de mostrar ante la Royal Society una máquina capaz de realizar cálculos aritméticos conocida como la Stepped Reckoner, que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro «operaciones aritméticas básicas», la Sociedad le nombró miembro externo. La misión concluyó abruptamente al recibir la noticia de la muerte del elector. Leibniz regresó inmediatamente a París y no a Maguncia, como tenía planeado. La muerte repentina de los dos mecenas de Leibniz en el mismo invierno significó que debía buscar un nuevo rumbo para su carrera. A este respecto, fue oportuna una invitación del duque de Brunswick en 1669 para visitar Hannover. Allí declinó la invitación, pero empezó a escribirse con el duque en 1671. En 1673 este le ofreció un puesto de consejero, que aceptó con renuencia dos años más tarde, solo después de que estuviera claro que no obtendría ningún empleo en París (cuyo estímulo intelectual apreciaba) o en la Corte imperial de los Habsburgo. Logró retrasar su arribo a Hannover hasta finales de 1676, después de otro breve viaje a Londres, donde posiblemente le mostraron algunas de las obras sin publicar de Isaac Newton, aunque la mayor parte de los historiadores de las matemáticas afirman ahora que Newton y Leibniz desarrollaron sus ideas de forma independiente: Newton desarrolló las ideas primero y Leibniz fue el primero en publicarlas. En el viaje de Londres a Hannover se detuvo en La Haya, donde conoció a Leeuwenhoek, quien mejoró el microscopio y descubrió los microorganismos. Igualmente dedicó varios días de intensa discusión con Spinoza, quien recientemente había concluido su obra maestra, Ética. Leibniz sentía respeto por el poderoso intelecto de Spinoza, pero estaba consternado por sus conclusiones, que contradecían la ortodoxia cristiana. En 1677 fue promovido, por propia petición, a consejero privado de Justicia, cargo que mantuvo durante el resto de su vida. Leibniz sirvió a tres gobernantes consecutivos de la Casa de Brunswick como historiador, consejero político y como bibliotecario de la Biblioteca Ducal. Desde entonces empleó su pluma en los diversos asuntos políticos, históricos y teológicos que involucraban a la Casa de Brunswick; los documentos resultantes constituyen una parte valiosa de los registros históricos del período.

Entre las pocas personas que acogieron a Leibniz en el norte de Alemania se contaban la electora, su hija Sofía Carlota de Hannover (1630–1714), la reina de Prusia y su discípulo confeso, y Carolina de Brandeburgo-Ansbach, la consorte de su nieto, el futuro Jorge II. Para cada una de estas mujeres, Leibniz fue correspondiente, consejero y amigo. Cada una de ellas lo acogió con más calidez de lo que lo hicieron sus respectivos esposos y el futuro rey Jorge I de Gran Bretaña. Hannover contaba entonces solo con unos 10 000 habitantes y su provincianismo desagradaba a Leibniz. Sin embargo, ser un cortesano importante en la Casa de Brunswick constituía un gran honor, especialmente en vista del meteórico ascenso en el prestigio de dicha Casa mientras duró la relación de Leibniz con ella. En 1692, el duque de Brunswick se convirtió en elector hereditario del Sacro Imperio Romano Germánico. La Ley de Asentamiento de 1701 designó a la electora Sofía y a su descendencia como la familia real del Reino Unido, una vez que tanto el rey Guillermo III como su cuñada y sucesora, la reina Ana, hubieran muerto. Leibniz participó en las iniciativas y negociaciones que condujeron a la Ley, pero no siempre de manera eficaz. Por ejemplo, algo que publicó en Inglaterra, pensando que promovería la causa de Brunswick, fue formalmente censurado por el Parlamento Británico. Los Brunswick toleraron los enormes esfuerzos que dedicaba Leibniz a sus proyectos intelectuales sin relación con sus deberes de cortesano, proyectos tales como el perfeccionamiento del cálculo, sus escritos sobre matemáticas, lógica, física y filosofía, y el mantenimiento de una vasta correspondencia. Empezó a trabajar en cálculo en 1674, y para 1677 tenía ya entre manos un sistema coherente, pero no lo publicó hasta 1684. Sus documentos más importantes de matemáticas salieron a luz entre 1682 y 1692, por lo general en una revista que él y Otto Mencke habían fundado en 1682, la Acta Eruditorum. Dicha revista jugó un papel clave en los progresos de su reputación científica y matemática, la cual a su vez incrementó