Trabajo Final De álgebra Lineal (1).docx

(UAPA) RECINTO CIBAO ORIENTAL ESCUELA DE EDUCACION

Asignatura: Álgebra Lineal Tema: Álgebra Lineal Facilitador(a): Faustino Camilo Participante: Landar García C.

15-0966

María Trinidad Sánchez, Nagua, Republica Dominicana 13 de diciembre del 2018

Introducción En el presente documento se desarrollan temas como: sistemas de ecuaciones lineales y matrices, determinantes, vectores de segunda y tercera dimensión, espacios vectoriales, transformaciones lineales, eigenvectores y formas canónicas. El dominio teórico y práctico de estos temas desarrollan competencias fuera y dentro del área de las matemáticas como en gráficas por computadoras, la ingeniería y en diferentes situaciones del contexto.

Temas como sistemas de ecuaciones lineales y matrices tienen gran aplicación para la solución de problemas de la vida diaria, por lo que es muy importante conocer y comprender estos temas y aquellos antes mencionados.

Definición

a) Espacio vectorial: Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna llamada suma, definida para los elementos del conjunto y una operación externa llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo, con 8 propiedades fundamentales. b) Transformación lineal: Es un homomorfismo entre espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. 1) Escribe tres sistemas de ecuaciones lineales con dos variables que representen situaciones de la vida cotidiana. 1. María compra 5 libras de maíz y 3 de azúcar por $135. Luego compra dos libras de arroz y una de habichuela por $26. 5x + 3y = 135 2x + y = 26 2. Claudia compra 6 yuca y 4 guineos le costaron RD$28, luego compra 4 yuca y 2 guineos por RD$ 12. ¿Cuánto le costó una yuca y cuánto le costó un guineo?

6x + 4y = 28 4x + 2y = 12 3. Marta compra 3 libras de arroz y 2 de habichuelas por $46. Luego compra dos libras de arroz y una de habichuela por $26. Sea x = precio libra arroz ˄ y = precio libra habichuelas

Métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones Método de Sustitución El método de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente. Pasos 1. 2. 3. 4. 5.

Despejar a X en la ecuación 1 Sustituir a X en la ecuación 2 Juntamos los términos semejantes, para conseguir el valor de X Sustituimos el valor de Y en la ecuación 3 y finalmente comprobamos cuando hemos tenidos los valores de X y Y

Método de Igualación El método de Igualación: se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y luego se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Pasos 1. Despejo a cualquiera de la variables sea X o Y en ambas ecuación. 2. Luego igualar a X1 ˄ X2 o Y1 ˄ Y2 3. Resuelvo y junto los términos semejantes me dará el resultado de la variable que iguales 4. Luego buscamos el valor de la segunda variable 5. Y por últimos comprobamos con los valores de cada variables

Método de Reducción El Método de Reducción: consiste en transformar una de las ecuaciones generalmente, mediante productos, de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. Se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Pasos 1. Multiplicamos por los coeficientes de forma alterna la variable que quiero eliminar cambiándole el signo a uno de los dos siempre y cuando los signo sea igual 2. Luego reduzco, sumo o resto los termino semejantes en la ecuación 3. Resuelvo y despejo 4. Busco el valor de la segunda variable en cualquiera de las ecuaciones 5. Por último compruebo con los valores encontrados de cada variable

Las propiedades de los vectores R2 y R3.

Si A, B y C son tres vectores cualesquiera de V2, y c y d son dos escalares cualesquiera, entonces la adición vectorial y la multiplicación por un escalar satisfacen las siguientes propiedades: 1. A + B = B + A (propiedad conmutativa con respecto a la adicción) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa con respecto a la adicción) 3. Existe un vector O en V2 para el cual A + O = A (existencia del idéntico aditivo) 4. Existe un vector ‐A en V2 tal que A + (‐A) = O(existencia del inverso aditivo o negativo) 5. (CD)A = C(DA) (propiedad asociativa) 6. C(A+ B) = CA + CB (propiedad distributiva) 7. (C + D)A = CA + DA (propiedad distributiva) 8. 1 (A) = A (existencia del idéntico multiplicativo escalar)

Clasificación de las matrices

Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna.

