Traité De Béton Armé Bael Vers Ec2.pdf

Chapitre 2 • Matériaux 91 b) La rllptllre ail boltt d'lin temps plus 011 moins long, sous toute contrainte maintenue constante et supérieure, en principe, à (0,7 à 1)fcj, en pratique, dans les calculs de flexion, à 0,85fcj. Ces deux effets doivent être considérés comme indépendants l'un de l'autre, c'est-à-dire que le fait de prendre en compte dans les calculs les effets du fluage n'autorise pas à faire abstraction du coefficient 0,85 qui frappe fcj (voir par exemple au chapitre Il la figure 11.14 OÙ/bll = 0,85fcj/Yb)' 2°) Prescriptions des Règles BAEL a) Fluage - Modllle d'élasticité différé Sauf s'il s'agit d'ouvrages exceptionnels (voir Règles BAEL, art. A-4.4,32 et ses commentaires) il est d'usage de considérer qu'au-delà d'un temps de chargement suffisamment long, le coefficient de fluage ne varie plus et reste égal à 2 ; on admet donc couramment que la déformation due au fluage est le double de la déformation instantanée. Il en résulte que la déformation totale du béton sous une charge de longue durée appliquée au jour j est le triple de la déformation instantanée sous la même contrainte appliquée au même âge. Il y correspond un module de déformation Evj défini par 1:

E.. E IJ. =-.!L .{"1/3 3 =3670 JCj

(MPa)

[2.20]

Pour une analyse plus fine des effets du fluage, il convient de se reporter à l'annexe 1 du béton des Règles BPEL ou au Manuel du CEB, Bulletin 142/142 bis ou encore aux bulletins du CEB 199 et 215.

Déforma~ions

b) Retrait hydrallliqlle (BAEL, art. A-2.1,22) Conservé dans un milieu non saturé d'humidité en permanence, le béton perd une partie de son eau libre et ses dimensions diminuent (retrait hydraulique). Pour des pièces en béton armé non massives, à l'air libre, comportant un pourcentage moyen d'armatures, les Règles BAEL indiquent que le raccourcissement unitaire final dû au retrait peut être pris égal à : - 1,5.10-4 dans les climats très humides, - 2,0.10-4 en climat humide (cas de la France métropolitaine, à l'exception de son quart sud-est), - 3,0.10-4 en climat tempéré (quart sud-est de la France métropolitaine), - 4,0.10-4 en climat chaud et sec, ..:.. 5,0.10-4 en climat très sec ou désertique.

1.

L'indice « v» vient de ce que E. Freyssinet qui a été le premier à découvrir et à étudier le phénomène de fluage, considérait que ce module est le module « vrai» du béton.

92 Traité de béton armé Dans la plupart des cas, il est suffisant de s'en tenir à ces valeurs. Au cas où une analyse plus fine des effets du retrait s'avèrerait nécessaire, il conviendrait de se reporter aux documents déjà mentionnés au dernier alinéa du paragraphe a précédent. 3°) Prescriptions de l'EC2 pour le retrait et le fluage L'EC2 commence par rappeler l'ensemble des paramètres dont dépendent le fluage et le retrait: humidité ambiante, dimensions des pièces, composition du béton ainsi que, pour le fluage, degré de maturité du béton, durée et intensité de la contrainte appliquée. • Fluage Pour une contrainte de compression cre constante, la déformation de fluage ê ee ( 00 , to) peut être calculée par: avec: to

âge du béton au premier chargement,

coefficient de fluage final,

Ec

module tangent de déformation longitudinale du béton, pris égal à 1,05 Eem.

Lorsqu'une grande précision n'est pas nécessaire, pour un béton où cre:::; 0,45!ck (to) subissant son premier chargement à l'âge to, le coefficient de fluage final

0,45!ck (to), il faut prendre:
avec:
ka = cre / !cm (to).

Chapitre 2 • Matériaux 93

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700

900 1100 1300 1500 ho (mm)

Environnement intérieur - RH = 50 %

•

Note: - le point d'intersection des droites 4 et 5 peut également se situer au-dessus du point 1 - pour to > 100, il est suffisamment précis de supposer to = 100 (et d'utiliser la tangente)

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C70/85 C80/95 COO/105

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4,0

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2,0

1,0

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100 300 500 700 900 1100 1300 1500 ho (mm)

CD Environnement extérieur - RH = 80 % Figure 2.28. Méthode de détermination du coefficient de fluage

94 Traité de béton armé • Retrait Le retrait total Bes est égal à Bes = Bed + Bea avec: Bed, retrait de dessication, fonction de la migration de l'eau au travers du béton durci et qui se développe lentement,

retrait endogène qui se développe durant le durcissement du béton et dont la majeure partie s'effectue dans les premiers jours qui suivent le coulage. Eea,

À un âge t quelconque en jours : • Retrait de dessication

avec: (t

-tJ

retrait de dessication non gêné (tableau 2.5 ; les valeurs données sont des valeurs moyennes «attendues» avec un coefficient de variation de 30 %). Eedo:

Tableau 2.5. Valeurs nominales (%0) du retrait de dessication non gêné Ecdo pour les bétons à base de ciments CEM de classe N Humidité relative (%)

!cJ!ck,cube (IylPa)

20

40

60

80

90

100

20/25

0,62

0,58

0,49

0,30

0,17

0,00

40/50

0,48

0,46

0,38

0,24

0,13

0,00

60/75

0,38

0,36

0,30

0,19

0,10

0,00

80/95

0,30

0,28

0,24

0,15

0,08

0,00

90/105

0,27

0,25

0,21

0,13

0,07

0,00

t, ts : âges du béton respectivement au moment considéré et lorsque le retrait de dessication commence (à la fin de la cure), - ho = 2Aju (mm) ; Ac, aire de la section droite et u, périmètre de la section, - kh = 1 pour ho = 100 mm, 0,85 pour 200 mm, 0,75 pour 300 mm et 0,70 pour 500 mm et au-delà. La valeur finale du retrait de dessication est Bed = kh Eedo• • Retrait endogène

Chapitre 2 • Matériaux 95 ê ca

= fJas (t) ê ca (

00 )

avec:

fJas (t) = 1 - exp (- 0,2 t l12 ) ê ca (

(t en jours)

6

00 )

2.245

= 2,5 ((cl 10).10-

Résistance à la traction par flexion

Dans certains cas (assez rares) où les calculs feraient intervenir la résistance moyenne à la traction par flexion!ctmj7, celle-ci peut être prise égale à :

!ctmj7 = max [(1,6 - h/1000)!ctm ;!ctm] avec: h

hauteur totale de l'élément (mm)

!ctm

résistance moyenne à la traction axiale, selon tableau 2.4.

La formule donnant!ctmj7 s'applique également aux valeurs caractéristiques!ctkj7 et!ctk.

2.246

Béton confiné

Le confinement du béton peut être réalisé au moyen de cadres fermés ou d'armatures transversales. Il permet d'obtenir des résistances et des déformations critiques plus élevées (!chc >!ch ê c2,c> ê e2; ê cll2,c > êcll2, voir tableau 2.4 pour êclI2,c et ê cll2) qu'en l'absence' de confinement. Vis-à-vis du calcul, les autres caractéristiques de base peuvent être considérées comme non affectées. On peut utiliser le diagramme contraintes-déformations de la figure 2.29, où 0"2 (= 0"3) est la contrainte de compression latérale à l'état-limite ultime due au confinement, en prenant:

!ck.c = !ck (l + 5 0"2 !fck)

pour

0"2 ~

!ck.c =!ck (1,125 + 2,5

pour

0"2

0"2 !fck)

êc2,c = êe2 (!ck,c !fcki ê'1/2,c = êcll2 + 0,2 0"2!fck

0,05!ck

> 0,05!ck

96 Traité de béton armé

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Ecu2.c

Figure 2.29. Relation contraintes-déformations dans le cas du béton confiné

2.3

ACIERS POUR BÉTON ARMÉ

L'association acier-béton, de même que la mise en œuvre des armatures, imposent, pour les aciers de béton armé, de strictes exigences qui ne peuvent se trouver représentées par un caractère unique. Compte tenu de leurs conditions d'emploi et de leurs caractères mécaniques, ces aciers doivent présenter une adhérence convenable, une ductilité et une aptitude au façonnage satisfaisantes et, le cas échéant, présenter l'aptitude au soudage requise pour l'exécution des jonctions, surtout en croix. L'acier- « idéal» devrait aussi avoir un prix à la tonne rapporté à la limite d'élasticité le plus bas possible. Après avoir assisté pendant près de trente ans à une «course» d'abord à la limite d'élasticité, puis aux caractères technologiques - en particulier l'aptitude au soudageentre les différents producteurs, on assiste maintenant à une recherche de fiabilité dans la qualité, dont l'utilisateur ne peut que bénéficier.

2.31

Brefs rappels sur la fabrication de l'acier

2.311

Types d'aciéries

II existe deux grandes catégories d'aciéries : 1°) les aciéries « de conversion» qui élaborent l'acier par décarburation de la fonte en fusion, sans apport de chaleur extérieur : • soit par soufflage, à travers la charge de fonte liquide, d'air sous pression, enrichi ou non à l'oxygène (procédé Thomas, quelque peu tombé en désuétude) • soit par insufflation d'oxygène pur au-dessus de la surmce de la charge de fonte liquide, au moyen d'une lance refroidie, les procédés pouvant être séparés en deux catégories:

Chapitre 2 • Matériaux 97 - pression d'oxygène élevée et four fixe (procédés LD, LD Pompey, OLP ... ); - pression d'oxygène relativement faible et four rotatif (procédé Kaldo). 2°) les aciéries « sur sole» qui opèrent dans des fours sur la sole desquels sont fondues, puis affinées ferrailles et/ou fontes. Dans le procédé Martin (long et coûteux) la fusion est obtenue en brûlant du gaz ou un combustible pulvérisé, et les impuretés sont éliminées essentiellement par oxydation. Dans le four électrique, couramment utilisé dans les «mini-aciéries» fabriquant des aciers pour béton armé, on part essentiellement de ferrailles dont la fusion est obtenue par un arc électrique produit par d'énormes électrodes en graphite qui pénètrent dans la masse métallique. L'affinage s'opère essentiellement par réactions entre le métal et un laitier liquide obtenu par fusion de matériaux calcaires.

2.312

Coulée de l'acier

Pendant longtemps l'acier élaboré au convertisseur ou au four électrique a été coulé d'abord dans une poche puis de la poche dans une lingotière placée en position verticale. Cette façon de procéder, encore en usage de nos jours, entraîne deux inconvénients: 1°) une ségrégation dans la hauteur de la lingotière, d'où un manque d'homogénéité du métal et la nécessité de « chuter» la tête et le pied du lingot, ce qui correspond à une perte d'environ 20 à 25 % sur le volume du métal fabriqué, les parties chutées devant être refondues (opération dite de mise au mille) ; 2°) l'obligation de laisser refroidir le lingot avant démoulage, pour le réchauffer ensuite en vue du laminage d'une ébauche (ou demi-produit), elle-même utilisée par la suite pour fabriquer le rond à béton, d'où une consommation élevée d'énergie. Actuellement, plus de 50 % de l'acier est produit par le procédé de la coulée continue qui s'est développé au cours de la deuxième moitié du siècle dernier et s'est considérablement développé en raison des économies d'énergie qu'il permet de réaliser. Ce procédé consiste à solidifier le plus rapidement possible l'acier liquide. Celui-ci est d'abord coulé à sa sortie du convertisseur ou du four électrique dans une poche, puis de celle-ci dans un répartiteur alimentant à gauche ou à droite, sur deux lignes sensiblement horizontales, un moule en cuivre à canaux de section rectangulaire, refroidi à l'eau. Dès que le métal touche la paroi il se solidifie en surface et se rétracte; on obtient ainsi une veine de métal qui glisse le long du moule. À la sortie de celui-ci, quinze mètres plus loin environ, on obtient directement un demi-produit solide, ayant une grande homogénéité interne, la ségrégation ayant été empêchée par un brassage magnétique. Il n 'y a plus ni chutage, ni mise au mille. Après coupe et réchauffage, le demi-produit obtenu est prêt à être laminé.

98 Traité de béton armé

2.313

laminage à chaud

Par passages successifs à chaud du demi-produit dans des cannelures appropriées qui ont été fraisées sur les cylindres d'un laminoir, avec une réduction de section à chaque passage, on peut obtenir : - soit des barres droites lisses ou « à haute adhérence» (de 6 à 50 mm de diamètre), - soit un fil machine (de 5 à 13 mm de diamètre) enroulé en couronnes à spires non rangées, directement après le laminage à chaud. C'est du laminage que dépendent les caractères géométriques du produit fini; en conséquence, l'usure des cannelures des cylindres du laminoir est soigneusement contrôlée.

2.314

Tréfilage et! ou laminage à froid du fil machine

Le tréfilage consiste, après avoir débarrassé de sa « calamine» le fil machine reçu en couronnes, à le faire passer à travers une ou plusieurs « filières» successives constituées par des blocs de métal dur comportant en leur centre un orifice conique; l'effort de traction nécessaire est exercé par des bobines circulaires en rotation, sur lesquelles le fil tréfilé vient s'enrouler. Les filières, aux orifices parfaitement calibrés, réduisent la section tout en améliorant l'état de surface. De ce fait, immédiatement après les filières, le fil est rigoureusement cylindrique. Si l'on veut améliorer ses qualités d'adhérence au béton, il faut le faire passer entre des galets crantés avant son enroulage. Le même résultat peut être obtenu par un laminage à froid effectué seul ou en combinaison avec le tréfilage. Si la rétluction de section obtenue dans l'opération de tréfilage et/ou laminage à froid est élevée (> 25 %) le fil machine acquiert une texture allongée et est écroui: sa limite d'élasticité a fortement augmenté, sa résistance à la traction également mais beaucoup moins. En contrepartie son allongement sous charge maximale (voir § 2.37b) a fortement diminué. Le produit ainsi obtenu, appelé couramment fil par les utilisateurs ne doit pas être confondu avec le fil machine de départ.

2.315

Traitements mécaniques ou thermiques

Actuellement, les utilisateurs demandent de plus en plus, en France comme à l'étranger, des ronds à béton à limite d'élasticité élevée, ductiles, facilement soudables, de composition chimique et de fabrication économiques. . Ces exigences sont en fait contradictoires. Par exemple, si on veut obtenir un acier «naturellement dur» à l'état-brut de laminage, c'est-à-dire possédant, à la sortie du laminoir et sans qu'un traitement particulier soit nécessaire, une limite d'élasticité relativement élevée, on peut agir sur sa composition chimique et, par référence à un acier à bas carbone (C - 0,2 %) :

Chapitre 2 • Matériaux 99 - soit augmenter les teneurs en carbone (C - 0,3 %) et en manganèse (Mn), mais le gain de limite d'élasticité est alors obtenu au détriment de la ductilité et de l'aptitude au soudage, - soit simultanément ou sans toucher à la teneur en carbone, avoir recours à des additions importantes de niobium (Nb), de vanadium (V) ou de titane (Ti) - aciers « rnicroalliés» - ce qui augmente sensiblement le coût de la fabrication. Pour conférer à des aciers à bas carbone (ductiles et aisément soudables), des caractères mécaniques élevés sans grever exagérément leur prix de revient, on peut avoir recours soit à un traitement mécanique soit à un traitement thermique.

1°) Traitement mécanique d'écrouissage Ce traitement consiste à imposer à un acier à bas carbone (C - 0,2 %) une déformation permanente: - soit par traction et/ou torsion à froid, sans réduction sensible de section, - soit par tréfilage et/ou laminage à froid, avec forte réduction de section. Cet « écrouissage» a pour effet d'élever la limite d'élasticité dans le sens de la déformation sans que cela ait une incidence sur l'aptitude au soudage. Cependant l'allongement de rupture est généralement diminué, dans des proportions variables. Toutefois, les valeurs finales des caractères mécaniques ne sont pas acquises instantanément, mais seulement après un certain temps (2 à 3 semaines en été, 2 à 3 mois en hiver). Ce phénomène, appelé vieillissement, est général l . Le vieillissement peut être accéléré par un chauffage ne dépassant pas 250

oc.

Les conditions économiques et les recherches en matière de traitements thermiques (moins coûteux que l'opération complémentaire d'écrouissage) ont progressivement amené le déclin du procédé Tor consistant à écrouir l'acier par torsadage à froid. Le tréfilage et/ou le laminage à froid de barres ou fils de faible diamètre continuent par contre d'être assez répandus. JO) Traitement thermique Vers 1980, le Centre de Recherches Métallurgiques (CRM) en Belgique et l'Institut de Recherches de la Sidérurgie (lRSID) en France ont mis au point, chacun de leur côté, un procédé de traitement thermique des ronds à béton armé qui repose sur un principe très simple.

À la sortie du laminoir, la barre subit rapidement une trempe superficielle à l'eau, de manière à faire apparaître un anneau de martensite (figure 2.30) très résistante mais peu ductile, tandis que le cœur de la barre conserve une grande partie de sa chaleur.

1.

Pour les aciers naturellement durs, on observe au cours des deux premières semaines qui suivent le laminage une perte de limite d'élasticité d'environ 10 à 20 MPa accompagnée d'un gain de quelques % en allongement de rupture. C'est le contraire pour un acier écroui à froid (et non revenu ensuite) qui voit sa limite d'élasticité augmenter et son allongement de rupture diminuer.

100 Traité de béton armé Martensite

Ferrite et perlite

Figure 2.30

Lors du séjour de la barre sur le refroidissoir, les températures s'homogénéisent de façon naturelle dans la section: la martensite reçoit un apport de chaleur par conduction à partir du cœur resté chaud et subit donc un « auto-revenu» qui restaure la ductilité. Les barres ainsi traitées ont une limite d'élasticité supérieure de 100 à plus de 200 MPa à celle de barres qui auraient été laissées à l'état brut de laminage. Ce résultat est acquis sans qu'il ait été besoin d'augmenter la teneur en carbone, ce qui laisse intacte l'aptitude au soudage, ni d'ajouter des éléments «dispersoïdes » (Nb, V , Ti) coûteux. Ce résultat est également acquis sans altération de la ductilité, c'est-à-dire que le produit obtenu a une bOnne aptitude au façonnage. Enfin, avantage non négligeable, le coût du traitement thermique compte relativement peu dans le prix global de la fabrication. L'acier obtenu par ce procédé de fabrication a reçu le nom d'« acier Tempcore ».

2.32

Classification des produits

Compte tenu des rappels qui viennent d'être faits, les produits utilisés pour constituer les armatures du béton armé peuvent être classés: ]0)

Du point de vue de leur mode de production, en :

a) aciers laminés à chaud sans traitement thermique ou mécanique ultérieur (aciers «naturels »), dont les caractères mécaniques dépendent principalement de la composition chimique; b) aciers doux laminés à chaud, puis soumis à un traitement thermique approprié (voir § 2.315); c) aciers doux laminés à chaud, «d'écrouissage» (voir § 2.315).

puis soumis à un

traitement

mécanique

Chapitre 2 • Matériaux 101 2°) Du point de vue de la forme de leur surface, en : - barres lisses et fils tréfilés lisses, à section droite circulaire; - barres et fils à haute adhérence dont la surface latérale présente des aspérités judicieusement disposées (nervures, verrous), destinées à réduire la possibilité de glissement du produit dans la gaine de béton qui viendra l'entourer. Si leur aptitude au soudage le permet, ces barres et fils à haute adhérence peuvent être utilisés pour constituer des treillis soudés ou des« panneaux-pré-assemblés ».

3°) Du point de vue de leur aptitllde au soudage, en : - aciers non soudables, - aciers soudables.

2.33

Désignations officielles et appellations pratiques

1°) À la commande, la terminologie qu'il convient d'utiliser pour désigner les armatures concerne, à la fois, le processus de fabrication et le conditionnement. On doit distinguer ainsi: • les ronds lisses en barres droites (0 6 à 50 mm) qui peuvent provenir: - soit de ronds laminés à chaud eux-mêmes droits - soit de fil machine (voir § 2.313) redressé et livré droit. les barres à haute adhérence (barres HA) laminées à chaud (0 8 à 40 mm), et livrées en barres droites (parfois en couronnes pour les petits diamètres) ; e

• les fils-machine à haute adhérence (06 à 0 16 mm), laminés à chaud et livrés en couronnes pour les petits diamètres ou, après redressage à froid, en barres droites; • les fils à haute adhérence (0 4,5 à 0 16 mm), tréfilés et/ou laminés à froid à partir de fil machine et livrés en couronnes l pour les petits diamètres ou, après redressage à froid, en barres droites; • les fils lisses, tréfilés à partir de fil machine, utilisés autrefois uniquement sous la forme de treillis soudés. 2°) Dans le langage courant des bureaux d'études et des chantiers, cette terminologie n'est pas toujours respectée. On y désigne en effet le plus souvent sous les noms de: ..:..« aciers à béton », « fers à béton 2 « , «ronds à béton », l'ensemble des produits utilisés pour constituer les armatures du béton ;

- « barres », les produits laminés à chaud en barres droites;

1. Le redressage des produits livrés en couronne pose des problèmes particuliers et délicats (§ 2.39). 2. Éviter l'appellation « fers» pour « aciers» ou, ce qui est pire « ferrailles» pour « ferraillage» !

102 Traité de béton armé -« fils », les produits tréfilés et/ou laminés à froid, qu'ils soient livrés en barres droites l ou en couronnes; - « armatures », un ensemble ou un sous-ensemble de ferraillage. Ces différents produits sont couramment utilisés : a) soit sous forme de ferraillages traditionnels, composés de barres droites ou façonnées selon les formes prévues aux dessins d'exécution; les opérations de «façonnage» comprennent la coupe à longueur, le pliage, l'assemblage, le ligaturage ou le soudage s'il est autorisé, opérations exécutées soit en atelier soit sur le chantier de construction; b) soit sous forme de treillis soudés fabriqués en usine (voir § 2.343-1) et livrés au chantier sous forme de panneaux plans ou prépliés, ou sous forme de rouleaux lorsque le diamètre des fils constitutifs n'excède pas 5,5 mm. Il existe des panneaux (P) ou des rouleaux (R) standards sur stock intéressants sur le plan économique. Les panneaux standards peuvent être utilisés soit individuellement soit combinés. Il existe également des panneaux standards à la demande et des produits sur devis 2 ; c) soit sous forme d'armatures préfabriquées pré-assemblées, réalisées en usine ou dans un atelier forain, et livrées prêtes à l'emploi, c'est-à-dire en principe sans nécessité de façonnages complémentaires sur le chantier.

2.34

Description des différents types de produits 3

2.341

Barres laminées à chaud: ronds lisses, barres à haute adhérence

Si la section transversale d'une barre est constante et approximativement circulaire, on a un rond lisse, qui est toujours brut de laminage. Si la surface latérale est munie de nervures transversales (<< verrous»), celles-ci améliorent la liaison avec le béton et la barre est dite« à haute adhérence» (barre HA). Les barres à haute adhérence se présentent le plus souvent sous la forme de ronds munis en saillie de nervures droites, obliques ou hélicoïdales. Il en existe de nombreux types. L'augmentation de l'adhérence dépend beaucoup de l'importance et des dispositions des

1. « Fil » est une erreur d'appellation: un produit livré droit est toujours appelé « barre» même s'il s'agit d'un fil redressé. 2. Voir Le treillis soudé, Calcul et utilisation conformément alLl: Règles BAEL 91, Chapitre 1 - Génémlités, Association technique pour le développement de l'emploi du treillis soudé (ADETS). 3. Consommation en Fmnce pour 2008,2 202 628 tonnes réparties en : - ronds lisses: 12652 t (0,57 %) - barres HA : 634624 t (28,81 %) dont 284320 d'importation 212 184 t (9,63 %) dont 85559 d'importation - couronnes HA: - couronnes de fils lisses: 563 843 t (25,60 %) dont III 431 d'importation - treillis soudés: 779325 t (36,38 %) dont 193 078 d'importation.

Chapitre 2 • Matériaux 103 nervures. Le dessin de celles-ci est souvent étudié (verrous obliques) pour que la section du rond reste constante sur toute la longueur. Le profil d'une telle barre peut être obtenu: - soit directement, à la passe finisseuse du laminage à chaud: l'acier qui est alors « brut de laminage» provient soit de coulées d'acier élaborées spécialement, soit parfois d'aciers de récupération (acier à rails) relaminés ; - soit, plus rarement maintenant, par écrouissage par torsion à froid d'une barre à section non circulaire laminée à chaud (cas autrefois de l'acier Tor). Le torsadage, au pas de 8 à 12 diamètres, constitue une épreuve sévère de la qualité car il permet de mettre en évidence certains défauts et d'éliminer les barres défectueuses. Au cours de la torsion, les arêtes ou nervures prennent une forme hélicoïdale. Pour les diamètres supérieurs à 10 mm, il est indispensable de prévoir des nervures transversales ou «verrous» dont le rôle est de s'opposer à un dévissage éventuel de la barre dans le béton. En Europe, à la haute adhérence (HA) est toujours associée une haute limite d'élasticité (HLE) obtenue soit par la nature même de l'acier, soit par un écrouissage. Selon les pays, cette limite d'élasticité varie entre 400 et 600 MPa, la valeur de 500 MPa étant la plus fréquente. En Suède, on a été jusqu'à 900 MPa (acier KAM 90).

2.342

Ais tréfilés et/ou laminés à froid

Un fil tréfilé lisse est un fil machine lisse qui a subi une réduction de section par passage à froid dans une ou plusieurs filières (voir § 2.314). En raison de la régularité parfaite de la section et de l'état de surface résultant de leur mode de fabrication, les fils tréfilés lisses ont une adhérence très faible, bien inférieure à celle des ronds laminés lisses de même diamètre. Ils n'ont donc été utilisés que sous la forme de treillis soudés où ce sont les nœuds soudés, et non l'adhérence longitudinale, qui s'opposent à tout déplacement à l'intérieur du béton (voir § 2.343). Actuellement, on ne trouve plus que des treillis soudés constitués de fils à haute adhérence. Un fil tréfilé nervuré ou à empreintes est un fil machine lisse qui a été laminé ultérieurement à froid entre galets, cette opération pouvant ou non être précédée d'un tréfilage ou d'un laminage à froid: sa surface latérale présente, par rapport à la surface moyenne: - soit des nervures en relief(fil nervuré) ..:.- soit des défoncements en creux (fil à empreintes). Les fils à haute adhérence peuvent être utilisés: - soit tels quels, - soit sous forme de treillis soudés ou de panneaux pré-assemblés.

104 Traité de béton armé

2.343

Treillis soudés ou pré-assemblés

De manière générale, on appelle « treillis» des armatures préfabriquées qui se présentent sous la forme de réseaux plans constitués de fils et/ou de barres lisses et/ou à haute adhérence, de diamètres inférieurs ou égaux à 16 mm, qui sont assemblés rigidement entre eux en mailles généralement rectangulaires. La résistance des assemblages aux points de croisement peut, ou non, être prise en compte dans les calculs, ce qui amène à différencier très nettement: - d'une part les treillis (ou panneaux) soudés, d'autre part les treillis (ou panneaux) pré-assemblés.

2.343-1

Treillis soudés

L'appellation « treillis soudé» est réservée à tout treillis dans lequel : -l'assemblage des éléments constitutifs est obtenu par soudage de chaque point de croisement, effectué par résistance, en usine, sur machines automatiques; - la résistance au cisaillement des soudures est garantie car elle est mise en jeu dans la liaison de l'armature avec le béton, du fait de l'ancrage mécanique créé par la soudure d'un élément sur un élément perpendiculaire. L'écartement entre éléments constitutifs parallèles peut être constant ou varier, d'une façon discontinue, d'un endroit du treillis à l'autre. Les éléments constitutifs dans une même direction sont de même nature (généralement à haute adhérence) et présentent les mêmes caractères mécaniques garantis. Ils sont parfois grouPés par paquets de deux ronds, fils ou barres accolés.

2.343-2

Treillis pré-assemblés

Dans ce cas, les assemblages des barres sont réalisés : - soit par des ligatures, - soit par des soudures dont la résistance au cisaillement n'est pas garantie (et qui n'intéressent pas nécessairement tous les points de croisement), l'assemblage soudé devant toutefois résister aux sollicitations et aux chocs pouvant résulter des manutentions lors du stockage, du transport, du déchargement et de la mise en place; - soit par tout autre procédé: nœud plastique, collage, etc. La résistance des assemblages des treillis pré-assemblés est trop aléatoire pour pouvoir être prise en compte dans les calculs: la liaison des armatures avec le béton n'est donc çonsidérée comme assurée que par l'adhérence propre des barres constitutives.

Chapitre 2 • Matériaux 1 05

2.35

Documents normatifs

2.351

Normes

La qualité des armatures pour béton armé est définie par des caractères géométriques, mécaniques et technologiques (adhérence, façonnage, soudage) spécifiés dans chaque norme relative à chaque type d'armature.

a) Normes françaises Les normes auxquelles renvoie le titre 1 « Armatures pour béton armé » du fascicule 4 du Cahier des Clauses Techniques Générales (CCTG) applicables aux Marchés de l'État définissent respectivement: -les ronds lisses soudables (NF A 35-015 de novembre 2007) ; -les barres et couronnes soudables à verrous de nuance FeE500 et les treillis soudés constitués de ces armatures (NF A 35-016 de novembre 2007) ; - les barres et fils machine non soudables à verrous (NF A 35-017 de décembre 2007) ; -les armatures constituées de fils soudables à empreintes (NF A 35-019 de novembre 2007). D'autres normes visent les armatures galvanisées ou en acier inoxydable ou les barres de diamètre supérieur à 40 mm, etc. La liste comporte aussi un certain nombre de normes d'essais. Toutes ces normes sont appelées à être remplacées par des normes européennes. La norme principale est la norme EN 10080.

b) Norme européenne EN 10080 (norme AFNOR EN 10080, décembre 2007) Cette norme vise les armatures pour béton armé soudables. Elle couvre aussi bien les produits laminés à chaud que les produits tréfilés et/ou laminés à froid, à haute adhérence et de limite d'élasticité comprise entre 400 et 600 MPa. Elle définit trois classes de « convenance» A, B,C , dénommées « classes de ductilité» par l'EC 2 (voir § 2.372). Les aciers sont désignés par la lettre B, suivie de la valeur de la limite d'élasticité exprimée en MPa et de la lettre correspondant à leur classe de ductilité. Ex. : B500B au lieu de FeE500.

2.352

Certification

Autrefois soumis en France à la procédure d'homologation avec contrôle par la Commission Interministérielle d'homologation et de contrôle des armatures pour béton armé, les aciers pour béton armé sont maintenant « certifiés ». La certification a pour objet d'attester de la conformité des armatures aux normes. Les règlements de certification sont définis par l'EOTC (Organisation Européenne pour les essais et la certification) dans un groupe composé de représentants des organismes nationaux de certification et de représentants des producteurs et des utilisateurs. Pour la France, il s'agit de l'Association Française de Certification des Armatures du Béton (AFCAB), qui a pris la suite de la Commission interministérielle.

106 Traité de béton armé La création juridique de l'AFCAB remonte à décembre 1990. Elle a, depuis, établi un « Règlement de la certification et du contrôle des armatures industrielles pour le béton» et un « Règlement particulier de la marque NF-AFCAB « Armatures pour béton armé ». Les certifications NF-AFCAB se substituent aux fiches d'identification antérieurement délivrées par la commission interministérielle. Depuis le 1er janvier 1993, les aciers à béton, barres, couronnes, doivent: - être conformes aux normes AFNOR en vigueur et à des spécifications complémentaires indiquées au règlement particulier de l' AFCAB ; provenir d'une fabrication dont la qualité est contrôlée suivant les dispositions prévues par ce règlement; - avoir une origine identifiable.

2.353

Identification

L'identification de l'acier exige de connaitre : -le(s) producteur(s) et le nom du produit, - la nuance de l'acier, -le type de l'acier (mode d'obtention des caractères mécaniques) (famille), - les marques spécifiques de laminage, - les caractères géométriques avec leurs tolérances, -les caractères d'adhérence, - les aptitudes au façonnage et au soudage. L'identification d'un Producteur de barres HA se fait par un système de verrous normaux entre des verrous renforcés (figure 2.31). Pour les fils HA un système de points peut se substituer aux verrous renforcés. L'identification du pays d'origine est obtenue par le nombre n de verrous normaux entre verrous renforcés (ou entre points) avec:

n=1 n= 2 n= 3 n= 4 n =5

pour l'Allemagne, l'Autriche et la Suisse; pour la Belgique, les Pays-Bas et le Luxembourg; pour la France ; pour l'Italie; pour le Royaume-Uni, l'Irlande et l'Islande, etc.

Chapitre 2 • Matériaux 107 --+- Sens de lecture

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Début du

Pays n° 3

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Usine n° 15

«message»

Figure 2.31. Exemple de marquage d'identification d'un Producteur de barres HA

La disposition des verrous sur les deux chants d'une barre et leur inclinaison sur l'axe de celle-ci permettent de reconnaître par simple inspection visuelle la nuance et la classe de ductilité de l'acier (et, éventuellement, son aptitude au soudage - figure 2.41, § 2.383-2). Ces marques sont obtenues au laminage ou, pour les fils tréfilés, lors de leur crantage. Elles se répètent à chaque tour du cylindre de laminoir ou du galet de crantage.

2.36

Caractères géométriques

2.361

Barres et fils

Les caractères géométriques font l'objet de valeurs nominales affectées de tolérances qui définissent des bornes inférieure et/ou supérieure dont le respect est garanti par le Producteur. Les caractères géométriques comportent toujours la section nominale. Pour les armatures à haute adhérence (voir ci-après) ils comportent en outre des paramètres, définissant la forme de la section transversale, spécifiés dans les normes.

2.361-1

Caractères nominaux

Le diamètre nominal d'une barre (lisse ou HA) ou d'un fil (lisse ou HA) est le diamètre théorique à prendre en compte dans les calculs de résistance. Il est désigné par le symbole 0 (0 barré, mais prononcer« phi »). C'est ce diamètre qui doit être spécifié sur les plans et à la commande. Le diamètre nominal est défini comme le diamètre d'un cylindre de révolution du même métal, ayant la même masse linéique. Au diamètre nominal correspondent: . - une section nominale: aire du cercle ayant pour diamètre le diamètre nominal, - un périmètre nominal : longueur de la circonférence ayant pour diamètre le diamètre nominal. Pour les différents types de produits, la gamme des diamètres nominaux (en mm) et les caractères qui y sont associés sont donnés dans les tableaux 2.6, 2.7, 2.8 et 2.9.

108 Traité de béton armé Tableau 2.6. Gamme des diamètres nominaux en France (mm) Diamètres nominaux

5

4,5

Ronds lisses et barres HA

5,5

6 7

8

•

•

10

9

12

14

• •

Fils HA (1)

•

Treillis soudés

• • • • • • • •

20

16

• •

25

32

• •

40

50

• •

•

• * • * • •

(1) Diamètres 7 et 9 pour armatures préfabriquées seulement.

Tableau 2.7. Gamme des diamètres nominaux de la norme EN 10080 (mm) Barres Barres B 500 A et couronnes Barres B 500 B

10

12

14

16

• • • • • •

• •

• •

•

6

8

•

20

25

28

32

40

•

•

•

•

•

Tableau 2.8 Treillis-soudés

5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12 14 16

• • • • • • • • • • • • • • • •

B500A B500B

•

• •

•

• • • • • •

Tableau 2.9. Diamètres, sections, périmètres nominaux, masses linéiques des produits sidérurgiques utUisés en béton armé Diamètre nominal 0 (cm)

Section nominale (cm2)

Périmètre nominal (cm)

Masse linéique (kg/m)

4,5

0,159

1,414

0,125

5

0,196

1,571

0,154

5,5

0,238

1,728

0,187

6

0,283

1,885

0,222

6,5

0,332

2,042

0,261

7

0,385

2,199

0,302

7,5

0,442

2,356

0,347

Chapitre 2 • Matértaux 109 Diamètre nominal 0 (cm)

Section nominale (cm2 )

Périmètre nominal (cm)

Masse Iinéique (kg/m)

8

0,503

2,513

0,395

8,5

0,567

2,670

0,445

9

0,636

2,827

0,499

9,5

0,709

2,984

0,556

10

0,785

3,142

0,616

10,5

0,866

3,299

0,680

11

0,950

3,455

0,746

11,5

1,039

3,613

0,815

12

1,131

3,770

0,888

14

1,539

4,398

1,208

16

2,011

5,027

1,579

20

3,142

6,283

2,466

25

4,909

7,854

3,854

28

6,158

8,796

4,834

32

8,042

10,053

6,313

40

12,566

12,566

9,864

2.361-2

Forme de la surface latérale des barres et fils HA

La surface latérale des barres HA et des fils HA est pourvue de nervures ou « verrous» destinés à s'opposer au glissement de l'armature dans sa gaine de béton. Les nervures transversales et les nervures continues hélicoïdales remplissent une fonction semblable pour les barres et les fils machine. li en est de même des nervures transversales pour les fils nervurés ou à empreintes.

. a) Nervures transversales 011 « verrous» Les nervures transversales sont discontinues, de hauteur variable (en forme de croissant), et inclinées sur l'axe longitudinal de la barre ou du fil (figures 2.32 et 2.33). Elles ne sont normalement pas en contact avec les nervures continues éventuelles. Elles peuvent s'enrouler hélicoïdalement ou être disposées «en arête de poisson », cas de la figure 2.32).

11 0 Traité de béton armé Nervure transversale (verrou)

Nervure continue parallèle

à l'axe de la barre

Figure 2.32

~~I$

. .c.t:..~/.2~;....,N . . . . . . . •.• • • •.• • • •.•.• •'•.•.•.•.• .•./ ..• .

.

\..'

.... y ...

•

Figure 2.33

b) Nervures continues Les nervures continues sont des saillies prismatiques: - parallèles à l'axe de la barre ou du fil, lorsque l'acier est simplement laminé à chaud (nervure.s longitudinales, figure 2.32) : elles contribuent à éviter le « dévissage» de la barre ou du fil dans le béton lorsque toutes les nervures transversales sont orientées dans le même sens; - hélicoïdales, lorsque la barre est écrouie par torsion (figure 2.34)1 .

Nervure continue hélicoïdale

Nervure transversale (verrou)

Figure 2.34

Ce procédé de fabrication, maintenant abandonné, était celui de l'acier Tor (marque déposée) longtemps le plus vendu du marché. Il ne faut pas, comme le font encore certains bureaux d'études et certains chantiers, appeler « Tor» n'importe quel type de barre HA.

Chapitre 2 • Matériaux 111 c) Empreintes

Cette disposition ne se rencontre que pour les fils. Ceux-ci présentent des défoncements en creux par rapport à leur surface latérale extérieure (figure 2.35).

Figure 2.35

2.361-3

Caractères normalisés des barres HA ou fils HA

Les normes NF A 35-016 et NF A 35-019 définissent les différents critères géométriques de forme relatifs : - aux verrous: hauteur minimale, écartement moyen ou maximal, longueur et inclinaison sur l'axe de la barre ou du fil (ainsi que le pas de torsadage et la hauteur minimale des nervures dans le cas des barres torsadées) ; - aux nervures continues éventuelles (hauteur minimale, pas) ; - aux empreintes: profondeur minimale, écartement maximal, inclinaison minimale sur l'axe longitudinal du fil, ainsi que la largeur minimale du relief entre deux empreintes successives d'une même série et longueur minimale de celles-ci.

2.362 . Treillis soudés Les caractères géométriques, qui concernent les dimensions des mailles avec des tolérances diverses sur les distances entre éléments constitutifs, sur la longueur de ceux-ci, l'équerrage des mailles, etc., sont donnés dans les normes NF A 35-016 et A 35-019. Les valeurs nominales des dimensions des mailles, mesurées par les espacements entre axes des éléments constitutifs parallèles, et exprimées en mm, appartiennent normalement à la série suivante: 75 100 125 150 200 250 300 La valeur de 75 mm entre éléments constitutifs parallèles ne se rencontre que dans le cas où le diamètre nominal de ces éléments est au plus égal à 12 mm.

·2.37

Caractères mécaniques

Les caractères mécaniques auxquels les normes font référence sont: -la limite d'élasticité en traction (apparente dans le cas des aciers naturels, conventionnelle dans le cas des aciers écrouis) ; -la contrainte de rupture par traction; -l'allongement sous charge maximale;

112 Traité de béton armé -l'allongement de rupture par traction (base de la mesure: 5 0). a) La limite d'élasticité et la contrainte de rupture par traction sont conventionnellement rapportées à la section nominale d'une barre et non à sa section réelle. Pour les treillis soudés, ces caractères (et l'allongement de rupture) sont mesurés sur des constituants comportant, en leur milieu, un élément transversal soudé. Les modes opératoires sont ceux décrits dans les normes particulières relatives aux éléments constitutifs. b) Allongement sous charge maximale:

Certaines méthodes de calcul font systématiquement appel à l'adaptation plastique des matériaux. De même, dans le cas de structures soumises à des sollicitations accidentelles telles que séismes, chocs, etc., ou exposées à des situations accidentelles, telles qu'un incendie, il peut se produire, localement, des redistributions d'efforts: la sécurité de la structure dépend alors de la capacité de déformation que présentent les matériaux dans leur domaine plastique. Pour l'acier, cette capacité de déformation est caractérisée par l'allongement total pour cent sous charge maximale dont la détermination est définie par la norme NF EN ISO 15630-1. Cet allongement est l'allongement maximal pris par une éprouvette au cours d'un essai de traction avant que n'apparaisse l'amorce d'un phénomène de striction en une section quelconque de celle-ci. La norme retient comme principe de «mesurer, sur le fragment le plus long d'une éprouvette ayant été soumise à un essai de traction, l'allongement non proportionnel sous charge maximale, à partir duquel est calculé l'allongement total pour cent sous charge maximale» (ce dernier est noté AgI)' En adoptant les notations de cette norme, l'allongement total sous charge maximale, exprimé en %, est constitué par la somme (figure 2.36) : - de l'allongement pour cent non proportionnel (allongement plastique rémanent) Ag déterminé comme indiqué ci-après; - d'un allongement élastique égal à 100 R", (retour élastique, Rm: contrainte correspon-

Es

dant à la charge maximale). On a donc, en exprimant Rm en MPa et, compte tenu de ce que Es = 2.105 MPa,

R A =A +-"'gr g 2000

[2.22]

Chapitre 2 • Matériaux 113 Contrainte (MPa)

IRm

.------------~~--~--­ 1

1 1

--

....

