Lgebra De Boole

ÁLGEBRA DE BOOLE INTRODUCCIÓN: Los circuitos digitales, y en general todos los circuitos de conmutación o de contactos cumplen con los teoremas y postulados de un álgebra desarrollada por el matemático inglés George Boole. Como esta álgebra no está restringida solamente a variables de dos estados, como las que utilizamos en esta asignatura, la adaptación para este caso se la conoce con el nombre de álgebra de conmutación. En esta álgebra se definen tres operaciones básicas: suma lógica, producto lógico y negación. VARIABLES LÓGICAS Se llama variable lógica a cualquier letra que utilizamos para representar a los dos únicos estados lógicos (“0” ó “1”) que ellas pueden tomar en el álgebra de conmutación y en su posterior aplicación a los circuitos digitales. En los circuitos digitales, utilizaremos normalmente, las primeras letras del abecedario (A, B, C, D...) para representar las entradas del circuito, y las últimas, (X, Y, Z), para representar las salidas del mismo.

D C B A

Y CIRCUITO

Z

D

DIGITAL

OPERACIONES DEL ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN a) PRODUTO LÓGICO (OPERCIÓN “AND”) Z=B.A B 0 0 1 1

A 0 1 0 1

B

A Z

“0” Interruptor abierto “1” Interruptor cerrado

Z 0 0 0 1

El producto lógico de dos variables lógicas (A y B) es igual a “1” solamente si las dos variables A y B son iguales a “1”.Por eso se lo denomina operación “Y” o “AND” . b) SUMA LÓGICA (OPERACIÓN “OR”) Z=B+A B 0 0 1 1

A 0 1 0 1

Z 0 1 1 1

B

Z A

La suma lógica de dos variables lógicas (A y B) es igual a “1” solamente cuando una de las dos variables A ó B son iguales a “1”.Por eso se lo denomina operación “O” u “OR”.

c) NEGACIÓN (NOT) Z=A A 0 1

Z 1 0

POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN 1. VARIABLES DE DOS ESTADOS a) Si A ≠ 0

⇒

A =1 “1”

b) Si A ≠ 1 ⇒

A=0

“0”

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA a) A . B = B . A

A

B

B

A

=

A

B

b) A + B = B + A

= B

A

3. PROPIEDAD DE IDEMPOTENCIA A

a) A . A = A

A

A

= A A

b) A + A = A = A

4. ELEMENTO NEUTRO

A

1

=

A

a) A . 1 = A A

b) A + 0 = A

A

= “0”

TEOREMAS DEL ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN TEOREMA 1: OPERACIONES CON EL “0” Y EL “1” A

a) A

“0”

0=0

“0”

= A

b) A + 1 = 1

= “1”

“1”

TEOREMA 2: OPERACIONES CON EL INVERSO A

A

a) A . A = 0

“0”

=

A

b) A + A = 1

= “1” A

TEOREMA 3: PROPIEDAD DE INVOLUCIÓN A=A TEOREMA 4: PROPIEDAD ASOCIATIVA a) (A . B) . C = A. (B . C) = A . B . C

b) (A + B) + C = A + (B +C) = A+B + C

TEOREMA 5 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA a) A . (B + C) = A . B + A . C TEOREMA 6: PROPIEAD DE ABSORCIÓN a) A . (B + A) = A

b) A + B. A = A

TEOREMA 7: PROPIEDAD DE SIMPLIFICACIÓN

(

)

a) A . B + A = A . B

b) A + B . A = A + B

TEOREMA 8: LEYES de DE MORGAN

a) A . B = A + B

b) A + B = A . B