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

Matriz simétrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At. Matriz antisimétrica: Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz de cofactores Matriz de cofactores cof (A): es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A. El término matriz adjunta adj(A) suele crear confusión, ya que en muchos tratados clásicos sobre álgebra lineal corresponde a la matriz de cofactores traspuesta, sin embargo, en otros textos, se corresponde a la matriz de cofactores, puesto que llaman de la misma manera adjunto al cofactor y de ahí que sea adjunta. A parte, también se utiliza el símbolo adj( ) indistintamente a cof( ) para el cálculo en los elementos de una matriz, haciendo, si cabe, la confusión más amplia. Se llama cofactor del elemento aij del determinante D, al menor Mij con el signo (-1)i+j y se denota Aij, esto es

Aij = (-1)i+j Mij

Ejemplo:

2 1 0 A= [5 4 2] 3 3 6

Determinar el cofactor del elemento a11.

2 1 0 [ 5 4 2] 3 3 6 Determinamos la menor del elemento a11, eliminando los elementos de la fila 1 y los elementos de la columna 1, luego con los elementos que nos quedan buscamos su determinante y ese determinante será la menor.

D= (4x6)- (3x2) D= 24 – 6 D=18 este es la menor.

C11= (-1)1+1(18) C11= (1)(18) C11= 18 De esta manera se consiguen los demás elementos de la matriz de cofactores, organizándolos según el orden que tenia la matriz de origen.

¿Consideras tú la importante las matemáticas en tu vida?. Justifique. La matemática es de suma importancia en mi vida, no sólo porque es parte fundamentar en mi labor como profesional del área, sino que me ha ayudado en múltiples ocasiones a solucionar problemas de mi contexto. Además la aplicación del razonamiento y la lógica matemática me ha permitido evitar conflictos.

Escribe una aplicación de los intervalos en la vida cotidiana. Antes entraba a cualquier hora al internet, pero ahora que voy a “banda” solo puedo entrar de 6:00pm hasta las 9:00pm. Hace unos días conversé con mi amiga de Piura, Adriana, y me comentó que ella entra de 7:00pm hasta antes de las 10:00pm

Matriz traspuesta Se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Ejemplo:

Pasos para determinar la inversa de una matriz La matriz inversa es el producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad. Pasos 1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa. 2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. 3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta. 4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Conclusión

Al término de esta investigación podemos resumir que el Álgebra Lineal es de suma importancia para todo el profesional del área de las matemáticas y de otras áreas, ya que, sus contenidos tienen múltiples aplicaciones en la mayoría de las áreas del conocimiento, aportando soluciones a diversos problemas del contexto.

En definitiva, el manejo teórico y práctico de temas como: sistemas de ecuaciones lineales y matrices, determinantes, vectores de segunda y tercera dimensión, espacios vectoriales, transformaciones lineales, eigenvectores y formas canónicas, nos aportan múltiples competencias para el buen desempeño de nuestra labor docente, así como en nuestro diario vivir.

Opinión Personal En el transcurso de la asignatura de Álgebra Lineal, pude llegar a apreciar algunos temas que me parecían muy aburridos, como por ejemplo el tema de los sistemas de ecuaciones, que en un principio eran estresantes y aburridos pero al conocer, además de los métodos de reducción, igualación y sustitución, la solución por determinante, el método de Gauss Jordan y el método Gausiano y por matriz ampliada me pude dar cuenta de que cada asignatura del área de matemática tiene su propia belleza e importancia y que para ser docentes competentes debemos comprender y aplicar cada parte del área de la matemática. Me gustaron los temas tratados sobre todo la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de Gauss Jordan.

Webgrafía https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales https://www.ditutor.com/matrices/matriz_inversa.html