...... , ..

Zone de striction

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

°1:::=====-Ag....;:;-'-Ag-=--t------~...~·+-i-==,.+oi.:--10-~-:-m------->",.

Allongement (%)

Figure 2.36 La méthode de détermination de l'allongement total sous charge maximale consiste à mesurer l'accroissement de longueur entre des repères délimitant une zone concernée ni par la striction, ni par l'effet des mors de la machine de traction. Conventionnellement, la base de mesure doit être située à une distance au moins égale à 5 0 de la striction et à 2,50 de l'extrémité des mors (figure 2.37) : Limite de la mâchoire Strictipn -JI>-

Çl~tii~z··,ü.·•• illl.·OO••·.·.·.w·.·.·.·.·ü··IiiiJ·.·.·.·.w.·.·.·.w.·.·.·••iiiJ·••

iiiil~.·iiiJ·.·•• ·.w·Iw,····iiiJ·.·•••·.·ü••···•••·w·····'w·····w.·•••·lli$·I~•. • ·w·••·w······@····w·:··OO··:·ii$·'··w···:w·.·w·····m

·.·q.·.·•.·f@···i4]@.··· ••·••

50

1.

B.~d.~~~

.1

2,50

Figure 2.37 La valeur initiale 10 de la longueur entre repères, fonction de la valeur escomptée pour Ag, est normalement prise égale à : - 100 mm pour les barres (A gt > 5) ; - 50 mm pour les fils (2 ~ Agt ~ 5). Deux séries de marques équidistantes sont faites sur l'éprouvette, ces deux séries étant décalées d'environ loi 2. La longueur minimale de la base de mesure est au moins égale . à 10' Pour les aciers nervurés, les marquages se font en fonction du pas des verrous.

La longueur ultime entre repères étant lu, on a Ag

= III - /0 .100 10

d'où l'on déduitAgt par

la formule [2.22]. Une autre méthode, couramment employée au Bénélux, consiste à déterminer l'allongement sous charge maximale à partir des allongements de rupture mesurés respectivement sur des bases de 10 0 et de 5 0 (figure 2.38) ce qui revient à considérer les

114 Traité de béton armé allongements hors striction (/uhs) 1 et (/uhs)2 de part et d'autre de la section de rupture. De cette manière l'allongement uniforme caractérise la ductilité de l'acier dans sa zone a priori la moins résistante. Cette deuxième méthode nécessite un tracé fin et précis des repères ; on a : - avant striction: AA'= 100 BB'= 50

AB + A' B'= 5 0

10 0 (1 + AIO ) - 5 0 (1 + As ) 100 100

ou

=5 0

(1 + Agi + Ag2 100

J

1

d'où

Figure 2.38.

Les essais comparatifs qui ont été effectués montrent que cette méthode donne des valeurs de. résultats d'essais plus élevées, donc plus favorables, que la première.

2.371

Prescriptions des normes NF et des Règles BAEL

a) Limite d'élasticité garantie Dans les calculs, l'acier est défini par la valeur garantie, notée le, de sa limite d'élasticité. Cette valeur correspond sensiblement à une valeur caractéristique requise d'ordre p = 0,025 (voir § 2.213-1, 1°).

1.

A

A

100

100

~ et ~ représentent respectivement les allongements unitaires des tronçons AB et NB'. De façon générale,

1+ I.l/ =1( 1+

~/) .

Chapitre 2 • Matériaux 115 Pour les aciers certifiés, un contrôle extérieur effectué en usine (VCU) vient se superposer au contrôle du producteur et vérifier la fiabilité de ce dernier contrôle. Ceci pennet de donner une définition statistique précise de la notion de garantie (c'est-à-dire de la frange limitée de la production qui peut tomber hors des limites spécifiées). Les désignations conventionnelles, les nuances et les limites d'élasticité correspondantes des produits actuellement sur le marché sont (Fe pour acier ou « fer », E pour élasticité, TS pour treillis soudé) : - ronds lisses FeE 215,1e = 215 MPa : emploi très courant autrefois; - ronds lisses FeE 235, le = 235 MPa: utilisés uniquement et obligatoirement pour constituer les épingles de levage des éléments préfabriqués; - barres et fils tréfilés ou laminés HA FeE 500, le = 500 MPa, emploi généralisé sous forme de barres droites ou de treillis soudés ; - treillis soudés HA (TSHA) fonnés de fils HA FeE 500,1e = 500 MPa, emploi courant. b) Diagramme contraintes-déformations (BAEL, art. A-2.2,2)

Pour les calculs sous sollicitations normales (voir chap. 6 à Il), on substitue aux diagrammes expérimentaux le diagramme idéalisé suivant qui se compose conventionnellement: - de la droite de Hooke, de pente Es = 200 000 MPa, indépendante de la nuance de l'acier, - d'un palier horizontal d'ordonnéele. Remarque:

II est toutefois loisible d'utiliser une forme de courbe se rapprochant du diagramme réel de l'acier employé, à condition de se référer à la valeur garantie de la limite d'élasticité le et de contrôler la contrainte prise en compte pour l'allongement de 10 %0. c) Valeur garantie de l'allongement sous charge maximale (BA EL, art. A.2.2.2) Cette valeur est de : - 5 % pour les barres HA ; - 2 % pour les treillis soudés.

116 Traité de béton armé

Pente Es ------------~--~~--~--------------------~€s

Figure 2.39

Remarque: Il convient de noter que les Règles BAEL ne se réfèrent plus nulle part ensuite à des conditions de ductilité minimale pour les aciers.

2.372

Prescriptions de l'EC2

Le tableau Cl de l'annexe C dont le tableau 2.10 est extrait donne les valeurs caractéristiques de la limite d'élasticité en traction (apparente ou conventionnelle à 0,2 % d'allongement rémanent) /yk et de l'allongement sous charge maximale 8uk (voir figure 2.40). La limite d'élasticité en compression est prise aussi égale à/yk. Les valeurs de/yksont rapportées à la section nominale.

a) Classes de ductilité La ductilité d'un acier de béton armé est caractérisée par les valeurs nominales de: - &uk(figure 2.40) ; - la valeur caractéristique du rapport (fr //y). L'EC2, suivant en cela la norme EN 10080, définit trois classes de ductilité: - classe A:

ductilité normale (treillis formés de fils tréfilés ou laminés à froid),

. - classe B:

haute ductilité (barres laminées à chaud et treillis formés de fils laminés à chaud),

- classe C:

très haute ductilité (aciers réservés à des usages spéciaux; constructions parasismiques).

Cette différence de comportement du point de vue de la ductilité est prise en compte dans l'analyse structurale (voir § 3.524). Les confusions entre barres de nuances ou de classes de ductilité différentes sont évitées grâce à un marquage spécifique.

Chapitre 2 • Matériaux 117 Tableau 2.10 Barres et fils redressés

Forme du produit

Exigence ou valeur du fractile

Treillis soudés

( %) Classe

A

B

Limite caractéristique d'élasticité.t;,k ou fo.2k (MPa) Valeur minimale de

k=(j;/fyt Valeur caractéristique de la déformation relative sous charge maximale, Euk ( %)

A

C

B

C

5,0

400 à 600 (1)

;::: 1,05

;::: 1,08

;::: 2,5

;::: 5,0

;::: 1,15

< 1,35

;::: 7,5

;::: 1,05

;::: 1,08

;::: 2,5

;::: 5,0

;::: 1,15

< 1,35

;::: 7,5

10,0

10,0

(1) Pour l'Annexe nationale, la valeur maximale de /yk à utiliser est généralement de 500 MPa. Les normes NF A 35-016 et A 35-017 de novembre et décembre 2007 ont adopté les nuances B500A, B500B, B540B et B540C.

b) Diagramme contraintes-déformations (art. 3.24 et 3.27 de L'EC2) Pour l'analyse globale, les vérifications locales ou le calcul des sections, il est permis de substituer aux diagrammes expérimentaux de la figure 2.40 des diagrammes idéalisés (Es = 200 GPa) choisis de manière à donner des approximations dans le sens de la sécurité. L'EC2 propose d'adopter (voir figures 5.3 et 7.58) : 1. soit un diagramme à branche supérieure horizontale (comme dans les Règles BAEL) sans limite pour la déformation de l'acier; 2. soit un diagramme à branche supérieure inclinée, mais avec une déformation de l'acier limitée à Eud = 0,9.Euk'

Remarque: La norme EN 10080 introduit également un critère de résistance à la fatigue (EC2, art. 3.2.5 et tableau C2N). Jusqu'à présent, ce caractère n'était pas pris en considération en France pour les armatures de béton armé.

118 Traité de béton armé cr

cr

ft = kfyk

- - - - - - -- - - - -:..:;;-... - _ - , -_ _

ft = kfO,2k fO,2k

fyk - - -

o ~1~f--___EU_k_ _ _Jol.1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

"1±=

0.2 % Euk

.1

Figure 2.40. Types de diagrammes contraintes-déformations pour les aciers de béton armé

2.38

Caractères technologiques

Les caractères technologiques sont: -l'absence de défauts préjudiciables à l'emploi, - l'aptitude au façonnage, définie par référence à des essais de pliage et de pliage suivi de dépliage, et garantie par le Producteur, -l'aptitude d'une barre à assurer les liaisons mécaniques entre elle et le béton qui l'entoure (caractères d'adhérence), - l'aptitude au soudage. Pour les treillis soudés, vient s'ajouter à ces caractères une résistance minimale au cisaillement des assemblages soudés, garantie par le Producteur.

2.381

Aptitude au façonnage

II faut distinguer les conditions de laboratoire et les conditions de chantier.

2.381-1

Conditions de laboratoire

. En laboratoire, l'aptitude au façonnage s'apprécie par des essais de pliage ou de pliage suivi de dépliage. Ce dernier, qui constitue un test de «non-fragilité» peut servir à déterminer le diamètre du plus petit mandrin qui donne un essai bon pour une barre donnée. On appelle ce mandrin: «mandrin critique ». Le diamètre de mandrin garanti doit évidemment être supérieur à celui du mandrin critique.

Les angles de pliage et de dépliage choisis (50 et 30 grades) sont conventionnels. Après pliage et avant dépliage, l'acier est« vieilli» par immersion durant plusieurs minutes (- 30 rnn) dans

Chapitre 2 • Matériaux 119 l'eau bouillante. Le choix de la température de vieillissement est purement conventionnel. Il est donc difficile de considérer le résultat de l'essai comme une mesure certaine de l'aptitude au façonnage. Ce résultat permet cependant de signaler les aciers dont le vieillissement après déformation augmente sensiblement la raideur et sans doute la fragilité.

2.381-2

Conditions de chantier

Des aciers satisfaisant aux conditions de pliage indiquées dans les spécifications (plus ou moins basées sur les diamètres minimaux garantis des mandrins de pliage) ont autrefois donné lieu à des ruptures au façonnage sur le chantier. La raison tenait à ce que trop souvent, aussi bien sur les chantiers que dans les ateliers, le façonnage des armatures à haute adhérence de nuance FeE 400 ou FeE 500, était conduit de la même manière que celui des ronds lisses en acier doux (FeE 215). Par ailleurs, le producteur d'acier ne peut prévoir les traitements malencontreux auxquels les barres sont exposées sur le chantier. Parmi les mauvais traitements qui ont le plus attiré l'attention, on a noté le pliage par temps froid l, le dépliage intempestif de barres au cours du façonnage et l'emploi de cintreuses mal adaptées à leur fonction. Le façonnage à la machine est maintenant toujours conseillé. Il est plus progressif que le façonnage à la main pour les barres de diamètre supérieur 14 mm. Les plieuses sont du type « à mandrin» ou du type « à trois galets ». Dans les premières, la barre est engagée sur le mandrin et pliée sur celui-ci sous l'action d'un effort exercé par un taquet agissant suivant un cercle concentrique au mandrin. Si la distance du taquet au mandrin n'est pas judicieusement déterminée, la régularité de courbure en souffre et les nervures s'écrasent facilement sous le taquet (et sur le mandrin également si l'on n'a pas pris la précaution d'augmenter la surface d'appui en prévoyant un mandrin à gorge); il arrive aussi que certaines machines n'aient pas de mandrins de rechange ou que le personnel d'exécution néglige de changer de mandrin lorsque le diamètre des barres varie; enfin on ne trouve généralement pas dans le commerce de mandrin de diamètre suffisant pour les très grosses barres (ou bien c'est le chantier qui n'en dispose pas). Les cintreuses à trois galets, dans lesquelles la courbure est obtenue par pression du galet central, ont le grave inconvénient de nécessiter plusieurs passes, de donner des pliures avec des courbures non continues et de provoquer des détériorations des nervures, Le résultat satisfaisant à l'oeil est obtenu par pliages successifs et parfois par des dépliages susceptibles de provoquer des amorces de rupture. Pour éviter des incidents graves et obtenir sur les chantiers courants des pliages corrects, les recommandations d'emploi conseillent d'adopter des diamètres de pliage nettement supérieurs aux valeurs minimales garanties. 'Une distinction doit être faite entre le cas des armatures «transversales» (étriers ou cadres) pour lesquelles certaines déficiences ne sont pas trop graves, celui des ancrages aux extrémités des barres, et celui des coudes (barres relevées à 45°, armatures principa-

1. Des essais effectués par le Centre de recherches métallurgiques du Bénélux ont montré que moyennant certaines précautions, le pliage d'aciers trempés auto-revenus (Tempcore) était possible sans aléas, même pour des températures nettement inférieures à 0 oc.

120 Traité de béton anné les de poutres ou de consoles parallèles à un parement présentant un changement de direction) où les risques de dépliage au façonnage sont les plus grands. En effet d'une part, plus le diamètre augmente, plus le façonnage devient difficile, d'autre part, si dans les ancrages il n'y a pas normalement nécessité de revenir sur un façonnage initial de la barre, avec les barres coudées, la correction nécessaire ne peut parfois être obtenue que par un dépliage intempestif. Ce dépliage comportant de gros risques, le cintrage des barres doit toujours être conduit de telle façon que la correction éventuelle du coude soit réalisée par une accentuation du pliage et non par dépliage. Un problème qui se rattache à celui-ci est celui des épingles de levage pour la manutention des éléments préfabriqués, pour la confection desquelles il convient de n'utiliser exclusivement que des ronds lisses de nuance Fe E 235', en raison des contraintes et déformations auxquelles ces épingles sont exposées. En effet, pour la nuance Fe E 235, des fourchettes d'élaboration plus serrées au niveau de l'analyse chimique permettent de garantir des performances plus élevées en ce qui concerne l'aptitude au façonnage (pliage, pliage suivi de dépliage) et l'aptitude au soudage, que pour la nuance Fe E 215 qui est celle parfois encore utilisée en ronds lisses, mais qui est aussi celle pour laquelle les tolérances à la production sont les plus larges. Des dépôts régionaux d'acier Fe E 235 existent chez un nombre limité de « marchands de fers» (pour la liste des dépôts, voir le fascicule OTUA « Aciers pour béton armé »).

2.382

Caractères d'adhérence

L'adhérence d'une barre au béton qui l'enrobe constitue l'un des phénomènes les plus complexes des constructions en béton armé. Elle a fait l'objet de nombreuses théories parmi lesquelles il est encore difficile de dégager une position qui ne soit pas susceptible d'être controversée. Il est en effet difficile de représenter cette notion par des modèles fiables. Les divers essais que l'on peut faire pour contrôler les qualités d'adhérence d'une barre ou d'un fil, ainsi que les prescriptions réglementaires concernant l'adhérence sont étudiés en détail au chapitre 4.

2.382-1

Barres ou fils

a) Surface relative des verrous Conventionnellement, la norme EN 10080 caractérise l'adhérence par un coefficient appelé « surface relative des verrous» dont la définition, due au Professeur Rehm en Allemagne, est purement géométrique: il s'agit en effet de la surface des verrous transversaux projetée sur la section droite de la barre et rapportée au produit de la circonférence nominale par la distance moyenne entre ces verrous.

1 Ne jamais

utiliser pour ces épingles des barres HA quelle que soit leur nuance.

Chapitre 2 • Matériaux 121 Selon l'EN 10080, pour les barres n'ayant pas subi un traitement d'écrouissage par torsion, cette surface relative IR peut être déterminée au moyen de la relation (notations de l'EN 10080) : .. _ kFR sin~ 1t d c

JR -

où: k

nombre de files de verrous obliques ou transversales,

FR

aire de la section longitudinale d'une nervure selon son axe (F = Flache = aire),

~

angle formé par les verrous transversaux avec l'axe de la barre,

d

diamètre nominal de la barre,

c

distance entre les sections droites passant par les points homologues de deux verrous transversaux consécutifs de la même file.

Concernant cette surface relative, les conditions pour que les barres puissent être considérées comme à haute adhérence sont:

IR ~ 0,035

pour 5 :::; 0:::; 6 mm ;

IR ~ 0,040

pour 6,5:::; 0:::; 12 mm;

IR ~ 0,056

pour 0 > 12 mm.

Cette not,ion de surface relative et les critères qui y sont associés ont amené les Allemands à pousser à un très haut degré le contrôle des formes géométriques, qui exige pour une seule éprouvette la mesure dix fois répétée de 5 ou 6 paramètres. Ceci est réellement excessif car les dispersions observées sur les différents paramètres sont tout à fait négligeables devant les dispersions des mesures d'adhérence elles-mêmes. Bien que figurant dans l'EN 10080, cette notion de surface relative des nervures demeure discutable. Il a existé des aciers dont l'adhérence était expérimentalement correcte bien que leur surface relative ne satisfasse pas aux exigences indiquées ci-avant. b) Coefficient de fissuration et coefficient de scellement

L'aptitude d'une barre à rester solidaire de la gaine de béton qui l'enrobe en dépit des forces qui tendent à la faire glisser suivant son axe est définie en France par deux coefficients sans dimensions: - l'un Tt, appelé coefficient de fissuration, qui est pris en compte dans les calculs relatifs à la fissuration, -l'autre 'l's, appelé coefficient de scellement, qui intervient dans le calcul des ancrages. Les caractères géométriques liés à l'adhérence (hauteur, écartement, longueur, inclinaison des nervures ou des empreintes) sont ceux définis pour différents profils-types dans les normes NF A 35-016 ou NF A 35-019. Après avoir longtemps estimé en France que les caractères d'adhérence ne pouvaient être fixés qu'après essais (voir § 4.23) on

122 Traité de béton armé considère maintenant que sont réputés « à haute adhérence» les barres ou fils qui respectent les critères géométriques (assortis de tolérances) fixés par les normes précitées. Lorsqu'il en est ainsi les coefficients d'adhérence sont pris alors égaux: - en ce qui concerne le coefficient de fissuration à : 11 = 1

par définition, pour les ronds lisses bruts de laminage

11 = 1,6

pour les barres HA courantes quel que soit 0 et pour les fils HA 0 2: 6 mm

11 = 1,3

pour les fils HA 0 < 6 mm

- en ce qui concerne le coefficient de scellement, à : 'Ils

=1

'Ils = 1,5

par définition, pour les ronds lisses bruts de laminage qu'il s'agisse de barres HA ou de fils HA et quel que soit le diamètre.

Esquisse de la signification physique de ces deux coefficients Pour l'origine expérimentale des valeurs numériques de 11 et 'Ils indiquées ci-avant, se reporter à § 4.231-2 et § 4.232.

1°) Coefficient de fissuration 1/ Considérons deux prismes en béton à section carrée, de longueur au moins égale à 10 fois le côté du carré et traversés chacun suivant leur axe par une barre lisse de nuance douce dans un cas, à haute adhérence et à haute limite d'élasticité dans l'autre, de même diamètte. Soumettons les deux barres à un même effort de traction (assez élevé, mais nettement inférieur à la limite d'élasticité la plus faible). Soit nL et nHA le nombre total de fissures transversales qui sont apparues dans le béton qui enrobe les barres. On constate que grossièrement (car les choses ne sont pas aussi simples, voir figure 4.10):

Or un nombre élevé de fissures entraîne, à contrainte égale de l'acier, une réduction de leur ouverture moyenne W m • Par exemple, si W m = 0,16 mm pour la barre lisse, on constate que W m ~ 0,1 mm pour la . barre HA. Donc, à contrainte égale, la fissuration étant plus fine, le risque de corrosion est moindre avec une barre HA qu'avec une barre lisse. Si l'on accepte maintenant la même ouverture moyenne dans les deux cas, on pourra tolérer en principe pour les barres HA des contraintes 1,6 fois (ou si l'on préfère « 11 fois») plus élevées que pour les ronds lisses. Là réside le succès rencontré par les barres à haute adhérence: la haute limite d'élasticité autorise en service des contraintes plus élevées que pour les aciers doux et

Chapitre 2 • Matériaux 123 donc une économie sur la section d'acier, sans que cet avantage ne soit acquis au détriment d'une fissuration excessive. C'est bien en effet grâce aux reliefs en saillie sur leur surface latérale que les barres HA ne peuvent pas glisser dans le béton aussi facilement que des ronds lisses et que la fissuration peut se distribuer tout au long de la pièce.

2°) Coefficient de scellement 'fis Cherchons maintenant à extraire de deux blocs de béton (essai de «pull-out », voir § 4.231-1), deux barres droites, l'une lisse, l'autre à haute adhérence, de même diamètre et enrobées sur la même longueur. Soit F L et F HA les forces de traction nécessaires pour extraire respectivement la barre lisse (Fd et la barre à haute adhérence (FHA ). Grossièrement (car les choses ne sont pas aussi simples, voir § 4.231) il faut exercer une force plus grande pour extraire la barre à haute adhérence que pour extraire la barre lisse, ces forces étant telles que:

Si

\jf; =(1,5)2 = 2,25, cela signifie que l'on peut:

- soit « ancrer» la même force sur une longueur 2,25 fois plus courte pour une barre HA que pour une barre lisse de même diamètre (mais ce n'est pas ainsi que se pose généralement le problème) ; - soit, pour une même « longueur d'ancrage» autoriser une force 2,25 fois plus élevée dans la barre HA que dans la barre lisse (c'est par exemple le cas d'une barre HA Fe E 500 et d'un rond lisse Fe E 215, 500/215::::: 2,25, pour lesquels on aboutit à la même longueur d'ancrage, voir formule [4.6] et tableau 4.5).

Remarque: Dans le cas exceptionnel de barres ou de fils qui ne respecteraient pas les critères géométriques définis par les normes, il conviendrait de procéder à des essais d'adhérence (voir § 4.23), de manière à justifier expérimentalement que les caractères d'adhérence de ces barres ou fils sont bien au moins égaux à 11 = 1,6 (ou 1,3) et 'l's = 1,5 respectivement.

2.382-2 Treillis soudés Les Règles BAEL 91 indiquent que: - pour les treillis soudés constitués par des fils tréfilés lisses, le coefficient de fissuration 11 doit être pris égal à 1, mais de tels treillis ne sont pratiquement plus utilisés. - pour les treillis soudés formés de constituants autres que les fils lisses, le coefficient 1) doit être pris égal au coefficient de fissuration des éléments constitutifs.

124 Traité de béton armé En ce qui concerne le coefficient de scellement 'Vs : -lorsque les règlements prévoient que l'ancrage des éléments constitutifs est assuré uniquement par les soudures (ce qui était le cas des treillis soudés formés de fils lisses), il n'y a pas lieu de fixer une valeur à ce coefficient l, - dans le cas contraire (TSHA), la valeur de ce coefficient est prise égale à celle du coefficient des éléments constitutifs.

2.383

Aptitude au soudage

On appelle soudage l'opération de micro-métallurgie consistant à exécuter la fusion d'une zone de métal, avec ou sans métal d'apport, liant intimement les deux bords de deux pièces à assembler. Le résultat de l'opération de soudage est appelé soudure.

2.383-1

Principes généraux

Le soudage des armatures concerne à la fois divers types d'assemblage et différents procédés. Au niveau de l'assemblage unitaire de deux barres, les conditions définies par la norme visent: - le soudage en croix effectué par résistance, -le soudage bout à bout ou par recouvrement effectué avec électrode enrobée (manuel à l'arc, ou semi-automatique sous gaz protecteur). Le soudage par résistance n'est normalement admis qu'en atelier c'est-à-dire dans un local abrité des intempéries, disposant du personnel qualifié et du matériel nécessaire pour la réalisation de soudures correctes. Pour cette raison, le soudage en croix (0:S 20 mm) est un mode de soudage fréquent dans les ateliers de préfabrication d'armatures, où il est utilisé pour réaliser des éléments bi- ou tridimensionnels (treillis soudés ou pré-assemblés, ou cages d'armatures). En revanche, les soudages bout à bout (0 2: 20 mm) ou par recouvrement (0 < 20 mm), qui n'exigent pas nécessairement un site totalement abrité des intempéries, constituent deux modes de soudage qui peuvent être utilisés sur le chantier, même si ce n'est pas très courant. On les emploie surtout dans des cas particuliers pour assurer ou rétablir la continuité mécanique des armatures (exemples: cas où les longueurs commerciales sont trop courtes, manque de place en chantier urbain, reprise de barres en attente, réparation d'une erreur de conception ou d'exécution, ouvrages très particuliers: galeries, cais. sons, grands ouvrages d'art). On peut souder de cette manière soit deux barres individuelles isolées, soit des armatures préalablement soudées en croix lorsque la longueur des éléments doit être limitée pour des raisons d'encombrement lors de leur transport ou de leur mise en place.

1. Dans un treillis soudé, chaque soudure doit être capable de résister à un effort de cisaillement au moins égal à 30 % du produit de la limite d'élasticité garantie par la section nominale du fil ancré.

Chapitre 2 • Matériaux 125 Les chantiers de centrales nucléaires ont provoqué le développement des techniques de «raboutage », car les densités de ferraillage de certaines parties d'ouvrages sont si importantes (de l'ordre de 700 à 1000 kg d'acier par m3 au lieu de 80 à 150 kg/m 3 couramment), qu'elles rendent impossibles les jonctions par recouvrement traditionnelles (voir § 4.6). À titre d'exemple, pour la centrale de Creys-Malville, les CPS de l'appel d'offre prévoyaient l'exécution de plus de 10 000 soudures bout-à-bout ou par recouvrement.

2.383-2

Conditions auxquelles sont soumis les aciers dits cc soudables »

En principe, quelle que soit sa composition chimique, n'importe quel acier pourrait être soudé à condition d'y mettre le temps, les moyens et le prix. L'aptitude au soudage des aciers pour béton armé ne concerne donc en fait que l'aspect pratique et économique de cette opération. L'idée de base est que le soudage des aciers à béton doit pouvoir être effectué au moyen de procédures applicables de manière simple sur chantier et ne nécessitant pas un soudeur hautement qualifié. La qualité des opérations de soudage est en effet fonction de deux types de paramètres: - ceux inhérents à l'acier; - ceux inhérents au matériel de soudage et au niveau de qualification de l'opérateur. Dans la pratique courante en France: - tous les aciers conformes aux normes NF A 35-015 et A 35-016 sont aptes au soudage par étincelage -les ronds lisses Fe E 235 sont aptes au soudage à l'arc et en croix par résistance, de même, généralement, que les barres HA obtenues par traitement thermique, ou par écrouissage à froid, d'un acier doux. Pour qu'un acier à béton ait droit à la mention « soudable» au sens précédemment donné à ce terme, l'analyse de sa composition chimique, faite sur le produit livré, doit respecter simultanément les conditions: C::; 0,25 %

C eq

=C + Mn :::; 0,48% 6

(carbone« équivalent»)

Cette aptitude est en outre contrôlée par des essais de cisaillement, de traction, de pliage .sur joint soudé pour le soudage par résistance, de traction et de pliage sur joint soudé pour le soudage à l'électrode. Pour les barres HA, une simple inspection visuelle permet de distinguer une barre soudable d'une barre non soudable: en effet, l'espacement des «verrous» transversaux n'est pas le même sur chacun des deux chants de la barre (figure 2.41). Seul l'acier Tor, acier souda.ble, créé antérieurement à cette convention de marquage, ne la respectait pas. Cet acier constituait donc une exception pour les aciers soudables, mais on pouvait facilement le reconnaître grâce à ses nervures continues hélicoïdales.

126 Traité de béton armé

Barre HA soudable

Barre HA non soudable

Figure 2.41

II est rappelé que l'EN 10080 n'envisage que l'emploi d'aciers soudables.

2.39

Redressage des aciers livrés en couronnes

Une large part des ronds lisses est constituée par du fil machine vendu en couronnes et redressé chez les « marchands de fer », les « armaturiers » ou les « préfabricants ». Les barres HA de petit diamètre sont, elles aussi, souvent livrées en couronnes. Le redressage peut être effectué sur deux types de machines : - les redresseuses à cadres tournants - les redresseuses à galets. Pour les ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235, cette opération ne présente en principe aucune difficulté. Pour les barres HA en revanche, les difficultés sont de deux ordres: - pour les aciers « naturellement durs », il existe des dresseuses modernes qui permettent moyennant certaines précautions de redresser jusqu'à 0 12 mm. Au-delà, ou bien le prix de revient du redressage devient prohibitif, ou bien l'acier est « matraqué» : les verrous sont écrasés, ce qui est non seulement préjudiciable à l'adhérence mais peut aussi amener de sérieux risques de fragilisation locale des barres; - pour les aciers écrouis et en particulier pour les fils tréfilés HA, le redressage provoque une détension partielle des contraintes internes, ce qui réduit la limite d'élasticité de quelques pour-cent. Pour les aciers écrouis livrés en barres, ce problème est l'affaire du producteur. En ce qui concerne les aciers livrés en couronnes et redressés par l'utilisateur, une enquête faite autrefois sur un certain nombre de chantiers a montré que, trop souvent, il était fait usage d'un matériel inadapté, et que de plus le personnel exécutant l'opération de redressage n'était pas qualifié. En conséquence, les réglages nécessai. res et les adaptations indispensables en fonction de la nature de l'acier et de son diamètre, ou bien n'étaient pas faits, ou bien l'étaient incorrectement (on a pu par exemple constater dans certains cas que des barres HA livrées en couronnes avaient, après redressage, perdu leurs nervures de surface et avaient même subi une réduction de diamètre !). Le redressage est donc une opération qui demeure toujours délicate.

Chapitre 2 • Matériaux 127

2.4

BIBLIOGRAPHIE SÉLECTIONNÉE DU CHAPITRE 2

2.41

Béton

Se reporter d'abord au cours spécialisé du CHEBAP sur ce sujet, et en outre à: - Rilem CPC 6, Essai en traction par fendage, Paris, 1975. - Rilem CPC 7, Essai en traction directe, Paris, 1975

- Recherches sur les structures en béton, Annales de l'ITBTP, avril 1978 (chapitre III). - Rüsch (H.), Grasser (E.), Rao (P.S.), Principes de calcul du béton armé sous les deux états de contraintes monoaxiaux, Bulletin d'information CEB nO 36, juin 1982. - Fouré (B.), Résistance du béton sous contrainte soutenue, Annales de l'ITBTP, juin 1982. - Lambotte (H.), Motteu (H.), Contrôle de la qualité du béton sur chantier et en usine, Note d'information technique du CSTC, Bruxelles, juin 1979. - CCTG, fascicule n° 65 «Exécution des ouvrages de génie civil en béton armé ou précontraint », Bulletin officiel du ministère de l'Équipement, fascicule spécial n° 85-30 bis. - CCTG, fascicule nO 65 A.

2.42

Aciers

- Normes A 35-015, A 35-016, A 35-019, citées au § 2.351 (toutes de novembre 2007) - Norme A 35-017 (décembre 2007) Norme NF EN 10080 (décembre 2007)

- Aciers pour béton armé, 1981, OTUA. Documentation technique de la Société Torsid (1983). -Le Treillis soudé. Calcul et utilisation conformément aux Règles BAEL 91, ADETS, 2005. - Maldague (lC), Perchat (J), et Saillard (Y) : Compte rendu des essais effectués en vue

de fixer les conditions d'emploi des aciers HA, des treillis soudés et des tôles déployées, Annales de l'ITBTP, mai 1960 et mars-avril 1962. - NF A 35-020-1 (juillet 1999): Dispositifs de raboutage ou d'ancrage d'armatures

HA. - XP A 35-025 (mars 2002): Barres et couronnes pour béton aimé galvanisées à

chaud - NF A 35-030 (décembre 2007) : Barres crénelées HA pour supports de lignes aériennes. - NF A 35-024 (décembre 2007): Treillis soudés constitués de fils de diamètre inférieur à 5 mm.

CHAPITRE 3 ACTIONS ET SOLLICITATIONS

3.1

NOTATIONS DU PRÉSENT CHAPITRE BAEL

EC2

-

Fki

G

G kj

- valeur minimale

G min

G kin!

- valeur maximale

G max

G ksup

Action permanente indirecte

-

Gind

Charge variable quelconque

Qi

Qki

Action v.ariable indirecte

-

Qind

FA

A

YG

YGj

YGmin

YGin!

YGmax

YGSllp

YQi

YQi

Action, en général Charge permanente quelconque - valeur caractéristique

Action accidentelle Coefficients partiels de sécurité - sur les charges permanentes

- sur les charges variables

3.2

TERMINOLOGIE

• Actions Les actions sont les forces et/ou les couples appliqués à une construction: - soit directement: charges permanentes, charges d'exploitation, charges climatiques, etc., - soit indirectement (résultant de déformations imposées à la construction) : effets thermohygrométriques (retrait, fluage, variations de température), déplacements (tassements) d'appuis, etc.

130 Traité de béton armé Il arrive que l'on utilise le mot action pour désigner l'origine; on dit par exemple « le vent est une action ».

• Combinaisons d'actions Les combinaisons d'actions sont les ensembles constitués par les actions à considérer simultanément. Celles-ci sont introduites dans les combinaisons avec différentes « valeurs représentatives» correspondant à différents niveaux d'intensité.

• Sollicitations Les sollicitations sont les efforts (effort normal N, effort tranchant V) et les moments (moment de flexion M, moment de torsion 1). Les sollicitations sont en général déduites des actions par des méthodes appropriées, mais peuvent parfois être déduites de résultats d'essais sur modèles.

3.3

ACTIONS

Les Règles BAEL (A-3.1.1) et l'Eurocode 0 distinguent (notations BAEL): -les actions permanentes G, dont l'intensité est constante ou très peu variable dans le temps (par exemple, charge d'eau d'un pont-canal très rarement mis à sec) ou varie toujours dans le même sens en tendant vers une limite (comme les actions différées du béton : retrait, fluage) ; - les actions variables Qi, dont l'intensité varie fréquemment et de façon importante dans le temps, selon une loi tout à fait quelconque; - les actions accidentelles FA, provenant de phénomènes se produisant très rarement (par exemple séismes, chocs).

3.31

Actions pennanentes

:> Référence: BAEL, art. A-3.1,2 Les actions permanentes comprennent: - le poids propre Go des éléments de la structure, -le poids des équipements fixes de toute nature (dans les bâtiments, par exemple, revê. tements de sols et de plafonds, cloisons) ; -les efforts (poids, poussées, pressions) exercés par des terres, par des solides ou par des liquides dont les niveaux varient peu (valeurs pratiquement constantes dans le temps) ; - les déplacements différentiels des appuis; -les forces dues aux déformations (retrait, fluage ... ) imposées en permanence à la construction.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 131 a) Lorsque l'on peut valablement admettre qu'une action permanente n'est pas susceptible de subir des écarts sensibles par rapport à sa valeur moyenne, on peut considérer cette valeur moyenne comme la plus probable, et c'est elle que l'on introduit alors dans les calculs. Ainsi, dans la plupart des cas, le poids propre est représenté par une valeur nominale unique, Go, calculée à partir des dessins du projet et des masses volumiques moyennes des matériaux. Pour le béton armé, on a : Go = 25 V (unites: kN, m3 )1 avec V volume théorique, évalué d'après les dimensions prévues aux dessins d'exécution et le nombre 25 représentant le poids volumique moyen du béton armé en kN/m3 • b) Lorsqu'une action permanente est susceptible de subir des écarts sensibles par rapport à sa valeur moyenne, il convient d'en tenir compte. On introduit alors dans les calculs la valeur escomptée la plus défavorable (soit maximale, soit minimale) vis-à-vis de la combinaison et du cas de charge considérés. Cette circonstance se rencontre par exemple dans les cas suivants: - masse volumique mal connue à l'avance ou variable dans le temps, - imprécisions d'exécution élevées en valeur relative (éléments très minces où une variation d'épaisseur de ± 1 cm par exemple n'est pas impensable), - renforcements ultérieurs prévisibles (revêtements de chaussée), etc.

3.32

Actions variables

Les actions variables comprennent: -les charges d'exploitation (poids et effets annexes tels que forces de freinage, forces centrifuges, effets dynamiques, etc.) ; -les efforts (poids, poussées, pressions) exercés par des solides ou par des liquides dont le niveau est variable; -les charges non permanentes appliquées en cours d'exécution (équipements de chantier, engins, dépôts de matériaux, etc.) ; - les actions naturelles : neige, vent, température climatique, etc.

1.

Exemples: poids propre d'une dalle d'épaisseur h (m) : go (kN/m 2) = 25 h ; poids propre d'une poutre à section rectangulaire bh (m2) : g (kN/m) = 25 bh.

132 Traité de béton anné

3.321

Valeurs « représentatives »

Pour bien comprendre cette notion de valeurs «représentatives» ainsi que la manière dont on constitue les « combinaisons d'actions» (voir § 3.42) nous allons nous intéresser tout d'abord au débit des cours d'eau, même si, de prime abord, ce sujet semble n'avoir qu'un lointain rapport avec le béton armé.

3.321-1

Les débits des cours d'eau

Les débits d'un cours d'eau sont mesurés par des « stations de jaugeage» judicieusement disposées le long de celui-ci.

a) Courbe des débits instantanés Une station de jaugeage permet de connaître le débit instantané qj, à un instant t, au point où elle se trouve (figure 3.1)

1 1 1 1 1 1

1

: 1

1 1 1 1 1

: 1

: t

o

'-----------.. ---------->~ Temps Figure 3.1. Courbe des débits instantanés

b) Courbe des débits journaliers En notant, chaque jour, dans une station de jaugeage, le débit moyen journalier du cours d'eau, on obtient, au bout d'une année une série de 365 valeurs numériques, classées dans l'ordre chronologique où les débits moyens journaliers ont été relevés.

c) Courbe des débits classés Mais on peut aussi ranger ces 365 débits moyens journaliers par ordre décroissant en commençant par le débit qM le plus grand de l'année (jour de la plus grosse crue) et en terminant par le débit qm le plus faible (étiage le plus bas). La courbe représentative de ces 365 valeurs décroissantes est la courbe des débits classés. Elle se déduit facilement de la courbe des débits journaliers.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 133 En effet, une horizontale correspondant à un débit journalier quelconque q (qm < q < qM) fait apparaître un certain nombre de segments ab, cd, ... , de longueurs th t2, ... exprimées en jours. La longueur cumulée L t i = l, + 12 + ... représente le nombre de jours pendant lesquels les débits journaliers ont été supérieurs à q. On obtient ainsi un point M de la courbe des débits classés, d'abscisse L li et d'ordonnée q. q

q

I----~M

q

o

' - - - - - - - - - - - - - - ' - - - : ; ; . Jours 365

o

' - - - - - - - ' - - - - - - - - - - ' - - - 3 > - Jours 365

Figure 3.2. Courbes des débits journaliers et des débits classés

d) Probabilité d'lin débitjollrnalier Au lieu d'opérer sur les 365 débits journaliers d'une année, on peut classer les débits relatifs à plusieurs années d'observation: la courbe des débits classés permet alors de connaître la probabilité pour que le débit du cours d'eau soit supérieur à un débit q donné. Mais, en réalité, on continue d'enregistrer les courbes annuelles des débits classés. Sur N années d'observation, on dispose de N courbes. Pour chaque valeur de q, on note pour chaque courbe la valeur du nombre de jours cumulés L li et on en fait la moyenne. Si l'on gradue alors les abscisses en pourcentages (le temps d'observation Ir = 365 jours étant pris pour unité, si

(Lt; Lo =36,5 y

jours par exemple, le pourcentage est de

36,5 = 10 %), on obtient la probabilité pour qu'au cours d'une période donnée, le débit 365 d'eau soit supérieur à q.

e) Débits caractéristiqlles Si l'on considère, des intervalles de 3 mois et si l'on met en évidence aux extrémités des segments de longueur conventionnellement égale à 10 jours, on obtient 5 points qui définissent respectivement:

134 Traité de béton armé q

CD débit caractéristique de crue ~ débit caractéristique

de 3 mois

® débit caractéristique

~ft

de 6 mois @) débit caractéristique de 9 mois

1 1

: 1

L-..L.-----'-----'-----"'------'--'-------7

® débit caractéristique

:!-I..-10j

6

d'étiage

9

~10j

Mois

Figure 3.3 : Courbe des débits caractéristiques

Ces différentes valeurs permettent de fixer le débit maximal dérivable par une usine hydroélectrique projetée sur le cours d'eau considéré, le volume d'eau turbinable dans une année moyenne et l'énergie susceptible d'être produite par la future usine en fonction de la hauteur de chute.

