Ficha De Trabalho- Probabilidades

ESCOLA SECUNDÁRIA DA CIDADELA Matemática PIT …………

Probabilidades

9º Ano Profª Margarida Pinto Teixeira

Jogo Cada jogador dispõe de um dado equilibrado e numerado de 1 a 6. O jogador A joga e anota o número, o jogador B joga e anota o número. O que obtiver menor pontuação subtrai esse número ao número do outro jogador. Se a diferença é 0, 1 ou 2, o jogador A obtém 1 ponto Se a diferença for 3, 4 ou 5, o jogador B obtém 1 ponto O jogo termina ao fim de 12 lançamentos. O jogador que obtiver o maior número de pontos ganha jogo. Este jogo é justo? Discute esta questão com o teu colega e apresenta argumentos.

Problema retirado de www.figurethis.org/

Actividade Esc.Sec.Cidadela- Departamento de Matemática 9º ano – PIT – Ficha de Trabalho -Probabilidades Profª Margarida Pinto Teixeira

1

Adivinha a cor do naipe • • • •

Tu e o teu colega têm um baralho com 10 cartas , desconhecidas de ambos. Baralhem as cartas e coloquem-nas num monte na mesa e joguem alternadamente. Objectivo – tentar acertar a cor do naipe da carta que se encontra na parte superior do baralho. Quem ganha - O que acertar na cor ganha 1 ponto - Se não acertar perde um ponto

Depois de jogarem as 10 cartas, baralham-nas de novo e voltem a jogar mais dois jogos, ou seja totalizarão 3 jogo. Anotem a pontuação numa tabela.

• Linguagem estatística Agora o vosso monte dispõe de 9 cartas pretas e 1 encarnada. Imagina que tiras uma carta do monte. Qual é uma cor possível? Qual é mais provável de sair? Qual seria um acontecimento impossível de se observar? Neste jogo, de cada vez que se retira uma carta não podes prever a cor que vai sair. Trata-se de um fenómeno cuja realização dependo do acaso, ou seja, trata-se de um fenómeno aleatório. Analisar fenómenos incertos e “medir” ou “quantificar” essa incerteza é o objectivo do Cálculo das Probabilidades. 1. Identifica fenómenos aleatórios e os deterministas a) Lançamento de uma moeda ao ar b) O tempo que fará a 21 de Dezembro c) Número obtido no lançamento do dado d) Medir o comprimento de uma circunferência de raio 2 cm e) Saber a velocidade do carro, conhecido o espaço percorrido e o tempo gasto em percorrê-lo f) Abrir um livro ao acaso e escrever o número da página da direita. Observa a roda da sorte

1

2

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2

1

3

O ponteiro foi accionado e parou no 2 mas podia ter parado em qualquer outro número. Quais são esses números? S={ } = { resultados possíveis } Conjunto de resultados é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. A={2} é um subconjunto de S e chama-se Acontecimento Acontecimentos Considera na experiência anterior os seguintes acontecimentos: A: sair 2 B: Sair número par C: Sair 5 D: Sair número impar E: Sair um número menor que 5 F: Sair número primo Ao acontecimento C chamaríamos acontecimento impossível, em virtude de , de 5 não ser um resultado possível. Ao acontecimento E chamaríamos Certo na medida em que o conjunto E é igual a todos os resultados possíveis. Os resultados favoráveis ao acontecimento D serão {1,3} Diz-se que os casos favoráveis ao acontecimento D são 1 e 3 Chamamos Acontecimentos elementares a {1}, {2}, {3} e {4} O acontecimento D, {1,43 }é um acontecimento composto Diz-se que o acontecimento D é mais favorável que o A, porque D tem 2 casos favoráveis , 1 e 3, enquanto que A tem apenas um caso favorável o 2. O acontecimento F e D são equiprováveis - porque são igualmente prováveis, porque ambos têm dois casos favoráveis. F = { 2, 3 }

e D={1,3}

2. Vamos jogar ao loto, para isso temos um saco com 90 bolas, numeradas de 1 a 90.

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3

Para cada frase, comenta , usando os termos, possível, certo, pouco provável, muito provável, improvável , impossível que são as propriedades de um Acontecimento aleatório. Vasco – “ Vai sair um número menor que 85” Ana- “ Vai sair um número de 2 algarismos” Nuno – Vai sair um número menor que 7 André – Vai sair um número entre 6 e 66 Artur- Vai sair um número maior que 87 Mariana- Vai sair um número inteiro Frederico- Vai sair um número negativo Carolina – Vai sair um número positivo Joana – Vai sair um número entre 0 e 93 Sofia – Vai sair um número com 1 algarismo Diogo – Vai sair um número na casa dos 40

3. Num saco opaco estão 98 bolas brancas e 2 pretas. Vai tirar-se uma bola ao acaso. Indica: a) b) c) 4.

Um acontecimento muito provável Um acontecimento improvável Um acontecimento impossível Vais colocar num saco bolas encarnadas, verdes e azuis, num total de 200 bolas. Quantas bolas de cada cor colocarias para que, ao tirar uma bola ao acaso:

a) b) c) d) e)

Seja muito provável sair bola azul Seja pouco provável sair bola azul Seja impossível sair bola azul Seja tão provável sair bola azul como bola encarnada Seja certo sair bola encarnada.