su eminencia en la diplomacia, en historia, en teología y en filosofía. El elector Ernesto Augusto le comisionó a Leibniz una tarea de enorme importancia, la historia de la Casa de Brunswick, remontándose a la época de Carlomagno o antes, con la esperanza de que el libro resultante ayudaría a sus ambiciones dinásticas. Entre 1687 y 1690 Leibniz viajó extensamente por Alemania, Austria e Italia en busca de materiales de archivo de relevancia para este proyecto. Pasaron las décadas y el libro no llegaba, de modo que el siguiente elector se mostró bastante molesto ante la evidente falta de progresos. Leibniz nunca concluyó el proyecto, en parte a causa de su enorme producción en otros ámbitos, pero también debido a su insistencia en escribir un libro meticulosamente investigado y erudito basado en fuentes de archivo. Sus patrones habrían quedado bastante satisfechos con un breve libro popular, un libro que fuera quizás un poco más que una genealogía comentada, a ser completada en tres años o menos. Nunca supieron que, de hecho, había llevado a cabo una buena parte de la tarea asignada: cuando los escritos de Leibniz se publicaron en el siglo XIX, el resultado fueron tres volúmenes. Residencia de Leibniz en Hannover (primera planta del edificio central), desde 1698 hasta su muerte.8 Fotocromo realizado hacia 1900. En 1711 John Keill, al escribir en la revista de la Royal Society y, con la supuesta bendición de Newton, acusó a Leibniz de haber plagiado el cálculo de Newton, dando

inicio de esta manera a la disputa sobre la paternidad del cálculo. Comenzó una investigación formal por parte de la Royal Society (en la cual Newton fue participante reconocido) en respuesta a la solicitud de retracción de Leibniz, respaldando de esta forma las acusaciones de Keill. Ese mismo año, durante un viaje por el norte de Europa, el zar ruso Pedro el Grande se detuvo en Hannover y se reunió con Leibniz, quien después mostró interés por los asuntos rusos durante el resto de su vida. En 1712 Leibniz inició una estancia de dos años en Viena, donde se le nombró consejero de la Corte imperial de los Habsburgo. Tras la muerte de la reina Ana en 1714, el elector Jorge Luis se convirtió en el rey Jorge I de Gran Bretaña bajo los términos de la Ley de Asentamiento de 1711. Aunque Leibniz había hecho bastante para favorecer dicha causa, no habría de ser su hora de gloria. A pesar de la intervención de la princesa de Gales Carolina de Brandeburgo-Ansbach, Jorge I le prohibió a Leibniz reunirse con él en Londres hasta que hubiera completado por lo menos un volumen de la historia de la familia Brunswick encargada por su padre casi 30 años atrás. Además, la inclusión de Leibniz en su corte de Londres habría resultado insultante para Newton, quien era visto como el triunfador de la disputa sobre la prioridad del cálculo y cuya posición en los círculos oficiales británicos no podría haber sido mejor. Finalmente, su querida amiga y defensora, la dignataria electora Sofía de Wittelsbach, murió en 1714. Leibniz falleció en Hannover en 1716: para entonces, estaba tan fuera del favor en la Corte que ni Jorge I (quien se encontraba cerca de Hannover en ese momento) ni ningún otro cortesano, más que su secretario personal, asistieron al funeral. Aun cuando Leibniz era miembro vitalicio de la Royal Society y de la Academia Prusiana de las Ciencias, ninguna de las dos entidades consideró conveniente honrar su memoria. Su tumba permaneció en el anonimato hasta que Leibniz fue exaltado por Fontenelle ante la Academia de Ciencias de Francia, la cual lo había admitido como miembro extranjero en 1700. La exaltación se redactó a petición de la duquesa de Orleans, nieta de la electora Sofía. Matemática Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular.26 Leibniz fue el primero en proponer el uso del punto como multiplicador en la notación matemática en vez de la letra equis que usaban en Inglaterra para ello. La letra equis se utilizó desde entonces como nombre de variable, especialmente para el cálculo en tres dimensiones XYZ.27 En el siglo XVIII, el concepto de «función» perdió estas asociaciones meramente geométricas. Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema, si la hubiera. Este método fue conocido más tarde como «eliminación gaussiana». Leibniz también hizo aportes en el campo del álgebra booleana y la lógica simbólica.