3.321-2

Actions variables

Les lois action-temps sont de formes complexes et variées. La figure 3.6 en donne quelques e~emples qui ne sont pas sans rappeler la courbe des débits instantanés d'un cours d'eau (figure 3.4). Pour les étudier, on a recours à des modèles de représentation. En découpant le temps en intervalles de base arbitraires mais raisonnables en fonction de l'action considérée, (ex. : pour le vent: 10 mn, pour l'eau dans un réservoir 24 h, etc.), on peut rechercher: - soit la distribution des maxima périodiques, - soit le nombre de fois et le temps durant lequel un niveau donné a été dépassé (voir § 3.321-1c). La distribution des maxima périodiques est ramenée à : - une valeur moyenne Qm, - un coefficient de variation s, fonctions de l'intervalle de base.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 135

Î Q

i

Maximum périodique

~~__~~--.r~~~~~~

Q' e - - . I

Niveau de dépassement

.'-I---4---!---

VV 1 ,

,,1 , ,,1 ,1

-"I-I--...ICf-

Intervalle de base

Tempst

Figure 3.4. Modèle de représentation des actions On peut ainsi définir la valeur caractéristique d'une action Q = Qm - ks comme celle qui a une probabilité p acceptée a priori (par exemple 5 %) de ne pas être atteinte ou dépassée, dans un sens défavorable, au cours d'une certaine« durée de référence ». On peut aussi faire le cumul des temps Mi pendant lesquels un niveau quelconque Q' a été atteint ou dépassé pendant un temps de référence tr (cf. figure 3.2 pour l'analogie). En fixant alors certains niveaux de manière conventionnelle, on peut définir pour chaque action variable, plusieurs valeurs représentatives. Une même action variable quelconque n'est donc généralement pas définie par une valeur unique, mais par plusieurs « valeurs représentatives », qui sont fixées en fonction de sa fréquence, de sa durée d'application et de la nature des combinaisons dans laquelle elle intervient l . Ces valeurs représentatives sont conventionnellement classées de la manière suivante: - valeur nominale (tenant lieu de valeur caractéristique) Qi ; - valeur de combinaison, 'l'oi Qi: cette valeur intervient dans les combinaisons fondamentales (ELU) et dans les combinaisons rares (ELS) ; - valeur fréquente 'l'li Qi : cette valeur n'intervient que dans les combinaisons accidentelles ;

1. Note complémentaire sur les valeurs représentatives d'une même action variable: La Résistance des Matériaux traditionnelle ne se préoccupe ni de la nature, ni de la durée d'application d'une action quelconque. Il faut donc se garder de croire que l'effet le plus défavorable est toujours dû à l'intensité maximale d'une action variable (son intensité minimale étant toujours zéro ... elle n'est pas là). Ainsi: - une fissure très ouverte sous la valeur maximale Qk (caractéristique) d'une action variable, dont la durée d'application est très courte, est moins dangereuse vis-à-vis de la corrosion de l'acier qu'une fissure moins ouverte, mais ouverte plus longtemps sous une action 'l'Qk < Qk. - de même, une charge de très courte durée telle que Qk n'induit pas dans un poteau de déformations différées par fluage, alors qu'une charge 'l'Qk < Qk de plus longue durée d'application peut engendrer de telles déformations et se révéler, en définitive, plus dangereuse que Qk (voir § 11.32).

136 Traité de béton armé - valeur quasi permanente "'2i Qi ; cette valeur intervient dans les combinaisons accidentelles et pour la vérification de l'état-limite ultime de stabilité de forme.

"'0' "'1. "'2

ne sont pas des coefficients « de sécurité ». Ils sont liés uniLes coefficients quement à la probabilité d'occurrence de la combinaison de plusieurs actions variables simultanées qui ne peuvent atteindre toutes ensemble leur intensité maximale. Les valeurs numériques de ces coefficients sont données tant pour les ponts-routes que pour les bâtiments à l'annexe D des Règles BAEL (voir tableaux 3.2 à 3.5) ainsi que dans l'Eurocode 0 sur les actions. Q (t)

Ok _~~~E!~!_~!~p!~!Î_~19~_~____ ------------------------fValeur de combinaison 1

"'0 Qk ---------------- ----------

------------------------r -----------------------1-11 1 1 1

L--_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _---l_

o

_=::;;,. Temps t

tr (50 ans)

Q (t)

.- Valeur fréquente 1 1 1 1 1

: UVtr

"'2Qk~--~----~~

1 ......

o

'-'-------1...-------..1---7 tlt r 0,01

0,5

Figure 3.5. Représentation schématique d'une action variable illustrant le choix des valeurs représentatives (cas des charges sur les planchers des bâtiments)

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 137 F

F

Éxécution

o

Vie de la construction

o Action d'un véhicule en marche

Charge permanente

F

F

o

o

30 min

3h

3 h + 10 min

Action de piéton sur l'escalier d'une salle de spectacle

Action de plusieurs véhicules à l'arrêt

F

F

o

1 jour

o Action de la température

Eau dans un réservoir

F

F 5s ~

3h

Il

o

o Action du vent

Action de la neige

F

F

o

,, ,, ,

.

:

30s

,, , ,,

o

-~ 1s

,.'

Action d'un séisme

Action d'un choc

Figure 3.6. Exemples de variations de charge en fonction du temps (d'après H. Mathieu)

138 Traité de béton armé

3.322

Charges d'exploitation et charges climatiques

:> Référence: BAEL, art. A-3.1,31 Les valeurs nominales des charges d'exploitation et des charges climatiques sont en principe définies par les textes réglementaires ou normatifs en vigueur.

3.322-1

Charges d'exploitation

a) Bâtiments Les charges d'exploitation des bâtiments sont définies par la norme NF P 06-001. Toutefois, pour les bâtiments industriels, la norme NF P 06-001 ne donnant que le principe d'évaluation des charges, les charges à prendre en compte sont normalement fixées par le maître d'œuvre (voir § 1.41). Les charges permanentes et les charges d'exploitation dues aux forces de pesanteur sont définies par la norme NF P 06-004.

b) Ponts Les charges d'exploitation des ponts routiers ou ferroviaires sont définies par les titres l, n et III du fascicule 61 du CCTG. Les valeurs représentatives s'obtiennent en multipliant les valeurs données dans ces textes par les coefficients suivants: - pour les vérifications aux états-limites ultimes: 1,07 pour les charges de chaussée, de trottoir, et celles sur les passerelles pour piétons et 1,00 pour les charges exceptionnelles et les convois militaires; - pour les vérifications aux états-limites de service: 1,2 pour les charges de chaussée et 1,0 dans les autres cas.

3.322-2 3.322-21

Charges climatiques Vent

Les actions du vent sont en principe définies par les textes réglementaires en vigueur: - pour les ponts, par les titres l, II et III du fascicule 61 du CCTG (art. 14 du titre II pour les ponts-routes) ; - pour les autres ouvrages, en attendant la parution du titre IV du fascicule 61, il convient de se référer aux Règles NV 65 révisées (NF P 06-002 et DTU) mais les va. leurs représentatives à prendre en compte pour l'action du vent à l'état-limite ultime sont 1,2 fois les valeurs correspondant au vent normal des Règles NV (voir art. III 1.232 de ces Règles). En revanche, dans les vérifications aux états-limites de service, les valeurs à prendre en compte sont celles correspondant au vent normal des Règles NV, sans majoration; il est même possible de réduire ces dernières valeurs dans certains cas ne mettant pas en cause la durabilité de la construction, ou en phase d'exécution.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 139

3.322-22

Neige

Pour les ponts-routes, il n 'y a pas lieu d'appliquer des charges de neige; Pour les bâtiments, la valeur caractéristique de la charge de neige est fixée par les Règles N 84 (CCTG, fascicule 61, titre IV, section II) de même que les situations de compatibilité des actions de la neige et du vent.

3.323

Charges appliquées en cours d'exécution

:> Référence: BAEL, art. A-3.1,32 L'annexe D aux Règles BAEL distingue: - les charges connues en grandeur et en position qui, si elles sont peu variables (car présentant un caractère permanent durant la phase d'exécution considérée), sont assimilées dans les calculs à des charges permanentes; -les charges de caractère aléatoire (pouvant varier ou se déplacer au cours d'une même phase d'exécution) qui sont assimilées à des charges d'exploitation.

3.324

Température climatique

:> Référence: BAEL, art. A-3.1,33 Pour un ouvrage situé à l'air libre en zone de climat tempéré, les actions dues à la température sont déterminées en supposant que les variations de température peuvent être comprises entre - 40 oC et + 30 oc. Ces variations concernent la température ambiante initiale, dont la valeur est supposée comprise (en général) entre + 5 oC et + 15 oC environ. Il convient d'évaluer les variations réellement subies par l'ouvrage en tenant compte de l'inertie thermique des pièces qui le constituent et de leur isolation éventuelle. Les sollicitations correspondantes, qui ne sont pratiquement prises en compte que pour les structures particulièrement sensibles aux effets thermiques, sont évaluées: - en admettant, forfaitairement, un coefficient de dilatation thermique du béton armé égal à 10 - 5 par degré centigrade; - en introduisant pour le béton un module de déformation longitudinale dépendant de la durée d'application de l'action climatique: on admet généralement que l'action de la température climatique comprend une partie rapidement variable correspondant à une variation de ± 10°C qui est prise en compte avec le module de déformation instantanée Eij, le reste, considéré comme lentement variable, étant pris en compte avec le module Evj.

140 Traité de béton armé

"'....._ _-

-

____ J___

Module Evj

(.M =-30 oC)

..........

~~_

Module Eij (.<1e ± 10 OC)

=

......

_-~_

Module EVj (.<1e + 20 OC)

=

Figure 3.7. Variations de température et modules de déformation correspondants

Dans certains cas (cheminées par exemple) il est nécessaire de tenir compte des effets d'un gradient thermique. Les valeurs représentatives de cette action sont introduites conformément aux textes spécifiques en vigueur ou, à défaut, aux stipulations du marché.

3.325

Autres actions variables

:> Référence: BAEL, art. A-3.1,4 Lorsque des actions variables autres que celles visées ci-dessus sont susceptibles d'être appliquées à la construction, elles doivent normalement être définies par le maître d'œuvre (voir § 1.41) qui doit en préciser les modalités de prise en compte dans le Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP).

3.33

Actions accidentelles

:> Référence: BAEL, art. A-3.1,4 Les actions accidentelles comprennent par exemple: - les chocs de véhicules contre les dispositifs de retenue ou les appuis des ponts, - les chocs de bateaux contre les appuis des ponts, - les séismes, - les cyclones tropicaux, -les effets de la destruction d'un remblai par une crue exceptionnelle, - les glissements de terrain, - les explosions, etc. La valeur représentative d'une action accidentelle est toujours une valeur nominale (une valeur « caractéristique» suppose en effet une interprétation statistique, pour laquelle, ~tant donné le caractère peu fréquent des actions accidentelles, il est impossible dans ce cas de disposer des données nécessaires).

Normalement le CCTP doit préciser les actions accidentelles à considérer et indiquer les valeurs à prendre en compte lorsque celles-ci ne sont pas fixées par des textes réglementaires.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 141 Pour les chocs accidentels de véhicules ou de bateaux sur les appuis des ouvrages d'art, il Y a lieu de se reporter à l'annexe D des Règles BAEL qui définit les valeurs représentatives des actions (chocs frontaux ou latéraux). Pour les séismes, il convient de se référer aux Règles parasismiques (Règles PS ou NF P 06-003, ou DTU). Un incendie correspond à une situation accidentelle. La résistance au feu fait l'objet du DTU «Règles FB », décembre 1993.

3.4

COMBINAISONS D'ACTIONS

3.41

Généralités

3.411

Combinaisons d'actions

Vouloir construire des ouvrages capables de résister à toutes les actions possibles, quelle que soit la probabilité de leur apparition, ne serait pas économique (par exemple, il est couramment admis d'édifier des ponts ou des bâtiments qui ne sont pas capables de résister à la chute d'un avion même si la probabilité d'une telle chute n'est pas nulle). Pour la ·vérification d'un état-limite quelconque, la question se pose de savoir quelle combinaison d'actions il y a lieu de prendre en compte, puisque peuvent agir simultanément des actions permanentes, des actions variant d'une manière connue et des actions aléatoires. Il s'agit donc de trouver la combinaison la plus agressive qu'il convient de retenir relativement à telle ou telle inégalité d'état-limite. Comme la probabilité d'apparition simultanée de l'intensité maximale d'actions d'origines diverses (charges d'exploitation, vent, variations thermiques, etc.) est faible, les coefficients de pondération vis-à-vis des différentes actions doivent être différents selon que l'on considère une seule action s'exerçant isolément ou une combinaison de plusieurs actions s'exerçant simultanément (d'où la notion déjà évoquée ci-avant, au § 3.321-2, de« valeur représentative »). Étant donné le grand choix de combinaisons d'actions complexes et variées auxquelles peut être soumise une construction, on est nécessairement amené à faire un choix en cherchant à couvrir avec une forte probabilité les circonstances les plus défavorables susceptibles de se présenter au cours de la vie de la construction. Il est donc admis de n'étudier qu'un nombre limité de combinaisons en ne considérant que celles qui apparaissent comme les plus dangereuses, qui doivent être physiquement possibles et avoir une probabilité d'occurrence non négligeable, en ne considérant pas celles qui sont manifestement couvertes par une combinaison plus défavorable.

142 Traité de béton armé

3.412

Cas de charge

Les actions « libres », c'est-à-dire celles qui peuvent avoir une distribution arbitraire quelconque dans la construction, à l'intérieur de limites données (comme les charges d'exploitation en général) conduisent à l'étude de différents cas de charge. Un cas de charge se définit par la fixation de la configuration formée par les actions. On recherche, pour chaque combinaison, le cas de charge le plus défavorable vis-à-vis de l'état-limite étudié et de sollicitation étudiée, soit pour l'ensemble de l'élément soit pour la section considérée.

Les «cas de charge» ne doivent pas être confondus avec les «combinaisons d'actions» (voir par exemple § 3.423-31). Ainsi, il faut se garder de combiner vectoriellement les composantes maximales d'une sollicitation si, prise individuellement, chaque composante maximale correspond à un cas de charge différent, comme illustré par la figure 3.8. N

N

N

-----------------------:

2 B Nmax l---"'----::I\"---------1

1

1

1

1

1

:

1

: 1

N

1

:A

2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

o

"""'------......-3>M

o

L-----~----~1~7M

M

Cas de charge A

Cas de charge B

(N correspond à Mmax dans ce cas de charge)

(M correspond à Nmax dans ce cas de charge)

o Faux 1 pUisque les cas de charge sont différents, Nmax ne peut coexister avec M max

~-----------------------------------------------------------' Même combinaison d'actions

Figure 3.8. Exemple de combinaison d'actions erronée La distinction de plusieurs cas de charge pour les actions libres conduit, en cas d'analyse linéaire, à l'usage de lignes ou de surfaces d'influence. Les valeurs caractéristiques ou nominales des actions libres peuvent dépendre du cas de charge (par exemple, charges routières, direction du vent. .. ). .En résumé, avant d'entamer le calcul d'une structure quelconque (dont par ailleurs on a défini toutes les dispositions et dimensions par des dessins appropriés), on doit: 1. établir, dans les différentes situations, les différentes combinaisons d'actions à considérer dans le calcul, en attribuant à chacune des actions la valeur représentative qui convient; 2. pour chaque combinaison, rechercher le cas de charge le plus défavorable (ce qui conduit généralement au tracé des « courbes-enveloppes» du moment de flexion et de l'effort tranchant, voir figure 3.11).

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 143

Sollicitations de calcul

3.42

:> Référence: BAEL, art. A-3.3,Il Les justifications doivent montrer, pour les divers éléments d'une structure et pour l'ensemble de celle-ci, que les sollicitations de calcul définies ci-après ne provoquent pas le phénomène que l'on veut éviter. Grossièrement, une loi action variable-temps peut être schématisée comme indiqué sur la figure 3.9. Q

-------- Action n° 2 '-----Action n° 1 GI------

Charge permanente

~------~----~---------------------7Temps

o

Temps t1

Temps t2

Figure 3.9. Loi simpliste action variable-temps Ce schéma simpliste montre que lorsque plusieurs actions variables s'exercent sur une construction, à l'instant où l'une quelconque (action variable « de base» ou dominante) des actions atteint sa valeur maximale, les autres (actions« d'accompagnement ») sont à un niveau 'l'i Qi inférieur et que les actions permanentes sont toujours présentes, de sorte qu'une combinaison comprend toujours: -les actions permanentes (G) - une action quelconque Q), considérée comme action variable dominante, - toutes les autres actions susceptibles de s'exercer en même temps que QI (actions d'accompagnement) à un niveau réduit 'l'iQi' Chaque action variable doit successivement être considérée comme action dominante, et venir en occuper le rang. Le cas où deux actions variables atteindraient au même moment leur valeur maximale (pointes à la même abscisse sur la figure 3.9) n'est pas à envisager, car la probabilité . d'avoir, pour deux actions QI et Q2 et rigoureusement au même instant, la simultanéité QI + Q2 est très inférieure à celle d'avoir QI + 'l'2Q2 ou Q2 + 'l'IQI. De ces remarques découle ce qui suit

144 Traité de béton armé

3.421

Combinaisons d'actions à prendre en compte dans les états-limites ultimes de résistance

Pour les états-limites ultimes, on distingue: - des combinaisons fondamentales, - des combinaisons accidentelles.

3.421-1

Règles BAEL (A-3.3,2)

a) Combinaisons fondamentales (à considérer lors des situations durables ou transitoires) Les combinaisons fondamentales comprennent: - soit les actions permanentes seules; - soit les actions permanentes, une action variable dominante avec sa valeur caractéristique (ou nominale) et, s'il ya lieu, une ou plusieurs actions dites «d'accompagnement» avec leurs valeurs de combinaison. Les actions dominantes prennent soit la valeur zéro, soit leur valeur représentative, c'est-à-dire qu'on ne recherche pas si des valeurs intermédiaires pourraient être éventuellement plus défavorables. Gmax

ensemble des actions permanentes défavorables (par rapport à l'action dominante)

Gmin

.ensemble des actions permanentes favorables (par rapport à l'action dominante)

QI

action variable dominante

Qi

actions variables« d'accompagnement» (i> 1).

Une combinaison fondamentale prend la forme symbolique et vectorielle suivante:

(1,35 G max et/ou Gmin ) + YQIQI + ~),3If/oiQi ;>1

(où le signe « + » ne désigne pas ici une addition numérique, mais a le sens de « à combiner avec ».) avec: 1QI =

1,5 en général

1QI = 1,35 pour la température, les charges d'exploitation étroitement bornées de caractère particulier (convois militaires, convois exceptionnels par exemple) et les bâtiments agricoles à faible densité d'occupation humaine.

L'application pratique à la détermination des sollicitations de calcul pour les pontsroutes ou dans les structures de bâtiments est donnée au § 3.423.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 145 La combinaison symbolique ci-avant appelle les commentaires suivants:

1. Prise en compte des charges permanentes Dans cette combinaison symbolique, « et» correspond au cas où G rnax et Groin sont des actions d'origines et de natures différentes donc indépendantes les unes des autres, les effets des actions Groin étant en sens inverse de ceux de l'action variable dominante QI (il s'agit du sens des composantes principales vis-à-vis de l'effet considéré, certaines autres composantes de Gmin et QI pouvant être dirigées dans le même sens). C'est donc seulement lorsqu'il existe des actions permanentes, les unes favorables, les autres défavorables, qu'on introduit à la fois G roax et Groin dans la même formule. Si les actions permanentes sont toutes défavorables, ou toutes favorables, on n'introduit dans la formule que G rnax ou Groin (par exemple, cas d'une tour ou d'une cheminée ou l'on étudie successivement les combinaisons de G roax , puis de Groin, avec les actions du vent). Dans une poutre à travées continues, on peut se demander s'il y aurait lieu de calculer la sollicitation de flexion due à la charge permanente en considérant alternativement G rnax et Groin sur les différentes travées, selon que la charge permanente agit dans le sens favorable ou défavorable, et donc aussi s'il y aurait lieu d'utiliser les coefficients 1,35 ou 1 selon les travées dans les mêmes conditions. Considérant que l'alternance de telles valeurs dans la construction réelle peut être estimée comme ayant une probabilité négligeable, les Règles BAEL 91 ont tranché et ont admis que lorsqu'une même action permanente a des effets partiellement défavorables et partiellement favorables, on lui attribue globalement ou la valeur G roax , ou la valeur Groin. En conséquence, une même action permanente n'a pas à être partagée en deux parties. Il en résulte qu'en particulier, le poids propre d'une poutre continue doit être introduit d'une part avec la même valeur (Groax ou Groin), d'autre part avec le même coefficient (1,35 ou 1) sur toute sa longueur donc avec 1,35 G max ou avec Groin. Comme ce poids propre est représenté en général par une valeur unique G (valeur moyenne probable), ceci signifie qu'il faut «dédoubler» la combinaison symbolique ciavant et considérer successivement le cas où la valeur 1,35 G est appliquée simultanément sur toutes les travées puis celui où la valeur G est appliquée simultanément sur toutes les travées (voir tableaux 3.6 et 3.7). En revanche, s'il s'agit d'un remblai dont le poids G a normalement un effet favorable et la poussée P un effet défavorable, le problème est plus complexe, car l'incertitude sur G est due à celle sur la masse volumique y du remblai, tandis que l'incertitude sur Pest due à la fois à celle sur y et à celle sur le coefficient de poussée ka qui dépend lui-même de l'angle de frottement interne du terrain, c'est-à-dire que les incertitudes sur P et G ont partiellement la même origine physique. En principe, il conviendrait de considérer: - d'une part une valeur minimale et une valeur maximale du poids du remblai, - d'autre part, quatre valeurs possibles de la poussée correspondant aux combinaisons deux à deux des quatre paramètres kamin , kamax , Yroin et Ymax.

146 Traité de béton armé Mais, en pratique, pour simplifier, on se borne à associer le poids minimal (Ymin) à la poussée maximale (kama,x, Ymax) même si, nécessairement, le poids volumique y prend la même valeur (max ou min) dans le calcul du poids du remblai et dans celui de la poussée. 2. Prise en compte des actions variables

Les actions variables doivent être considérées les unes après les autres comme action

« dominante» pour former les différentes combinaisons, les autres actions variables étant ajoutées s'il y a lieu comme actions d'accompagnement. Elles sont toujours introduites de la manière la plus défavorable, soit avec la valeur de combinaison indiquée, soit avec leur valeur minimale, qui est toujours nulle (absence d'action). b) Combinaisons accidentelles (à considérer lors des situations accidentelles)

Les combinaisons accidentelles comprennent les actions permanentes, une action accidentelle et s'il ya lieu une ou plusieurs actions d'accompagnement avec leurs valeurs fréquentes ou quasi permanentes. Symboliquement et vectoriellement, une combinaison accidentelle, si elle n'est pas définie par des textes spécifiques, est de la forme:

(GmaxetlouGmin)+FA +'JfllQ\ + L'Jf2iQi i>\

où: FA

valeur représentative de l'action accidentelle

'1' II QI

valeur fréquente de l'action variable dominante

'l'2iQi

valeur quasi permanente d'une autre action variable d'accompagnement.

Pour les modalités d'application, il convient de se reporter: - pour les ponts-routes, à l'annexe D qui donne les valeurs des coefficients '1' applicables aux différentes actions en fonction notamment de la classe de l'ouvrage; - dans les structures de bâtiment, aux textes spécifiques (Règles PS pour les séismes, DTU Cuvelages pour l'action des crues, etc.). Remarque:

En cas d'actions accidentelles, la sollicitation résistante est évaluée en appliquant à la limite d'élasticité de l'acier et à la résistance caractéristique spécifiée du béton des coefficients Ys et Yb réduits respectivement à 1 (au lieu de 1,15) et 1,15 (au lieu de 1,5) (voir BAEL A-4.3,2 et A-4.3,41).

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 147

3.421-2

Prescriptions de l'EC2

a) Combinaisons fondamentales Pour les combinaisons fondamentales de base, se reporter au cours de Jean-Armand Calgaro ou à l'ouvrage Les Eurocodes, conception des bâtiments et des ouvrages de génie civil, Éditions du Moniteur. Pour les bâtiments, l'annexe Al de l'Eurocode 0 donne, dans son tableau A.l.2. les combinaisons ci-après (on rappelle ici le caractère symbolique donné au signe « + », qui signifie « à combiner avec») : - États-limites EQU (équilibre statique; situations durables et transitoires) : 1,10 Gk,sup + 0,90

Gk,inf +

1,50 Qkl + 1,50

L '1'

oiQki

i>1

- États-limites STR (résistance; situations durables et transitoires) : 1,35

Gk,sup

+ 1,15 Gk,inf+ 1,50 Qkl + 1,50

L '1'

oiQki

i>1

1,35

Gk,sup

+ 1,00 Gk,inf+ 1,50 '1'01

Qkl

L '1' + 1,50 L '1'

+ 1,50

oÛki

associée à

i>1

1,15

Gk,sup

+ 1,00 Gk,inf+ 1,50 Qkl

oÛki

i>1

"'0, "'1 "'2,

Pour les coefficients et l'annexe Al de l'Eurocode 0 (EN 1990-1-1) recommande les valeurs données dans le tableau 3.1 ci-après, qui, en principe, sont également celles retenues par l'Annexe Nationale.

Tableau 3.1. Valeurs des coefficients '1'0, '1'1 et '1'2 Action

'1'0

'1'1

'1'2

AetB

0,7

0,5

0,3

CetD

0,7

0,7

0,6

E

1

0,9

0,8

F

0,7

0,7

0,6

G

0,7

0,5

0,3

H

0

0

0

0,7

0,5

0,2

0,5

0,2

0

Charges d'exploitation selon catégorie (1 )

Neige (2)

H> 1 OOOm H$lOOOm

1 Combinaisons

non autorisées par l'Annexe Nationale de l'ECO.

148 Traité de béton armé Action

"'0 0,6

"'1 0,2

"'2

Vent (2) Température

0,6

0,5

0

0

(1) Les catégories sont définies par la norme EN 1991-1-1 (A = habitation, B = bureaux, C = lieux de réunions, D = commerces, etc.). (2) Valeurs à adopter selon la région géographique où la structure est édifiée (H: altitude).

Dans « 1'analyse» des bâtiments courants, on peut généralement se borner à considérer des combinaisons d'actions et des cas de charges simplifiés: 1. chargement alterné des travées par YG Gk + YQ Qk, d'une part et par YG Gk d'autre part ; 2. deux travées solidaires quelconques chargées par YG Gk + YQ uniquement par YG Gk•

Qh

les autres chargées

b) Combinaisons accidentelles (séismes exclus)

Elles sont définies par :

LYGaj Gig + Ad + ("'II ou "'21) Qkl + L \If 2iQki i>1

avec: Ad valeur spécifiée de l'action accidentelle

YGaj = 1, sauf spécification contraire. Dans le cas d'une combinaison accidentelle autre qu'un séisme, les coefficients appliqués aux matériaux sont pris respectivement égaux à Yc = 1,3 pour le béton (au lieu de 1,15 dans les Règles françaises) et Ys = 1 pour l'acier.

3.422

Combinaisons à prendre en compte pour la vérification aux étatslimites de service

3.422-1

Règles BAEL (art. A-3.3,3)

Les combinaisons à prendre en compte résultent des combinaisons d'actions dites « combinaisons rares» dont on retient les plus défavorables. Dans une combinaison rare, interviennent les actions permanentes, une action variable dominante avec sa valeur caractéristique (nominale) et s'il y a lieu une ou plusieurs actions d'accompagnement avec leurs valeurs de combinaison, c'est-à-dire symboliquement et vectoriellement : (Gmax et/ou Gmin)+QI + L\lfoiQi i>1

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 149 L'application de cette formule symbolique à la détermination des sollicitations de calcul pour les ponts-routes ou dans les structures de bâtiments est donnée au § 3.423.

3.422-2

EC2

Comme pour les états-limites ultimes de résistance, il convient de se reporter à l'Eurocode 0 dont les règles conduisent aux combinaisons symboliques ci-après: - combinaison caractéristique:

LGkj + Qkl + L'lfOiQ/d j<:l

i>l

- combinaison fréquente :

L Gkj + 'If llQkl + L'If 2iQki j<:l

i>l

- combinaison quasi permanente:

Qkl

représente l'action variable dominante dans la combinaison étudiée.

En ce qui concerne les matériaux, pour les vérifications relatives aux états-limites de service, on prend en général 'Yc = 'Ys = 1 comme dans les Règles BAEL.

3.423 . Modalités pratiques d'application des Règles BAEL On désigne encore par : G

l'ensemble des actions permanentes (définies au § 3.31)

Qprc

les charges d'exécution connues (en grandeur et position)

Qpra

les charges d'exécution de caractère aléatoire

QI"

les charges d'exploitation des ponts-routes sans caractère particulier (systèmes A et B et charges sur trottoirs)

Q,p

les charges d'exploitation des ponts-routes de caractère particulier (convois militairef: ou exceptionnels)

QB

les charges d'exploitation des bâtiments

·W

l'action du vent évaluée comme indiqué au § 3.322-21

Sn

la charge de neige évaluée comme indiqué au § 3.322-22

T

les variations uniformes de la température suivant le § 3.324

.6.9

le gradient thermique éventuel.

150 Traité de béton armé

3.423-1

Combinaisons d'actions à considérer dans le cas des ponts-routes

1°) Pour la vérification des états-limites ultimes de résistance

Tableau 3.2. Ponts-routes - états-limites ultimes de résistance

Situation

Situation d'exécution

Actions permanentes ou assimilées

1,35 Gmax + Gmin 1,35 G ou G +

Actions variables d'accompagnement

1,3 !P02 ~ 1,5 Qpra

oou 1,3 W

1,5 W

o ou 1,3 Qpra

1,35 Qprc ou Qprc

1,5 Qr Situation d'exploitation

1,35 G ou G

1,35 Qrp 1,5 W

La température ne figure pas dans ce tableau, car elle n'est généralement pas à prendre en compte dans les états-limites ultimes.

2°) POlir la vérifICation des états-limites de service

Tableau 3.3. Ponts-routes - états-limites de service Situation

Actions permanentes ou assimilées

Gmax + Gmln Situation d'exécution

G + Qprc

Actions variables dominante

d'accompagnement

Q1

!P02 ~

Qpra

Oou W

W

oou Qpra oou Qpra oou 0,5 ~e

Tou~e

Qr Situation d'exploitation

G

ou 0,6 T 0

Qrp ~eou

W

T

0 0

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 151

3.423-2

Combinaisons d'actions à considérer dans le cas des structures de bâtiments (cas généraO

1°) Pour la vérification des états-limites ultimes de résistance (ou de stabilité defonne) Tableau 3.4. Bâtiments - états-limites ultimes de résistance Actions variables

Actions permanentes

1,35 Groax + Groin

dominante yQ1 Q1

1,5 QB

1,35 G ou G

1,5 W

1,5 Sn 1

d'accompagnement

1,3 ql02 Q2

oou Wou Sn ou W+Sn

oou 1,3 '1'0 QB ou Sn ou 1,3 '1'0 QB + Sn

oOU 1,3 '1'0 QB ou W ou 1,3 '1'0 QB + W

Avec '1'0 défini par la norme NF P 06-001 ; en principe '1'0 = 0,77 pour tous les locaux, saufIes locaux d'archives et les parcs de stationnement pour lesquels '1'0 = 0,9.

Remarques: • en situation d'exécution, on peut se reporter aux dispositions indiquées pour les ponts-routes; • les combinaisons faisant intervenir la neige et le vent dépendent des conditions de compatibilité indiquées dans les Règles N 84. • les effets de la température ne sont généralement pas pris en compte, mais: - s'ils doivent intervenir en tant qu'action dominante, ils sont introduits avec le coefficient 1,35 ; - s'ils interviennent en tant que seconde action d'accompagnement, ils sont introduits avec les coefficients 0 ou 0,8 ; • pour les halles équipées de ponts-roulants, les actions variables dominante et d'accompagnement sont déterminées en tenant compte des conditions d'utilisation simultanée de ces ponts.

Dans ce cas, \jIo = 0,77 est à remplacer par \jIo = 0,77 x 1,1:::: 0,85 si l'altitude est supérieure à 500 m.

152 Traité de béton armé 2°) POlir les vérifications des états-limites de service

Tableau 3.5. Bâtiments· état-limite ultime de service Actions variables Actions pennanentes Gmax + Gmin

dominante

d'accompagnement

Q1

lI'02 ~

QB W G

Sn

1

oou 0,77 Wou 0,77 Sn oou '1'0 QB oOU '1'0 QB

Pour '1'0, voir note sous le tableau 3.4. Remarques:

- En général, les actions dominantes interviennent seules pour les états-limites de déformation; - Il est rappelé que l'action Wn'est pas évaluée sur les mêmes bases dans les vérifications aux états-limites ultimes et dans celles aux états-limites de service (voir § 3.322-21).

3.423-3

Combinaisons d'actions à considérer dans le cas des ossatures et éléments courants des structures en béton armé

Dans la partie B des Règles BAEL, des indications sont données sur les différentes combinaisons d'actions à prendre en compte dans les cas les plus usuels (y compris ceux de l'équilibre statique), afin de simplifier la tâche des projeteurs. Les Règles BAEL distinguent (art. B-2.1 et B-2.2) :

• les constructions courantes définies comme celles dans lesquelles les charges variables représentent à la fois : - moins de deux fois les charges permanentes et - moins de 5 kN/m 2 , et où les charges localisées, s'il en existe, appliquées à un élément quelconque de plan. cher sont au plus égales à : -2kN -le quart de la charge d'exploitation totale susceptible d'être appliquée à cet élément; • les constructions industrielles définies comme celles dans lesquelles l'une quelconque des conditions ci-avant n'est pas remplie;

Dans ce cas, '1'0 = 0,77 est à remplacer par '1'0 = 0,77 x 1,1 ::::: 0,85 si l'altitude est supérieure à 500 m.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 153 • les constructions spéciales qui relèvent partiellement de l'un et/ou de l'autre des deux types ci-avant. Les Règles BAEL (art. B-3.1) désignent par : G

l'action des charges permanentes évaluée à partir des volumes définis par les dessins d'exécution (G inclut généralement le poids des cloisons et revêtements),

QB

l'action des charges d'exploitation qui est à prendre ou non dans les différentes travées par travées entières,

W

l'action du vent (voir § 3.322-21),

Sn

l'action de la neige.

Dans ce qui suit, on n'indique que les combinaisons vis-à-vis des états-limites ultimes. Les combinaisons à considérer vis-à-vis des états-limites de service peuvent aisément s'en déduire au moyen du tableau 3.5 (en se servant pour l'analogie, du tableau 3.4). 3.423-31

Cas des planchers et des poutres (BAEL, art. B-6.1,2)

a) Combinaisons faisant intervenir G et QB seuls Tableau 3.6. Combinaisons d'actions à l'ELU- planchers et poutres Travées chargées

Travées déchargées

Combinaison (1)

1,35 G + 1,5 QB

1,35 G

Combinaison (2)

G+ 1,5 QB

G

La combinaison (2) n'est généralement pas déterminante pour les poutres continues si une partie des aciers inférieurs est prolongée jusqu'aux appuis (décalage de la courbeenveloppe par adaptation).

Exemple: poutre-console. Dans ce cas, il y a deux combinaisons d'actions, à savoir: 1,35 G + 1,5 QB G+ 1,5 QB mais il y a cinq cas de charge à considérer, qui sont représentés sur la figure 3.10. Ces cinq cas de charge servent à tracer les lignes-enveloppes du moment de flexion d'une part et de l'effort tranchant d'autre part (figure 3.11). Ils donnent respectivement: - cas 1 ou 3:

moment sur appui maximal en valeur absolue et effort tranchant maximal à gauche de l'appui (côté console) ;

- cas 3 :

effort tranchant maximal à droite de l'appui (côté travée) ;

- cas 4 :

moment minimal en valeur absolue en travée et longueur des chapeaux côté travée (éventuellement associé au cas 1) ;

154 Traité de béton armé - cas 5 :

(ou cas 2 selon la valeur du rapport G / Q) : moment maximal positif en travée;

- cas 2:

(ou cas 5 selon la valeur du rapport G / Q) : effort tranchant maximal (en valeur absolue) sur l'appui de droite.

• • •.,

1,35 G + 1,5 OB

1,35G

t 1,35G

t 1,35 G + 1,5 OB

t 1,35 G + 1,5 OB

t 1,35 G + 1,5 OB

t G+1,50 B

t G

t

Ct

G

t G + 1,5 OB

t

t

Figure 3.10. Cas de charge pour une poutre-console

Moments

Efforts tranchants

Figure 3.11. Poutre-console - moments et efforts tranchants

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 155 b) Combinaisons faisant intervenir G, {ln et W Aux combinaisons (1) et (2) ci-avant, il faut ajouter les combinaisons du tableau 3.7. Tableau 3.7. Combinaisons d'actions à l'ELU - planchers et poutres· suite Travées chargées

Travées déchargées

Combinaison (3)

1,35 G+ 1,5 QB+ W

1,35 G+ W

Combinaison (4)

G+ 1,5 QB+ W

G+W

Combinaison (5)

1,35 G + 1,5 W + 1,3 '1'0 QB

1,35 G + 1,5 W

Combinaison (6)

G + 1,5 W + 1,3 '1'0 QB

G+ 1,5 W

Pour les valeurs de '1'0, voir note sous le tableau 3.4 et note 1 au bas de la même page.

c) Combinaisons faisant intervenir G, QB et Sn sans W Dans (3), (4), (5) et (6) remplacer W par Sn et appliquer éventuellement la remarque relative à l'action de la neige (voir tableau 3.4). Les cas de charge à considérer sont ceux définis dans les Règles N 84. Sur les planchers-terrasses des bâtiments d'habitation ou analogues, il est d'usage courant de prendre en compte, soit la charge d'exploitation QB seule (sans Sn), soit la charge de neige 'Sn seule (sans QB) c'est-à-dire que l'on n'envisage pas pour le calcul une application simultanée de QB et de S,I, même avec une réduction éventuelle.

Remarque: II convient d'envisager également des cas où le vent est accompagné de la neige, dans les conditions précisées par les Règles N 84.

3.423-32

Cas des poteaux soumis à une « compression centrée»

:> Référence: BAEL, art. B-8.2,1 a) Combinaisons faisant intervenir G et QB sellls Dans les cas les plus courants, une seule combinaison est à considérer: 1,35 G + 1,5 QB

QB tenant éventuellement compte de la dégression des charges d'exploitation définie par la norme NF P 06-001.

156 Traité de béton armé b) Combinaisonsfaisant intervenir G, QB, Wet éventuellement Sn Dans les cas les plus courants, quatre combinaisons sont à considérer: 1,35 G + 1,5 QB 1,35 G+ 1,5 QB+ W 1,35 G + 1,5 W + 1 ,3

"'0 QB (pour \!fo voir la note sous le tableau 3.4)

G+ 1,5 W S'il est tenu compte de la loi de dégression des charges d'exploitation, le coefficient 1,3 s'applique aux charges après prise en compte de la dégression.

"'0

3.423-33

Autres poteaux

:> Référence: BAEL, art. B-8,22 Ils' agit en particulier des poteaux d'ossatures calculées en portiques sous l'action des charges de pesanteur et du vent. Les combinaisons sont les mêmes que pour les poutres, mais en tenant compte pour QB de la loi de dégression des charges d'exploitation.

3.424

Vérification de l'état-limite de stabilité de forme

Se reporter au chapitre Il.

3.425

Vérification de l'équilibre statique

II s'agit d'un sujet très complexe, car les équilibres statiques sont largement indépendants du matériau constitutif et les formules correspondantes doivent donc être communes à tous les modes de construction. La manière de traiter ce problème ne peut être que semi-probabiliste, et son point de départ doit être commun avec la manière de traiter les problèmes de résistance. On se réfère ici aux indications données par l'Ingénieur Général H. Mathieu dans le Manuel du CEB « Sécurité des structures ». Un état-limite d'équilibre statique résultant d'une différence d'effets des actions et notamment des actions permanentes, la sécurité vis-à-vis d'un tel état dépend avant tout de la finesse de l'analyse (prise en compte ou non des actions, efforts ou paramètres parasites) et de la variabilité des actions permanentes . . Les dépassements d'équilibre statique peuvent être de diverses natures et de gravité très inégales. Par exemple, si dans un pont à plusieurs travées continues, l'extrémité du tablier peut se soulever dans certains cas de charge : - un soulèvement de 1 à 2 cm ne présente qu'un danger minime et cet état est assimilable à un état-limite de service; - un soulèvement croissant peut, au-delà de 5 cm par exemple, présenter un danger de plus en plus grave pour les usagers de la route. À partir d'une certaine valeur, il n'est

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 157 pas plus acceptable qu'un état-limite ultime. L'appréciation de cette valeur est d'autant plus délicate que le soulèvement peut se faire à un angle de l'about et non sur toute la largeur de celui-ci. Les états-limites d'équilibre statique étant donc très divers par leur nature et par leurs conséquences, il est très difficile de fixer des coefficients y couvrant la totalité des cas possibles.

À l'article A-3.3,4, les Règles BAEL renvoient aux Directives Communes qui distinguent: a) l'ensemble G 1 des actions permanentes y compris les parties du poids propre qui ont un effet stabilisateur ; b) l'ensemble G2 des actions permanentes et quasi permanentes, ainsi qu'éventuellement les charges non permanentes appliquées en cours d'exécution, qui ont l'effet inverse; c) la valeur caractéristique QIk, de l'action dominante qui a un effet déstabilisant; d) l'ensemble ~:>jfOiQik des valeurs de combinaison des actions d'accompagnement i>1

éventuelles. Pour les raisons exposées ci-dessus, le choix des coefficients à appliquer à chacun de ces termes est une affaire d'appréciation. Pour fixer les idées, les Directives Communes indiquent qu'assez généralement la combinaison fondamentale prendra la forme: 0,9 G1 + 1,1 G2 + 1,5 Qlk + 1,3

L \jf

OiQik

i>1

À l'artiéle B-3.3 les Règles BAEL distinguent: - les cas d'« équilibre statique pur », par exemple celui de la poutre-console de la figure 3.10 supposée posée sur des appuis en néoprène (à réaction unilatérale) où l'équilibre statique doit être vérifié pour le quatrième cas de charge de la figure mais en plaçant 0,9 G au lieu de G sur la travée adjacente au porte-à-faux; - les « autres cas », pour lesquels le problème peut être relativement complexe et fait alors l'objet soit de prescriptions, soit de documents, spécifiques, soit du Cahier des Clauses Techniques Particulières (CCTP). Pour certains ouvrages de génie civil (cheminées, réservoirs, cuvelages), il existe des textes particuliers auxquels il convient de se reporter.

-3.5

CALCUL DES SOLLICITATIONS

Pour ce calcul, on effectue une analyse dont l'objet est d'établir la distribution, sous des actions données, soit des sollicitations (M, N, V, 1), soit des contraintes, des déformations et des déplacements pour l'ensemble, ou une partie seulement, d'une structure. Si nécessaire, une analyse locale additionnelle doit être faite.