5. A Filipa foi passar férias de verão ao Algarve. Associa as propriedades dos acontecimentos à lista de acontecimentos que se segue: Propriedades – Muito provável, Improvável, Certo, Impossível Lista: Tomar banho no mar, apanhar chuva, andar de avioneta, apanhar sol, ver nevar, conhecer um estrangeiro, conhecer um chinês, estar a menos de 100 km do mar, tomar banho no Mediterrâneo, trepar a uma montanha de mil metros, falar com um português, ir a uma discoteca. •

Probabilidade de um acontecimento

P(A) = Para cada um destes problemas identifica, primeiro, os casos possíveis e de seguida os casos favoráveis. Esc.Sec.Cidadela- Departamento de Matemática 9º ano – PIT – Ficha de Trabalho -Probabilidades Profª Margarida Pinto Teixeira

4

P(acontecimento certo ) =1 porque o número de casos favoráveis é igual ao dos possíveis P ( acontecimento impossível ) = 0 porque o número de casos favoráveis é zero Assim

0 ≤ P(A) ≤ 1

6. a) b) c) d)

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de : sair o número 6? Sair um número primo? Sair uma letra? Sair um múltiplo de 3

7. a) b) c)

Lançamos um dado que tem uma face branca , duas faces azuis e três faces verdes. Que cor é a mais provável sair? O que é mais provável “ sair verde” ou “não sair verde “ ? O que é mais provável : “ sair azul” ou não sair azul”?

8. Lancei um dado seis vezes e das seis vezes saiu um número ímpar. Vou fazer mais um lançamento. Das afirmações seguintes, qual é a que está correcta? a) é mais provável que agora saia um número par; b) é mais provável que continue a sair ímpar; c) é tão provável que saia par como saia ímpar. 9. Escolhe-se um número qualquer do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, qual é a probabilidade que esse número: a) b) c) d)

Seja menor que 5? Seja menor que 5 e par? Seja para e não múltiplo de 3? Seja número primo e maior que 3?

10. Temos um baralho de 52 cartas e retira-se uma carta. Qual é a probabilidade de essa carta : a) b) c) d)

Ser um 9? Ser de copas ou de paus? Ser de copas ou um rei? Ser preta ou vermelha?

11. Uma caixa contém oito bolas numeradas de 1 a 8. Retiram-se sucessivamente duas bolas ao acaso, e com reposição, qual a probabilidade de : a) Obter dois números pares? b) Obter um par e um ímpar? c) Obter uma soma igual a 10? 12. A Carolina tem no estojo canetas da mesma marca, sendo cinco azuis, uma vermelha e duas verdes. Se tirar uma caneta ao acaso, qual a probabilidade de : Esc.Sec.Cidadela- Departamento de Matemática 9º ano – PIT – Ficha de Trabalho -Probabilidades Profª Margarida Pinto Teixeira

5

a) b) c) d)

Sair verde? Sair verde ou azul? Não sair verde? Sair preta?

13. Numa turma do nono ano, depois de ser feito um inquérito aos alunos sobre os seus hábitos preencheu-se a seguinte tabela: Sexo

a) b) c) 123•

Gosto pela leitura Sim

Não

Masculino

10

5

Feminino

8

3

Quantos alunos tem a turma? Quantos alunos gostam de ler? Escolhendo ao acaso um aluno, qual a probabilidade de: Não gostar de ler Ser rapariga e gostar de ler Ser rapaz

Processos de Contagem - Identificação de Casos Possíveis

Lançamento de uma moeda e de um dado Lança-se uma moeda e um dado. Qual é a probabilidade de sair 3 no dado e face euro na moeda? Esta experiência é composta por duas experiências simples. Para contar os casos possíveis e identificar os favoráveis temos vários processos.

