Cálculo De Probabilidades En Una Cadena De Markov.docx

Cálculo de probabilidades en una cadena de Markov En general no es posible saber en que estado se encuentra una cadena en una determinada etapa, por lo tanto lo que haremos será trabajar con un vector de probabilidades

en el cual representaremos la probabilidad de cada estado en la etapa k. Supongamos que queremos calcular las probabilidades de cambiar al estado ej en la etapa k+1. Para ello debemos utilizar el teorema de las probabilidades totales:

Lo que es equivalente a

Y por tanto obtenemos que el vector de probabilidades de la etapa k+1 se calcula multiplicando el vector de la etapa k por la matriz de transición:

Habitualmente nosotros tendremos una configuración de probabilidades inicial y nos interesará calcular cuales son las probabilidades después de k etapas. Esto se consigue aplicando recursivamente el resultado anterior:

Ejemplo: Veamos como podemos aplicar esto en el problema de las operadoras de telefonía en el cuál recordemos

T= Supongamos que queremos saber cual será la compañía que contratará dentro de un año un usuario que ahora mismo trabaje con la compañía A. 

Tendremos entonces que la configuración inicial de

probabilidades será = (1, 0, 0) ya que sabemos a ciencia cierta que el usuario trabaja con A.  Además, lo que nosotros buscamos son las probabilidades después de un año, es decir dos etapas después. Por tanto

 Con lo cual obtenemos que un año después el usuario tendrá una probabilidad de 0.32 de estar en la compañía A, 0.28 de estar en la B y 0.4 de estar en la C. Ejemplo:

De la misma manera podemos trabajar con una configuración inicial no determinista, por ejemplo si en el instante inicial la compañía A tiene un 40% de cuota de mercado, la B un 15% y la C un 45. En ese caso si queremos ver como estará el mercado después de dos años lo que haremos será:  En este caso la configuración inicial es 0.15, 0.45) 

= (0.4,

Dos años equivalen a cuatro etapas, por tanto

 Por tanto dentro de dos años la compañía A tendrá el 21.87% de la cuota de mercado, la B el 23.59% y la C el 54.54%.