158 Traité de béton armé L'analyse est basée sur une modélisation de la structure, en recherchant dans chaque combinaison d'actions le (ou les) cas de charge le(s) plus défavorable(s) pour l'élément ou la section étudiés, à l'état-limite considéré. Dans la plupart des cas, l'analyse fournit la distribution des sollicitations; cependant, pour certains éléments complexes, la méthode utilisée (par exemple, méthode des éléments finis) ne fournit que les contraintes, les déformations et les déplacements. TI faut avoir recours à des méthodes spéciales pour déduire de ces résultats les sections d'armatures appropriées. Des analyses locales complémentaires peuvent être nécessaires dans les zones où l 'hypothèse d'une distribution linéaire des contraintes ne peut plus être conservée comme, par exemple: les appuis, les zones d'application de forces localisées, les croisements de poutres, les jonctions poutres-poteaux, les zones d'ancrage, les changements de section.

3.51

Prescriptions des Règles BAEL

:> Référence: BAEL, art. A 3,2 Les sollicitations doivent théoriquement être calculées en tenant compte du comportement réel de la structure dans l'état-limite correspondant, tel qu'il ressort des essais d'éléments ou de structures soumis aux mêmes types d'actions, ce qui conduit à cinq modes d'analyse différents : -l'analyse linéaire, basée sur l'hypothèse que les sollicitations sont des fonctions linéaires des'actions, -l'analyse linéaire avec« redistribution» arbitraire (voir § 3.512), -l'analyse non-linéaire (qui n'est en fait qu'une analyse des structures ayant un comportement local non-linéaire), -l'analyse plastique (pour les dalles, plus rarement pour les poutres), qui constitue une simplification schématique des analyses non linéaires, obtenue en supposant que le béton armé se comporte comme un matériau rigide-plastique parfait (voir § 2.12, figure 2.3). -Panalyse basée sur un modèle formé de bielles et de tirants. En pratique, on se contente le plus souvent d'une analyse linéaire en utilisant pour la structure un modèle élastique et linéaire et en appliquant les procédés de la Résistance des Matériaux classique, dans la mesure où la forme des pièces le permet. Cette analyse est faite en principe en attribuant directement à chaque action sa « valeur de calcul », c'est-à-dire la valeur obtenue en multipliant sa valeur représentative par le coefficient de sécurité partiel approprié. Lorsque la forme des pièces ne permet pas une application directe de la Résistance des Matériaux classique, on peut: - soit adopter des schémas se rapprochant de structures connues ; - soit avoir recours à des modèles de calcul plus élaborés (méthode des éléments finis, application du principe des équivalences, etc.) ; - soit procéder à une expérimentation sur modèle réduit ou en vraie grandeur.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 159

3.511

Simplifications admises dans l'application des méthodes de la Résistance des Matériaux

Dans l'application des méthodes de la Résistance des Matériaux, les simplifications suivantes sont admises: - Lorsque les inconnues hyperstatiques ne dépendent pas de la valeur du module de déformation longitudinale, il est loisible d'introduire, dans les équations servant à leur détermination, les constantes mécaniques (aires et moments d'inertie) calculées sur les sections du béton seul des pièces supposées non fissurées et en négligeant leurs armatures. Cette approximation n'est toutefois valable que dans la mesure où les rapports des déformabilités des différentes pièces ne sont pas, de ce fait, fondamentalement changés (ce qui serait, par exemple, le cas d'un arc sous-tendu par un tirant de section relativement réduite, dont la déformabilité peut être voisine de celle des aciers nus). - Dans le cas très fréquent d'une poutre en T formée d'une nervure associée à un hourdis, on attribue une largeur constante au hourdis associé à la nervure, cette largeur étant égale à celle susceptible d'être prise en compte en travée dans les calculs de résistance (voir § 7.6). - Les sollicitations du second ordre sont, le plus souvent, négligées sauf dans les vérifications d'état-limite ultime de stabilité de forme (voir chap. Il). - Pour les éléments dont les conditions d'encastrement aux appuis ne peuvent être définies avec précision, on peut évaluer les moments d'encastrement à des fractions, choisies forfaitairement, des moments positifs maximaux qui seraient supportés par la pièce reposant sur appuis simples. C'est notamment le cas des dalles et des poutres courantes de structUres de bâtiments.

3.512

Redistributions d'efforts

Dans certains cas, il convient de tenir compte des redistributions d'efforts dues à la nonconcordance du comportement des matériaux avec le modèle théorique adopté. Cette non-concordance a le plus souvent pour origine les phénomènes de fissuration et de plasticité du béton. Pour la prise en compte de ces redistributions, il convient de s'appuyer, dans la mesure du possible, sur des bases expérimentales probantes. Vis-à-vis de l'état-limite ultime, ces phénomènes se traduisent généralement par une atténuation des efforts en certaines sections, mais les Règles BAEL insistent sur les deux points suivants: - il est déconseillé de prendre en compte des redistributions théoriques non vérifiées par l'expérience; - les déformations résultant de ces redistributions doivent être compatibles avec l' étatlimite considéré.

160 Traité de béton armé

3.52

Prescriptions de l'EC2

3.521

Analyse structurale

L'analyse peut être basée sur un modèle de comportement : -linéaire élastique (sollicitations proportionnelles aux actions), - linéaire avec redistribution limitée, - plastique, incluant les modèles à bielles et tirants - non-linéaire, Les effets d'imperfections géométriques éventuelles et d'écarts dans la position des charges doivent être pris en compte à l'état-limite ultime (voir chapitre Il);

3.522

Modélisation de la structure

:> Référence: EC2, art. 5.3 Les éléments constitutifs d'une structure sont normalement classés d'après leur nature et leur fonction en poutres, poteaux, dalles, murs, etc. Un élément est considéré comme une poutre lorsque le rapport de sa portée 1 à la hauteur totale h de sa section droite est au moins égal à 2 : II h 2: 2. Une poutre dans laquelle cette condition n'est pas vérifiée est considérée comme une poutre-cloison. Un élément est considéré comme une dalle si sa portée minimale est au moins égale à cinq fois son épaisseur. Une dalle soumise en majeure partie à des charges uniformes est considérée comme portant dans un seul sens si le rapport Ixlly (notations françaises) est au plus égal à 0,5. Est considéré comme un poteau un élément tel que 1;::: 3 b avec b:::; 4 a (l, hauteur; a et b, respectivement, petite et grande dimensions de la section transversale). Un voile est un élément plan ou courbe, vertical ou incliné, dont la longueur horizontale est au moins égale à quatre fois son épaisseur. S'il n'en est pas ainsi, on a affaire à un poteau. Pour les calculs, tous ces éléments sont réduits à leur ligne moyenne ou à leur plan ou feuillet moyen. Il faut faire en sorte que le modèle ainsi constitué ait un comportement se rapprochant aussi fidèlement que possible de celui de la structure réelle. Par exemple, si deux travées de poutre ont des inerties différentes de part et d'autre d'un appui commun, les lignes moyennes sont décalées, le nœud est complexe, et il ne s'agit pas seulement de mener les calculs en prenant une inertie Il à gauche et une inertie h à droite avec une ligne moyenne rectiligne commune. De façon générale, les conditions de liaison des éléments entre eux, introduites dans un calcul, ne doivent pas être choisies arbitrairement, mais en fonction des raideurs respectives de ces éléments. Pour finir, il faut aussi tenir compte du mode d'application des forces. La Résistance des Matériaux n'en tient aucun compte. Mais, en béton armé, du fait que les éléments ont une certaine épaisseur, ce mode a une importance sur la disposition des armatures. Ainsi

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 161 par exemple, les charges appliquées dans une zone de poutre tendue par la flexion, qui, du point de vue de la RdM, engendrent le même effort tranchant quel que soit leur point d'application sur leur ligne d'action, doivent être «remontées» du côté comprimé, ce qui nécessite de prévoir dans ce but des armatures spéciales qui viennent en supplément des armatures d'effort tranchant (voir § 12.74).

3.522-1

Largeur participante des tables des poutres en T (pour tous les états-limites)

Lorsqu'une grande précision n'est pas exigée (par exemple, poutres continues des bâtiments) l'analyse peut être faite en admettant une largeur constante, celle en travée, sur toute la portée. Pour une poutre en T ou en L (figure 3.12) : beff

=Lbeff ,i + bw :::; b

où beff,i = 0,2 bi + 0,1/0 :::; 10

et beff,i:::; bi Dans ces formules, 10 représente la portée entre points de moment nul, évaluée forfaitairement selon la figure 3.13.

Figure 3.12. largeur efficace de la table d'une poutre en T

to= 0.15 (l1 + l2)

to= 0.7l 2

Figure 3.13. Distances conventionnelles entre points de moment nul

162 Traité de béton armé

3.522-2

Portées

La portée 1 considérée dans les calculs est la portée «effective », pnse égale à: leff = ln + al + a 2 avec 1" portée libre entre nus d'appuis. Les valeurs de al ou ab aux extrémités de chaque travée, sont à déduire dans chaque cas de la figure 3.14. ai = min {1/2 h ; 1/2 t}

•

Éléments isostatiques

ai = min {1/2 h ; 1/2 t}

•

Éléments continus

ai = min {1/2 h ; 1/2 t} Axe d'appui

V

•

Appuis considérés comme des encastrements parfaits

ca

Présence d'un appareil d'appui

ai = min {1/2 h ; 1/2 t}

•

Console

Figure 3.14. Portées « effectives» à prendre en compte dans les calculs

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 163 Écrêtage sur appuis de la courbe des moments Pour une poutre (ou une dalle) continue pouvant être considérée comme simplement posée sur ses appuis, on peut « écrêter» la courbe des moments sur appuis tracée en considérant la portée entre axes des éléments (figure 3.15) de la quantité: t

f).M Ed

= FEd ,sup "8

avec: FEd,sup

réaction d'appui (<< sup » pour support en anglais, et non pour supérieur)

t

largeur de l'appui

Cet écrêtage est justifié par le fait que la réaction d'appui n'est pas une force concentrée, agissant suivant l'axe de l'appui.

En admettant une distribution uniforme de la réaction sur la largeur t de l'appui, cette distribution crée dans l'axe de l'appui un moment égal à

FEd,sup

=(FEd,SUP] (t/2)2 =F

f).M Ed

t

2

Ed,sup

!.. 8

(cf. console de portée t/2 uniformément chargée par FEd,sup) qui vient en déduction du pic de moment obtenu en considérant la réaction FEd,sup comme concentrée.

Figure 3.15. Écrêtage de la courbe des moments sur appui. Dans le cas où la poutre (ou la dalle) est solidaire des poteaux (ou murs) qui la supportent, le moment critique de calcul peut être pris égal au moment au nu d'appui sans que la valeur retenue puisse être inférieure à 65 % du moment d'encastrement parfait de la même poutre (::::: O,43Mo ).

3.523

Analyse élastique linéaire

L'analyse linéaire, basée sur la Théorie de l'Élasticité, peut être utilisée pour les étatslimites de service et pour les états-limites ultimes. Pour la détermination des sollicitations, on peut également supposer les sections non fissurées, en admettant des lois de comportement (J"-g linéaires et en adoptant des valeurs moyennes pour le module d'élasticité.

164 Traité de béton armé Pour l'effet des déformations imposées (effets du retrait, effets thermiques, tassements d'appui) à l'état-limite ultime, on peut admettre une réduction de la rigidité due aux sections fissurées, en négligeant la contribution du béton tendu (§ 15.232), mais en incluant les effets du fluage. Pour les états-limites de service, l'évolution graduelle de la fissuration doit être prise en compte.

3.524

Analyse élastique linéaire avec redistribution limitée

Pour les vérifications à l'état-limite ultime des poutres et des portiques, à condition que la capacité de rotation puisse être établie de manière fiable, les moments de flexion ultimes, déterminés au moyen d'une analyse élastique linéaire peuvent être redistribués, c'est-à-dire que les moments de flexion dans les sections les plus sollicitées peuvent être multipliés par un coefficient réducteur Ô (voir ci-après), les moments dans les autres sections étant augmentés en conséquence pour maintenir l'équilibre. Toutes les conséquences de la redistribution admise sur l'effort tranchant, les ancrages et les arrêts de barres, ainsi que sur la fissuration, doivent être prises en compte dans le calcul, à toutes les étapes de la vérification. En particulier, les longueurs des barres doivent être suffisantes pour qu'aucune autre section ne devienne critique. Dans les poutres continues et les dalles où la flexion prédomine et où le rapport des portées adjacentes est tel que 0,5 ::; li 1li + t ::; 2, on peut se dispenser de vérifier explicitement la capacité de rotation sous réserve que le rapport Ô du moment redistribué au momel.1t élastique originel soit tel que (x u , hauteur de l'axe neutre à l'état-limite ultime, après redistribution, dhauteur utile) : Ô ~ kt

+ k2Xul d POur!ck::; 50 MPa

Ô ~ k3

+ k4Xul d pourfck > 50 MPa

avec en outre Ô ~ 0,70 dans le cas d'emploi d'armatures des classes de ductilité Bou C, et Ô ~ 0,80 dans le cadre d'emploi d'armatures de classe de ductilité A. Les valeurs de kt, k2, k3 et k4 sont:

= 0,44 k3 = 0,54

kt

k2 = 1,25 (0,6 + 0,0 14h'cII2) (scu2selon tableau 2.4)

k4 =k2

Pour la vérification des poteaux, les moments élastiques dus au fonctionnement en portique ne peuvent faire l'objet d'aucune redistribution.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 165

3.525

Méthode d'analyse plastique

3.525-1

Généralités

De telles méthodes ne doivent être utilisées que pour les vérifications à l'état-limite ultime. La capacité de rotation plastique doit être vérifiée. L'analyse peut être faite soit par la méthode statique (méthode des bielles et tirants par exemple, voir § 3.525-4 ci-après), soit par la méthode cinématique (théorie des lignes de rupture pour les dalles, par exemple).

3.525-2

Analyse plastique des poutres, portiques et dalles

Si l'on utilise la méthode cinématique, plusieurs mécanismes possibles doivent être envisagés, de manière à déterminer la capacité portante minimale. Une ductilité convenable est réputée obtenue (sans qu'il soit besoin de la vérifier) si toutes les conditions suivantes sont satisfaites: • la section des armatures tendues est limitée en sorte qu'en toute section:

xul d:S 0,25 pour les classes de béton au plus égales à C50160, xul d:S 0,15 pour les classes de béton au moins égales à C55/67 ; • l'acier est des classes de ductilité B ou C ; • le rapport des moments sur appuis intermédiaires aux moments en travée est compris entre 0,5 et 2. Les potea.ux des portiques doivent être calculés pour le plus grand moment plastique susceptible de leur être transmis par les poutres auxquelles ils sont liés.

3.525-3

Capacité de rotation

Pour les structures formées de poutres et de poutres-dalles, on considère des portions de poutres ou de dalles d'une longueur d'environ 1,2 h, supposées subir une déformation plastique (formation de rotules plastiques) sous la combinaison d'actions considérée. On doit s'assurer qu'à l'état-limite ultime, sous la combinaison d'actions considérée, la rotation calculée es est au plus égale à la rotation plastique admissible ep1d. Dans les régions des rotules plastiques, il faut avoir:

xul d:S 0,45 pour les classes de béton au plus égales à C50160, xul d:S 0,35 pour les classes de béton au moins égales à C55/67. Nota: 1. Se reporter à la figure 5.6 N de l'EC2 pour avoir les valeurs de base de la rotation plastique admissible ep1dPour les aciers à haute ductilité (classes B et C). 2. Un exemple d'application de chacune des deux méthodes d'analyse linéaire avec redistribution limitée des moments et d'analyse plastique est donné, pour une poutre continue, dans l'ouvrage Applications de !'Eurocode 2 (Presses des Ponts et Chaussées).

166 Traité de béton armé 3.525-4

Analyse avec modèles à bielles et tirants (stmt-and-tle models)

a) Présentation Dans cette méthode, on imagine un schéma plausible de cheminement des forces à l'intérieur d'un élément par l'intervention de bielles de béton comprimées donnant naissance à des forces de traction qu'il est nécessaire d'équilibrer par des armatures (tirants). L'exemple le plus classique est, en France, celui de la «méthode des bielles », due à P. Lebelle, pour le calcul des semelles de fondation. L'article 48 des Règles CCBA 68 : «Assemblage des pièces dont le calcul ne relève pas des hypothèses de la Résistance des Matériaux» formulait déjà des recommandations qualitatives et indiquait les précautions à prendre, en particulier pour l'ancrage des barres des tirants. Sous l'influence des travaux des Professeurs Schlaich et Schâfer de l'Université de Stuttgart (Konstruiren in Stahlbetonbau, 1984), le Code-Modèle CEB-FIP de 1990 a érigé cette méthode en méthode générale de calcul des ouvrages en béton armé ou précontraint (voir aussi Practical design of structural concrete, fib 1999). L'usage de tels modèles exige une certaine expérience de la part du projeteur. Les éléments d'un modèle à bielles et tirants sont: les tirants constitués par des nappes d'armatures tendues, les bielles de béton véhiculant des contraintes de compression et les nœuds formés par des volumes de béton confiné aux changements de direction des bielles et/ou des armatures et aux ancrages de ces dernières. On distingue: - les régions « B » de continuité où le principe de Saint-Venant est applicable (<< B » pour bending = flexion) -les régions« D» de discontinuité où le principe de Saint-Venant n'est pas applicable: zones d'about des poutres, nœuds de portiques, consoles courtes, poutres-cloisons, etc.

b) Règles de l'EC2 Pour assurer une compatibilité approximative, les bielles principales du modèle adopté doivent être placées et orientées selon le champ de contraintes donné par la Théorie de l'Élasticité. Si cette condition est satisfaite, le calcul à l'état-limite de service peut aussi être effectué en utilisant le modèle adopté. Les forces véhiculées par les éléments constitutifs du modèle doivent être déterminées de manière à maintenir, à l'état-limite ultime, l'équilibre avec les charges appliquées (pour le dimensionnement de ces éléments, voir chap. 14). Il n'est généralement pas possible de superposer plusieurs modèles à bielles et tirants. Une superposition n'est envisageable que dans le cas où le même modèle peut être adopté pour chaque cas.

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 167 c) Considérations générales (hors EC2) sur le choix des modèles Il convient d'essayer de concevoir des modèles simples, comportant un faible nombre de bielles et de tirants. La position et la direction des bielles doivent être déterminées en effectuant, par exemple, une analyse élastique par un calcul aux éléments finis (voir, à titre d'exemples donnés par K. Schafer, les figures 3.16 a et b). Un choix judicieux nécessite une certaine expérience (figure 3.17: le modèle (a) est bon, le modèle (b) ne l'est pas, à un double titre: il entraîne un risque de fissuration non négligeable dans la direction indiquée par la figure et une dépense d'acier supérieure à la disposition a).

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1

Iffffffllffffffi

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b

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Figure 3.16. Modèles de calcul: a) pour une poutre-cloison chargée en son milieu b) pour un bloc supportant une charge localisée

168 Traité de béton armé

t!!!!!!!!! t q

:

:

1 1 1

1 1 1

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\

1 1

\

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\

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1

1

--0-------6-Fissure probable

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t 1..

•

t

,.1

t

1..

.,

:T T li t d=t

,.1

t

Figure 3.17. Modèles de calcul pour une poutre-cloison soumise à une charge uniforme

• Choix des angles 8 d'inclinaison des bielles selon Kurt Schiifer Les angles 8 entre les bielles et les tirants doivent être aussi grands que possible Ç2: 45°, figure 3.18; cf. en France, la méthode des bielles pour les semelles sur pieux). Il convient cependant de faire une exception pour les cas, très courants, où une bielle aboutit à l'angle de deux tirants orthogonaux (figure 3.19). Dans ce cas, la bielle doit être contenue à l'intérieur d'un dièdre ouvert de ± 15° de part et d'autre de la bissectrice de l'angle droit.

Ul L

11111

92 > 30·

~,/' "

9 1 > 30·

92 > 30·

~,/ JI

9 1 > 30·

t Figure 3.18. Inclinaison d'une bielle sur appui

Figure 3.19. Inclinaison de bielles aboutissant à l'angle de deux tirants orthogonaux

• Forces concentrées sur lin bord 011 près d'un angle (figure 3.20) On a sensiblement Ô = 32° (8 = 58° ; plus classiquement on adopte en général une pente telle que Arc tg Ô = 2/3 soit Ô = 33°7). Selon les dimensions et les conditions aux limites

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 169 de la région D de discontinuité, l'angle 8 peut être plus grand ou plus petit que 32°. Par exemple, pour la poutre-cloison de la figure 3.20c, on peut choisir pour le nœud sous la charge 8 ~ 45°. Si la distance a augmente, on peut adopter les modèles d ou e de la figure 3.20, qui comportent un tirant intermédiaire, afin de ne pas trop réduire l'angle e.

ô l

4P' l

,

l

1

,

\

•

,, 1

1

1

1

1

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\

1

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0

58'

Ô=32°

1

,, ,, ,,

1

1

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1"

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1

1

11 Ô

~+1 1

1

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1

L.,;~/;::=::Q:/====~I --..

• 1+-1 ç-~"--Q-

1

__

z

~i --..1

Fw'" 2 a/z-1

F

3 - NEd/F Os FwS F

cotS= Fh/F

Figure 3.20. Différentes solutions possibles dans le choix de modèles de calcul

170 Traité de béton armé

3.526

Analyse non-linéaire

L'hypothèse de la linéarité de la relation effort-déplacement présente des insuffisances pour expliquer le comportement réel des structures, qui ont amené à développer l'analyse non-linéaire. La non-linéarité est due au fait qu'il n'existe pas de matériau parfaitement élastique. En béton armé, le béton et l'acier contribuent à la non-linéarité à différents niveaux: - par dépassement de la limite d'élasticité de chacun d'eux (franchissement du point E sur la figure 2.1) ; - dans la section, en raison du dépassement de la résistance à la traction du béton (changement de géométrie et modification des caractères mécaniques - aires, moments d'inertie, ... -lors du passage de la phase non fissurée à la phase fissurée) et ensuite, en raison du dépassement de la limite de plasticité de l'acier tendu et/ou de la limite de linéarité du béton comprimé; - dans la structure enfin, pour les systèmes hyperstatiques, à cause de la modification de la relation charges-moments fléchissants par suite du changement des caractères géométriques et mécaniques des sections des éléments. L'analyse non-linéaire se fait pas à pas, en tenant compte à chaque étape du comportement réel des matériaux et de la structure. Le recours à l'ordinateur est inévitable. Les méthodes d'analyse non-linéaire peuvent être utilisées aussi bien pour les étatslimites ultimes que pour les états-limites de service, à condition que la compatibilité soit satisfaite, qu'un comportement non-linéaire convenable des matériaux puisse être admis et que la capacité des sections critiques locales à supporter les déformations inélastiques soit vérifiée. Cette analyse peut être du premier ou du second ordre. Pour les structures élancées, dans lesquelles les effets du second ordre ne peuvent être négligés, on peut utiliser la méthode générale de calcul donnée au § II.622.

3156

BIBLIOGRAPHIE SÉLECTIONNÉE DU CHAPITRE 3

- Instructions techniques sur les directives communes de 1979 relatives au calcul des constructions, circulaire nO 79-25 du 13 mars 1979. BOUL 1, fascicule spécial 79-12 bis. - Conception, calcul et épreuves des ouvrages d'art, titres 1 et III du fascicule 61 du CPC. Circulaire nO 65 du 19 août 1960. Titre 1 : Programme de surcharges et épreuves des ponts-rails, titre III: Programme de charge et épreuve des ponts-canaux. BOUL 1, fascicule spécial nO 60-17 bis

1. Bulletin officiel du Ministère de l'Urbanisme et du Logement (voir note de bas de page au § 1.421).

Chapitre 3 • Actions et sollicitations 171 - Conception, calcul et épreuves des ouvrages d'art. Titre II du fascicule 61 du CPC (Programme de charges et épreuves des ponts-routiers), circulaires n° 71-155 du 29 décembre 1971 et n° 75-156 du 30 décembre 1971, BOUL, fascicule spécial n° 7221 bis. - Bases de calcul des constructions. Charges d'exploitation des bâtiments. NF P 06-001, juin 1986, AFNOR. - Règles définissant les effets de la neige et du vent sur les constructions. Règles NV 65 (DTU P 06-002), CSTB, 2000. - Règles parasismiques PS 92, éd. Eyrolles. - ISO - Rapport technique 6116, 1981, Actions sur les structures, et Eurocode 1. - Manuel « Sécurité des structures », Bulletins d'information du CEB nOs 127 et 128, décembre 1979, janvier 1980 (rédigés par H. Mathieu). - Règles N 84 - Actions de la neige sur les constructions, DTU P 06-006, CSTB avril 2000 ou Titre IV, section II du fascicule 61 du CCTG. - Calgaro (l-A), Bisch (Ph.), Codes européens de conception des constructions, Techniques de l'ingénieur. - Calgaro (J.-A), Moreau de Saint-Martin (l), Les Eurocodes. Conception des bâtiments et des ouvrages de génie civil, éd. du Moniteur, 2005. - Bosc (J.-L.), Dimensionnement des constructions selon l'Eurocode 2 à l'aide des modèles « bielles-tirants» : principes et applications, Presses de l'ENPC.

- Application de l'Eurocode 2 - Calcul des bâtiments en béton, Presses de l'ENPC, mai 2005.

CHAPITRE 4 ASSOCIATION ACIER-BÉTON

4.1

DISPOSITION DES ARMATURES

4.11

Disposition générale

Pour simplifier, on considère le cas d'une poutre horizontale à plan moyen vertical. Les armatures dites « longitudinales» sont toujours disposées en nappes horizontales (on dit aussi lits horizontaux) et en files verticales. Les files des lits inférieurs et supérieurs doivent se correspondre de façon à réserver des passages verticaux pour le coulage du béton et à simplifier le tracé des armatures d'âme.

Lits )1 er Lit 2e Lit

supérieurs

Armatures d'âme - - - - - -

File

Lits inférieurs

e 2 Lit 1er Lit

Figure 4.1. Dispositions d'armatures1

1.

Pour les dessins d'armatures, il est toujours nécessaire de faire une coupe-type comme celle de la figure 4.1. En effet, l'appellation « 1cr lit» appliquée aux aciers supérieurs risque d'être interprétée par le ferrailleur comme le premier lit à mettre en place en tant qu'aciers supérieurs, alors que dans l'esprit du calculateur, il représente le lit le plus proche de la face supérieure du béton.

174 Traité de béton armé

4.12

Enrobages

On appelle «enrobage» (co ver en anglais l ) la distance qui sépare la génératrice extérieure de toute armature à la paroi de béton la plus voisine.

a) Prescriptions des Règles BAEL On n'étudie pas systématiquement dans ce qui suit le cas où les barres sont groupées en paquets de plus de deux.

Figure 4.2. Enrobages et distances entre les armatures Pour des granulats roulés de dimension maximale re 4.2) : C

Cg

= 25

mm (notations, voir figu-

(ou Ct):::: Max [a; 0 ; 1 cm]

avec:

a = 5 cm

ouvrages à la mer ou exposés aux embruns, aux brouillards salins, ou à des atmosphères agressives,

a = 3 cm

parois non coffrées soumises à des actions agressives et parois exposées aux intempéries, aux condensations ou au contact d'un liquide.

a = 1 cm

parois situées dans des locaux clos et couverts et non exposées aux condensations.

Les valeurs de 5 cm et de 3 cm peuvent être ramenées à : - 3 cm si, soit les armatures, soit le béton sont protégés par un procédé dont l'efficacité a été démontrée ; .- 2 cm si la résistance du béton est supérieure à 40 MPa (l'efficacité de la protection apportée par l'enrobage est fonction de la compacité du béton, qui augmente avec sa résistance).

1. Le mot anglais cover est parfois traduit incorrectement par « recouvrement» par des traducteurs non spécialistes. Le terme « recouvrement}) prête à confusion, car il désigne en fait un mode de jonction entre barres (voir § 4.6).

Chapitre 4 • Association acier-béton 175 b) Prescriptions de l'Ee2 L'EC2 définit un enrobage nominal et un enrobage minimal. Celui-ci est fixé en fonction des classes d'exposition (tableau 4.1). 1°) Enrobage nominal L'enrobage nominal Cnom de toute armature (y compris les armatures de peau) doit être spécifié sur les dessins. Il est égal à:

avec: Cmin

enrobage minimal

!1cdev

tolérance d'exécution admise.

2°) Enrobage minimal Un enrobage minimal Cmin doit être prévu afin d'assurer une transmission correcte des forces d'adhérence, la protection des armatures contre la corrosion (durabilité) et une résistance adéquate à l'incendie. Pour satisfaire les exigences relatives aux deux premières conditions, il faut avoir: Cmin

= Max [Cmin,b; Cmin,dllr+ !1cdllr,y- !1cdur,st - !1cdur,add; 10 mm]

avec: Cmin,b

enrobage minimal pour respecter les exigences d'adhérence

Cmin,dllr

enrobage minimal pour respecter les conditions d'environnement sécurité additionnelle réduction en cas d'emploi d'acier inoxydable

!1Cdur,add

réduction en cas d'une protection additionnelle.

Tableau 4.1. Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement Désignation de la classe

Description de l'environnement

Exemples informatifs (1) illustrant le choix des classes d'exposition

1. Aucun risque de corrosion ni d'attaque

XO

Béton non armé et sans pièces métalliques noyées : toutes expositions sauf en cas de gel/dégel, d'abrasion et d'attaque chimique - Béton armé ou avec des pièces métalliques noyées : très sec.

Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité ambiant est très faible

176 Traité de béton armé Désignation de la classe

Description de l'environnement

Exemples informatifs (1) illustrant le choix des classes d'exposition

2. Corrosion induite par carbonatation

Sec ou humide en permanence

Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité ambiant est faible - Béton submergé en permanence dans de l'eau

Humide, rarement sec

Surfaces de béton soumises au contact à long terme de l'eau - Un grand nombre de fondations

XC3

Humidité modérée

Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité ambiant est moyen ou élevé - Béton extérieur abrité de la pluie

XC4

Alternativement humide et sec

Surfaces de béton soumises au contact mais n'entrant pas dans la classe d'exposition XC2

XCI

XC2

3. Corrosion induite par les chlorures

XDI

Humidité modérée

Surfaces de béton exposées à des chlorures transportés par voie aérienne

XD2

Humide, rarement sec

Piscines - Éléments en béton exposés à des eaux industrielles contenant des chlorures

Alternativement humide et sec

Éléments de ponts exposés à des projections contenant des chlorures - Chaussées - Dalles de parcs de stationnement de véhicules

XD3

4. Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer

XSl

Exposé à l'air véhiculant du sel marin mais pas en contact direct avec l'eau de mer

Structure sur ou à proximité d'une côte

XS2

Immergé en permanence

Éléments de structures marines

Chapitre 4 • Association acier-béton 177

Désignation de la classe

Description de l'environnement

XS3

Zones de marnage, zones soumises à des projections ou à des embruns

Exemples informatifs (1) illustrant le choix des classes d'exposition Éléments de structures marines

5. Attaque gel/dégel XFl

Saturation modérée en eau, sans agents anti-verglas

Surfaces verticales de béton exposées à la pluie et au gel

XF2

Saturation modérée en eau, avec agents anti-verglas

Surfaces verticales de béton des ouvrages routiers exposés au gel et à l'air véhiculant des agents anti-verglas

XF3

Forte saturation en eau, sans agents anti-verglas

Surfaces horizontales de béton exposées à la pluie et au gel

Forte saturation en eau, avec agents anti-verglas ou eau de mer

Routes et tabliers de pont exposés aux agents anti-verglas - Surfaces de béton verticales directement exposées aux projections d'agents anti-verglas et au gel- Zones des structures marines soumises aux projections et exposées au gel

XF4

6. Attaques chimiques

XAI

Environnement à faible agressivité chimique selon l'EN 206-1, tab.2

Sols naturels et eau dans le sol

XA2

Environnement d'agressivité chimique modérée selon l'EN 206-1, tableau 2

Sols naturels et eau dans le sol

XA3

Environnement à forte agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tab.2

Sols naturels et eau dans le sol

(l) Se reporter à l'Annexe Nationale qui rend cette colonne normative et lui adjoint des notes appropriées.

178 Traité de béton armé Pour les trois termes correctifs Ilcdllr, les valeurs sont normalement prises égales à zéro, mais l'Annexe Nationale envisage des cas où une valeur différente de zéro doit être adoptée .

• Enrobage minimal pour respecter les exigences d'adhérence Cmin,b Pour assurer une transmission correcte des forces d'adhérence et un serrage correct du béton, l'enrobage minimal Cmin,b d'une barre ne doit pas descendre au-dessous de son diamètre nominal 0 ou, s'il s'agit d'un paquet de n barres, au-dessous du diamètre équivalent 0 n du paquet ( 0

n

= 0..[,; ).

Si la dimension maximale dg du granulat est supérieure à 32 mm, l'enrobage minimal défini ci-avant doit être augmenté de 5 mm .

• Enrobage minimal pour respecter les conditions d'environnement emln,dur Les valeurs données par le tableau 4.4N de l'EC2 (tab.4.2) et adoptées par l'Annexe Nationale, s'appliquent au béton normal armé d'aciers au carbone ordinaires.

Tableau 4.2. Valeurs de emln,dur (mm) Classe d'exposition selon le tableau 4.1

Classe structurale

XO

XC1

XC2/XC3

XC4

XD1/XS1

XD2/XS2

XD3/XS3

SI

10

10

10

15

20

25

30

si

10

10

15

20

25

30

35

S3

10

10

20

25

30

35

40

S4

10

15

25

30

35

40

45

S5

15

20

30

35

40

45

50

S6

20

25

35

40

45

50

55

La classe de structure recommandée correspond à une durée de vie de l'ouvrage de 50 ans (classe S4). Pour une durée de vie de 100 ans, il faut augmenter la classe de deux rangs. Inversement, on peut réduire la classe d'un rang si, indépendamment:

- il s'agit d'une dalle, - un contrôle de qualité particulier est assuré pour la production du béton, -la classe de résistance du béton est au moins égale aux valeurs du tableau 4.3.

Chapitre 4 • Association acier-béton 179 Tableau 4.3 Classes (1) d'exposition Classes de résistance

XO, XCI

XC2, XC3

XC4, XDI, XD2, XSI

XD3, XS2, XS3

30/37

35/45

40/50

42/55

(1) Annexe Nationale: 30/37 pour les classes XC2 et XC3, 35/45 pour la classe XC4 et 40/50 pour la classe XS2. Le reste sans changement.

Pour du béton coulé au contact d'autres éléments (préfabriqués ou coulés eux-mêmes in situ), l'enrobage minimal par rapport à l'interface peut être réduit à Cmin,h, sous réserve que la classe du béton soit au moins égale à C25/30, que l'interface soit rendue rugueuse et que son temps d'exposition à l'environnement extérieur soit au plus égal à 28 jours. Pour les parements irréguliers, l'enrobage minimal doit être augmenté d'au moins 5 mm.

4.13

Distances entre barres

a) Prescriptions des Règles BA EL La distance verticale ev entre deux barres isolées situées à l'aplomb l'une de l'autre doit être telle que (0, diamètre de la plus grosse barre) :

ev ~ Max [0 ; Cg]

soit, en général:

ev ~ Max [0 ; 2,5 cm]1

La distance horizontale eh entre barres ou paquets de barres doit être telle que:

eh ~ Max [0 ; 1,5 Cg]

soit, en général:

eh ~ Max [0 ; 4 cm]

b) Prescriptions de l'EC2 Entre barres parallèles isolées ou entre lits horizontaux de barres parallèles:

e,.ou eh

~

Max [0max ; dg + 5 mm; 20 mm] avec dg dimension maximale du granulat.

Dans le cas de groupements de n barres de même diamètre 0, la règle précédente s'applique en prenant compte le diamètre équivalent 0"

1.

=0,J;;

(n

$

4).

Il est permis de superposer les barres deux par deux (BAEL, art. A-7 .2,3) auquel cas la distance ev est à respecter entre deux paquets successifs ou entre un paquet et une barre isolée (cas de la figure 4.2)

180 Traité de béton armé

4.2

ADHÉRENCE DES BARRES DROITES ISOLÉES

4.21

Définition

Dans un élément en béton armé, les forces extérieures étant appliquées au béton, la transmission aux armatures des efforts auxquelles celles-ci doivent résister suppose qu'elles ne peuvent pas glisser dans la gaine de béton qui les enrobe, ou que les glissements éventuels demeurent dans des limites tolérables. On appelle« adhérence» l'action des forces de liaison qui s'opposent au glissement des armatures dans leur gaine de béton. L'adhérence, qui est le phénomène fondamental sans lequel le matériau « béton armé» n'aurait pu exister, joue trois rôles: 1. elle assure le scellement ou l'ancrage des barres arrêtées; 2. elle assure l'entraînement des armatures sous l'effort de glissement longitudinal provoqué par l'effort tranchant (en permettant le développement de contraintes tangentes qui équilibrent les variations des contraintes longitudinales) ; 3. avant fissuration, elle permet aux armatures de travailler en collaboration avec le béton tendu; après fissuration, elle assure une répartition des fissures et l'équilibre des efforts de traction par les armatures, en maintenant une liaison entre le béton et l'acier dans les zones comprises entre les fissures. La transmission des efforts aux armatures peut également résulter des formes courbes données à leurs lignes moyennes (ancrages courbes) ou de la présence de fils transversaux soudés (treillis soudés).

4.22

Phénomènes expérimentaux Théorie de M. Caquot

Considérons une barre rectiligne lisse ou HA noyée dans un prisme de béton. Cherchons à l'extraire de ce prisme en exerçant sur elle un effort axial de traction (figure 4.3).

Chapitre 4 • Association acier-béton 181

Les forces de liaison qui s'opposent au glissement de la barre suivant son axe par rapport au béton sont: - d'une part des forces capillaires et moléculaires, donc de nature physique, qui assurent le « collage» du béton et de 1'acier ; - d'autre part, des forces de frottement accompagné ou non de butées. F

Figure 4.3 Les forces de frottement assurent en majeure partie la liaison au béton des ronds lisses ou des barres HA. En effet : - d'une part la résistance au décollement est extrêmement faible, comme on peut le mettre en évidence expérimentalement, et peut être considérée comme négligeable ; - d'autre part l'effort qu'il faut exercer pour extraire la barre par traction demeure important, même après un glissement de plusieurs millimètres, ce qui confirme l'existence d'un frottement (ronds lisses) accompagné de butées (barres HA). D'après M. Caquot, sous l'action de l'effort de traction, des contraintes de cisaillement se développent sur des surfaces cylindriques coaxiales à la barre. Si l'effort de traction croît, ces contraintes entraînent la rupture du béton suivant des surfaces coniques de révolution formant un angle de 45° avec l'axe de la barre (figure 4.3). Les troncs de cône emboîtés ainsi formés tendent à se coincer sur la barre et à fonctionner comme des « encliquetages à frottement ». Ce phénomène, décrit de longue date par M. Caquot dans le cours de béton armé qu'il professait à l'École Supérieure d'Aéronautique! vers 1930, a été confirmé expérimentalement en 1971 par Goto (figure 4.4, extraite de l'article de Goto) au moyen d'un ingénieux système d'injection d'encre rouge au voisinage de la barre et sur toute sa longueu~.

1. Dans ce cours, M. Caquot qui était aussi un hydraulicien (on lui doit, entre autres, l'étude des mécanismes de remplissage et vidange rapides des écluses de Donzère - Mondragon) et qui s'adressait à des élèves rompus à la Mécanique des Fluides, expliquait l'adhérence par similitude hydraulique. La formule [4.0] donnée plus loin a été dérivée d'une formule établie par M. Caquot à partir de ces considérations hydrauliques. 2. Goto, Y., « Cracks formed in concrete around deformed tension bars », ACI Journal, avril 1971.

182 Traité de béton armé Fissure primaire

Fissures internes

Figure 4.4. Vue de la fissuration interne des tirants (selon Goto)

Les spécialistes mondiaux de l'adhérence parlent depuis des « Goto cracks », qui sont avant tout les « fissures Caquot» (les « troncs de cône emboîtés» sont bien visibles sur la figure 4.4.).

cr' = 2't/sin2~

1

1

tO"y='t·tg~ Figure 4.5. État de contraintes dans le cas d'un rond lisse

Chapitre 4 • Association acier-béton 183 Les mêmes spécialistes disent plutôt maintenant qu'il se forme au voisinage de la barre des « dents» de béton (séparées par les fissures). L'état de contraintes de ces dents de béton est très complexe, surtout dans le cas des barres à haute adhérence (figures 4.5 et 4.6, d'après le Professeur Tassios (Grèce). Fissure de rupture par compression (finale)

Armature de couture d'enrobage

Fissure de traction (initiale)

Décollement Écrasement local

Figure 4.6. État de contraintes possible au moment de la rupture d'adhérence d'une barre HA; effet favorable de l'armature de couture d'enrobage (Tassios)

De façon générale, la rupture d'adhérence peut se produire de deux façons différentes: - soit par le glissement de la barre dans le béton qui reste apparemment intact, si cette barre est au centre d'une section de béton de dimensions transversales importantes (principe de l'essai de « pull-out») : - soit par fissuration longitudinale et rupture du béton d'enrobage, si la barre est trop proche d'un parement (angle ou face) et s'il n'y a pas d'armatures « d'enrobage» cousant l'intervalle barre-paroi (figure 4.7). Dans ce cas, la gaine qui enserre la barre à la manière d'un étau s'ouvre et l'adhérence disparaît. Ce mode de rupture est donc particulièrement dangereux et il faut tout mettre en œuvre pour l'éviter.

184 Traité de béton armé

F

•

• F

Figure 4.7

4.23

Mesure des caractères d'adhérence d'une barre

Les normes définissent, pour les barres à haute adhérence, certains profils-types avec fixation de valeurs numériques minimales ou maximales des paramètres géométriques de forme (voir § 2.361-2). Les valeurs réglementaires de 1,5 pour le coefficient de scellement 'l's, et de 1,6 pour le coefficient de fissuration Tt (voir § 2.382-1b) valent pour les aciers qui répondent aux spécifications des normes. Dans le cas contraire, il faut fournir des justifications expérimentales. Différents types d'essais ont été développés pour déterminer les caractères réels d'adhérence d'une barre au béton.

4.231

Essais d'arrachement

Même lorsqu'ils comportent la mesure des glissements, ces essais ont l'inconvénient de ne donner que des renseignements globaux. Ils permettent toutefois des études comparatives sur différents types de barres.