diagrama de árvore: Dado

Tabela de dupla entrada 1

2

3

4

5

6

E

1E

2E

3E

4E

5E

6E

N

1N

2N

3N

4N

5N

6N

Moeda E

1 N E 2 N

E

Casos possíveis=12

N

Casos Favoráveis = 1

3

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6

E 4 N

P ( 3E ) =

≈0,08=8%

E 5 N E 6 N

14. O João e a Mariana estão a jogar com um baralho de cartas em que metade das cartas são pretas e a outra metade são encarnadas. Cada um tem um baralho na mão. Tiram alternadamente uma carta. O João ganha se saírem 2 cartas pretas ou 2 cartas encarnadas, a Mariana ganha se saírem cartas de cor diferentes. Quem tem maior probabilidade de ganhar? Porquê? 15. O Nuno e o Carlos estão a jogar com dados. Lançam dois dados e somam os pontos de cada dado. Se a soma for 6, 7 8 ou 9 ganha o Carlos. Se a soma for 2, 3 4 5,20 11 e 12 ganha o Nuno. a) Quantas somas existem neste jogo? b) Qual a soma mais difícil de sair? Porquê? Qual a outra soma que tem a mesma probabilidade de sair da que tu indicaste? c) Quem tem vantagem, o Nuno ou o Carlos ? 16. a) Quando se lançam 3 moedas de 1 euro ao ar, quantos casos possíveis existem? b) Qual é a probabilidade de : 1- Saírem 3 euros? 2- Saírem 2 euros? 3- Sair apenas 1 euro 4- Não sair nenhum euro 17. A Sofia tem duas camisolas, uma azul e outra branca. A Mariana tem três camisolas: uma azul, uma branca e outra verde. De manhã cada uma veste uma camisola ao acaso. Qual é a probabilidade de as duas aparecerem na escola com: 5 cm a) Camisolas da mesma cor? b) Camisolas de cor diferente 18. Na figura está representado um alvo. Atira-se uma seta que acerta sempre ao acaso, num ponto do alvo.

8 cm

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7 3 cm 10 cm

Calcula a probabilidade de se acertar na zona do alvo de cor cinzenta.

19. A probabilidade de o Hélder ganhar um jogo é 58%. Se ele jogar 120 vezes, quantos jogos o Hélder espera ganhar?

20. Um restaurante oferece a seguinte ementa: Peixe/carne Legumes Sobremesas Bebidas Escolhendo ao acaso uma refeição composta Batata Fruta Leite de peixe ou carne, legumes, sobremesa e bebida, Pescada Linguado Feijão doce Chá qual é a probabilidade de obtermos: Bife verde Café Frango Ervilhas 20.1.Frango, ervilhas, doce e café Espargos 20.2.Peixe, espargos, sobremesa e chá ou café

•

Probabilidade e Frequência Relativa – Lei dos Grandes Números

Actividade Experimenta lançar 100 vezes uma moeda ao ar, anota o número de vezes que sai face Euro e o número de vezes que sai face Nacional e preenche o quadro seguinte: 100 lançamentos

Frequência absoluta

Frequência relativa

Face Euro Face Nacional Experimentalmente tenta obter as frequências absolutas e relativas correspondentes a 200, 300, 400 lançamentos. Observa a variação das frequências relativas e o número de lançamentos. Que verificas? Já sabes calcular a probabilidade de sair face euro ou face nacional no lançamento de uma moeda, essa probabilidade é de 50%.

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Mas isto não significa que, por exemplo, em 10lançamentos da moeda saia 5 vezes a face euro e 5 vezes a face nacional, ou que em 100 lançamentos saia 50 vezes cada uma das faces, conforme pudeste constatar na actividade anterior. Contudo, deves ter reparada que para um número muito grande de lançamentos a frequência relativa se vai aproximando do valor da probabilidade ( 50%). Assim, pela Lei dos Grandes Números, toma-se a frequência relativa de um acontecimento como valor aproximado da probabilidade respectiva. Aqui temos simuladores : Dado: http://www.mste.uiuc.edu/activity/webdice.html Roda da sorte : http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdjustableSpinner/ Roleta: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_186_g_3_t_1.html?open=activities Moeda : http://shodor.org/interactivate/activities/coin/?version=1.6.0_07&browser=Mozilla&vendor= Sun_Microsystems_Inc. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_305_g_3_t_5.html

21. Os alunos do oitavo ano, o ano passado, fizeram a um inquérito a 200 pessoas da escola sobre o seu clube preferido e os resultados são os indicados no gráfico de barras.

58 53 38 31 20

F.C. Porto

Boavista

Benfica

outros

Sporting

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Se escolhermos ao acaso uma dessa pessoas qual é a probabilidade de ela ser adepta de: 1- Futebol Club do Porto 2- Sporting 3- Do Sporting ou do Benfica 4- Do Benfica e de um outro 5- Não ser adepta nem do Porto nem do Boavista 22. Numa cidade de 100 mil habitantes fez-se um estudo para se saber qual era a distribuição dos diversos grupos sanguíneos. Foram feitas análise a 1 000 pessoas com os resultados indicados. Grupo Sanguíneo NºPessoas

A 350

B

AB

O

116

22

512

22.1.Qual é a frequência relativa com que aparece cada um dos tipos de sangue? 22.2.Com estas informações consegue saber-se qual é a probabilidade exacta de se encontrar uma pessoa com sangue tipo B? Porquê? 22.3.Ao escolher-se ao acaso uma pessoa na cidade, quais são aas afirmações verdadeiras? 1- A probabilidade de ter sangue tipo A é aproximadamente 35% 2- A probabilidade de ter sangue tipo AB é aproximadamente 2% 3- A probabilidade de não te sangue do tipo O é 51,2% 23. Se a probabilidade de um acontecimento é igual a 30%,quantos casos favoráveis a esse acontecimento podemos esperar obter em 800 experiências?

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