Notación de Leibniz En cálculo, la notación de Leibniz —llamada así en honor de Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo y matemático alemán del siglo XVII—, utiliza los símbolos dx y dy para representar incrementos infinitamente pequeños (o infinitesimales) de x e y, respectivamente, al igual que Δx y Δy representan incrementos finitos de x e y, respectivamente. Historia El método de Newton-Leibniz de cálculo infinitesimal se introdujo en la segunda mitad del siglo XVII. Mientras que Newton no tenía una notación estándar para la integración, Leibniz comenzó a usar el carácter { f } . Se basó en el carácter de la palabra latina summa ('suma'), que escribió ſumma con la alargada entonces comúnmente utilizado en Alemania en el momento. Este uso apareció por primera vez públicamente en su artículo De Geometría, publicado en Acta Eruditorum de junio de 1686,2 pero que había estado utilizando en manuscritos privados por lo menos desde 1675.3

Los matemáticos ingleses emplearon la notación de puntos de Newton hasta 1803 cuando Robert Woodhouse publicó una descripción de la notación continental. Más tarde, la Sociedad Analítica de la Universidad de Cambridge promovió la adopción de la notación de Leibniz. Para funciones de variables reales es posible definir el diferencial rigurosamente interpretándolo como una 1-forma. Así el diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de una función ƒ(x) de variable real. Interpretación geométrica del diferencial El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial. Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión. Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en las fórmulas matemáticas están definidos respectivamente. La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx . Las funciones reales de variable real lineales son las funciones reales de variable real dadas por la fórmula y = ax (1) donde a es un número real. Un intento de hallar en (1) lo que se incrementa y por cada unidad que se incremente x puede consistir en incrementar x una cantidad Δx = h ≠ 0 desde un valor x0 . Entonces, según (1), y pasa de valer ax0 a valer a x( ) 0 + h ; o sea, el incremento de y que corresponde a un incremento h de x es Δy = a x( ) 0 + h − ax0 = ah . Por tanto, lo que varía y por cada unidad que varía x es Δy Δx = ah h = a (2) Resulta que la derivada de una función lineal es el coeficiente a de x. Lo que significa que por cada unidad que varía x, y varía a. La función real de variable real y = ax + b donde a y b son números reales, se llama función afín. Para hallar su derivada se incrementa x desde x0 una cantidad Δx = h ≠ 0 . Entonces y pasa de valer ax0 + b a valer a x( ) 0 + h + b . El incremento de y es Δy = a x( ) 0 + h + b − ax ( ) 0 + b = ah . Y lo que varía y por cada unidad que varía x es Δy Δx = ah h = a (4) Resulta que la derivada de cualquier función afín es también el coeficiente a de x. Nótese que, en realidad, las funciones lineales son funciones afines en que b = 0 . La derivada de cualquier función constante y = f x( ) = C es cero, pues si se incrementa x desde x0 la cantidad h ≠ 0 , el valor y de la función no varía. Por tanto Δy = 0 , por lo que el incremento de y por cada unidad que se incrementa x es Δy Δx = 0 h = 0 (5) Nótese que también las funciones constantes son funciones afines; pero ahora con a=0. En la vida común es habitual el empleo de estas derivadas. Por ejemplo, de ordinario, el importe y de cada producto que se adquiere en el mercado se halla multiplicando el precio