. 4.231-1

Essai d'adhérence par traction dit cc pull-outtest» (POl)

C'est l'essai dont l'exécution est la plus simple et en principe la moins coûteuse. Dans cet essai, préconisé par la RILEM, une barre noyée sur une longueur définie (5 diamètres), suivant l'axe d'un cube de béton armé de dimensions définies, est sollicitée à une extrémité par une force de traction jusqu'à rupture de l'adhérence et glissement de la barre (figure 4.8).

Chapitre 4 • Association acier-béton 185 Barre d'armature

t

Béton

5em

Colmatage

Douille en plastique

30em

'-

~

.1..----t

t

Figure 4.8. Essai de pull-out

Au cours de l'essai, on enregistre la courbe force appliquée - glissement qui permet d'avoir la relation entre la contrainte d'adhérence et le déplacement relatif entre l'acier et le béton. À partir de tous les résultats individuels ainsi obtenus, on détermine une courbe moyenne qui sert à porter un jugement sur l'adhérence. Pour une nuance d'acier d'un profil donné, on doit contrôler l'adhérence pour trois diamètres différents se situant dans les domaines inférieur, moyen ou supérieur de la gamme de fabrication (par exemple: 0 8 , 0 16 et 0 25 mm). La RILEM demande d'effectuer pour chaque diamètre au moins 25 essais, mais ne définit pas la règle d'interprétation de ceux-ci.

4.231-2

Essai d'arrachement modifié

Cet essai a longtemps été utilisé en France. On utilisait un bloc parallélépipédique suivant l'axe duquel étaient engagées symétriquement deux barres de même diamètre, dont l'alignement était réalisé de manière rigoureuse afin d'assurer une traction axiale. Ce bloc de béton, de section déterminée, était armé par quatre barres longitudinales et une frette hélicoïdale. Comme, par suite des défauts de laminage et de l'oxydation naturelle, l'état de surface des ronds lisses n'est pas parfaitement connu, on effectuait des essais comparatifs, non pas avec des ronds lisses, mais avec un acier HA déjà connu. L'essai consistait à déterminer la charge maximale provoquant le glissement de l'une des deux barres, d'où la contrainte de rupture d'adhérence expérimentale 'trs (voir § 4.252).

186 Traité de béton armé Pour l'interprétation des essais, on utilisait la formule de l'article 2.33 des Règles BA 60 donnant la contrainte de rupture d'adhérence, reproduite ci-après, en notations BAEL: [4.0]

avec:

hr

résistance moyenne à la traction du béton au jour de l'essai

dl

distance minimale de l'axe de la barre à la surface libre du béton

d2

distance de l'axe de la barre à la surface libre du béton, dans la direction perpendiculaire à celle selon laquelle dl est mesurée,

lld

coefficient de scellement (Règles BA 1960).

En présence d'une armature d'enrobage (voir figure 4.7; c'était le cas pour la frette hélicoïdale des éprouvettes soumises aux essais) dl et d2 devaient être augmentés en leur ajoutant une épaisseur fictive, exprimée en centimètres par le même nombre que la section A (cm2/m) de l'armature d'enrobage. Pour dl

= d2 on avait ainsi:

avec d= dl + A (d et dl en cm; A en cm2/m) La contrainte expérimentale 'trs était rapportée non pas à la longueur L réellement engagée de la barre, mais à la longueur L - dl, pour tenir compte du fait que lorsque la barre commence à glisser, elle entraîne avec elle le premier cône à 45°. Les formules de scellement ayant été quelque peu simplifiées dans les Règles BAEL 91 par rapport aux Règles BA 60, le coefficient de scellement 'Ils défini dans les Règles BAEL correspond à :

La valeur numérique 'Ils = 1,5 admise pour les barres HA qui satisfont aux conditions de forme spécifiées par les normes, comporte en elle-même une certaine sécurité, les valeurs obtenues expérimentalement étant plus couramment supérieures à 1,8 ou même à 2.

Chapitre 4 • Association acier-béton 187

4.231-3

Essai de flexion simple sur poutre ou « bearn-test »

Cet essai, préconisé par la RILEM, est censé reproduire les conditions normales de sollicitation des armatures et permettre la détermination des caractères réels d'adhérence. Il consiste à mesurer le glissement d'une barre formant armature inférieure commune à deux blocs de béton distincts, dans un essai de flexion au cours duquel les blocs sont astreints à pivoter autour d'une articulation commune en acier. Les dimensions de la poutre ainsi formée varient avec le diamètre des barres étudiées (figure 4.9; dimensions valables pour 0 10 à 0 14). La longueur d'adhérence imposée pour l'essai, égale à dix fois le diamètre nominal de la barre ou du fil, est localisée dans la zone centrale des deux blocs de béton. En dehors de ces deux zones, la barre est munie de manchons lisses en matière plastique, empêchant toute adhérence.

~

i~<

18°1<

fi························· 50

~~---375------.~1~5~O~I~~----375----r-~ ~-------------650------------~

Figure 4.9. « Bearn-test»

Au cours de la mise en charge, qui est poursuivie jusqu'à la rupture totale de l'adhérence dans chacune des deux demi-poutres, on mesure le glissement des deux extrémités de la barre et on obtient ainsi deux courbes « charge-glissement ». Ces courbes permettent d'obtenir, pour toute valeur du glissement, la contrainte d'adhérence supposée uniformément répartie sur la longueur d'adhérence. Soit la contrainte de rupture d'adhérence (TR

= F,,,ax = 110 L

P"l4X ) 10110 2

la contrainte moyenne d'adhérence déterminée à partir du diagramme chargeglissement, en calculant la moyenne arithmétique des contraintes correspondant à des glissements de 0,01 mm, 0,1 mm et 1 mm à l'extrémité de la barre ou du fil.

188 Traité de béton armé Les Recommandations Internationales de 1970 (fascicules annexes) indiquent que, pour pouvoir être considérée comme à haute adhérence, une barre doit satisfaire aux relations (le coefficient 0,98 provient de la transformation des bars en MPa) : '1: R

~ 0,98 (13 - 0,19 0)

'l: M

~ 0,98 (8-0,12 0)

(mm, MPa)

En outre, la rupture d'adhérence ne doit pas se produire avant que le glissement n'ait atteint 0,5 mm.

4.232

Essais de fissuration

II existe des théories de la fissuration qui permettent d'effectuer pour les cas courants un calcul théorique de l'ouverture maximale des fissures. En France, on trouve dans la théorie de M. Brice, exposée à l'annexe C des Règles CCBA 68, l'origine du coefficient de fissuration YI qui, dans les Règles BAEL 91, intervient dans la vérification des étatslimites d'ouverture des fissures. Ce coefficient peut s'obtenir par un essai assez simple dans son principe: celui-ci consiste à mesurer les espacements des fissures qui apparaissent dans un prisme en béton à section carrée assez long (environ 1,5 m) traversé suivant son axe par une barre, lorsqu'on exerce directement sur cette dernière un effort de traction correspondant à une contrainte égale aux trois-quarts de la limite d'élasticité de l'acier. Le choix de cette contrainte relativement élevée est arbitraire; ce qu'il faut, c'est que la totalité des fissures susceptibles de se produire, se produisent effectivement au cours de l'essai, de manière que l'on puisse mener l'interprétation de celui-ci sur une éprouvette en état de fissuration « complète» (voir chap. 15). Cette interprétation consiste à déduire des espacements constatés « la » valeur de l'espacement moyen ôlm entre les fissures; elle ne peut être faite que par des spécialistes. La présence de fissures multiples ou ramifiées (figure 4.10) rend en effet cette interprétation délicate (voir« Cours de béton armé» de J.- R. Robinson, chapitre V).

Figure 4.10 Une fois déterminée la valeur de ôlm , on obtient le coefficient de fissuration expérimen. tal par application de la formule de l'article C54 - iv des Règles CCBA 68, qui donne:

YI = 30 (1+_1_) ôlm lOmf

Chapitre 4 • Association acier-béton 189 avec 'üJfpourcentage géométrique d'armatures du prisme essayé. Si B est l'aire de la section droite du prisme et A la section de la barre:

A

'üJ = f

B

Les valeurs numériques Tl = 1,6 ou Tl = 1,3 selon le cas, admises pour les barres HA ou les fils HA qui satisfont aux conditions de forme spécifiées par les normes, comportent en elles-mêmes une certaine sécurité, les valeurs obtenues expérimentalement étant généralement supérieures.

4.233

Cas des treillis soudés

L'adhérence au béton d'un treillis soudé formé de fils lisses dépend assez peu de l'adhérence propre des éléments longitudinaux, mais beaucoup de l'efficacité de l'accrochage des éléments transversaux, c'est-à-dire de la résistance de la soudure entre deux éléments d'armature. Celle-ci est contrôlée par des essais, mais il est possible d'extrapoler les essais décrits précédemment à des éléments de treillis soudés et par exemple, de réaliser un essai de bearn-test sur une « échelle» découpée dans un panneau (échelle classique ou échelle de perroquet). Pour les treillis soudés formés de fils HA on a admis, sans essais, que, sauf circonstances particulières, les caractères d'adhérence étaient ceux des fils constitutifs (voir § 4.72).

4.24

Facteurs dont dépend l'adhérence

L'adhérence est d'autant plus grande que: 1°) la surface latérale des barres est plus rugueuse: - barres rouillées> barres lisses non oxydées, - barres HA > ronds lisses bruts de laminage> fils tréfilés cylindriques, 2°) la gaine qui enserre la barre à la manière d'un étau est plus épaisse et mieux cousue par des armatures transversales. 3°) la résistance à la traction du béton est plus élevée, 4°) «l'étau)} constitué par la gaine est plus serré: ..: une compression transversale augmente l'adhérence, - une traction transversale la diminue.

190 Traité de béton anné

4.25

Contrainte d'adhérence

4.251

Remarque préliminaire

II n'y a mise en jeu de l'adhérence que si, entre deux sections droites d'une barre quelconque, l'effort de traction (ou de compression) varie. En pratique, il en est presque toujours ainsi. Il ya en effet variation d'effort par exempie: - à l'extrémité d'une barre (ancrage) où l'effort qui s'exerce en partie courante doit nécessairement s'annuler (donc décroît de sa valeur maximale jusqu'à zéro), - le long des barres longitudinales d'une pièce fléchie, du fait de la variation du moment de flexion dans cette pièce. Considérons en effet une poutre sur deux appuis simples: dans une section 1 quelconque on a, dans l'équilibre du couple de flexion:

- - . Ft2

Figure 4.11

De même, dans une section 2 plus proche de l'appui que la section 1 :

Comme z varie peu et comme MI > M 2 on a FIl> F fl.. Dans l'armature longitudinale inférieure il y a donc mise en jeu de l'adhérence, par entraînement, entre les sections 1 et 2 et, par voie de conséquence, tout le long de chaque barre longitudinale.

Chapitre 4 • Association acier-béton 191

4.252

Définition de la contrainte moyenne d'adhérence

Par conséquent, si entre deux sections droites, distantes de dx, d'une barre isolée de diamètre nominal 0, l'effort axial F varie de dF ou, ce qui revient au même, la contrainte normale as varie de das, il y a mise enjeu de l'adhérence (figure 4.12). Par définition, la contrainte moyenne d'adhérence 1's est le quotient de la variation d'effort par unité de longueur par le périmètre nominal :

_ 1 dF _ 11:0 2 1 da s 11:0 dx 4 11:0 dx

_

0 da s 4 dx

l' - - - - - - - - - - - - - s

[4.1]

Le calcul réglementaire suppose 1's constant (ce qui ne correspond certainement pas à la réalité, la variation étant plutôt celle représentée figure 4.13).

I------:~

F + dF

(crs + dcrs)

dx

Figure 4.12 /1\ 1:s

Figure 4.13 Grâce à cette hypothèse, on peut écrire dF =(11: 0

l's )

dx

192 Traité de béton armé XB

XA

°f.---~~i~------------~~l 1

B! 1

,A 1

i

i

1111 1111 1111 1111 1111 Il Il!

,

~S

'

t

1 '",

1 ,

,.'

1

i as.

1

nlllllllllllllllllllU

aSA

Figure 4.14

et, entre deux sections A et B d'abscisses XA

FA -FB

=1C

0

etxB,

en supposant FA> FB :

't'.(xA -XB )=1C 0 't'J [4.2]

4.3

ANCRAGE DES BARRES DROITES ISOLÉES

4.31

Définition

Soit une barre rectiligne supportant dans une section A un effort de traction axial Fs • Ancrer la barre, c'est assurer à partir du point A la transmission intégrale de cet effort au béton par adhérence. Si l'effort de traction est égal à l'effort maximal admissible (crs

« total » par les Règles BAEL.

=le) l'ancrage est dit

Chapitre 4 • Association acier-béton 193

4.32

Valeurs limites de la contrainte d'adhérence à l'état-limite ultime

Pour assurer un ancrage correct (c'est-à-dire empêcher le glissement des armatures dans leur gaine de béton), la contrainte d'adhérence doit être limitée. La valeur maximale réglementaire pour le calcul des ancrages est fixée comme suit par les Règles BAEL et l'EC2 : a) Règles BAEL

:> Référence: BAEL 91, art. A 6.1,21 [4.3] avec: 'Vs

coefficient de scellement (voir § 2.382-1)

1t28

résistance à la traction du béton (voir § 2.242-a)

d'où: - pour les ronds lisses ('I1s = 1):

't SlI

- pour les barres HA ('I1s =1,5) : 't su

=0,6 1t28

[4.4]

=1,35 };28

[4.5]

ce qui conduit aux valeurs de 'tsu en MPa données au tableau 4.4.

Tableau 4.4. Valeurs de la contrainte d'adhérence limite 'tsu (Mpa)

fc2S (MPa)

20

25

30

35

40

45

50

55

60

ft2s (MPa)

1,8

2,1

2,4

2,7

3,0

3,3

3,6

3,9

4,2

Barres HA

2,4

2,8

3,2

3,6

4,0

4,5

4,9

5,3

5,7

Ronds lisses

1,1

1,3

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,3

2,5

4.33

Longueur de scellement droit

:> Référence: BAEL, A 6.1,221 On appelle« longueur de scellement droit ls» (figure 4.15) la longueur nécessaire pour assurer sous contrainte d'adhérence limite ('ts = 'tsu ) l'ancrage total (soit O's = le) d'une barre droite tendue, c'est-à-dire, en appliquant la formule [4.2] avec

n0 2

F.4 =-4-fc

;

1 =1s ,.

[4.6]

194 Traité de béton armé

1 1 1

1 1

1 1

1

1

f

oi~I!llllllllle 1

1 1 1

1

,"" 1

)001

Figure 4.15. Ancrage total Cette formule, qui est fondamentale, est valable aussi bien en traction qu'en compression (BAEL, art. A-6.1,221) 1• On arrive ainsi au tableau 4.5, qui donne les valeurs de ls / 0 en fonction de !c28 (valeurs arrondies à l'entier le plus voisin, la précision est bien suffisante).

Tableau 4.5. BAEL - Valeurs de Is /0

(MPa)

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Barres HA Fe E500 et fils HA

51

44

39

34

31

28

26

24

22

Barres HA Fe E400

41

35

31

27

25

22

21

19

15

Ronds lisses

50

43

37

33

30

27

25

23

21

fc28

On voit que les valeurs forfaitaires proposées par les Règles BAEL, à savoir : • ls = 50 0 pour les barres HA Fe E 500 et les ronds lisses,

• 15 = 40 0 pour les barres HA Fe E 400, constituent des approximations assez grossières valables uniquement pour des bétons de très faibles résistances, mais qu'elles sont dans le sens de la sécurité.

1.

Pour une barre comprimée, 1. calculée par la formule [4.6] n'est qu'un repère commode, sans signification physique, car une telle barre est en fait considérée, en l'absence de chocs ou de vibrations, comme totalement ancrée sur une longueur égale à 0,6 1. (voir § 4.621).

Chapitre 4 • Association acier-béton 195

Remarque: Si, pour des raisons pratiques, on est amené à disposer des armatures en sorte que l'aire réelle A de leur section droite soit supérieure à la section Aca/ strictement requise par le calcul (section A surabondante), il faut substituer à ls la longueur d'ancrage la (figure 4.16) définie par (BAEL, art. A-6.1,222): [4.7]

,, ,,

0,

Figure 4.16

Ce cas se rencontre notamment lorsque l'on effectue une épure d'arrêt des barres longitudinales (voir chapitre 16). Une partie de l'armature inférieure devant être prolongée jusqu'aux appuis, on peut être conduit, pour respecter une symétrie, à conserver par exemple deux barres, alors qu'une seule serait strictement suffisante.

4.4

ADHÉRENCE DES BARRES COURBES

Lorsque l'encombrement d'un ancrage par scellement droit est excessif, on a recours aux ancrages par courbure. Un tel ancrage est défini par : - le rayon de courbure r de l'axe de la barre: r =

D+0 2

si D est le diamètre du man-

drin de cintrage (figure 4.17), -l'angle au centre e de la partie courbe, supposée circulaire.

,,

,, \

\

~

o

.~ 1 1

Figure 4.17

196 Traité de béton armé

4.41

Variation de l'effort le long d'une barre courbe

Les hypothèses sont: a) la liaison d'adhérence subsiste avec la même valeur que pour une barre droite; b) il s'y ajoute un effet de frottement dit« effet de courroie» dû à la courbure; c) le glissement de la barre dans sa gaine développe une contrainte d'adhérence égale à 't'SU' 10) Soit un tronçon de barre courbe infiniment petit représenté par sa ligne moyenne ab (figure 4.18).

Ce tronçon est soumis: - aux forces Fen b, F + dF en a, dirigées suivant les tangentes en ces points; - à la force d'adhérence dT sur la longueur ab = rd8 (dirigée en sens inverse du glissement)

dT =1t 0 rd8

't'Sil

- à la réaction transversale dR du béton.

a ~;--... ~ F+dF

~~~

", l

b ./u. ldR \

,f

dR "

: 1 1 1 1

, ,

Fr',

s~:

sens du glissement

d9

"0 ,

,

1 1

',/

•

o

Figure 4.18

En projetant les forces sur le rayon Oa, on trouve dRcos d8 2 niment petit) :

=Fsind8

d'où (d8 infi-

dR=Fd8 Si f.! est le coefficient de frottement entre acier et béton (f.! ::::: 0,4) cette réaction développe une force tangentielle égale à f.ldR = J.lFd8, de sens opposé à celui du glissement. Projetons les forces sur la tangente en a :

-F+ F +dF-JUiR-dT =0

Chapitre 4 • Association acier-béton 197 c'est-à-dire

ou

ou encore

[4.10]

2°) Soit maintenant une barre finie comportant une partie courbe AB supposée circulaire. Si l'on suppose FA > FB et si l'on compte positivement les angles dans le sens du glissement (donc de B vers A), la relation [4.10] donne:

ou encore

[4.11]

+ ~

o Figure 4.19 Le premier terme du second membre représente la part de variation de l'effort due à la courbure de la barre: il traduit« l'effet de courroie ». Le second terme représente la part de variation de l'effort due à l'adhérence. Comme elle - 1 > )..le , cet effort est supérieur à : 1t0r't

_ _-""'-W

)..l

)..le

,-...

= 1t 0 AB 't su

qui serait celui correspondant à la barre droite de longueur AB. Posons '1' =eJ.lO , 'l" =~ (elle -1) la formule [4.11] s'écrit: )..l

[4.12]

198 Traité de béton armé ce qui conduit, pour différentes valeurs de e aux valeurs de 8 'If et 'If' données dans le tableau 4.6. En général J.L

= tan 1l ::::: 0,4

Tableau 4.6. Valeurs des coefficients 'If et 'If' de la formule [4.12] pour J..I. =0,4

e

45°

90°

'If

1,37

1,87

2,31

2,57

3,51

'If'

0,92

2,19

3,28

3,92

6,28

4.42

120°

135°

180°

Prescriptions des Règles BAEL pour les ancrages courbes

Des ancrages courbes ne peuvent être envisagés que pour des barres tendues.

4.421

Rayons de courbure minimaux

Les rayons de courbure doivent être au moins égaux aux valeurs fixées par le CCTO, fascicule 65 ou fascicule 65A (voir bibliographie au § 2.41).

r Dans le cas d'un ancrage courbe, le rapport p =- du rayon de courbure de l'axe de la

o

barre à'son diamètre nominal doit satisfaire aux conditions suivantes: a) pour les barres longitudinales: - p;;:: 3 s'il s'agit de ronds lisses (diamètre du mandrin de cintrage: 5 0) ; - p;;:: 5,5 s'il s'agit de barres HA (diamètre du mandrin de cintrage: 10 0) b) pour les cadres, étriers, épingles : - p;;:: 2 s'il s'agit de ronds lisses (diamètre du mandrin de cintrage: 3 0) - p;;:: 3,5 s'il s'agit de barres (ou fils) HA (diamètre du mandrin de cintrage: 60)

4.422

Modes d'ancrage usuels

On utilise de façon courante : . - le crochet normal: e= 1800 (voir figure 4.23 a) (lorsque r = 3 0, ce crochet est appelé « crochet CONSIDERE»); - le crochet dit «à 45°)} : semelles de fondation);

e = 135° (voir figure 4.23 b) (fréquemment utilisé dans les

Chapitre 4 • Association acier-béton 199 -le crochet dit« à 60° » : 8 = 120° (voir figure 4.23 c) (ancrages des armatures longitudinales des poutres de pont) ; - le retour d'équerre: 8 = 90° ; si la partie en retour est au voisinage d'une paroi, la partie coudée a tendance à se redresser, et il faut prévoir des armatures de couture horizontales pour éviter l'éclatement du béton au voisinage au point C (figures 4.20 et 4.23e) ; -l'ancrage à double coude: 8 = 90° (voir figure 4.21); dispense des armatures de couture du cas précédent.

Paroi

>-

*-tI----

C!><:

Figure 4.20. Retour d'équerre

Figure 4.21. Ancrage à double coude

4.423

Méthode de calcul d'un ancrage courbe

Soit un ancrage courbe d'angle au centre 8 quelconque, de rayon r = p 0 quelconque, et comportant à son extrémité un retour droit de longueur quelconque À 0. Déterminer la profondeur la de cet ancrage comptée depuis le plan tangent extérieur en fonction de la longueur de scellement droit ls.

200 Traité de béton armé

Figure 4.22 La barre est supposée ancrée à partir du point AI situé à une distance ÀI 0 de l'origine A2 de la courbure.

Méthode: on applique les formules [4.2] avec 't'$ = 't'su et [4.12] aux différents tronçons droits ou courbes à partir du point 0 où l'effort est nul, et on écrit que l'effort FAI en AI 2

, l'a -n0 l' est ega -Je'

4

tronçon OA3, formule [4.2]

FA3

=û+n 0

À

0

't'su

=À n 0 2't'su

- tronçon A3A2' formule [4.12] : F A2

='JI FA3 + 'JI'n 0

r 't'su

=n 0 2 't'su (À'JI + P'JI')

- tronçon A2AJ, formule [4.2] :

[4.2a]1 ou En divisant les deux membres par n 0

't'su:

l,

=0

(l1.'JI + P'JI'+ À 1 )

1. II résulte de cette formule que la contrainte de la barre au point A2, origine de la courbure, est:

crs

=le - 4ÀI't'311 .

Chapitre 4 • Association acier-béton 201 d'où et comme la

= À10

o

+ p0 + - on trouve finalement en remplaçant À10 par sa valeur : 2 1

k =À\jI + (\jI'-I) p--

avec:

[4.13]

2

L'application de cette formule aux ancrages usuels conduit aux résultats donnés figure 4.23.

4.424

Application aux crochets normaux

Dans le cas de ronds lisses avec un crochet «Considère» (défini par À = 2, P = 3, e = 1800 d'où", = 3,51 et \jI' = 6,28), on arrive à:

k 'Z 22

d'où

la = Is - 22 0

Pour des barres HA munies de crochets «normaux» (À = 2, P = 5,5, e = 1800 d'où \jI = 3,51 et \jI' = 6,28), on arriverait à : k 'Z 36 ce qui conduirait à des longueurs d'ancrage très faibles et même dans certains cas négatives! II parait donc raisonnable: •

tout en gardant p = 5,5 de conserver pour les barres HA la valeur k = 22 trouvée pour le crochet Considère,

•

de limiter à 10 0 la longueur d'ancrage minimale, ce qui, compte tenu des valeurs de Isi 0 données au § 4.33 conduit au tableau 4.7:

Tableau 4.7. Longueurs d'ancrage des crochets normaux 1c28

la 0

la ls

MPa Barres et fils HA Fe E 500 Barres HA Fe E 400 Ronds lisses Barres et fils HAFeE 500 Barres HA Fe E 400 Ronds lisses

20

25

30

35

40

45

50

55

60

29

22

17

12

10

10

10

10

10

19

13

10

10

10

10

10

10

10

28

21

15

11

10

10

10

10

10

0,55

0,48

0,41

0,32

0,32

0,36

0,38

0,42

0,45

0,44

0,34

0,32

0,37

0,40

0,45

0,48

0,53

0,56

0,54

0,47

0,38

0,30

0,33

0,37

0,40

0,43

0,48

202 Traité de béton armé Dans le cas de barres terminées par des crochets normaux, les Règles BAEL proposent les valeurs forfaitaires suivantes (art. A 6.1,253) :

la = 0,4/5 pour les barres HA Fe E 500 et Fe E 400 la = 0,6/5 pour les ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235. La valeur 0,6 est plutôt pénalisante lorsque la résistance du béton est élevée, en revanche la valeur 0,4 est, dans l'ensemble, plutôt optimiste (vis-à-vis des hypothèses prudentes que nous avons adoptées).! ).,0 ~

1

a) Crochet normal 2 p ;a 3 ronds lisses p ;a 5,5 barres HA (2p -1)0

(2p+1)0

l

a = 180· k = 3,57)., + 5,39p - 0,5 Si)., = 2, k = 6,64 + 5,39p

20 ~

1 1

b) Cas particulier:

Crochet « Considère» (Fe E 215 et Fe E 235 seulement):

•

70

p=3

50

k= 22,4

* Valeurs forfaitaires admises: - ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235:

1

:... 1

ta= ls- k0

1 1 1 )loI

1 1

ta = 0,6t s

- barres HA Fe E 400 et Fe E 500:

ta = O,4ts

1. Bien que cela ne soit pas explicitement mentionné dans les Règles BAEL, lorsque la section A mise en place excède la section Acal résultant du calcul, la longueur d'ancrage la (valeurs du tableau 4.7 ou valeurs forfaitaires) peut être réduite dans le rapport Aca/IA, sans descendre au-dessous de JO 0. 2. Le respect de ces valeurs de p dispense de vérifier la condition de non-écrasement du béton (voir § 4.52).

Chapitre 4 • Association acier-béton 203

c) Crochet à 1350 improprement appelé

Crochet « à 45 0 »

e = 135

0

k = 2,56À + 2,90p - 0,5 Si À = 6, k = 14,86 + 2,90p (si P

=3, équivalent au crochet Considère)

d) Crochetà 1200 improprement appelé

Crochet « à 60° »

e = 120

0

k = 2,33"- + 2,30P - 0,5 Si À

=8,

k = 18,64 + 2,30p

(si P = 3, équivalent au crochet Considère)

Armature de couture nécessaire pour éviter la poussée

e) Retour d'équerre

au~dl

e = 90· k = 1,89À + 1,20p - 0,5 SiÀ= 10,

Paroi

k= 18,4+ 1,20p

(si p = 3, équivalent au crochet Considère) À0

1 1 1

1

,oC

Vue de dessus

1

1 1

....:

Figure 4.23

4.43

Ancrage des cadres, étriers et épingles

Il est rappelé qu'il faut avoir p ~ 3,50 pour les barres ou fils HA (voir § 4.421). Pour les retours droits de ces armatures, les Règles BAEL (art. A-6.l,251 et A-6.1,255) admettent les valeurs forfaitaires indiquées sur la figure 4.24 :

204 Traité de béton armé

D[

D

Épingle

Étrier

Cadre

!

!

Cadre

!

=r

S0

Figure 4.24

Remarque: Les valeurs indiquées supposent que les plans des ancrages ne font pas un angle supérieur à nl8 avec les sections droites où sont disposés les aciers en cause.

4.5

EFFORTS EXERCÉS PAR UNE BARRE COURBE SUR LE BÉTON

Une barre courbe développe sur le béton, du côté de sa concavité, une pression:

dR o rde

F 0 r

00's 4 r

1t

--=-=---

[4.14]

d'autant plus élevée que le rayon de courbure r est plus faible et que la contrainte de l'acier est plus élevée, et d'autant plus dangereuse que la distance du centre de courbure à la paroi la plus voisine est plus faible.

Le danger est double : - risque de « poussée au vide », - risque d'écrasement du béton sous la barre ou de fendage dans le plan de la courbure.

Chapitre 4 • Association acier-béton 205

4.51

Poussées au vide

L'exemple classique des poussées au vide est celui de barres qui suivent le contour d'un angle rentrant alors qu'elles sont tendues ou qui suivent le contour d'un angle saillant alors qu'elles sont comprimées (figure 4.25) Poussée au vide ~

"- , l5n";7"77:7'77:7'77:777!

.r::-

Non

t Figure 4.25 En fait, il s'agit d'un phénomène général, qui peut exister même en l'absence de barres d'armatures, dès qu'une pièce présente une courbure ou une brisure de sa ligne moyenne: du fait de cette disposition, il se produit des tractions normales au contour, qui peuvent entraîner la fissuration du béton par traction (courbure des isostatiques) (figure 4.26)

Poussées au vide

)

/ /

)f

Poussée non équilibrée et ancrages en position incorrecte

Figure 4.26 Il existe donc des poussées au vide non seulement des armatures mais aussi du béton même non armé. Par exemple, dans les dispositions adoptées sur la figure 4.26 la pous'sée au vide des compressions du béton dans l'angle convexe n'est pas équilibrée. Voir également le cas des angles des pièces polygonales sollicitées en torsion (§ 13.74, figures 13.28 et 13.29), Par un tracé judicieux des armatures, on peut le plus souvent éviter les poussées au vide (figure 4.27)

206 Traité de béton armé

CD Paillasses d'escaliers

t

® Goussets

® Poutres avec décroctlemlents

P : Poussée au vide •

Dispositions défectueuses

•

Dispositions correctes

Figure 4.27 S'il est impossible d'éviter un tracé courbe donnant lieu à des poussées au vide, il faut équilibrer celles-ci par des armatures transversales convenablement placées et convenablement ancrées, et de section suffisante. a) Si la poussée au vide résultante à l'état-limite ultime est une force concentrée R", il faut prévoir au voisinage de son point d'application une section totale (U /) d'armatures de couture telle que:

~R (u)hr t 115 u ,

avecfet limite d'élasticité des armatures de couture. La figure 4.28 indique deux dispositions possibles.

[4.15]

Chapitre 4 • Association acier-béton 207

.~) M

M~

Figure 4.28

b) Dans le cas où la poussée au vide résultante à l'état-limite ultime est étalée sur une certaine longueur (figure 4.29) il faut prévoir des nappes de section Ar, espacées de St et telles que:

At fet Fe (ou ~) St 1,15 r

[4.16]

-->--':;...;~--'-..:..

~c

Figure 4.29

208 Traité de béton armé Remarque: On rencontre des phénomènes qui s'apparentent à la poussée au vide dans les cas suivants: a) armatures longitudinales comprimées droites (de diamètre 0/) non maintenues par des armatures transversales, qu'il s'agisse de poutres fléchies ou de poteaux. Dans ces deux cas, les Règles BAEL demandent de prévoir des armatures transversales maintenant les armatures longitudinales et espacées d'au plus 150/. b) redressement de l'extrémité droite des ancrages par retour d'équerre (figures 4.20 et 4.23)

4.52

Condition de non-écrasement du béton

4.521

Ancrages courbes et changement de direction des barres

Pour les ancrages courbes de barres disposées en un seul lit, tels qu'ils sont définis figure 4.23, et pour les cadres, étriers et épingles, aucune vérification particulière vis-à-vis de l'écrasement du béton n'est exigée par les Règles BAEL si, dans les deux cas, les rayons de courbure sont au moins égaux aux rayons de courbure minimaux donnés au § 4.421. En revanche, pour des ancrage courbes ne remplissant pas les conditions précédentes (mais dont les rayons de courbure sont cependant au moins égaux à ceux fixés par les textes en vigueur) et, de façon générale, en toute partie courbe de barres tendues changeant de direction, comme cela est le cas, par exemple, des barres relevées (§ 12.636), le rayon de courbure doit satisfaire à l'inégalité suivante (BAEL, art. 6.1,252) : p =.!:.. ;::: 0,2

o

(1 + e0J1..28crs u

[4.l7a]

r

avec :

r

rayon de courbure de la ligne moyenne de la barre;

o

diamètre de la barre;

crs

contrainte de la barre, sous sollicitation ultime, à l'origine de la courbure 1•

er

distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus voisine (figure 4.30) ;

1.

Pour un ancrage courbe, il s'git du point A2 (figure 4.22). voir la note au § 4.423.

Chapitre 4 • Association acier-béton 209 Pour une barre courbe isolée ou faisant partie d'un ensemble de barres courbes disposées en un seul lit : u=1. Pour une barre courbe appartenant à un ensemble de barres courbes disposées en m lits (m:::; 4), sous réserve que les distances libres entre lits successifs soient au moins égales au diamètre des plus grosses barres:

1+2m

u=-3 Les valeurs minimales du rapport p = r /0 peuvent être lues sur la figure 4.32. Vue de profil

Vue de face

.-----------------

Calcul

Exécution

Figure 4.30 Le calcul doit toujours être conduit avec la valeur de er la plus défavorable (plan de la barre courbe parallèle à la paroi) mais à l'exécution, il est recommandé, si cela est possible, d'incliner ce plan pour augmenter en ce qui va dans le sens de la sécurité (figure 4.30)

4.522

Armature de traction toute entière en courbe - Boucles

On vise ici le cas des armatures à l'origine d'une console par exemple, ou disposées conformément à la figure 4.29, ainsi que celui des barres bouclées à plat (en forme d'épingles à cheveux) utilisées dans certains cas aux extrémités des poutres ou tirants, en recouvrement ou non avec les barres principales (voir par exemple, l'étalement des « bielles» au § 12.81) . . Le rayon de courbure r de chaque barre doit satisfaire à l'inégalité:

p =.!:.. ~ 0,35

o

le fc28

(1 + 2 m b

0)

U

[4. 17b]

210 Traité de béton armé avec:

le

limite d'élasticité des barres

m

nombre de barres d'un même lit

b

largeur de l'élément en cause

u

même signification qu'au § 4.521.

L'inégalité [4. 17b] est généralement satisfaite en prenant p = 7 pour des ronds lisses et p = Il pour des barres HA.

Remarque: Dans les Règles antérieures, la vérification de la condition de non-écrasement du béton était exigée dans tous les cas de barres présentant une partie courbe. L'inégalité [4.l7a] résulte d'un calcul assez simpliste effectué alors, dans l'hypothèse de l'ancrage courbe d'une barre isolée (u = 1), inégalité généralisée par la suite pour prendre en compte le nombre de lits. Dans le cas d'une contrainte appliquée sur une zone restreinte Cl de la surface Co (supposée plane) d'un élément de béton, l'article 3.442 des Règles BA 1960 autorisait à multiplier la contrainte admissible par un coefficient: 1+ (3 - 2À) (1- À) avec À rapport le plus faible de l 'homothétie effectuée à partir du centre de gravité G l de Cl et amenant un point de Cl sur le contour Co (figure 4.31) :

Figure 4.31

L'article 3.442 des Règles BA 1960 n'avait d'ailleurs fait que reprendre l'article 2.252 des Règles BA 1945 où le coefficient défini ci-avant était donné par une formule plus générale et légèrement plus complexe, due à M. Caquot.

Chapitre 4 • Association acier-béton 211

l ~ .~

30

28 26

20

24 23 22

17

21 19 18

15

•

..,I~

-

_ _ ""

~

__

~

-

-

1

_ .. -

1

1

1

- _ ..... __ ...1 _ _ _ "" _ _ _

___ ___ ;.. __ 1___ ! __ _

\ 1

-;---

15

~

i

j

1

1

r'---r"

1 1

) )

_.,---~--~

1&' ___ ~1- __ "';1 ___ .4 ç __ _

-1- __

I i i i 1 1 1 1 -~ ;-~~;--i---

'. --: -

j

\

1

1

l

,

1

)

i- --;- -i~--;---

9

14 13

8

1

1

l

,

~=j~:~t:~:t ~~j~~~

--~---t--~~--~---1- - ,, ,, ., 1

12

1

1

1

-4- - -

- - " t - - -.,.. - -

7

16

20

,

~---~---/;---

1 1 l 1 -~ r-~i ~--; ~ __

19 18

r/0, !

22

27

B,rre ;",Iée 0' ,ppartan,nl • un lit unique ~

16 21

25

10

23

29

Barre d'un ensemble de 4 lits Barre d'un ensemble de 3 lits Barre d'un ensemble de 2 lits

1 __ .... ,

~

1 _ .. _

1 ~

-~

- _ -t1 __ _

1

j

1

1

1

1

1

1

---r--,--,.- --r---

11

1 1 1 --i~- -7~ ~ .~

.."..

1 ~:. -~<

--,---r---r- -.,--14 10

6

1

j

,

1

!

1

1

1

i

1

l

,

1

1

1

1

- - ,,- - - r - - -r" - ".,'

17 16 15

13

9 8

13

10

7

9

7

8 7 6

6 5

1

,

1

j

.. ~

1

4

9 8

1

--;- - -i -- -i --;- --

5

11

11 10

!

--~--,.~<-."~~. ·<·1-·~··· ~

12

14 12

--1---t---:- --: --1

6 5

3

)

;

1

!

~:~:t :~t~:j=:=!==~ )

I I I 1 i \

., \

4

- ~ - r- - -r-- ," - -1- - -

___ ___ __ ..L __ ! __ _ ~

2 5

10

~

,

20

15

25

Figure 4.32. Condition de non-écrasement du béton

Si l'on extrapole la formule des Règles BA 1960 au cas d'un ancrage courbe, on trouve, pour une barre isolée (figure 4.33) :

À=~ 2er

212 Traité de béton armé "-:-0/2

Figure 4.33 et compte tenu de la formule [4. 17a] la condition de non-écrasement s'écrit alors:

Or, si er peut être quasi infini (crochet « en pleine masse»), il ne peut être inférieur à 1,5 0 puisqu'une barre doit toujours être enrobée par une épaisseur de béton au moins égale à son diamètre. Il en résulte que : O:::;À:::;! 3

Dans cet intervalle, on peut remplacer l'expression

1+(3-2À)(1-À)

par

l'expression approchée par défaut _4_ (figure 4.34). 1+2À On peut par ailleurs observer que la contrainte crs n'est pas constante le long de la courbure. Elle est maximale à l'origine de celle-ci (crsmaJ et en faisant abstraction

cr

de l'effet favorable de l'adhérence, elle vaudrait ~ en tout autre point, 'II étant 'II le coefficient de la formule [4.12].

4 r----~-----~------------~

"", ", , , ,, ,

, ,, ;

,

:', " 1 ,.

:..

- - ------ -- - ---~"" ---- ---1 +(3-2/..)(1-/..) -------~- -- ••• -.- .-- ----

3.5

~"

i

. . )

l l

" 1

j

\"

,,'i ,,1

{

"

---------------<-.. ,, --- ----

3

~

.....

(

(

).

t

'{ 1

.,

J

1~

l 1+2/..

. .. \

, , ....... ~ -".~'~ --- .,. -_ .... ----~ ~ ,, ,, , , ,. ,., ,, , , ,

~ ~7~"~""'" ~,~

.

2,5 ' - - - - - - ' - - - - - - - - ' - - - - - - - " " - '--'-"------'

o

0,1

0,2

Figure 4.34

0,3

0,33

Chapitre 4 • Association acier-béton 213

En adoptant une valeur moyenne de l'ordre de

crs,max la condition de non15' ,

écrasement devient:

qui est la formule des Règles BAEL pour une barre isolée ( ~ ::::: 0,20 ). 16

4.6

JONCTIONS PAR RECOUVREMENT

Lorsque les longueurs de barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales (cas par exemple des poutres de grande portée, des tirants de voûtes de grande ouverture, etc.) l'armature est nécessairement formée de différents tronçons et il faut rétablir la continuité mécanique entre deux tronçons successifs. Pour obtenir ce résultat, on peut avoir recours à divers procédés. Le procédé le plus courant consiste à faire appel à l'adhérence en faisant chevaucher deux tronçons successifs de barre sur une certaine longueur. On obtient ainsi une jonction pàr recouvrement. La longueur de chevauchement est appelée longueur de recouvrement et désignée par i r•

On peut aussi avoir recours, lorsque l'acier est soudable, au soudage bout à bout ou avec recouvrement ou encore. mais pour les barres HA uniquement, au manchonnage au moyen de manchons sertis ou vissés sur les deux tronçons en prolongement l'un de l'autre'. Plus rarement, on utilise des coupleurs où la liaison est assurée par injection de métal fondu (aluminothermie), de résine ou de mortier. Dans ce qui suit, on n'étudie que les jonctions par recouvrement.

1. Ces dispositifs sont maintenant normalisés (voir norme NF A 35-020 -1 et -2, juillet 1999)

214 Traité de béton armé

4.61

Recouvrement des barres tendues

4.611

Transmission des efforts

Soit deux barres parallèles de même type et de même diamètre nominal 0, dont les axes sont distants de c, se chevauchant sur une longueur Ir et soumises à deux forces égales et opposées (figure 4.35). On admet: 1°) que le béton situé entre les deux barres se fissure, 2°) que les fissures sont inclinées à 45° sur la direction des barres, 3°) que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par mise en compression des « bielles» de béton découpées par les fissures. ts

-c-c

f c

•

-

,

,,

,

- -,....,- - -

,,

,/

,,

,,

, ,

,,

,

,, , , , , , , p -, " , , ,, "

4 - - - ../-_ - , 1 , - - - - ' -

,,

-/--

"-'\

0

45·

ir

Figure 4.35 Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur Ir - c.

4.612

longueur de recouvrement Ir

Les barres ne doivent pas glisser dans leur gaine: chaque barre doit donc être totalement ancrée. D'où, compte tenu du fait que l'on peut négliger c si c:S; 5 o les longueurs de recouvrement données par le tableau 4.8 (BAEL, art. A-6.1 ,223):

f-lC~==============~~ ~. ~.

,

1

,

i0

Élévation

i

~I~========:::±t::;:::;~: '::1

•

i"llioe---lr ---.....;....-;;

Figure 4.36

CP","

Chapitre 4 • Association acier-béton 215 Si les plans des ancrages ne sont pas parallèles, c représente l'écartement transversal des centres de courbure des barres.

Tableau 4.8 Entre-axes des barres

Barres rectilignes (figure 4.36a)

Barres munies de crochets normaux (Figure 4.36b)

Ir = la, soit forfaitairement: Ronds lisses

c:::;50

Ir = Is

Fe E 215} 0,61 s et Fe E 235 Barres HA Fe E 40O} et Fe E 500

Mais adopter plutôt les valeurs du tableau 4.7

0,41s

Ir = la + c, soit forfaitairement: Ronds lisses c>50

Ir = Is + c

Fe E 215} et Fe E 235

0,61s + c

Barres HA Fe E 40O} et Fe E 500

Même remarque que ci-dessus en n'oubliant pas d'ajouter « c »

0,41s + c

Les plans des ancrages doivent être cousus (voir § 4.613).

Remarques: 1) Si les deux barres en recouvrement ont des diamètres différents, Ir doit être évalué à partir du Is le plus grand. 2) Le schéma de la figure 4.37 donne le diagramme des contraintes de l'acier dans le cas d'une jonction par recouvrement (on a supposé c :::; 5 0) :

216 Traité de béton armé ,

~ ..- - - tr ---)o~!

:,

2

,,

,,

21111111111Iïl~!llIIIIIIIIII11 :

1+2

:0

"II"" l""111Iltlt!HIHUlllliii """""1 ,,

,, ,,

,,

fe

Figure 4.37 Tout se passe donc bien comme si on avait une seule barre continue; cependant, sur toute la zone de longueur Ir, l'encombrement latéral correspond à deux barres: il faut y penser lors du dimensionnement des sections de béton.

4.613

Armatures de couture

Du fait de la fissuration du béton à 45° et de la mise en compression des bielles découpées par les fissures, une jonction par recouvrement donne naissance à un effort transversal Ft égal à l'effort longitudinal FI s'exerçant dans chacune des barres, ainsi que le montreÎlt les conditions d'équilibre (figure 4.38).

Effort transversal

""

""

Compression oblique dans les bielles

""

Ft

Effort longitudinal

Figure 4.38 Pour équilibrer cet effort transversal, c'est-à-dire pour assurer l'équilibre des bielles et empêcher la fissuration longitudinale selon le plan P de la figure 4.38, il faut normalement disposer, sur la longueur Ir' des armatures de couture, sauf(BAEL, art. A-6.1,23) : • dans les poutres, si la proportion de barres arrêtées ne dépasse pas 1/4 sur l'étendue d'une longueur d'ancrage la et si la;::: Is, • dans les dalles armées de treillis soudés, dans tous les cas,

Chapitre 4 • Association acier-béton 217 • dans les dalles non armées de treillis soudés, si la proportion de barres en recouvrement dans une même nappe est au plus égale à : - 1/3 pour la nappe la plus proche de la paroi voisine - 1/2 pour toute nappe séparée d'une paroi par une nappe de direction différente. En dehors de ces trois cas, des armatures de couture sont nécessaires; elles sont déterminées comme indiqué ci-après. a) Cas de barres rectilignes

On raisonne sur le cas de m barres rectilignes de même diamètre, en recouvrement de part et d'autre d'un même plan (figure 4.39). S'il n'y a que deux barres en recouvrement: m= 1.

pm··

--

---

o

0

-mm

-

- -

0

--p

000

Exemple: m = 3 avec At correspondant à 2 brins.

0

t ---1--f--1--1--1t--

Exemple: m = 4 avec At correspondant à 6 brins.

1

1

: St

:

~

\

l

P

t0 ,

At:,

;......f - - - - - - l r ~

Figure 4.39 Soit: AI

la section totale pour une nappe d'armatures de couture, des brins qui traversent le plan P

SI

l'équidistance des nappes d'armatures de couture

!el

la limite d'élasticité de ces armatures.

L'effort total qu'elles peuvent équilibrer est (BAEL, art. A-6.1 ,23)

~ = (LAI)let L'effort longitudinal est F;

=A le .

Il faut avoir Ft ~ FI c'est-à-dire: - au total:

(L4) ht

~

AI.

- ou, par unité de longueur, puisque l'effort longitudinal s'annule sur la longueur Is : [4.18]

218 Traité de béton armé . SOIt, compte tenu de ce que ls

0 J: = __ e

4

't su

2 n0 et A = m-4

[4.19] (m = 1 s'il n'y a que deux barres en recouvrement).

Les armatures de couture doivent être disposées sur la longueur Ir et non sur la longueur ls. De manière générale les recouvrements doivent être décalés (c'est-à-dire qu'il ne convient pas d'arrêter l'ensemble des m barres dans la même section transversale). b) Cas de barres munies d'ancrages courbes

:> Référence: BAEL, art. A-6. 1,254 Pour parer au risque de fendage du béton suivant les plans contenant les ancrages par courbure, ces plans doivent être cousus. Dans le cas de recouvrements avec crochets normaux, la section des armatures de couture doit être au moins égale à la moitié de celle résultant de l'application de la formule [4.19].

4.614

Barres couvre-joints - Chaînages

Les barres « couvre-joints» sont utilisées pour transmettre les efforts entre deux barres placées bout à bout dans le prolongement l'une de l'autre, ce qui évite la création de moments secondaires au droit de la jonction; on les dispose de telle sorte que c ::; 5 0 (figure 4 .40). Leur longueur est alors au moins égale à 2is.

, 1

1 1

1

1

~

~

~

IIIIIIIIIII!.IIIIIIIII~IIIIIIIIII,~IIIIIIIII Figure 4.40 Si le nombre de barres est élevé, les barres couvre-joints deviennent continues et ne se distinguent plus alors des autres barres. On a un « chaînage ». Sur l'exemple simple du couvre-joint de la figure 4.40, on remarque que sur une longueur is de part et d'autre de la coupure, on a« physiquement» deux barres mais, «mécaniquement », une seule barre. Chaque coupure entraîne donc la perte mécanique d'une barre dans le nombre total des barres mises en place.

Chapitre 4 • Association acier-béton 219 En généralisant cette constatation au cas d'un chaînage, on aboutit à la règle ci-après: Règle: Un chaînage de m barres de même diamètre comportant p coupures par longueur de scellement droit est mécaniquement équivalent à m - p barres continues.

Exemple, figure 4.41 : m = 6,p = 2 d'où nombre de barres utiles: 4.

m=6

'11111111 4 barres

6 barres

,"'"'"

,111111' Diagramme de Os résultant

Figure 4.41

Note: Le diagramme de crs résultant s'obtient en représentant, pour chaque coupure, la variation de la contrainte!e à 0 sur la longueur ls de part et d'autre de la coupure (figure 4.40) et en cumulant ensuite les ordonnées.

4.62

Recouvrement des barres comprimées en permanence

Dans ce cas, il faut toujours prévoir des ancrages droits. En effet, si des ancrages courbes sont soumis à une compression, ils se déforment et provoquent un gonflement et un éclatement du béton, surtout s'ils sont placés à proximité d'une paroi. Ces ancrages sont donc interdits pour des barres comprimées l .

1.

Pour les barres susceptibles d'être tendues dans certains cas de charge et comprimées dans d'autres, les règles concernant les barres tendues, qui conduisent aux plus grandes longueurs de recouvrement, sont applicables. Sauf impossibilité totale, il faut éviter également dans ce cas, de prévoir des ancrages courbes.

220 Traité de béton armé

4.621

longueur de recouvrement

Dans le cas où elle est soumise à un effort de compression, une barre vient prendre appui sur le béton par sa face terminale; la dilatation transversale (effet Poisson) a par ailleurs pour effet de plaquer la surface latérale de la barre contre la gaine de béton. Ces deux effets, qui sont favorables, sont annihilés dans le cas de barres soumises à des chocs de direction axiale (armatures longitudinales des pieux mis en place par battage, par exemple) ou à des vibrations. D'où les valeurs de la longueur de recouvrement l'r à prendre en compte : a) Cas général, où il n'y a ni chocs, ni vibrations et où la distance entre axes des barres est plus égale à 5 0 : I~

= 0,61s

Les Règles BAEL admettent les valeurs forfaitaires données au tableau 4.9. Tableau 4.9 - barres HA Fe E 400

1; = 24 0

(0,6 x40 0)

1; = 30 0

(0,6 x 500)

- fils tréfilés HA Fe E 400 - barres HA Fe E 500 - fils tréfilés HA Fe E 500 - ronds lisses Fe E 215 et Fe E 235

b) Cas de barres soumises à des chocs ou à des vibrations:

4.622

Armatures de couture à disposer sur la longueur de recouvrement

Ces armatures font l'objet de règles particulières (voir § 10.542).

Chapitre 4 • Association acier-béton 221

4.7

ANCRAGES ET RECOUVREMENTS DES TREILLIS SOUDÉS

4.71

Treillis soudés formés de fils lisses

:> Référence: BAEL, art. A-6.2,2

4.711

Définition

La définition qui suit, proposée par l' ADETS, n'a pas été reprise par les Règles BAEL :

« Quel que soit leur diamètre sont considérés conventionnellement:

- comme fils porteurs ceux qui engendrent une section par mètre supérieure ou égale à celle engendrée par les fils qui leur sont perpendiculaires ; - comme fils de répartition, même si leur diamètre est le plus grand, ceux qui engendrent une section par mètre inférieure à celle engendrée par les fils qui leur sont perpendiculaires» (figure 4.42). À noter qu'une telle définition ne préjuge absolument pas du rôle mécanique joué dans l'ouvrage par chacune de ces deux directions d'armatures.

Si A 1p.m. <: A 2P.m. même si 01 < O2 : A 1 = fils porteurs A 2 = fils de répartition

Figure 4.42

4.712

Ancrages rectilignes

L'ancrage d'un fil lisse constitutif d'un treillis soudé est supposé assuré non par adhérence propre du fil mais uniquement par appui sur le béton des fils transversaux qui lui sont soudés. L'ancrage total rectiligne est supposé assuré par (figure 4.43) : - au moins trois soudures d'aciers transversaux (de répartition en général) pour un fil porteur ; - au moins deux soudures d'aciers transversaux (porteurs) pour un fil de répartition.

222 Traité de béton armé

Zone d'ancrage Ancrage total d'un fil porteur

Zone d'ancrage Ancrage total d'un fil de répartition

Figure 4.43 La possibilité de réaliser des ancrages partiels conduit en pratique aux dispositions suivantes:

a) Fils porteurs Soit: A l ' aire réelle d'un fil porteur du treillis

A cal

l'aire de la section strictement requise par le calcul.

Au-delà du point où s'exerce l'effort à ancrer on doit trouver: - trois soudures si Acal S; A < 2Acal - deux soudures si 2Acal S; A < 3A cal - une soudure si 3A cal S; A

b) Fils de répartition Au-delà du point où s'exerce l'effort à ancrer on doit trouver en général deux soudures.

4.713

Ancrages par courbure

Les Règles BAEL autorisent (art. A-8.l,21) l'utilisation de treillis soudés pour constituer les armatures longitudinales, et donc aussi transversales, d'une poutre ou d'un poteau. a) Diamètres minimaux des mandrins de cintrage des treillis lisses Divers cas peuvent se rencontrer en pratique suivant la position des nœuds de soudure: Dans tous les cas, le diamètre D du mandrin de cintrage doit être au moins égal à max [4 0; 20 mm]. 1er cas: les aciers transversaux sont placés du côté intérieur (figure 4.44)

Chapitre 4 • Association acier-béton 223 Il faut avoir E ~ 0,65 D + 20(, ou sinon, prévoir un mandrin échancré (figure 4.44b) :

•

Figure 4.44

•

2e cas: les aciers transversaux sont placés à l'extérieur (figure 4.45). Il faut avoir E

~

0,5D + 0(, ou sinon, adopter D ~ 200 (figure 4.45b) :

•

Figure 4.45

•

b) Longueurs des retours droits II convient de respecter les dispositions de la figure 4.46, plus contraignantes que celles données au § 4.43.

224 Traité de béton anné

üc Étrier

Épingle

Cadre

150

Figure 4.46

Les Règles BAEL indiquent que dans le cas d'un angle de 90° (retour d'équerre), la partie rectiligne prolongeant l'arc de cercle doit obligatoirement comporter un fil soudé perpendiculaire (figure 4.47a): une telle disposition n'est réellement applicable que pour des cadres ouverts (figure 4.47b). Fil soudé obligatoire

;/

•

Figure 4.47

Chapitre 4 • Association acier-béton 225

4.714

Recouvrements

La longueur d'ancrage étant déterminée par les soudures (§ 4.712), la jonction par recouvrement de deux fils rectilignes doit comporter sur chaque fil : trois soudures dans le cas de fils porteurs (figure 4.48), deux soudures dans le cas de fils de répartition (figure 4.49). Les soudures intéressées sur l'un et l'autre fils sont décalées de 4 cm dans le sens qui augmente la longueur de recouvrement, à moins que les fils en jonction ne soient dans un même plan. Comme indiqué au § 4.613, on ne prévoit pas d'armatures de couture pour de telles jonctions. 0::4 cm

l

1

8+-i

6

•

0

•

0 1

i --.

0::4 cm

I

1

.+-i

1

8+-i

..

~

~

)

• ~

()

•

()

~

1

i --. 1

i --..

Figure 4.48. Recouvrement des fils porteurs a) et b) nappes en recouvrement dans des plans distincts, c) nappes en recouvrement dans le même plan Ces dispositions entraînent automatiquement pour les fils de répartition les dispositions indiquées figure 4.49.

Remarque: Les solutions du type a ont l'inconvénient de conduire à un encombrement en hauteur des panneaux. De ce point de vue, les solutions des types b ou c sont préférables.

226 Traité de béton armé

~4cm

Pour la disposition

0

1

Pour la disposition . ,

~I • ,

1

'--i

.-- i

~

~

~

1

1

1

~

--..

1

1

----+-

1

--..

~4cm

1

Pour la disposition •

'--i

~I

1

,~

1

1

Figure 4.49

4.72

Treillis soudés formés de fils à haute adhérence

:> Référence: BAEL, art. A-6.2,1

4.721

Ancrages rectilignes

Les fils constituant un treillis soudé à haute adhérence sont ancrés individuellement par scellement droit (§ 4.33) ou par les soudures (conformément au § 4.712) selon le cas le plus favorable, du point de vue de la longueur nécessaire.

4.722

Ancrages par courbure

Les diamètres minimaux des mandrins de cintrage pour réaliser éventuellement des ancrages courbes (figure 4.23) à l'extrémité des panneaux de treillis sont donnés dans la tableau 4.10 qui fournit également les diamètres minimaux pour réaliser des cadres ou des étriers (figure 4.46) et ceux à respecter pour les coudes.

Chapitre 4 • Association acier-béton 227 Tableau 4.10. Diamètres minimaux des mandrins de cintrage des treillis soudés HA (mm) Diamètre minimal D du mandrin de cintrage (mm)

Diamètre nominal du fil (mm) 5-5,5

6

Etriers et cadres

30

30

40

Ancrages

50

70

70

Coudes (changement de direction du fil)

7-8 9-10

12

14

16

50

60

90

100

100

100 150 150

150

200 200 250

En ce qui concerne les nœuds de soudure, le diamètre D étant pris au moins égal aux valeurs du tableau 4.10, les dispositions et valeurs de E des figures 4.44 et 4.45 sont applicables. Pour les cadres et étriers, se reporter au paragraphe 4.713-b. La condition de non-écrasement du béton et celle relative au cintrage d'ensemble d'un panneau et aux boucles données au § 4.52 sont applicables. On peut en trouver une présentation adaptée dans l'ouvrage Le Treillis soudé - Calcul et utilisation édité par l'ADETS 1•

4.723

Jonctions par recouvrement

Si la longueur d'ancrage est déterminée par les soudures, les règles du § 4.714 s'appliquent. Si la longueur d'ancrage est celle du fil constitutif, ce sont celles du § 4.611 (tab.4.6) qui sont .applicables. Dans les deux cas, des armatures de couture ne sont pas nécessaires.

4.8

PRESCRIPTIONS DE L'EUROCODE 2 CONCERNANT LES ANCRAGES

4.81

Modes d'ancrage

Les ancrages des barres tendues peuvent être droits, ou affecter l'une des formes de la figure 4.50 (lb,eq correspond à ce que nous avons appelé «longueur d'ancrage» pour les Règles BAEL, et hd correspond à la longueur de scellement droit Is).

1. On peut se procurer cet ouvrage sur simple demande adressée à l'ADETS ou le consulter sur le site www.adets.org. Dans ce même ouvrage, on trouve la démarche de calcul pour résoudre le problème suivant: «connaissant la longueur disponible pour loger un ancrage courbe, quelle longueur donner à son retour droit pour que cet ancrage soit équivalent à un ancrage par crochet normal d'une longueur égale à 0,4 ls ? ».

228 Traité de béton armé La prise en compte de la « longueur équivalente définie plus loin, au § 4.843.

h,eq

» représentée sur cette figure est

<:50

a

90 0 :s; a < 1500 •

Longueur d'ancrage de référence lb mesurée le long de l'axe quelle que soit la forme du tracé

('::'~:j:

ct

t Longueur d'ancrage équivalente pour un crochet normal

•

•

Longueur d'ancrage équivalente pour un coude normal

:

0 t <:O,60

<:50

~tj

(-••..•••.••..••••.•.••••.•••.••.••.••••••.•.•••.•••••.•••.•••.•... j~

lb,eq

Longueur d'ancrage équivalente pour une boucle normale

•

Longueur d'ancrage équivalente avec barre transversale soudée

Figure 4.50. Modes d'ancrage autres que le scellement droit

4.82

Cintrage des barres

4.821

Diamètres minimaux des mandrins de cintrage

Pour les barres et les fils, le diamètre minimal du mandrin de cintrage des coudes, crochets et boucles ne doit être inférieur: - ni à celui requis par l'essai de pliage-dépliage, - ni à 4 0 si 0 :::; 16mm, ni à 7 0 si 0 > 16 mm. Pour les barres ou treillis soudés pliés après soudage, voir § 4.91.

.4.822

Condition de non-écrasement du béton

Cette clause ne s'applique pas aux cadres, étriers et épingles. 10 • Aucune vérification n'est nécessaire si les conditions suivantes sont remplies: a) l'ancrage de la barre ne requiert pas une partie droite de longueur supérieure à 50 audelà de la partie courbe;

Chapitre 4 • Association acier-béton 229 b) le plan dans lequel la barre a été courbée n'est pas proche d'un parement, et il existe, à l'intérieur de la partie courbe, une barre transversale ayant au moins le même diamètre que la barre courbée, et disposée perpendiculairement au plan de la courbure (disposition analogue aux cas a et b de la figure 4.54) ; c) le diamètre du mandrin est au moins égal aux valeurs données au § 4.821 ou dans le tableau 4.12. 2°. Si ces conditions ne sont pas remplies, le diamètre minimal 0 re pour éviter l'écrasement du béton est donné par :

m

du mandrin nécessai-

avec: F bt

force de traction à l'état-limite ultime, à l'origine de la courbure, dans une barre ou un groupe de barres en contact,

ab

pour une barre, ou un groupe de barres au contact, moitié de l'entre-axes des barres, ou des groupes de barres, dans la direction perpendiculaire au plan de la courbure. Pour une barre, ou un groupe de barres, proche d'une paroi: ab = enrobage + 0/2,

!cd

résistance de calcul du béton en compression avec!ck plafonnée à 55 MPa.

4.83

. Contrainte ultime d'adhérence

L'EC2 établit une distinction entre les conditions d'adhérence «bonnes» et les conditions d'adhérence« médiocres» (figure 4.51). La contrainte ultime d'adhérence, notée/bd, est prise égale :/bd = 2,25 Th T12!ctd avec:

!ctddonné par fcld

= fclk,O,05 IYe

en plafonnant!ctk,O,05 à 3,1 MPa (voir tab. 2.4)

quand les conditions d'adhérence sont réputées bonnes quand elles sont réputées médiocres (en particulier dans les éléments réalisés au moyen de coffrages glissants)

Th dépend du diamètre de la barre : - si 0

~

32 mm, 112 = 1 - si 0 > 32 mm, 112 = (132 - 0)/100,

0 en mm.

230 Traité de béton armé

250

--

t . LI

.

.

1

.

i

. , 45· sas90·

h[!

I~------------~ '~I--------------~

•

hS250mm

,

•

h>250mm

~300L~] .1

.1

1

1

1

1

h

fi h>600mm

a) et b) conditions d'adhérence bonnes pour toutes les barres

c) et d) zone non hachurée - conditions d'adhérence bonnes

~ Direction du bétonnage

zone hachurée - conditions d'adhérence médiocres

Figure 4.51. Conditions d'adhérence

4.84

Longueurs d'ancrage

Remarques préliminaires: Pour les calculs relatifs aux ancrages et aux recouvrements, l'EC2 a, sous l'influence de l'école suédoise, adopté une présentation compliquée de la longueur d'ancrage de calcul, dans laquelle entre le produit apparent de cinq (et même six) coefficients ah a2, a3, ~,
Chapitre 4· Association acier-béton 231 Les chercheurs qui ont «pondu» cette formulation montrent là une méconnaissance totale des conditions réelles d'exécution sur un chantier, où l'on fait davantage appel au mètre en bois pliant et au bâton de craie qu'au pied à coulisse et au crayon savamment taillé. À la fin du paragraphe 4.842, tout en respectant l'EC2, nous avons essayé de résumer les choses de manière plus simple.

4.841

Longueur d'ancrage de référence

Il s'agit de la longueur requise (required) h,rqd pour ancrer, sous la contrainte d'adhérence./bd supposée constante, la force As{Jsd qui règne dans une barre droite (différence avec les Règles BAEL, qui prennentled au lieu de (Jsd) : [4.20] avec contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle on mesure l'ancrage.

{Jsd

4.842

longueur d'ancrage de calcul

Cette longueur, désignée par lbd, est donnée par : hd = al a2a3~a5 Ib,rqd"?lb,rnin

[4.21]

h,rqdvoir ci-avant; pour h,min se reporter à la fin du présent paragraphe; les coefficients al, a2, a,3, ~ et a5 sont donnés par le tableau 4.11. al, a2 et a3 dépendent respectivement de la forme des barres (figure 4.50), de l'enrobage (figure 4.52) et du confinement par les armatures transversales (figure 4.53). ~

prend en compte l'influence d'une, ou de plusieurs, barre(s) transversale(s) de diamètre 0 t "? 0,6 0, soudée(s) sur la longueur hd et a5 l'effet d'une pression appliquée perpendiculairement au plan de fendage sur la longueur lbd' Le produit (a,2a3a.s) ne peut être pris inférieur à 0,7.

•

Barres droites

CtJ = min{a/2 ; c1 ; c}

•

Barres terminées par un coude ou un crochet Cd = min{a/2 ; c1}

Figure 4.52. Paramètre Cd de l'enrobage

•

Barres terminées par une boucle cd=c

232 Traité de béton armé Dans le tableau 4.11, dans le cas d'armatures transversales non soudées (a3), (LAst - LAst,min)/As

À=

avec: aire de l'armature transversale sur la longueur lbd

LAst

aire de l'armature transversale minimale: 0,25 As pour les poutres et 0 pour les dalles aire d'une barre (celle du plus gros diamètre) ancrée défini par la figure 4.53

K

i2(! 1-[1

As

A

0 t ,A st

\

&

K= 0,1

0 t ,Ast

As

j

j

\•

K= 0,05

K=O

Figure 4.53. Valeurs de K pour les poutres et les dalles Tableau 4.11. Valeurs des coefficients <Xi intervenant dans le calcul de la longueur d'ancrage Facte~r

d'influence

Armature

Type d'ancrage

comprimée

tendue Droit Forme des barres

Autre figure 4.50 b, c, d

Droit

= 1,0 al = 0,7 si Cd> 30 sinon al = 1,0 al

al

= 1,0

al =1,0

(voir figure 4.52 pour les valeurs de Cd)

a 2 =1-015(cd -0) '

0

a z =1,0

0,75: a z 5: 1,0

a2 =1-015 ,

Enrobage Autre figure 4.50 b,c,d

(c -30) d

0

0,75: a 2 5: 1,0

a 2 =1,0

(voir figure 4.52 pour les valeurs de Cd) Confinement par des armatures transversales non soudées aux armatures

Tous types

a 3 =1-KÀ 0,75: a 35: 1,0

a 3=1,0

Chapitre 4 • Association acier-béton 233

Facteur d'influence

Armature

Type d'ancrage

tendue

comprimée

principales Confinement par des armatures transversales soudées (1)

Tous types, positions et diamètres comme indiqué figure 4.50 e

Confinement par compression transversale

Tous types

a 4 =0,7'

a 4 = 0,7

as = 1-0,04p (2) 0,7 ~ as

~ 1,0

(1) Voir également § 12.73c, sous la figure 12.56. (2) p est la pression transversale (MPa) à l'état-limite ultime sur la longueur lM

En définitive :

1. pour les ancrages de barres tendues, droits ou courbes (figure 4.50 et tableau 4.11) : • dans tous les cas visés ci-après, la longueur d'ancrage de calcul finalement retenue doit être ,au moins égale à la longueur minimale définie par : h,tnin

= Max (0,3 h,rqd; 10 0;

100 mm)

• en l'absence de confinement par des armatures transversales ou de compression transversale: [4.22] • s'il existe un confinement assuré par des armatures transversales: - non soudées aux armatures ancrées, multiplier la valeur du second membre de [4.22] par a3, - soudées aux armatures ancrées, multiplier la valeur du second membre de [4.22] par 0,7 (=~). • si, en outre, l'ancrage est soumis à une compression transversale, multiplier encore la valeur résultant des opérations précédentes par as.

2. pour les ancrages de barres comprimées (obligatoirement droits) : - dans les deux cas visés ci-après, la longueur d'ancrage de calcul finalement retenue doit être au moins égale à la longueur minimale définie par : h,min

= Max (0,6 h,rqd;

10 0 ; 100 mm)

234 Traité de béton armé - en l'absence de confinement ou si celui-ci est réalisé par des armatures transversales non soudées aux barres ancrées:

- si le confinement est réalisé par des armatures transversales soudées aux barres ancrées:

longueur d'ancrage « équivalente»

4.843

Par simplification, on peut considérer que l'ancrage de barres affectant les formes de la figure 4.50 peut être assuré moyennant la prise en compte d'une longueur d'ancrage équivalente, définie sur cette même figure et prise égale à : h,eq

= al h,rqd

et à h,eq = a2 h,rqd

h,rqd

pour les cas b, c et d, pour le cas e.

est défini au § 4.841 ; pour al et a2, voir tableau 4.l1.

Ancrage des cadres et des étriers

4.85

L'ancrage est considéré comme correct si les conditions définies par la figure 4.54 sont respect~es. Une barre transversale doit toujours être prévue dans un crochet ou dans un coude. 50, mais 2: 50 mm

•

100, mais

.,

2:20 2:20 mm s50mm

•

Note: pour c) et d), il convient que l'enrobage ne soit ni inférieur à 3 0, ni à 50 mm si cette valeur est plus faible.

F.igure 4.54. Ancrage des armatures transversales Le soudage des barres (ancrages des types c et d) doit être conforme à l'EN 10080 et à l'EN ISO 17660.

Chapitre 4 • Association acier-béton 235

Ancrage au moyen de barres transversales soudées

4.86

La résistance à l'entraînement d'une barre transversale (0 14 à 32 mm) soudée à une barre principale du côté de la masse du béton, est désignée par F btd• Dans l'expression de h,rqd (voir § 4.842) crsd peut être remplacée par Fbtd / As, As représentant l'aire de la barre ancrée.

Remarque: Pour l'évaluation de F btd se reporter à l'Annexe Nationale. L'EC2 consacre un développement relativement long à la détermination de la résistance à l'entraînement d'un joint soudé.

Jonctions par recouvrement

4.87

Les recouvrements doivent normalement être décalés, ne pas être placés dans des zones de contraintes élevées et, en toute section, être disposés symétriquement (figure 4.55).

'Fs oIIIf--

·.-.. .z·:·:-:·z·:·:·:· ...... .

,

a

........................:.:...

~20 ~20mm

Fs

oIIIf-- ......... ··········· ........·..·.·.·.·......·.·.w.·.·.·.·.·.·.···· ............ .

Figure 4.55. Distances à respecter entre recouvrements voisins Si la distance libre entre les barres est supérieure à 40 ou à 50 mm, la longueur de recouvrement 10 doit être augmentée d'une valeur égale à cette distance libre. Si les conditions de la figure 4.55 sont satisfaites, la proportion admissible de barres tendues en recouvrement peut être de 100 % si ces barres sont disposées en un seul lit. S'il ya plusieurs lits, cette proportion est réduite à 50 %. Les recouvrements des barres comprimées ainsi que ceux des armatures secondaires de répartition peuvent être disposés en totalité dans une même section.

236 Traité de béton armé

4.871

longueur de recouvrement

La longueur de recouvrement 10 est prise égale à : [4.23]

la = a\a2 a 3<X.JaSll(; h.rqd'è.la,min

avec: h.rqd: voir § 4.842 la.min = max (0,3 ll(; h.rqd; 150 ; 200 mm) a\,

a2, a3,

LAst.min

Œ6

<X.J, as

= As crsd /

= (Pl / 25) 1/ 2

selon le tableau 4.11 ; toutefois, pour le calcul de a3, il faut prendre fYd ' avec As aire de l'une des barres en recouvrement, avec 1 :::;;

ll(; :::;;

1,5 Pl, Pl étant la proportion d'armatures en recouvre-

ment dans une zone d'étendue 0,6510 de part et d'autre de l'axe du recouvrement considéré.

Barre 1

Barre" Barre III 1

:

Il

1 1 1

si

Il Il Il Il

Barre IV

1

:.:.- O.6Sto

*

:

®

1 1

1 1

I~

1 1

O.6Sto +l

1 1

:

~I

Section considérée Exemple: les barres II et III sont en dehors de la section considérée: PI % = 50 et Œ6 = 1,4

Figure 4.56. Proportion de recouvrements à prendre en compte dans une zone de recouvrement donnée

4.872

Armatures de couture d'un recouvrement

.4.872-1

Cas des barres tendues

• Dans le cas où les forces de traction qui s'exercent dans le plan créé par les barres en recouvrement sont parallèles à un parement de béton: - si 0 :::;; 20 mm, ou si la proportion des barres en recouvrement est, en toute section, inférieure à 25 %, il n'est pas nécessaire de prévoir d'autres armatures de couture que celles prévues pour d'autres raisons;

Chapitre 4· Association acier-béton 237 - sinon, la somme des aires de tous les brins parallèles au plan du recouvrement doit être au moins égale à la section d'une des barres de ce dernier: LAst ~ As. Les armatures de couture sont perpendiculaires à la direction du recouvrement, et disposées sur les tiers extrêmes, entre ce dernier et le parement de béton (figure 4.57a).

•

•

Barres tendues

Barres comprimées

Figure 4.57. Disposition des armatures de couture d'une jonction par recouvrement • Si plus de 50 % des armatures se recouvrent dans la même section, et si la distance a (figure 4.55) est au plus égale à 100, les armatures transversales doivent être constituées par des cadres, étriers ou épingles ancrés dans la masse du béton.

4.872-2

cas des barres comprimées en permanence

Les règles données au § 4.872-1 sont applicables, mais pour diminuer le risque d'écrasement local du béton sous l'effet de la pression exercée par la face terminale des barres, on ajoute, à chaque extrémité du recouvrement, une armature de couture, à une distance au plus égale à 4 0 de cette extrémité (figure 4.57b).

238 Traité de béton armé

4.9

TREILLIS SOUDÉS

4.91

Diamètres admissibles des mandrins de cintrage

Pour les treillis soudés (et, de façon générale, pour des barres pliées après soudage), les diamètres minimaux des mandrins de cintrage sont donnés par le tableau 4.12. Tableau 4.12. Diamètres minimaux des mandrins de cintrage des treillis ou barres soudés

é

•

ou

('

cG .r

ou

L

d

d

50

~

30

->

50

d < 30 ou soudure dans la partie courbe

->

200

Dans le cas de soudures situées dans la partie courbe, le diamètre du mandrin peut être réduit à 50 lorsque le soudage est effectué conformément à l'EN ISO 17660 Annexe B.

4.92

Recouvrements

4.921

Recouvrement des fils ct porteurs »

Les jonctions peuvent se faire dans un même plan ou dans des plans distincts (figure 4.58).

•

Recouvrement des panneaux dans un même plan (coupe longitudinale)

1............ ~·Î::!·:·I:·:·:·~:I·::·!·:I·::·::·:

:.:.:.:.:.:.:1.:.:.:.:.:•......".:......•.......

.:....-: ......................................:.:.:.:.:.:.:{.,.:.:::.z;;.zI ....................

~to~

ca

Recouvrement des panneaux dans des plans distincts (coupe transversale)

Figure 4.58. Recouvrements de treillis soudés

Chapitre 4 • Association acier-béton 239 Dans le cas a, 10 (§ 4.871) est calculée avec 0.3 = 1 et les dispositions doivent être celles de la figure 4.55. Dans le cas b, les recouvrements doivent être disposés dans des zones où, à l'état-limite ultime, crs ::;; 0,8/yd. Sinon, la hauteur utile à prendre en compte dans les calculs de résistance en flexion est celle du lit le plus éloigné de la face tendue. En outre, pour les vérifications relatives à la fissuration au voisinage des extrémités du recouvrement, la contrainte crs des armatures (dispensant du calcul des ouvertures de fissures, voir § 15.22) doit être majorée de 25 %. En ce qui concerne la proportion admissible de barres principales en recouvrement dans n'importe quelle section (proportion rapportée à l'aire de la section totale d'acier) : • pour le cas a, le coefficient U(j (voir § 4.871) est applicable, • pour le cas b, en fonction de la section prévue (As / S )prov, la proportion est de : - 100 % si (As/ s)prov::;; 1200 mm 2/m - 60 % si (As/ s)prov > 1200 mm2/m Les recouvrements effectués sur deux nappes superposées doivent être décalés d'au moins 1,3/0 dans le sens horizontal. Aucune armature de couture transversale supplémentaire n'est nécessaire.

4.922

Recouvrement des fils de répartition

Les recouvrements peuvent tous être disposés dans la même section. Au moins deux soudures (une maille) doivent se trouver sur la longueur de recouvrement. Les valeurs minimales de la longueur de recouvrement sont (0, diamètre des fils de répartition) : - pour 0::;; 6 mm : ~ 150 mm, avec au moins une maille (2 soudures) sur la longueur 10 ; - pour 6 < 0 ::;; 8,5 mm: longueur 10 ;

~

- pour 8,5 < 0 ::;; 12 mm: longueur 10 ;

250 mm, avec au moins deux mailles (3 soudures) sur la

~

350 mm, avec au moins deux mailles (3 soudures) sur la

Remarque: L'EC2 donne ensuite des règles, non détaillées ici, qui concernent l'adhérence, les ancrages et les recouvrements d'une part des barres dont le diamètre excède 32 mm (40 mm pour l'Annexe Nationale), et d'autre part des paquets de barres.

240 Traité de béton armé

4.10 BIBLIOGRAPHIE SÉLECTIONNÉE DU CHAPITRE 4 - Robinson (J.R), Zsutty (T.C.), Guiorgadzé (G.), Lima (L.J.), Hoang Long Hung et Villatoux (IP.), La couture des jonctions par adhérence, Annales ITBTP, juin 1974. - Bond action and bond behaviour of reinforcement, Bulletin d'Information CEB nO 151, décembre 1981. - Fauchart (J.) et Hoang Long Hung, Ancrage des treillis soudés formés defils bruts de tréfilage deforme cylindrique, Annales ITBTP, avri11973. - Recommandations RILEM (avril 1982), RC2 Essai de traction, RC4 Essai de pliage dépliage, RC5 Essai d'adhérence: 1 « Bearn-test» - 2 « Pull-out test» - Robinson (IR), La poutre en béton armé à talon et l'adhérence des barres groupées par deux au contact, Annales ITBTP, décembre 1956. Bond of reinforcement in concrete, fib, Bulletin nO 10, août 2000 (434 pages !).

CHAPITRE 5 HYPOTHÈSES ET DONNÉES POUR LES CALCULS SOUS SOLLICITATIONS NORMALES

Les sollicitations normales sont celles qui développent des contraintes normales sur les sections droites. Elles sont caractérisées par un moment fléchissant et / ou un effort normal, rapportés au centre de gravité de la section homogène lorsqu'il s'agit de calculs élastiques et que la section des armatures est connue ou au centre de gravité de la section de béton seul dans tous les autres cas, voir chapitre 8.

5.1 . HYPOTHÈSES GÉNÉRALES Ces hypothèses sont celles utilisées en Résistance des Matériaux dans la théorie des poutres, à savoir : - dimensions transversales faibles par rapport à la longueur ; - rayon de courbure de la fibre moyenne grand par rapport aux dimensions transversales; - variations des dimensions de la section droite lentes et progressives.

242 Traité de béton armé

5.2

CALCULS VIS-À-VIS DES ÉTATSLIMITES ULTIMES DE RÉSISTANCE SOUS SOLLICITATIONS NORMALES

5.21

Hypothèses fondamentales

5.211

Hypothèses adoptées par les Règles BAEl