a de cada unidad de producto (quilogramo, litro, metro...) por la cantidad x que se compre: y = ax . O sea, el importe y es función lineal de la cantidad x que se adquiere. Y resulta que el precio a de cada unidad de producto es la derivada de esa función y = ax ; porque, en efecto, el precio a es lo que se incrementa el importe por cada unidad que se incrementa la cantidad de producto que se compra. La derivada de una función y en un punto x0 es lo que varía esa función por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0. Por ejemplo, que la derivada de una función en un punto es 2, significa que puede esperarse que en los entornos más pequeños de ese punto el incremento de y sea aproximadamente el doble que el incremento de x: Δy 2Δx . Pero la última expresión es solo aproximada. Por eso se prefiere escribir dy = 2dx . En esta expresión dx es otra forma de designar Δx ; pero, en general, dy no es igual a Δy (Fig. 1). No obstante, si la gráfica de la función es suficientemente suave, dy puede servir como estimación de lo que puede valer Δy . La utilidad de hallar dy en vez de Δy es que dy se puede calcular más fácilmente que Δy , pues, para hallar dy , ni siquiera hace falta conocer la función y, sino solo su derivada en el punto que se considere. Es decir, cualquiera que sea la función y, si se conoce su derivada y′ en un punto, dy se obtiene del simple producto dy = y′dx (12) La (12) sirve, pues, para aproximar la función y en entornos de un punto del que se conoce su derivada y′. Es también la razón de que la función derivada se designe por dy dx , pues despejando, se obtieney′ = dy dx Por tanto, diferencial de una función y en un punto es la función dy = y′dx , donde y′ es la derivada de la función y en ese punto. Las expresiones dy y dx se llaman, respectivamente, diferencial de y y diferencial de x. dx es la variable independiente y dy la variable dependiente de la función diferencial. Desde luego que esas variables pueden designarse con otras letras, por ejemplo se puede escribir w = y v′ ; pero la notación (12) es conveniente, pues informa de que se trata de una diferencial, es decir, que es la aproximación de una parte de una función por esa función lineal en los entornos más pequeños del punto en el que se halla la derivada; y que, si se representa en un sistema con sus ejes paralelos a los del sistema en que está representada la función y, con origen de coordenadas en el punto en el que se halla la derivada y′ , resulta una recta tangente a la gráfica de y en el punto x0 , y0 = f x( ) 0 en el que se halla y′ . Así que, mientras la derivada de una función en un punto es un valor exacto si existe, la diferencial en un punto es una función lineal de aproximación. Por tanto, las funciones diferenciales de todas las funciones que tengan la misma derivada en un punto son iguales. O, de otra manera: todas las funciones cuyas derivadas en un punto son iguales tienen la misma diferencial en ese punto, se aproximan por la misma función diferencial en los entornos más pequeños de ese punto. La aproximación de una función por su diferencial en los entornos más pequeños de un punto es de gran utilidad en ingeniería, pues permite estimar con facilidad y rapidez las variaciones de la función en esos entornos. Además el procedimiento es el mismo para todas las funciones derivables. Por ejemplo, la derivada de la función y = x 2 es y′ = 2x. Por tanto, la derivada en x0 = 0.5 es y′( ) 0.5 = 1. Significa

que, en entornos pequeños de 0.5, y se incrementa aproximadamente 1 por cada unidad que se incremente x. Eso es lo que significa también que la diferencial es dy = 1dx. En x0 = 3 la derivada de y = x 2 vale 6. Significa que, en entornos pequeños de x0 = 3, y se incrementa aproximadamente 6 unidades por cada unidad que se incremente x. O, también, que en x0 = 3 es dy = 6dx. La función varía 6 veces más rápidamente en x0 = 3 que en x0 = 0.5. La derivada de y respecto a x es lo que varía y por cada unidad que varía x. Ese valor se designa por dy dx. Las funciones reales de variable real lineales son las funciones reales de variable real dadas por la fórmula y = ax (1) donde a es un número real. Un intento de hallar en (1) lo que se incrementa y por cadaunidad que se incremente x puede consistir en incrementar x una cantidad Δx = h ≠ 0 desde un valor x0 . Entonces, según (1), y pasa de valer ax0 a valer a x ( ) 0 + h ; o sea, el incremento de y que corresponde a un incremento h de x es Δy = a x( ) 0 + h − ax0 = ah . Por tanto, lo que varía y por cada unidad que varía x es Δy Δx = ah h = a (2) Resulta que la derivada de una función lineal es el coeficiente a de x. Lo que significa que por cada unidad que varía x, y varía a. La función real de variable real y = ax + b