:> Références: BAEL, art A-4.3,2 Les hypothèses qui suivent sont celles qui sont applicables lorsque les effets du second ordre (influence des déformations sur les sollicitations) peuvent être négligés. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, il faut effectuer une vérification d'état-limite ultime de stabilité de forme, selon les hypothèses et méthodes indiquées au chapitre Il. Ces hypothèses sont au nombre de six (figure 5.1) : 1. au cours de la déformation d'une poutre sous l'action d'un système quelconque de forces extérieures, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (principe de Bernoulli)l; 2. la résistance du béton tendu est considérée comme nulle; 3. par sl;1ite de l'adhérence, chaque armature subit la même variation linéaire que le béton situé à son niveau (supposé non fissuré si l'armature considérée est tendue) ; 4. le raccourcissement relatif Ebc du béton est limité à : - 3,5.10-3 en flexion; - 2,0.10-3 en compression simple.

5. l'allongement relatif Es de l'acierle plus tendu2 est limité à 10.10-3

;

6. «Règle des trois pivots» : le dimensionnement d'une section à l'état-limite ultime est conduit en supposant que le diagramme des déformations passe par l'un des trois pivots A, B ou C définis ci-après (BAEL, art. 4.3,3), chacun d'eux définissant une région.

1. Ce qui implique en corollaire l'absence de glissement entre les armatures longitudinales et le béton, hypothèse reprise au point 3. 2. En règle générale, pour des armatures tendues disposées en nappes, on peut les supposer concentrées en leur centre de gravité. Pour les calculs, comme ni le nombre de barres, ni leur diamètre ne sont connus a priori, on schématise la section de celles-ci en représentant sur une coupe (section droite) de l'élément un petit rectangle noir (voir figures 7.8,7.10,7.17 et suivantes). Cette hypothèse n'est pas systématiquement retenue par l'EC2 (voir § 5.212).

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 243 ,

Allongements

Â,

Raccourcissements : 0'

B (3,5 %0)

~h 7

h

o

2%0

Figure 5.1

Pivot A, Région 1 - L'allongement Es de l'acier tendu est égal à 10.10-3. La section est soumise à la traction simple ou à la flexion simple ou composée. Pivot B, Région 2 - Le raccourcissement soumise à la flexion simple ou composée.

Ebc

du béton est égal à 3,5.10-3• La section est

Pivot C, Région 3 - Le raccourcissement Ebc du béton au niveau de C est égal à 2,0.10-3• La section est soumise à la flexion composée ou à la compression simple. Pour la vérification d'une section à l'état-limite ultime, il suffit d'apporter la preuve qu'aucupe des déformations limites n'est dépassée, c'est-à-dire: - qu'au niveau de l'acier le plus tendu,

Es::;;

10.10-3

- que, sur la fibre extrême la plus comprimée de la section,

Ebc ::;;

- que, sur la fibre située à 3h / 7 de la fibre la plus comprimée,

3,5.10-3

Ebc::;;

2,0.10-3

Le diagrame des déformations peut donc alors, occuper une position quelconque, ne passant ni par A, ni par B, ni par C, qui ne peut être déterminée.

5.212

Hypothèses adoptées par l'EC2

Ces hypothèses concernent les régions «B» des éléments fléchis (voir § 3.525-4a). Pour les régions« D », voir § 3.525-4a et chapitre 14. Pour le calcul de la résistance ultime d'une section, outre les hypothèses classiques, . identiques à celles des Règles BAEL (conservation des sections planes, absence de glissement acier-béton, résistance à la traction du béton négligée), on adopte les hypothèses suivantes: -le raccourcissement maximal du béton est limité à (voir tableau 2.4) : - Ec2

(ou Ec3) dans le cas de sections soumises à une compression axiale,

- Ecu2 (ou Ecu3)

dans le cas de sections non entièrement comprimées.

244 Traité de béton armé • les déformations relatives limites à l'état-limite ultime sont celles précisées par la figure 5.2 • les diagrammes de calcul sont ceux définis au § 5.22. (1 - Ec2/Ecu2) h ou (1 - Ec3/EcuÛ h

d h

ES~<----~I----------~I~--~9

Eud

Ey

0

1 Ec2

(Ec3)

1 >Ec Ecu2 (Ecu 3)

Figure 5.2. Déformations relatives limites à l'état·limite ultime selon l'EC2

A- limite de déformaiton relative en traction des armatures B- limite de déformation relative du béton en compression par flexion C- limite de déformation relative du béton en compression pure

5.22

Diagrammes contraintes-déformations de calcul

5.221

Acier

a) Règles BAEL (art. A 4.6,2) Le module Es n'étant que peu affecté par la dispersion, le diagramme de calcul d'un acier se déduit du diagramme idéalisé (voir § 2.371) par une affinité parallèle à la droite de Hooke et de rapport 11 Ys, avec Ys = 1,15 en général (Ys = 1 vis-à-vis des sollicitations accidentelles). On désignera par led la contrainte de calcul de l'acier:

Ys

=

J:ed = Ys le

avec

1,15 en général (fig. 5.3a).

Ce diagramme permet, connaissant la déformation relative Es d'un acier occupant une position quelconque dans la section droite, d'en déduire la contrainte de calcul crs correspondante.

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 245 b)EC2 L'EC2laisse la liberté (voir § 2.37-2b) : - soit d'utiliser le même diagramme de calcul que celui adopté par les Règles BAEL (fig. 5.3a), mais sans limiter à 10 %0 l'allongement maximal de l'acier; - soit d'adopter un diagramme idéalisé bi-linéaire, comportant une branche supérieure inclinée, avec une déformation de l'acier limitée à Cud = 0,9 Cuk (figure 5.3b ; pour Cuk, voir § 2.37-2, figure 2.40 et tableau 2.10).

f tk fe ,------.-----, , 1 1

•

t~ Ys

Es = 2-10 5 MPa

1 fe/Ys 1 1 = fed 1 1 1 1 1 1 1 1

r

é

Diagram~e~~! ~ ,--- -----

t

- - - ---

cul Diagramme deCSl

' \ fyk

1

, 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

'Ys

E = 200 kNlmm 2

1 1 1

10%0

0

f yk

1 1

1 1

0

Es

êud = 0,9êuk . . EC2

OBAEL

Figure 5.3

Les diagrammes de calcul correspondants s'en déduisent par l'affinité de rapport lIys, comme pour les Règles BAEL. La formulation mathématique du diagramme à branche inclinée est donnée au § 7.721. L'EC2 ne retient donc pas la valeur limite de 10 %0 pour l'allongement maximal de l'acier tendu (hypothèse 5 des Règles BAEL). Cette limite avait été proposée autrefois par le CEB pour éviter que l'état-limite ultime (ELU) ne soit atteint «par déformation plastique excessive» mais certains pays ont considéré qu'elle n'était nullement nécessaire. On peut en effet vérifier qu'une variation importante de la valeur numérique de la limite d'allongement de l'acier n'a qu'une faible incidence sur l'estimation des capacités de -résistance d'une section. Cependant, ne pas fixer de valeur numérique ne signifie pas que l'allongement de l'acier à l'état-limite ultime n'est pas, physiquement, limité. L'adoption d'un pourcentage minimal d'acier (voir § 7.511-5) entraîne en effet un plafonnement automatique de cet allongement, correspondant à l'équilibre de la section armée au pourcentage minimal.

246 Traité de béton armé

Béton

5.222

En ce qui concerne le diagramme contraintes-déformations de calcul du béton, on fait l'hypothèse qu'il existe une loi de comportement unique traduite par une expression analytique dans laquelle la contrainte crbe est une fonction univoque de la déformation Ebc. Cette expression est valable dans tout le domaine de la flexion simple ou composée, pour toutes les fibres de la zone comprimée. Cette hypothèse est communément admise pour les calculs des éléments dans lesquels l'état-limite ultime est atteint par accroissement monotone de la sollicitation; elle implique, en fait, l'hypothèse d'un comportement univoque non linéaire en compression et, en conséquence, elle n'est plus suffisante pour les calculs sous sollicitations alternées par exemple. 1°) Diagramme parabole-rectangle

De façon générale, le diagramme cre - pour 0 $

1 Ee 1

<

1

Ee

idéalisé du béton est défini par les expressions:

Ee2 1

[5.1]

[5.2] avec : Ec2

raccourcissement unitaire du béton au « pic» de contrainte

Ec2u

raccourcissement ultime.

Pour les valeurs numériques de Ee2, Ee2u et n, se reporter au tableau 2.4. Pour fck $ 50 MPa, (fc28 $ 60 MPa pour les Règles BAEL) on a Ee2=0,002, Ee2u=0,0035 et

n = 2. La courbe définie par la relation [5.1] est un arc de parabole du second degré ayant son sommet à l'abscisse 0,002. Au-delà de cette abscisse, l'arc se prolonge par une horizontale jusqu'à l'abscisse 0,0035. Le diagramme ainsi défini est appelé «diagramme parabole-rectangle» (figure 5.4). crbc

fek

Sommet

~

•1

~

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0

2%.>

3,5 %.>

€t3e

Figure 5.4. Diagramme parabole-rectangle « caractéristique» [3,5 %s valable pour les bétons de résistance au plus égale à 60 MPa (BAEL) ou à 50 MPa (EC2)]

Chapitre 5· Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 247 Bien noter que ce diagramme n'étant introduit que par un artifice de calcul, il n'a aucune signification physique et il serait faux de vouloir déduire de la pente de la tangente à l'origine la valeur de déformation longitudinale du béton (cette pente vaut en effet 1000 !ck' à comparer à la formule [2.19] et aux valeurs du tableau 2.4). Diagramme parabole-rectangle de calcul

La pente de la tangente à l'origine n'étant pas indépendante de la résistance à la compression du béton, le diagramme parabole-rectangle « de calcul» se déduit du diagramme parabole-rectangle « caractéristique» par une affinité effectuée parallèlement à l'axe ÛObe des contraintes et de rapport a/Yb, avec Yb = 1,5, sauf pour les actions accidentelles, pour lesquelles Yb = 1,15 (BAEL) ou "'le = 1,2 (BC2); n, coefficient numérique, 0,85:::; n:::; 1. Finalement le diagramme parabole-rectangle de calcul est défini (figure 5.5) par une parabole du second degré dont le sommet se trouve à l'abscisse Ee2 = 2.10-3 et à fc l'ordonnée afck en notations EC2 (a j en notations BAEL avec, normalement,

Yc

Yb

j = 28 jours) prolongée par un palier horizontal à cette ordonnée, s'étendant jusqu'à

l' abscisse Eeu2 = 3,5.10-3•

Diagramme idéalisé

_____ t_____ Diagramme de calcul

~~

1

f~

-L a -

'Ys

Paraboles du 2& degré

=afcd

(1)

Axe des paraboles

L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _~_ _ _ _ _ _ _ _ _ _~_ _~~(~)

o Figure 5.5. Diagramme cr·t: du béton à utiliser pour la vérification des sections [Bétons de résistance au plus égale à 60 MPa (BAEl) ou 50 MPa (EC2)]

J,..a raison du coefficient a est que la résistance à la compression du béton dépend, entre autres paramètres, de la durée d'application des charges. Ce phénomène a été étudié au § 2.221.4. Il est rappelé que des contraintes soutenues entraînent une chute de la résistance apparente du béton à la compression. En contrepartie, le durcissement entraîne une augmentation de la résistance dans le temps. Ces deux phénomènes, qui agissent en sens inverse, finissent par se compenser: il existe alors une résistance minimale du béton sous une charge appliquée pendant un temps critique, qui est de l'ordre de 85 % de la résistance sous charge de longue durée (<< effet Rüsch », voir Bulletin

248 Traité de béton armé d'information du CER nO 36). Pour l'EC2, normalement, a = 1 silck correspond à une résistance à 28 jours d'âge. Dans les Règles BAEL 90, la valeur a a été modulée et prise égale à 1 : 0,85 a=--

e

avec:

e e e

1 lorsque la durée d'application de la combinaison d'actions considérée est supérieure à 24 h ;

=

= 0,90 lorsque cette durée est comprise entre 1 h et 24 h ; =

0,85 lorsqu'elle est inférieure à 1 h.

Cette modulation n'a pas une grande conséquence pratique lorsque l'état-limite ultime serait atteint par suite de l'allongement excessif des aciers (à notre avis, elle constitue un «raffinement» inutile qui ne fait que compliquer le calcul). Elle n'existe pas dans l'EC2, qui indique seulement que a peut généralement être pris égal à 0,85, et qu'il doit être réduit à 0,80 pour les zones comprimées dont la largeur décroît vers les fibres les plus comprimées. Cette réduction n'est prise en compte dans les Règles BAEL que dans le cas où l'on utilise le diagramme rectangulaire simplifié (voir ci-après). Dans certains cas, l'introduction de e (qui revient à augmenter fictivementlc2s) conduit à une anomalie : prévoir des aciers comprimés qui n'auraient pas été nécessaires sans cela. En effet, la contrainte limite de compression du béton en service (voir § 5.341) ne bénéficie pas de cette augmentation. 2°) Diagramme rectangulaire La distribution rectangulaire des contraintes de compression du béton que l'on trouve dans la plupart des textes réglementaires nationaux constitue une simplification2 qui a été tirée de la condition que, pour un type de section donné, avec différents modes de chargement, l'armature nécessaire soit sensiblement la même que celle que l'on obtiendrait avec un diagramme plus exact, tel que le diagramme parabole-rectangle.

1. Faire attention que a est le « coefficient à tout faire» des Règles BAEL ; il a en effet des significations multiples, rapport de longueurs, de charges, de moments, etc. Dans une même note de calculs, il peut apparaître à plusieurs reprises, avec à chaque fois une signification différente. 2. En remontant dans la littérature technique, on peut constater qu'avant d'en arriver à cette simplification, de nombreuses formes de diagrammes ont été envisagées: trapèze (Melan, 1936; Jensen, 1943), parabole (Mensch, 1914; Stüssi, 1932; Saliger et Emperger, 1936), parabole cubique (Spécifications russes, 1938), ellipse (Kempton Dyson, 1922) et même hyperbole (Schreyer, 1933). Baumann (1934), Brandtzaeg et Bittner (1935) ont été les premiers à utiliser un diagramme parabolerectangle. En février 1949, R. Chambaud avait, lui aussi, adopté un diagramme parabole-rectangle, avant d'en venir, peu de temps après (Annales de l'ITBTP, novembre 1949), à un diagramme formé d'un quart d'onde de sinus01de prolongé par une parabole cubique, d'utilisation vraiment peu commode pour les applications pratiques.

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 249 Cette simplification a surtout de l'intérêt dans les cas où l'axe neutre est à l'intérieur de la section, c'est-à-dire ceux où la section n'est pas entièrement comprimée, c'est-à-dire encore ceux qui correspondent à des diagrammes de déformation passant par l'un des pivots A ou B, à l'exclusion du pivot C. Lorsque les pivots sont A ou B, en effet, les résultats obtenus avec le diagramme rectangulaire sont en bon accord avec ceux donnés par le diagramme parabole-rectangle. L'équivalence des deux diagrammes se vérifie en observant que les «volumes des contraintes» qui mesurent la force de compression du béton sont sensiblement égaux et que leurs centres de gravité occupent sensiblement la même position. Pour une zone comprimée de largeur constante, cette équivalence se ramène à celle des surfaces et aux positions respectives de leurs centres de gravité (voir § 7.511-1 et figure 7.29). En désignant par x (yu dans les Règles BAEL) la distance de l'axe neutre à la fibre la plus comprimée, on définit comme suit le diagramme rectangulaire simplifié (figure 5.6) : - sur une distance de (1 - Àx) à partir de l'axe neutre, la contrainte est nulle; - sur la distance Àx restante, la contrainte vaut !cd = rVck (EC2) ouJbu = afc28 (BAEL) Yc Yb avec Yc = Yb = 1,5 en général,

________ - S - _ - '

Figure 5,6 et: a) dans le cas de l'EC2 -'pour!ck::; 50 MPa : À = 0,8 ; 11 = 1 - pour 50 < .f k ::; 90 MPa : À = 0 8 - fek - 50 "'n = 1 _ Je ' 4 0 0 ' '1

5O 200

..:;..J:::;.::.ck_-__

11 doit être réduit de 10 % dans le cas de zones comprimées dont la largeur décroît vers les fibres les plus comprimées (triangle, cercle, etc.).

250 Traité de béton armé b) dans le cas des Règles BAEL Pour les zones comprimées dont la largeur est soit constante soit croissante vers les fibres les plus comprimées (voir figure 5.7a), a

= 0,85

e

(pour e, voir ci-avant) et À = 0,8

Pour les zones comprimées dont la largeur est décroissante vers les fibres les plus comprimées (figure 5.7 b)

a

= 0,80 et À =

e

08

'

Cette valeur doit, en particulier, être adoptée dans les calculs de flexion déviée (chapitre 9).

l

0,8 Yu

u

Axe neutre

-- -- ------

•

_________

~~'__"../.....L

0,2 Ye

Figures 5.7 a et b

•

3°) Autres diagrammes L'EC2 autorise l'utilisation d'autres diagrammes idéalisés, à condition qu'ils soient «équivalents)} au diagramme parabole-rectangle, ce qui n'est pas le cas du diagramme bilinéaire de la figure 5.8 tel qu'il est proposé par l'EC2, avec, pour !ck : :; 50 MPa, EcJ = 1,75 %0 et Ecu3 = 3,5 %0. En effet, l'équivalence exigerait de prendre Ec3 = 1,35 %0 et non 1,75 %0 (voir § 16.22).

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 251

fek

-------------

1 1 r-------------"! 1

Il 1 1 1 1 1 1 1 1

fcd

-------1

--------/----;...

l o

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1

L-------~------------~-7€c

Figure 5.8

5.3

CALCULS VIS-À-VIS DES ÉTATS-LIMITES DE SERVICE SOUS SOLLICITATIONS NORMALES (CALCULS ÉLASTIQUES)

5.31

Hypothèses fondamentales

Les trois hypothèses qui suivent sont les mêmes que les trois premières hypothèses prises en compte dans les calculs vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance (voir § 5.211) : 1. les sections droites restent planes, 2. la résistance du béton tendu est considérée comme nulle, 3. l'armature subit la même variation linéaire que le béton situé à son niveau 1, 4. le béton et l'acier sont supposés obéir à la loi de Hooke, c'est-à-dire qu'à toute déformation relative E d'un élément de fibre compris entre deux sections droites infiniment voisines correspond une contrainte normale:

a=EE avec E, module de déformation longitudinale du matériau constitutif de la fibre considérée.

1. Toutefois, si on calcule les déformations d'ensemble d'un tronçon de poutre ou de poteau on peut tenir compte de l'influence du béton tendu entre les fissures sur l'allongement global de la zone fissurée (voir § 15.23 et BAEL, art. A-4.6,12).

252 Traité de béton armé

5.32

Conséquences de ces hypothèses - coefficient d'équivalence

Les notations sont celles des Règles BAEL. D'après l'hypothèse 3 faite en 5.31, en un point où béton et acier sont au contact, les deux matériaux subissent, du fait de l'adhérence, la même déformation

c'est-à-dire que l'on a, d'après l'hypothèse 4 :

La force dans l'acier (aire de la section droite A) est ainsi:

F. = Aas = A(nab)=(nA) ab II est donc possible d'appliquer au béton armé, matériau hétérogène, les formules classiques de la Résistance des Matériaux établies pour les corps homogènes à condition: 1°) de remplacer toute aire A d'acier par une aire de béton fictive équivalente n A ayant même centre de gravité; 2°) de considérer, à la place des aires réelles constituées par une aire totale B de béton et une aire totale A d'acier, des sections homogènes réduites constituées par une aire de béton [(B - BI) + n A], où BI désigne l'aire de la zone de béton éventuellement tendu, qui doit être déduite de l'aire totale B en vertu de l'hypothèse 2. Les formules de la Résistance des Matériaux sont donc appliquées à ces sections homogènes réduites. Le coefficient n, théoriquement égal à Es/ Eb est le coefficient d'équivalence. Mais si Es est constant, Eb dépend de la durée d'application des charges et varie entre Ei et Ev (voir § 2.244-2 et § 2.244-5). Pour simplifier, conventionnellement, on adopte pour les calculs vis-à-vis des étatslimites de service, la valeur fixe n = 15. Ainsi, dans un état-limite de service, la contrainte d'une fibre d'acier est égale à quinze . fois la contrainte de la fibre de béton qui aurait le même centre de gravité.

5.33

Hypothèses complémentaires

Ces hypothèses, qui complètent les hypothèses 1 à 4 ci-dessus, sont au nombre de 3. L'hypothèse 7 ne figure sous cette forme dans aucun texte règlementaire, ni dans aucun cours de béton armé; cette présentation inhabituelle a simplement pour but de mettre en

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 253 évidence certaines analogies entre les hypothèses du calcul à l'état-limite ultime et celles du calcul aux états-limites de service (puisque, dans ce dernier cas, limiter les contraintes revient à limiter les déformations, d'après la loi de Hooke) : 5. la contrainte maximale de la fibre de béton la plus comprimée est limitée à une valeur

6. la contrainte maximale des armatures les plus tendues, supposées concentrées en leur centre de gravité, est limitée, normalement, à une valeur as 7. «Règle des deux pivots» : le dimensionnement d'une section à un état-limite de service est conduit en supposant que le diagramme des contraintes est le diagramme linéaire dit «diagramme de Navier» - abc pour le béton; as /15 pour l'acier, voir § 5.32 - et qu'il passe par l'un des deux pivots a ou b définis sur la figure 5.9, chacun d'eux définissant une région:

Figure 5.9

Pivot a, Région 1. Le diagramme de Navier passe par le point a qui correspond à la contrainte limite as (en fait as sur le diagramme) de l'acier le plus tendu: la section 15 est soumise à la traction simple ou à la flexion simple ou composée.

Pivot b, Région 2. Le diagramme de Navier passe par le point b qui correspond à la contrainte limite abc de la fibre la plus comprimée: la section est soumise à la flexion simple ou composée. Pour la vérification d'une section aux états-limites de service, il suffit d'apporter la preuve qu'aucune des contraintes limites, précisées ci-après au § 5.34, n'est dépassée, c'est-à-dire: - qu'au niveau de l'acier le plus tendu:

as:$; as

- que, sur la fibre extrême la plus comprimée de la section:

abc:$; abc

254 Traité de béton armé

5.34

Prescriptions des Règles BAEl

5.341

État-limite de compression du béton (BAEL, art. A 4.5,2)

Cet état-limite est défini par

5.342

abc

= o,6fc28 1.

États-limites d'ouverture des fissures (BAEL, art. A 4.5,33 etA 4.5,34)

1. Classement des éléments selon le danger présenté par leur fissuration Le commentaire de l'article A 4.5,31 indique qu'étant donné la très grande variété du phénomène de fissuration et le nombre de paramètres en cause, il est impossible de fixer des règles générales concernant le degré de nocivité des fissures. Pour les bâtiments et assimilés, l'article B 2.4 précise toutefois que la fissuration est considérée comme : • préjudiciable pour les éléments: - exposés aux intempéries ou à des condensations, - ou alternativement noyés et émergés en eau douce. • très préjudiciable pour les éléments: - exposés à un milieu agressif (eau de mer, embruns, brouillards salins, eau très pure, gaz ou ~ols corrosifs) ; - ou devant assurer une étanchéité. • peu préjudiciable dans les autres cas. Parmi ces autres cas, on peut citer par exemple : - les éléments situés dans des locaux couverts et clos, non soumis (sauf exceptionnellement et pour de courtes durées) à des condensations; les parements non visibles ou ne faisant pas l'objet de conditions spécifiques concernant l'ouverture des fissures.

1.

Il faudrait se garder d'en conclure hâtivement que le béton comprimé est plus sollicité à l'ELS qu'à l'ELU (0,6 > 0,85 Il,50 pour 0 = 1). Ce qu'il faut comparer, ce sont les déformations limites. Rappelons que seules les déformations sont des manifestations physiques mesurables et que limiter une contrainte revient en fait à limiter une déformation. Relier les deux suppose que l'on admet une certaine loi de comportement (linéaire, élastoplastique, etc, voir § 2.1). La contrainte limite de compression du béton en service correspond ainsi à une déformation limite instantanée tirée de la loi linéaire de Hooke (lib/Eb =1 ~60 pour un béton de 30 MPa de résistance), très inférieure à la déformation limite de 3,5 0/00 admise à l'état-limite ultime.

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 255 Pour les ponts routiers, le commentaire déjà cité de l'article A 4.5,31 considère que la fissuration est : - peu préjudiciable dans la plupart des cas où les ouvrages sont de formes simples, en milieu peu agressif, avec des armatures telles quefe::; 400 MPa (à notre avis, cette limite aurait dû être relevée à 500 MPa, la nuance Fe E 400 n'étant plus disponible sur le marché). - préjudiciable en milieu modérément agressif, avec des ouvrages minces, de nombreuses surfaces de reprise ou lorsqu'il s'agit d'éléments soumis à une traction peu excentrée, - très préjudiciable en milieu fortement agressif. 2. Limites imposées à la contrainte des aciers tendus La contrainte de service des aciers tendus n'est limitée qu'en cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable : - fissuration préjudiciable

avec:

- fissuration très préjudiciable (MPai où II désigne le coefficient de fissuration (= 1,6 pour les barres HA courantes) etft2s la résistance du béton à la traction. Les valeurs de crs auxquelles conduisent ces formules pour un acier Fe E 500 sont données par le tableau 5.1 ci-après (0, diamètre des barres en mm).

Remarque Le fait que crs ne soit pas limitée en cas de fissuration peu préjudiciable ne signifie pas pour autant que sa valeur « va atteindre des sommets ». En flexion simple, par exemple, si on calcule la contrainte de l'acier en service d'une section dimensionnée à l'état-limite ultime, on trouve que 0,51e::; crs::; 0,7 le.

1. Ou encore 85,2.Jij

~1 + !c28 10

2. Ou encore 68,2.Jij

~1 + !cZ8 . 10

en faisant appamitrek28 au lieu defr28.

256 Traité de béton armé Tableau 5.1. Règles BAEL: Valeurs de crs

Fissuration préjudiciable

Béton

Fissuration très préjudiciable

!c28 (MPa)

tt28 (MPa)

0~5,5

0~6

0~5,5

0~6

20

1,8

250

250

200

200

25

2,1

250

250

200

200

30

2,4

250

250

200

200

35

2,7

250

250

200

200

40

3,0

250

250

200

200

45

3,3

250

253

200

202

50

3,6

250

264

200

211

55

3,9

250

275

200

220

60

4,2

257

285

206

228

5.35

Prescriptions de l'EC2

Les vérifications relatives aux conditions de service sont définies par référence à : 1. une limitation des contraintes en service; 2. des états-limites de fissuration; 3. des états-limites de déformation. Les exigences vis-à-vis de la fissuration se réfèrent aux classes d'exposition définies dans le tableau 4.1.

5.351

Limitation des contraintes

Le calcul des contraintes est fait selon le cas: - soit en section homogène, si la contrainte maximale du béton en traction par flexion est inférieure à !c/m, - soit en section fissurée dans le cas contraire, en négligeant toute contribution du béton tendu.

5.351-1

Umltation de la contrainte du béton

Pour éviter l'apparition de fissures longitudinales, de microfissures ou un fluage élevé, à moins que d'autres mesures telles que l'augmentation de l'enrobage des aciers comprimés ou le confinement (frettage) du béton par un ferraillage transversal n'aient été prévues, la contrainte de compression du béton cre sous la combinaison d'actions caractéristique (§ 3.422-2) est limitée à 0,6!ck dans les zones susceptibles d'être exposées à des environnements des classes d'exposition XD, XF ou XS définies par le tableau 4.1.

Chapitre 5 • Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales 257 L'hypothèse d'un fluage linéaire ne peut être admise que si, sous la combinaison quasi permanente (§ 3.422-2), on a : cre:::; 0,45 !ck.

5.351-2

Umitation de la contrainte de l'acier

Afin d'éviter des déformations inélastiques, une fissuration ou des flèches inacceptables, la contrainte des armatures est limitée: - sous la combinaison d'actions caractéristique, à 0,8J;,h (ce qui n'est guère contraignant ; voir la remarque au § 5.342-2), - sous l'effet des déformations imposées seules, àfyk'

5.352

États-limites de fissuration

La vérification a pour objet de s'assurer que l'ouverture maximale calculée (Wk) des fissures n'excède pas une limite Wmax fixée en accord avec le client en fonction de la nature et de la destination de l'ouvrage et du coût résultant de cette limitation. Il y a là une différence sensible avec les Règles BAEL : celles-ci ne demandent pas un calcul de l'ouverture des fissures, estimant que les limitations de contrainte qu'elles proposent suffisent pour maintenir l'ouverture des fissures dans des limites acceptables (voir la remarque au § 1.345-3). En l'absence d'exigences particulières (telles que l'étanchéité par exemple), les valeurs de Wmax admises sous la combinaison quasi permanente des actions, sont: - 0,4 mm.pour les classes XO et XCI, - 0,3 mm pour les classes XC2, XC3, XC4, - 0,2 mm pour les classes XDl, XD2, XSJ, XS 2 et XS 3 • La limitation de l'ouverture des fissures est obtenue: - en prévoyant un pourcentage minimal d'armatures adhérentes déterminé de manière que la limite d'élasticité de l'armature ne soit pas atteinte avant la charge de fissuration; - en limitant les distances entre les barres et les diamètres de celles-ci. Se reporter au chapitre 15 pour le détail des prescriptions de l'EC2.

CHAPITRE 6 TRACTION SIMPLE

Ce chapitre se réfère exclusivement aux Règles BAEL.

6.1

DÉFINITION

Une poutre rectiligne est sollicitée en traction simple lorsque l'ensemble des forces extérieures agissant à gauche d'une section droite L est réductible au centre de gravité G de L à une force unique N (effort normal) perpendiculaire au plan de L et dirigée vers la gauche (figure 6.1). Dans une poutre rectiligne en béton armé sollicitée en traction simple ou « tirant », le centre de gravité des armatures est confondu avec le centre de gravité Go du béton seul. y

A

-----------+-------N

..

Forces

~~ ~~u~~ ____

.---------------;:.. x o G._ _ _ _ _ __

1-1

~L

8

Figure 6.1

260 Traité de béton armé

6.2

COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL DES ÉLÉMENTS SOUMIS À LA TRACTION SIMPLE

Dans ces éléments, le béton armé ne se comporte élastiquement que dans un domaine limité où la contrainte de l'acier reste faible par rapport aux contraintes correspondant aux états-limites de service. Si l'on fait croître l'effort de traction, l'élément, s'il n'est pas fragile (voir § 6.3), peut supporter des efforts normaux notablement supérieurs à ceux correspondant à l'allongement de rupture du béton à la traction (allongement unitaire de l'ordre de 80.10- 6), tout en restant apparemment intact, c'est-à-dire sans que l'on décèle à l'œil nu des fissures. Dans le cas de bétons possédant une bonne résistance à la traction et d'éléments comportant des armatures de faible diamètre très bien réparties dans la section, on peut atteindre des allongements de l'ordre de 1000 Il / m soit plus de dix fois l'allongement de rupture du béton, l'élément restant apparemment intact. Tout se passe comme si le béton s'allongeait sous effort de traction constant. Ce phénomène a été pendant longtemps désigné sous le terme d'« étirage du béton ». Mais ce comportement est en fait plus apparent que réel. En utilisant des moyens d'investigation plus perfectionnés que le simple examen visuel, l'observation attentive des éléments en béton armé montre que le béton apparemment non fissuré présente en réalité de fines fissures. Dès avant la Seconde guerre mondiale, de nombreuses études expérimentales avaient été entreprises sur les phénomènes de fissuration des éléments en béton armé, qu'il s'agisse de pièces tendues ou des parties tendues des pièces fléchies. On a pu observer que les fissures n'ont pas une ouverture constante et que ce n'est que lorsqu'elles atteignent une certaine ouverture critique en surface qu'elles se propagent jusqu'à l'annature. Vers 1960, panni d'autres auteurs, L.P. Brice a donné une théorie générale de la fissuration reposant sur des hypothèses simples: il admettait que l'adhérence est un phénomène de frottement et que la contrainte d'adhérence est constante le long d'une barre. Cette théorie, développée en annexe des Règles BA 1960 et reprise en annexe des Règles CCBA 68, était en accord satisfaisant avec l'expérience, malgré le caractère très aléatoire du phénomène de fissuration (position, développement, espacements et ouvertures des fissures). Elle conduisait à une expression de l'ouverture des fissures et permettait à l'inverse d'établir des formules limitant la contrainte des armatures en fonction des conditions imposées du fait du milieu ambiant, du diamètre des barres et de leur enrobage l . Cette théorie n'a pas été reprise dans les Règles BAEL, d'une part dans un but de simplification, d'autre part pour tenir compte du fait que les effets de corrosion éventuelle

1. Les problèmes relatifs à la fissuration du béton sont repris et développés au chapitre 15.

Chapitre 6· Traction simple 261 ne présentent pas le même caractère de gravité avec des armatures de faible diamètre ou avec des armatures de gros diamètre. L'état-limite de service des éléments soumis à la traction simple est ainsi défini par une limite imposée à la contrainte de l'acier en service (voir § 5.342) indépendante de certains des paramètres autrefois pris en compte (pourcentage d'armatures, par exemple).

6.3

CONDITION DE NON-FRAGILITÉ

La ruine d'un élément soumis à la traction simple survient (par déformation excessive) lorsque la contrainte des armatures atteint la valeur de la limite d'élasticité au droit d'une fissure largement ouverte. Il faut donc que la sollicitation provoquant la rupture du béton en traction et par là même sa fissuration, n'entraîne pas dans l'acier le dépassement de la limite d'élasticité (BAEL, art. A-4.2). Cette condition se traduit par : [6.1] avec: A

aire totale de la section des armatures longitudinales

B

a:ire« brute» de la section droite de béton (aire des armatures non déduite)

le lt2s

limite d'élasticité de l'acier résistance caractéristique à la traction du béton (tableau 5.1)

6.4

DÉTERMINATION DES ARMATURES LONGITUDINALES

Le béton tendu étant négligé, l'effort de traction doit être intégralement équilibré par les armatures longitudinales.

Données:

NII=:LYi N;

(voir § 3.42-1)

Nser=:LN;

(voir § 3.42-2)

(voir tableau 5.1)

262 Traité de béton armé Inconnue: Section A des armatures longitudinales.

6.41

Cas où la fissuration est considérée comme peu préjudiciable

Dans ce cas, le dimensionnement résulte uniquement de l'état-limite ultime. A = max [A,,;~J

Calcul de Au : À l'état-limite ultime, la droite des déformations est la verticale du pivot A (voir § 5.211-6). À l'allongement Es = 10 %0 des aciers correspond la contrainte led =le /1,15 (en général), d'où:

A

u

= Nu l'

[6.2]

Jed

Calcul de Amin

:

La condition de non-fragilité donne

6.42

Amin

=B

f't28 . Je

Cas où la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable

Pour le = 500 MPa etfc28 ~ 60 MPa, le dimensionnement résulte uniquement de l'état limite de service. Il faut prendre:

avec Aser 0's

= N ser crs

(m2 " MN MPa)

et

~in = BJt28

•

Je

est donné par les conditions de fissuration (tableau 5.1).

En effet, on ne pourrait avoir

A" > ~er

que si le rapport Nu / Nser était tel que

y= Nu > Je N ser 1,15 crs

En général, 1,35::::; Y~ 1,5. Compte-tenu des valeurs decr s

,

l'inégalité précédente ne peut être vérifiée dans le cas

des aciers Fe E 500. En effet, la plus grande valeur possible de

O's

est crs

=285 MPa et

Chapitre 6 • Traction simple 263 500 =1,53 > 1,50, ce qui implique que l'on a toujours Aser> 4, pour ces aciers, 1,15x 285 tant que!c28 ~ 60 MPa. La section A une fois déterminée, on en déduit le diamètre 0 des barres et le nombre m de barres nécessaires, en choisissant: - 0 ;::: 6 mm en cas de fissuration préjudiciable

- 0 ;::: 8 mm en cas de fissuration très préjudiciable. Ne pas oublier de prévoir les recouvrements éventuels ou bien des barres supplémentaires pour rétablir la continuité au droit des coupures des barres principales (voir § 4.614). Pour les armatures transversales, voir § 6.7.

6.5

DIMENSIONNEMENT (BÉTON ET ARMATURES)

Données:

Nu et Nser ,Ie,ft28,

Cf s

(tableau 5.1)

Inconnues: A etB. 1. Section A Avec des aciers Fe E 500 : - fissuration peu préjudiciable: A = Au - fissuration préjudiciable ou très préjudiciable A = Aser En déduire le diamètre 0 des barres et le nombre m de barres nécessaires, comme ciavant au § 6.4. 2. Section B Bien que n'intervenant pas dans le calcul, la section B de béton ne peut être choisie quelconque. Elle doit: ;- satisfaire à la condition [6.1] de non-fragilité:

- assurer l'enrobage des armatures (voir § 4. 12a) compte tenu des distances minimales règlementaires à respecter entre les barres (§ 4.13a).

264 Traité de béton armé - permettre de loger l'ensemble des barres nécessaires à l'équilibre en prévoyant éventuellement des barres supplémentaires pour rétablir la continuité au droit des coupures des barres principales (voir § 4.614). Pour les armatures transversales, voir § 6.7.

6.6

VÉRIFICATION DES CONTRAINTES EN SERVICE

Cette vérification se fait à partir de la section d'armatures réellement mise en place, une fois fixées les dispositions de celles-ci. Si la fissuration est peu préjudiciable, cette vérification est sans objet.

Données: Nser, B, diamètre 0 des barres, nombre total m de barres. Pour les définitions de se reporter aux § 4.612 et 4.33.

Ir

et

Is ,

Inconnue: O's

en service (O's.ser)

S'il s'agit de barres d'une seule longueur ou de cerces fermées (armatures de parois de réservoirs circulaires par exemple) dont les extrémités se chevauchent sur la longueur ln les m barres sont utiles et

n0 2

A=m-4

Si certaines barres sont coupées et si l'on rencontre p coupures sur une longueur de tirant égale à la longueur Is , il n'y a que m - p barres utiles (voir § 4.614) et: 2

n0 A={m-p}-

4

II faut vérifier A ;?: B lm/le. Si oui, on a (béton tendu non pris en compte) : N

O's,ser

. II faut

O's,ser

ser =A

~ O's' 0' s fixée par les conditions de fissuration (tableau 5. 1).

Chapitre 6 • Traction simple 265

6 .. 7

ARMATURES TRANSVERSALES DES TIRANTS

a) Diamètre 0 t : si ces armatures transversales sont: - des barres HA: 0

o

1

~-[

- des fils tréfilés HA : 0

3 1

~ 0[ 4

0, diamètre des armatures longitudinales à maintenir. b) Espacement St St ~

a, avec a, petit côté de la section - dans une zone de chaînage (recouvrements) : armatures de couture, voir § 4.613.

- en zone courante:

6.8

FERRAILLAGE D'UN TIRANT (EXEMPLE)

B ... __ .1

A ... --.1 '--

'V'"

Zone de chaînage

CoupeAA (Zone courante)

.",

Zone courante

CoupeBB (Zone de chaînage)

Figure 6.2

CHAPITRE 7 FLEXION SIMPLE

Même si les méthodes exposées dans ce chapitre constituent plutôt une application des Règles BAEL, elles sont aisément transposables à l'EC2 dont les hypothèses diffèrent peu de celles des Règles BAEL (voir § 5.212 ; § 5.221b ; § 5.222 et § 7.7).

7.1

DÉFINITION

Une poutre à plan moyen, c'est-à-dire «à plan de symétrie », est sollicitée en flexion plane simple lorsqu'elle est soumise à l'action de forces contenues dans des plans normaux à la ligne moyenne et disposées symétriquement par rapport au plan moyen, ou à l'action de couples d'axes perpendiculaires à ce plan. Il en résulte que lorsqu'une poutre à plan moyen est sollicitée en flexion plane simple, l'ensemble des forces ou couples appliqués à gauche d'une section droite L est réductible au centre de gravité G de L à (figure 7.1): - un couple M d'axe perpendiculaire au plan moyen (moment fléchissant) ; - une force V située dans le plan de L et dans le plan moyen (effort tranchant). y

-------------1+== x

Forces de gauche

--------------=== Figure 7.1 Les effets de M et ceux de V sont étudiés séparément (mais voir § 16.112) :

268 Traité de béton armé - si M est positif, ce qui est en particulier le cas des sections en travée des poutres, continues ou non, soumises à des charges de pesanteur, la partie supérieure de la section est comprimée, la partie inférieure est tendue (se reporter à la figure 1.1) ; - si M est négatif, ce qui est en particulier le cas des sections sur appuis des poutres continues soumises à des charges de pesanteur et de toutes les sections des consoles ou parties en porte à faux de poutres, la partie supérieure de la section est tendue, la partie inférieure est comprimée (se reporter à la figure 1.1).

7.2

COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL DES ÉLÉMENTS EN BÉTON ARMÉ SOUMIS À LA FLEXION SIMPLE

7.21

Dispositifs expérimentaux

Les essais sur éléments fléchis sont généralement réalisés en appliquant à des poutres reposant sur deux appuis simples des systèmes de charges concentrées (deux pour les éléments de portée relativement faible) égales et symétriquement disposées. Il est en effet assez difficile de réaliser pratiquement des charges réparties. Le dispositif de transmission des charges (figure 7.2) comporte généralement un linteau de répartition en profilé métallique, de poids G" reposant sur deux appuis supérieurs, et recevant les efforts appliqués par un vérin hydraulique par l'intermédiaire d'une rotule sphérique. Les appuis des poutres, comme ceux du linteau de répartition, sont rendus rigoureusement libres au moyen de rouleaux à roulement à billes et de plaquettes. Ainsi est-on assuré que les réactions des appuis sont bien verticales. Toutefois, ce système étant très instable par suite de l'absence presque totale de forces de frottement, la course des appuis inférieurs doit être limitée. Po (charge au vérin)

Figure 7.2

Chapitre 7 • Flexion simple 269 Dans la partie comprise entre les deux charges, de longueur (l - 2a), la poutre est soumise à un moment de flexion sensiblement constant (au moment dû au poids propre près) et à un effort tranchant nul (à l'effort tranchant dû au poids propre près). C'est la sollicitation dite « de flexion circulaire ». Le moment de flexion constant vaut l

:

avec: g

poids propre de la poutre

Q=Po+Gl Po charge appliquée sur le vérin par la machine d'essai G1 poids propre du linteau de répartition et des appareils d'appui de celui-ci. Pour a = 1/4 , on a donc :

c'est-à-dire que ce moment a même valeur que le moment maximal dans une poutre uniformément chargée de q = g + Q/ 1par unité de longueur. Dans les sections comprises entre les appuis et les points d'application des charges, l'effort. tranchant est sensiblement constant (à l'effort tranchant dû au poids propre près), et vaur :

Lorsque l'on veut étudier les conditions de résistance aux moments de flexion, on doit prendre toutes dispositions pour que la poutre ne se rompe pas par effort tranchant entre les charges et les appuis. Dans ces conditions, la rupture survient pratiquement toujours entre les charges. Lorsque l'on fait des essais de recherche, il est indispensable de déterminer exactement les caractères mécaniques : a) des armatures longitudinales et, le cas échéant, des armatures d'âme (limite d'élasticité, résistance à la traction avec, si possible, enregistrement des diagrammes contraintes-allongements) ;

1.

2.

En fait, pour a $x $/- a: M= [gx (/-x) + Qa]!2. En fait, pour x $ a ou x ~ / - a : V = ± [g/ (1 - 2x Il) + Q] /2.

270 Traité de béton armé b) du béton (résistances à la compression et à la traction au jour de l'essai). De plus, les dimensions exactes des poutres et la hauteur utile exacte de chaque barre sont relevées après chaque essai.

7.22

Essais de poutres sous moment constant

De très nombreux essais ont été effectués sur des éléments en béton armé fléchis. Notamment, dans les années 50-60, des programmes expérimentaux systématiques ont été réalisés tant en France - sous l'égide de la Chambre syndicale des constructeurs en ciment armé et des autres organismes techniques professionnels - que dans la plupart des pays étrangers, en particulier dans le cadre des recherches entreprises par le CEB. Au départ, les études expérimentales avaient plus spécialement pour objet: 1°) d'observer le processus du développement des phénomènes de fissuration sous charges croissantes et de rechercher une théorie susceptible de rendre compte des phénomènes observés ; 2°) de mesurer les flèches sous charges croissantes et de rechercher des formules permettant de prévoir ces flèches ; 3°) de déduire, des ruptures observées, les coefficients de sécurité réels auxquels conduisait l'application des méthodes réglementaires. Par la suite, on a cherché à déterminer l'évolution de la répartition des contraintes dans les sections les plus sollicitées.

7.221

Cas des poutres comportant un pourcentage « moyen » d'armatures tendues

II s'agit du pourcentage géométrique (A / bod, notations: figure 7.23) supposé, pour fixer les idées, inférieur à 2 % et même de l'ordre de 1 à 1,5 %. Pour déceler plus facilement l'apparition des fissures, les poutres sont, avant essai, badigeonnées au lait de chaux sur leurs faces latérales. Le film ainsi déposé, n'ayant pas d'élasticité propre, ne risque pas de masquer le phénomène que l'on veut observer. Sauf cas exceptionnels correspondant à des phénomènes de retrait anormaux, un examen attentif ne révèle pas de fissures tout au début du chargement. Après cette phase où la poutre est apparemment intacte, les charges croissant, on consta. te l'apparition de fissures à la partie inférieure de la poutre, dans sa zone centrale. Ces fissures sont normales à l'axe longitudinal de la poutre: elles intéressent la face tendue et les faces latérales jusqu'à une certaine hauteur (figure 7.3a). L'observation de ces premières fissures perceptibles à l'oeil nu dépend notamment:

Chapitre 7 • Flexion simple 271 - de l'état de surface des poutres essayées: surface plus ou moins lisse résultant du soin apporté à la confection du coffrage et à la mise en oeuvre du béton, badigeonnage des faces au lait de chaux ou non ; - des conditions d'éclairement: intensité de la source lumineuse et incidence ; - de l'acuité visuelle et, il faut bien le dire, d'un certain entraînement des expérimentateurs. Sur des poutres dont les faces ont été badigeonnées au lait de chaux et intensément éclairées, des expérimentateurs exercés décèlent des fissures extrêmement fines, qui échapperaient à un examen, même minutieux, dans les conditions usuelles de service. L'ouverture des premières fissures perceptibles à l'oeil nu est de l'ordre de 1/20 et même 1 / 50 mm ; ce sont donc, au sens propre, des fissures capillaires. De telles fissures peuvent se produire sous des charges d'essai nettement inférieures aux charges de service, et correspondant à des contraintes des armatures (calculées avec les hypothèses des états-limites de service) inférieures à 10 MPa. Il faut donc admettre qu'il existe normalement des fissures capillaires dans les ouvrages en service. Ce fait a été reconnu dès 1960 dans les textes réglementaires, puisque l'on peut lire à l'article 0,3 des Règles BA 1960 : « Les fissures sont la conséquence du fonctionnement mécanique normal de l'ouvrage; elles ne compromettent ni sa résistance, ni sa durabilité, si elles restent assez fines pour que, du fait de leur existence, les armatures ne soient pas exposées à la corrosion dans les conditions d'exploitation de l'ouvrage. Sous l'action des charges et surcharges de service, un ouvrage en béton armé peut donc se présenter comme un ensemble de blocs de béton prenant appui les uns sur les autres et reliés entre eux par les armatures. C'est cet ensemble, désigné dans ce qui suit sous le nom de «système fissuré », qui doit être pris en considération dans les calculs de résistance ». Quand les charges continuent d'augmenter, le nombre de fissures s'accroît, l'ordre dans lequel elles apparaissent successivement étant quelconque. Leur ouverture et leur hauteur croissent également aussi bien pour les fissures déjà existantes que pour les fissures nouvelles. Celles-ci recoupent assez régulièrement l'intervalle entre les fissures initiales ce qui est conforme aux prévisions des théories de la fissuration (figure 7.3b).

272 Traité de béton armé

•

Apparition de fines fissures verticales dans la zone des M maximaux

•

Formation de nouvelles fissures et accentuation des premières

Figure 7.3

L'ouverture des fissures ne dépend pas uniquement de la contrainte des barres mais également de leur diamètre, de leur état de surface et des conditions d'enrobage. Avec des barres comportant des traces profondes d'oxydation, pourvu qu'elles soient débarrassées de la rouille non adhérente, les fissures sont plus nombreuses et moins ouvertes toutes choses égales par ailleurs - qu'avec des barres non oxydées.

7.221-1

Cas des poutres armées de ronds lisses

Dans ce cas, lorsque la contrainte calculée de l'acier approche la limite d'élasticité, les fissures s'ouvrent notablement et se propagent vers la partie supérieure de la poutre. Une fissure, parfois deux ou trois fissures voisines s'ouvrent nettement plus que les autres et accentuent davantage leur progression vers la partie supérieure de la poutre, ce qui a pour effet de réduire de plus en plus la hauteur de la zone comprimée de la section correspondante. Finalement la ruine de la poutre survient par écrasement progressif du béton comprimé consécutif à l'allongement excessif des armatures, dans une région de la zone de moment constant qu'il n'est pas possible de prévoir avant les dernières phases de l'essai, et dont l'emplacement relève du hasard (figure 7.4).

Chapitre 7 • Flexion simple 273

Figure 7.4 La poutre accuse une déformation accentuée au droit des fissures les plus ouvertes et présente après rupture un aspect en V caractéristique, dont les deux branches semblent s'articuler sur le béton comprimé. Les phénomènes observés au cours de l'essai peuvent s'expliquer ainsi: a) La formation d'une ou de très larges fissures implique de part et d'autre de celles-ci des glissements locaux importants des barres par rapport au béton. Or dans une zone de moment constant c'est-à-dire d'effort tranchant nul, les forces qui tendent à faire glisser l'acier par rapport au béton sont nécessairement très petites (voir § 12.92), c'est donc que l'adhérence est devenue très faible: de ce fait, deux parties de poutre séparées par une fissure peuvent tourner l'une par rapport à l'autre, ce qui amène la rupture du béton par compression sur leur arête de contact commune. b) Lorsque l'acier commence à s'allonger plastiquement, il se produit une contraction transversale importante (par effet Poisson), ce qui diminue l'adhérence. La contraction latérale qui amène la disparition de l'adhérence est atteinte en un point du diagramme de traction situé sur le palier de ductilité. D'où la contrainte de l'acier à la rupture de la poutre, égale à la limite d'élasticité. Ainsi, la ruine de la poutre survient lorsque l'acier atteint son palier de ductilité, par écrasement du béton comprimé au-dessus de la ou des fissures les plus ouvertes, cet écrasement étant consécutif à l'allongement excessif des armatures. Pour cette raison, bien que l'acier demeure continu et que la rupture survienne par écrasement du béton, on dit que l'on a affaire à une « rupture par l'acier» (qui, d'après ce qui a été dit ciavant, est plutôt une rupture d'adhérence). Il convient de noter qu'avec un pourcentage normal d'armatures, on n'obtient jamais la ruine de la poutre par rupture de ses armatures. Cette rupture ne pourrait se produire que dans le cas de pourcentages très faibles tels que la résistance à la traction de l'acier tendu soit inférieure à celle du béton de la poutre en section homogène: pour . des poutres ainsi constituées, lorsque la résistance à la traction du béton est atteinte, les armatures ne peuvent plus assurer la résistance aux efforts de traction, et la rupture se produit brutalement. Il faut absolument éviter que les constructions en béton armé ne comportent de tels éléments fragiles; c'est pour cette raison que les Règles imposent toujours le respect d'un pourcentage minimal dans les éléments tendus (tirants) ou fléchis (poutres et dalles) (voir art. A-4.2 des Règles BAEL 91).

274 Traité de béton armé

Remarque: Au cours de certains essais de poutres faiblement armées, on a pu observer des phénomènes « d'hyper-résistance ». On appelle ainsi les phénomènes où les résistances en flexion, constatées au cours d'un essai, excèdent celles qui résultent de l'application des hypothèses de calcul. Lorsqu'on observe une« hyper-résistance », le moment de rupture calculé en supposant que l'acier a atteint sa résistance à la traction avec un bras de levier des forces internes maximal (physiquement impossible) égal à la hauteur de la poutre, demeure encore très inférieur au moment de rupture réellement observé. R Chambaud (voir bibliographie au § 1.632 à la fin du chapitre 1) explique ces phénomènes par le fait que la striction et le glissement des fibres d'acier se trouveraient gênées par l'enrobage de l'enveloppe de béton comme si l'acier demeurait entouré d'une gaine de béton non fissuré, et participant à la résistance.

7.221-2

Cas des poutres années de barres à haute adhérence

Dans ce cas, le processus de développement des fissures appelle les remarques suivantes: - en premier lieu, il est difficile de noter, à pourcentage d'armatures égal, un avantage marqué résultant de l'emploi de barres HA par rapport aux ronds lisses, quant à l'apparition des premières fissures, mais ce point est sans grande importance pratique; - les fissures sont, en revanche, normalement plus nombreuses avec les barres HA, mieux réparties et nettement moins ouvertes, à égalité de contrainte, et c'est là précisément que réside l'avantage essentiel de l'utilisation de ces barres. Approximativement, la contrainte calculée qui provoque une valeur moyenne W m donnée d'ouverture des fissures est, avec des barres HA, supérieure de près de 60 % à celle correspondant à des ronds lisses (voir § 2.382-1 b). Ici encore, les fissures s'ouvrent et se propagent vers la partie supérieure de la poutre, mais la rupture d'adhérence ne peut plus se produire sur d'aussi grandes longueurs que dans le cas des ronds lisses. On voit alors, dans la région qui sera celle de la rupture, s'ouvrir plus largement quelques fissures; l'ouverture de chacune de ces dernières demeure toutefois beaucoup plus faible que dans le cas des ronds lisses. Ainsi, la rotation mutuelle des deux parties de la poutre qui amène la rupture se répartit sur plusieurs fissures au lieu de se concentrer sur une seule.

La ruine se produit encore par l'acier l , avec écrasement progressif du béton comprimé, consécutif à l'allongement excessif des armatures, mais cette fois la poutre rompue présente une courbure continue (sans cassure accentuée) ; la rupture intéresse plus une zone qu'une section et par suite de phénomènes secondaires dans la phase finale de l'essai, la zone rompue est bordée de deux surfaces de fracture formant un X ou un Y selon le cas (figures 7.5 et 7.6).

1.

Les essais montrent que lorsqu'il s'agit de ruptures «par l'acier », les charges qui provoquent la rupture d'une poutre sont peu influencées par une variation même importante de la résistance à la compression du béton.

Chapitre 7 • Flexion simple 275

Figure 7.5

Figure 7.6

7.222

Cas des poutres comportant un pourcentage « élevé» d'armatures tendues

II s'agit d'un pourcentage géométrique supérieur à 3 % environ. Dans ce ,cas, la fissuration garde jusqu'à la fin une apparence normale, les fissures étant relativement peu ouvertes et peu développées, et la rupture survient assez brusquement par écrasement du béton. Lorsqu'il n'y a pas d'armatures comprimées ou lorsque le pourcentage de celles-ci est très faible, on peut parfois avoir des ruptures extrêmement brutales (rupture «en coup de canon »), qui intéressent une large zone; si la poutre ne comporte pas d'armatures d'âme dans cette zone (où M étant pratiquement constant, V:::: 0) il peut y avoir détachement d'un bloc de béton important (figure 7.7).

Figure 7.7

On dit que l'on a affaire à une «rupture par le béton ». La contrainte de l'acier au moment de la rupture est inférieure à sa limite d'élasticité. L'acier est donc mal utilisé et les poutres de ce type ne sont absolument pas économiques.

276 Traité de béton armé La présence d'annatures comprimées dans la section de rupture a une influence favorable non seulement sur la valeur du moment de rupture mais sur le caractère plus progressif de celle-ci, sous réserve que ces annatures comprimées soient empêchées de flamber par des annatures transversales suffisamment rapprochées (ce cas est celui normalement rencontré pour les sections sur appuis des poutres continues, sections généralement rectangulaires soumises à des moments de flexion négatifs). En anticipant sur ce qui suit (voir § 7.511), on peut dire que les ruptures par l'acier sont celles qui se produisent pour des poutres dont le calcul a été conduit à l'état-limite ultime soit au pivot A, soit au pivot B avec /-lbll ~ /-l/II (voir § 7.513) alors que les ruptures par le béton sont celles qui se produiraient pour des poutres dont le calcul à l' étatlimite ultime aurait été conduit au pivot B, avec /-lb" » /-l/II' sans prévoir d'aciers comprimés.

7.3

NOTATIONS ET TERMINOLOGIE

Dans ce qui suit, on utilise les notations et la terminologie suivantes (figure 7.8) :

~~~

, . ....A.;.?--;?-""-

t-

d: --- -:o~:

-------~~,-~~E~bC77'7

comprimée Axe neutre ----------------/ Zone tendue

/

1

/

/

/

-- --------------------- ---- - - - - -Figure 7.8 A

aire des armatures tendues

A'

aire des armatures comprimées éventuelles

cf

distance de leur centre de gravité aux fibres les plus comprimées

B'

aire du béton comprimé

BI

aire de la zone comprimée homogène: BI

h

hauteur totale de la section

y

hauteur de l'axe neutre

= B'+ 15A'

Chapitre 7 • Flexion simple 277 On appelle: - hauteur utile d: la distance du centre de gravité des armatures tendues, supposées concentrées en leur centre de gravité, aux fibres les plus comprimées de la section. - bras de levier z : la distance entre la résultante Fbsc> des efforts de compression dans le béton comprimé et dans les armatures comprimées d'une part et la résultante Fs des efforts de traction dans les armatures tendues d'autre part. - axe neutre: l'axe qui sépare la zone comprimée de la zone tendue, et où les déformations du béton sont nulles.

7.4

PRINCIPES GÉNÉRAUX DU CALCUL EN FLEXION SIMPLE OU COMPOSÉE

En flexion simple ou composée, la détermination des sections d'armatures, le dimensionnement ou la vérification des sections peuvent découler: • soit d'un calcul à l'état-limite ultime de résistance, • soit d'un calcul aux états-limites de service; pour ceux-ci, il peut s'agir: - ou bien de l'état-limite de compression du béton (BAEL, art. A-4.5,2) caractérisé par la limitation à 0,6!cj de la contrainte de compression du béton (par exemple, pour !cj =!c28 = 25 MPa,

O'be

= 15 MPa) ;

- ou bien des états-limites d'ouverture des fissures (BAEL, art. A-4.5,3) caractérisés, pour les cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable uniquement, par une limitation de la contrainte de traction de l'acier tendu, aux valeurs indiquées dans le tableau 5.1.

7.41

Données générales concernant l'état-limite ultime de résistance

À l'état-limite ultime de résistance sous sollicitations normales (voir § 5.2) :

1°) les sollicitations agissantes ultimes sont Mu et Nil (en flexion simple, Nu = 0) ; 2°) les diagrammes déformations-contraintes du béton et de l'acier sont ceux donnés au § 5.22; ·3°) pour le dimensionnement, le diagramme des déformations est supposé passer soit par le pivot A (Es = 10 %0), soit par le pivot B (êbe = 3,5 0/00), soit encore par le pivot C (êbc = 2 0/00 sur la fibre située aux 3/7 de la hauteur totale). Dans le cas de la flexion simple, seuls peuvent intervenir les pivots A et! ou BI.

l.

La «justification» réglementairement exigée consiste à faire la preuve qu'aucune des déformations limites n'est dépassée.

278 Traité de béton armé

7.411

Différents aspects de la distribution des contraintes de compression du béton

Quand le pivot (A, B ou C) est connu, la distribution des déformations et donc des contraintes ne dépend plus que d'un seul paramètre (par exemple a =y / d ou al

= y/h, avec y

hauteur de l'axe neutre à l'état-limite ultime). Du fait de l'hypothèse

de Bernoulli, le raccourcissement êç d'une fibre quelconque est proportionnel à sa distance yç à l'axe neutre; suivant le pivot, la distribution des contraintes du béton comprimé affecte l'une des formes suivantes (figure 7.9).

•

PivotA

•

PivotS

•

pivote

~b

= 0,85 U

Figure 7.9

e

fc2S Yb

Chapitre 7 • Flexion simple 279 Le cas a) est celui du pivot A, région 1 : la distribution des contraintes correspond à un diagramme parabole-rectangle tronqué (<< vers le haut») limité soit à un arc de la parabole, soit à la parabole complète plus une fraction seulement de la partie rectangulaire. Le cas b) est celui du pivot B, région 2 : la distribution des contraintes correspond au diagramme parabole-rectangle complet. Le cas c) est celui du pivot C, région 3 : la distribution des contraintes correspond au diagramme parabole-rectangle doublement tronqué (<< vers le haut» et« vers le bas »).

7.412

Moments frontières; définition du pivot

Pour une section à deux nappes d'armatures (figure 7.8), on appelle «momentsfrontières» les moments MAB et MBc de la résultante F bc des forces élémentaires s'exerçant sur le béton comprimé, évalués par rapport aux aciers les plus tendus ou les moins comprimés, lorsque le diagramme des déformations occupe les positions frontièresAB ou Be. Ces moments s'obtiennent en prenant respectivement les valeurs y = 0,259 d ou y = h (voir § 7.431-1) comme borne supérieure de l'intégrale des relations [7.8 b] ou [7.9 b] selon le cas. Soit MuA le moment agissant ultime, évalué au centre de gravité des aciers les plus tendus ou les moins comprimés. En l'absence d'aciers comprimés (A' = 0), le dimensionnement doit être conduit au moyen des équations correspondant: - au pivo~ A, si MuA ~ MAB au pivot B, si MAB < MI/A

~

MBc

- au pivot C, si MuA> MBc Si la section comporte, du côté le plus comprimé, une section d'armatures imposée, le moment de la force Fsc correspondante par rapport aux aciers les plus tendus ou les moins comprimés doit être déduit de MuA avant la comparaison avec MAB ou MBc. Cependant, la référence aux moments-frontières n'est pas toujours indispensable, et il n'est donc pas toujours nécessaire de les calculer (voir par exemple § 7.511-2). Pour déterminer les moments-frontières d'une section rectangulaire, voir § 7.511-2 ou § 8.331. Pour une section avec une distribution d'armatures quelconque (figure 7.9), voir la note au § 8.621.

7.42

Données générales concernant les états-limites de service

Aux états-limites de service sous sollicitations normales (voir § 5.3). 1. les sollicitations agissantes de service sont

Mser

et N ser

2. les diagrammes déformations-contraintes sont linéaires : - pour l'acier:

as = Es Es avec Es = 2.105 MPa

280 Traité de béton armé - pour le béton: abc = Eb êbc ou, puisque conventionnellement n

= Es = 15 , on arrive à Eb

3. pour le dimensionne ment, le diagramme des contraintes est supposé passer soit par le pivot« a »( as

7.421

= as

),

soit par le pivot b (abc

=abc )1.

Différents aspects de la distribution des contraintes

Quand le pivot (<< a » ou « b ») est connu, la distribution des contraintes ne dépend plus que d'un seul paramètre (par exemple, al

=II avec YI d

hauteur de l'axe neutre à l'état-

limite de service). Du fait de l'hypothèse de Navier, la contrainte aÇ d'une fibre quelconque est proportionnelle à sa distance yç à l'axe neutre; suivant le pivot, on peut avoir l'un des deux cas suivants (figure 7.10).

«a»

0"5/15

Figure 7.10 Le cas a) est celui du pivot « a» : la contrainte de l'acier le plus tendu est supposée atteindre la valeur limite as' La fibre de béton la plus comprimée est soumise à une contrainte abc < abc' Le cas b) est celui du pivot « b » : la contrainte maximale du béton comprimé est supposée atteindre la valeur limite abc' L'acier situé dans la zone tendue est soumis à une . contrainte

as < as .

1. La «justification» réglementairement exigée consiste à faire la preuve qu'aucune des contraintes limites n'est dépassée.

Chapitre 7· Flexion simple 281

7.422

Moment frontière (moment-résistant béton) ; définition du pivot

Pour une section à deux nappes d'armatures (figure 7.10), on appelle «momentrésistant-béton» le moment Mab de la résultante Fbc des forces élémentaires s'exerçant sur le béton comprimé, évalué par rapport aux aciers les plus tendus ou les moins comprimés, lorsque le diagramme des contraintes occupe la position frontière ab. Dans cette position, la contrainte limite abc

as

de l'acier en service et la contrainte limite

du béton comprimé en service sont atteintes simultanément. La hauteur de l'axe

neutre prend la valeur YI définie par la relation [7.4]. Le moment-résistant béton s'évalue en prenant cette valeur YI comme borne supérieure de l'intégrale de la relation [7.8 b]. Soit M ser A le moment agissant ultime, évalué au centre de gravité des aciers les plus tendus ou les moins comprimés. En l'absence d'aciers comprimés (A' = 0), le dimensionnement doit être conduit au moyen des équations correspondant:

= as, si M serA ::::; Mab

- au pivot« a» :

as

- au pivot« b» :

abc

=abc' si UserA> Mab

Si la section comporte, du côté le plus comprimé, une section d'armatures imposée, le moment de la force F sc correspondante par rapport aux aciers les plus tendus ou les moins comprimés doit être déduit de Uer A avant la comparaison avec Mab. Pour déterminer le moment-résistant béton d'une section rectangulaire l , voir § 7.531.

7.43

,

Equations générales de la flexion pour une section à deux nappes d'armatures

Soit une section de forme quelconque, à plan moyen, comportant une nappe d'armatures inférieures et éventuellement, une nappe d'armatures supérieures. La résistance à la traction du béton tendu étant négligée, dans toute zone où le béton est tendu, les efforts de traction doivent être intégralement équilibrés par les armatures. Pour résoudre tout problème de flexion simple ou composée soit à l'état-limite ultime soit à l'état-limite de service, on dispose et on dispose seulement de trois systèmes d'équations à savoir: -les équations de «compatibilité» (des déformations dans le cas de l'ELU, des contraintes dans le cas de l'ELS) exprimant la conservation des sections planes (relations de triangles semblables) ;

1. Dans le calcul des sections rectangulaires, on a conservé la notation traditionnelle Mrb au lieu de M"b ici.

282 Traité de béton armé • les deux équations de la Statique: - équilibre des forces, - équilibre des moments. Ces trois équations permettent à elles seules de résoudre le problème, lorsqu'il n'y a que 3 inconnues (en général hauteur de l'axe neutre, contrainte et section des armatures tendues). S'il yan inconnues (n > 3), il faut s'en fixer n - 3 a priori et le problème comporte alors plusieurs solutions; l'une d'entre elles seulement constitue la solution la plus économique l , mais il n'est pas toujours aisé de la déterminer. Conformément à l'usage, dans ce qui suit, les déformations et les contraintes du béton et de l'acier sont prises en valeur absolue.

7.431

Équations de compatibilité

7.431-1

Cas de l'état-limite ultime

a) Déformations de fibres particulières Soit : Che

le raccourcissement ultime du béton comprimé

Esc

le raccourcissement des aciers les moins tendus ou les plus comprimés (s'il yen a)

Es

l'allongement des aciers les moins comprimés ou les plus tendus

y

.la hauteur de l'axe neutre

Aux pivots A et B on a, de façon générale (figure 7.11) :

l'-----------f--i:~ 1

.1_____ .•

Eh c

=~=~ y-d'

d- y

ou

d

L_~ Figure 7.11

1. Attention: s'il entraîne des complications à la mise en œuvre, le minimum mathématique ne correspond pas nécessairement à un optimum économique (voir § 16.4)

Chapitre 7 • Flexion simple 283 La position frontière AB correspond à Ebc = 3,5 %0 et Es = 10 %0 d'oùy = 0,2593 d. La position frontière Be correspond à y

=

h.

En posant a = L, ô' = d' , al = y et ô' 1= d' les équations de compatibilité s'écrivent d d h h (figures 7.12, 7.13 et 7.14): - au pivot A (Es

y=ad

= 10 %0)

----1

Pour a< ô': d'=ô'd ebc

----

-

1

esc

-1---- 1 d

A ( 4 F 7 - - - - - - - - ' _____________

t

10 ô'-a

E

---

he

[7.0]

=---1000 l-a

Pour ô' < a ~ 0,259 : E

•

10 a =----

[7.1a]

10 a-ô' =----

[7.1b]

10001-a

he

E

1000 l-a

sc

Figure 7.12 - au pivot B (Ebc = 3,5 0/00)

10 ) 0,2593 < a

~

1 E.

• d'

T--:~t±~~

.1 ____

E sc

=~ l-a =~(~-1)

[7.2a]

=~ a-ô' =~(1- ô')

[7.2b]

1000

1000

a

a

1000 a

1000

a

",-3,5" •

2°-1
1 enposantô/=d/h);

notations de la figure 7.13 : .oC..----....!

- acier le plus comprimé,

ô:

1

•

Figure 7.13

= d' / h

: [7.2c]

- acier le moins comprimé:

_ 3,5 al -ô, Esc2 - 1000 al

[7.2d]

284 Traité de béton armé - au pivot C : a rel="nofollow"> h / d (ou a f > 1)

Ebc1

=~ =

al

al -1

Esc!

al -8~!

[7.3]

•

Figure 7.14

d'où il est facile de tirer les valeurs respectives de

EbcI. Ebc2,

Esc!,

Esc2'

b) Déformation et contrainte d'une fibre de béton comprimé quelconque Le pivot, et donc a (;:::: 0), étant supposés connus, le raccourcissement maximal du béton Ebc (ou Ebc!) est donné par les équations de compatibilité. Une fibre de béton quelconque, située à une distance yç de l'axe neutre subit une déformation relative Eç telle que

~ = Ebc Yç

ou encore, en posant

y

~ = a Ç : ~ = Ebc aÇ

cl

a

•

La contrainte crç de la fibre considérée se déduit de Eç au moyen du diagramme parabole-rectangle (figure 7.15).

o Axe neutre

1..

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e---,-I-:--_~I,--::----::;..> 3 El;; ..1 2.103,5,10-3

Figure 7.15

EtJc

Chapitre 7 • Flexion simple 285

7.431-2

Cas des états-limites de service

a) Contraintes de fibres particulières Soit: crbc

la contrainte du béton sur la fibre la plus comprimée

crsc

la contrainte des aciers les moins tendus ou les plus comprimés (s'il yen a)

crs

la contrainte des aciers les moins comprimés ou les plus tendus

YI

la hauteur de l'axe neutre

On a, de façon générale (figure 7.16) :

rY;[---~:-~"--'----".crsc~~

L,,------, Figure 7.16 crbc

crs

cr sc

~ = 15 (YI -d') = 15 (d - YI) La position frontière ab correspond à

ou, en posant al

=1l :

crbc

15 crbc

=-==-==

al

d

= crbc , et crs = crs d'où:

[7.4]

15 crbc + cr.t

En posant encore B'= d' , les équations de compatibilité s'écrivent: d • au pivot« a» (crs = crs ) -pour al ::;;0:

_-lall+B' cr sc -

cr,

.

II'V 1 (tractIon)

. 1+ lU,I

[7.5]

286 Traité de béton armé - pour 0 < al :::; al (avec al

= XL) : d

[7.6a]

cr sc

a -Ù' =crs 1 l-al

[7.6b]

(compression)

-1-a -(1

cr s =15crbc - -1 =15crbc --1 al

J

[7.7a]

al

[7.7b]

-a

crscI = 15 crbc

-Ù' 1

al crsc2

.

- a -1

= 15 crbc

_1_

al

= 15

crbc

ù'

(1--) , acier le plus comprimé al

1 =15-crbc (1--)

[7.7c]

[7.7d]

al

b) Contrainte d'une fibre de béton comprimé quelconque

La distribution des contraintes est triangulaire. Le pivot et donc al (;::: 0) étant supposés connus, la contrainte maximale du béton crbc est donnée par les équations de compatibilité. Une fibre de béton quelconque, située à une distance yç de l'axe neutre subit une contrainte crç telle que:

crr

cr yr cr = ~ ou encore, en posant -'> = ç : crç = ~ç Yç YI d al

-'>

7.432

Équations d'équilibre

Données: Forme et dimensions de la section Sollicitations agissantes N, MA rapportées au centre de gravité des aciers les plus tendus ou les moins comprimés (N". MuA à l'état-limite ultime: Nsen MserA aux états-limites de service).

Chapitre 7 • Flexion simple 287

Inconnue: Section A des aciers les plus tendus ou les moins comprimés (si la section A' des aciers les moins tendus ou les plus comprimés est connue) ou réciproquement. Dans ce qui suit, on suppose que A' est connu et A inconnu. Les équations indiquées sont valables aussi bien à l'état-limite ultime qu'aux états-limites de service puisqu'il s'agit des équations résultant de la Statique; il suffit de considérer la distribution convenable des contraintes de compression du béton: parabole-rectangle tronqué ou non pour l'état-limite ultime, triangle pour les états-limites de service (figure 7.17).

E.L.u.

E.L.S.

Figure 7.17 1°) Valeurs de la résultante F he des efforts de compression sur la zone comprimée et de son bras de levier Zb par rapport aux aciers les moins comprimés ou les plus tendus.

288 Traité de béton armé Si bç est la largeur de la section à la distance Yç de l'axe neutre, on a, en rappelant l que a= y et d

ç = Yç

:

d a

y

Fbc

= fbçCiçdyç =d fbçCiçdÇ o

[7.8 a]

0

Le moment de cette force par rapport aux aciers les plus tendus (ou les moins comprimés) est: a

y

M bA

2

= fbçCiç(d-y+yç)dyç =d fbçCiç(l-a+Ç)dÇ o

[7.8 b]

0

Le bras levier est:

On peut poser Zb = d - oGY, en appelant oGY la distance du point de passage la fibre la plus comprimée de la section.

Ob

de F be à

Dans le cas de l'état-limite ultime, si on utilise le diagramme rectangulaire, on a Ciç =fim sur la hauteur 0,8 Y (BAEL) et les expressions précédentes deviennent: O,8a

O,8y

F;,e

=1;,,,

fbçdyç

=d 1;,,,

o

[7.9 a]

a

y

M bA

fbçdÇ 0

=1;,u fbç{d - Y + yç)dYç =d 21;,u fbç(l-a+Ç)dÇ o

[7.9b]

0

2°) Valeurs de la force Fse dans les aciers les moins tendus ou les plus comprimés et de son bras de levier Zs par rapport aux aciers les moins comprimés ou les plus tendus.

Le pivot et donc a étant supposés connus, les équations de compatibilité permettent de connaître la contrainte Cise de l'acier le moins tendu ou le plus comprimé: - aux états-limites de service, Cise est donné par les équations [7.6b], [7.7b] ou [7.7c] - à l'état-limite ultime, les équations [7.lb], [7.2b] [7.2c] ou [7.3] donnent Esc d'où

Cise = g (Esc.!ed) par le diagramme de calcul. On a alors: Zs

=d-d'

1. Aux états-limites de service, al = ~ ; les indices ont été supprimés pour pouvoir traiter le cas sous forme générale (mais Yu ~ Yser !).

Chapitre 7 • Flexion simple 289 3°) Équation d'équilibre des moments

a étant supposé connu, le moment que peuvent équilibrer le béton comprimé et les aciers les plus comprimés ou les moins tendus est (FscC a) < 0 si a < 0') :

M(a)= Fb)a) zb(a)+ F.c(a)zs À partir de cette relation, on cherche par itération (manuellement ou en ayant recours à l'ordinateur) la valeur de a correspondant au moment agissant MA (ultime MzlA , ou de service UserA)

Fb (a); Zb (a); F sc (a);

Zs

>--.-

Oui

Non - - - - '

4°) Équation d'équilibre des forces. Section des armatures les plus tendues (ou les moins comprimées). La valeur exacte de a ainsi trouvée donne immédiatement: - la valeur exacte de Fbe - la valeur exacte de F.çe = A'

O'se

et on peut connaître, à partir des équations de compatibilité, la valeur de la contrainte O's de l'acier le plus tendu ou le moins comprimé: • aux états-limites de service : - ou

O's

=O's

- ou

O's

est donné par l'équation [7.7a] si le pivot est le point b.

si le pivot est le point a (a:::; al ) ;

• à l'état-limite ultime: - ou Es = 10 %0 et

0' s

=

fed ,

si le pivot est le point A (a :::; 0,259)

- ou la valeur Es est donnée par les équations [7.2a] ou [7.2d] si le pivot est le point B (allongement si a:::; 1) ou encore par les équations [7.3] (Es = Esd si le pivot est le point C.

290 Traité de béton armé De Es on déduit crs par le diagramme de calcul: crs

=g (Es,hd)'

• 1er cas: si a ~ 0 (y ~ 0) il n'existe pas de béton comprimé et les nappes d'acier sont toutes deux tendues (figure 7.18).

_--:-"_----------------------r-------,

N

....00(-----.

( (

( (

Figure 7.18

La force de traction Fs dans l'armature la plus tendue s'obtient par l'équation d'équilibre des forces: Fs =N - ~c et la section de cette armature doit être au moins égale à A= Fs

= N -~c

crs

crs

[7.10a]

avec: à l'état-limite de service: N = Nser et crs

=crs

- à l'état-limite ultime: N = Nu et crs = Jed • 2e cas: si 0 < a re7.19).

~

1 c'est-à-dire 0 < y

~

d, l'armature inférieure est tendue (figu-

La force de traction Fs dans l'armature tendue s'obtient par l'équation d'équilibre des forces:

Fs = Fbc + F.rc - N et la section de cette armature doit être au moins égale à : [7.10 b]

Chapitre 7 • Flexion simple 291 N

crs

15 E.L.S.

N

Tr----d

J_ _ _ _ E.L.U.

Figure 7.19 avec: - à l'état-limite de service: N = Nser et crs = crs si le pivot est le point a (0 < al

MserA

~

~

al ou

Mab voir § 7.422)

crs tiré de l'équation de compatibilité [7.7a] si le pivot est le point b. -'à l'état-limite ultime N = Nu et crs MuA ~ MAa, voir § 7.412).

=fed

si le pivot est le point A (0 < a ~ 0,259 ou

=g (Es;fed) ' Es étant donné par l'équation de compatibilité [7.2a] correspondant au pivot B ( 0,259 < a ~ ~ ou MAO < MuA ~ Moc). crs

d

Pour la flexion simple, annuler N (Nser ou Nu) dans [7.10 b].

292 Traité de béton armé • 3e cas: si a> 1 les deux nappes d'armatures sont comprimées; deux sous-cas sont à envisager (figures 7.20 et 7.21).

d
rrr-----1 ' jl h

b

---)0 Fsc ---.....,,. ... N ---)0 Fbc

Y

-------

- - . Fs

-

----------------

E.L.S.

rrr------

- - Fsc

l- - ' jl

h

---)oN --+-Fbc

Y

-------

-

-

----------------

E.L.U.

Figure 7.20 ouy> h (pivot« b» aux états-limites de service, pivot C à l'état-limite ultime).

Chapitre 7 • Flexion simple 293

--_)00 Fse

--_)00 Fs A.N.

y

! E.L.U.

Figure 7.21 L'effort de compression Fs dans l'armature la moins comprimée s'obtient par l'équation d'équilibre des forces :

et"la section A de cette armature doit au moins égale à :

[7. 1Oc] avec:

- à l'état-limite de service, N [7.7d]

=

N:,'er et crs est tiré des équations de compatibité [7.7a] ou

294 Traité de béton armé - à l'état-limite ultime, N = Nu et Os = g ('ès;fed) ' 'ès étant tiré soit des équation de compatibilité [7.2a] ou [7.2d] s'il s'agit du pivot B soit des équations de compatibilité [7.3] s'il s'agit du pivot C.

Remarque Le sens de la force Fs dans l'armature inférieure doit être compatible avec le sens de la déformation relative 'ès ou avec le signe de la contrainte Os. Dans le cas contraire: - si, lorsque a < 1, on trouve: 'ès < 0 avec Fs > 0 (ou Os < 0 avec Fs > 0) c'est-à-dire un allongement (ou une contrainte de traction) incompatible avec une force de compression: ceci signifie que le béton seul est surabondant pour résister aux sollicitations agissantes de calcul. Dans ce cas, il suffit de prévoir l'armature minimale réglementaire. - si, lorsque a> 1, on trouve: 'ès> 0 avec Fs < 0 (ou Os > 0 avec Fs < 0) c'est-à-dire un raccourcissement (ou une contrainte de compression) incompatible avec une force de traction: ceci signifie que la résistance de la section aux sollicitations agissantes ne peut être assurée, compte tenu de ses dimensions, et des valeurs de!c28,!e (ou os), Le dimensionnement doit alors être complètement repris.

7.44

Calcul des contraintes normales en service pour une section quelconque en flexion simple1

Données: Dimensions géométriques de la section Sections A et A' des armatures Moment de service User Contraintes limites

Inconnues: Contrainte maximale du béton Obe Contraintes Os des armatures tendues et éventuellement Ose des armatures comprimées De façon générale, on a oç = K.Yç, en posant K = M ser , coefficient angulaire du diaIl gramme des contraintes, avec Il moment d'inertie de la section homogène réduite (définie au § 5.32) par rapport à l'axe neutre.

1. Pour le cas de la flexion composée, voir § 8.7.

Chapitre 7 • Flexion simple 295

Axe neutre

-

15A

Figure 7.22 Si yç désigne la distance à l'axe neutre d'une fibre de béton quelconque et bç la largeur de la section à ce niveau, la force élastique élémentaire dans le béton au niveau yç est bç O'ç dÇ et la résultante des compressions sur la zone de béton comprimé est: YI

Fbc

YI

= fbçO'çdyç = K fbçyçdyç o

0

La force de compression dans les aciers comprimés vaut :

Fsc = A' 0' sc = [15K(y1 - d') ] A' et la force' de traction dans les aciers tendus:

Fs

= AO's =[ 15K(d - YI) ] A

L'équilibre des forces s'écrit donc: YI

fbçyçdyç + 15 A'(YI -d')= 15 A (d - YI) o

L'intégrale représente le moment statique par rapport à l'axe neutre de l'aire du béton comprimé, 15 A'(YI - d') celui des aciers comprimés et 15 A(d - YI) celui des aciers tendus.

La position de l'axe neutre est donc donnée par l'équation dite « des moments statiques» : [7.11] où S( désigne le moment statique par rapport à l'axe neutre de la zone comprimée, aciers comprimés compris : YI

SI

= fbçyçdyç + 15A' (yI - d') o

296 Traité de béton armé L'égalité des moments statiques par rapport à l'axe neutre de la zone comprimée et des aciers tendus traduit le fait qu'en flexion simple, l'axe neutre passe par le centre de gravité de la section (en béton armé, section homogène réduite). On retrouve donc là un résultat bien connu. 1°) Contrainte maximale du béton sur la fibre extrême comprimée abc

Mser =KYI =-l-YI

[7.12]

1

K

= M ser

,coefficient angulaire du diagramme des contraintes. On a aussi :

Il

K

= abc

[7.13]

YI

2°) Contrainte du béton en un point quelconque à la distance Yç de l'axe neutre

a Ç =K Yç

M

a

=-.:!!!!.. Yç =--ÉE.. Yç Il

[7.14]

YI

3°) Contrainte des armatures tendues

~; = ~ser (d - YI )

[7.15a]

1

as

=15 K (d - YI ) d-y

as =15 abc - -I

ou

[7.15b] [7.15c]

YI

On retrouve les équations de compatibilité. 4°) Contrainte des armatures comprimées (si nécessaire) [7.16a] [7.16b] [7.16c]

ou

5°) Expression de

EL d

li = d

15 abc 15 abc +as

[7.17]

Chapitre 7 • Flexion simple 297 6°) Expressions de F bse , F s et z (Fbse est la résultante des forces de compression dans le béton comprimé (Fbe ) et dans les armatures situées dans la zone comprimée (Fse ) [voir figure 7.8]). La force élémentaire s'exerçant sur une aire ndBI à la distance yç de l'axe neutre est dFbsc =O'ç ndBI' d'où:

Fbsc

= fiIO'ç(ndBI) avec

n = 1 si dBI est une fibre de béton n = 15 si dB 1 est une armature comprimée.

Compte tenu de [7.14] : F.

bsc

= Jf11 M ser (n y ç dB)= M ser S I I I 1

1

L' O'bc S Fbse =- 1

ou

[7.18a]

1

[7.18b]

YI

[7.19]

et D'après le principe d'équivalence, en flexion simple:

On a donc :

[7.20]

et aussi

[7.21]

Ces deux expressions sont fondamentales.

7.5

SECTION RECTANGULAIRE EN FLEXION SIMPLE (BAEL)

Les textes réglementaires sont généralement rédigés en sorte que leurs exigences sont exprimées sous la forme de demandes de justifications. Il appartient donc au projeteur . d'apporter a posteriori la preuve que les quantités qu'il a prévues d'après ses calculs, et les dispositions constructives qu'il a adoptées, satisfont bien aux exigences réglementaires. Mais le problème qui se présente le plus souvent au projeteur est plutôt celui du dimensionnement, autrement dit soit de la détermination des sections d'armatures à prévoir dans une section de béton donnée, soit de la détermination de ces deux sections à la fois, en partant des exigences à satisfaire.

298 Traité de béton armé Toutes les méthodes de calcul des sections d'armatures exposées dans les paragraphes ou chapitres qui suivent permettent de déterminer ces sections soit exactement (aux approximations près pouvant résulter d'interpolations ou d'abaques), soit par léger excès (au moyen de formules approchées). Lorsque l'on emploie ces méthodes, il est donc inutile de procéder à d'autres calculs, comme par exemple ceux de vérification des contraintes. L'emploi d'un système d'unités homogènes [m, MN, MPa (1 MPa = 1 MN/m2 )] a pour conséquence que les calculs menés en utilisant ce système conduisent à des sections d'aciers exprimées en m2 • Dans les notes de calcul, ces sections sont habituellement données en cm2 ou, parfois, en mm2 • Les résultats doivent donc être présentés en multipliant les valeurs numériques en m2 par 104 ou 106 selon le cas. L'objectif final de l'étude étant de fournir des dessins pour l'exécution, les sections trouvées par le calcul doivent, en stade final, être transformées en un certain nombre de barres d'un certain diamètre, à disposer conformément aux règles du paragraphe 4.1, ce que l'on ne peut faire qu'en dessinant à une échelle convenable une coupe cotée de la section (voir § 16.4). Ayant déterminé des sections d'armatures A et A' en se fixant a priori les distances d et d' des centres de gravité de ces armatures à la face comprimée, il arrivera souvent que l'emploi de barres de diamètres normalisés conduise à réaliser des sections A 1 et A' 1 un peu différentes des sections théoriques A et A', et que l'application du paragraphe 4.1 conduise à des distances réelles dl et d' 1 un peu différentes de d et d'. Il arrivera aussi que l'on puisse accepter une section d'armatures tendues AI légèrement inférieure à la section théorique si le croquis coté fait apparaître que la hauteur utile réelle dl est supérieure li la hauteur d avec laquelle les calculs ont été menés. Il pourra enfin arriver que l'on s'aperçoive qu'en augmentant légèrement la hauteur utile choisie a priori (et corrélativement, celle de l'élément), il n'y ait plus nécessité de prévoir des aciers comprimés. Normalement on devrait, soit faire un calcul de vérification, soit reprendre le calcul de A et A'. On peut toutefois éviter ces nouveaux calculs si (y, hauteur de l'axe neutre résultant du calcul soit à l'ELU, soit à l'ELS, selon le cas) :

AI (dl - y) ~A (d- y) A'I

(y-d'I)~A'(y-d')

Enfin, on rappelle ici (voir remarque 2 au § 1.43) qu'étant donné les approximations faites dans les hypothèses de calcul, un excès de précision est illusoire. Il est donc inutile, dans la plupart des cas, de rentrer des données ou d'exprimer des résultats, finaux ou intermédiaires, avec plus de trois chiffres significatifs (par exemple: 254; 14,2 ; 2,35 ; 0,278; 0,0125, etc.), le dernier chiffre étant déterminé selon les règles d'arrondi habituelles. Lorsque le présent texte transgresse cette recommandation, c'est généralement dans des tableaux de valeurs numériques pour éviter d'entacher de trop d'erreur les interpolations.

Chapitre 7 • Flexion simple 299

7.51

Section rectangulaire sans aciers comprimés: cas de la fissuration peu préjudiciable

Dans le cas de la fissuration peu préjudiciable, la contrainte de traction de l'acier en service n'est pas limitée. En revanche, la contrainte maximale en service du béton comprimé est limitée.

Section d'armatures tendues nécessaires pour que l'état-limite ultime de résistance ne soit pas atteint

7.511

Ce qui suit ne s'applique qu'au cas où l'on a!c28 ~ 60 MPa.

Données: Dimensions bo, d

Je f.ed -- 115 ,

et

r

= 0,85

Jbu

e

Jc28

15 ,

(pour le dimensionnement sous sollicitations accidentelles, prendre r Jbu

Jed = Je

et

= 0,85 Jc28 ) e 115 ,

Moment agissant de calcul Mu

Inconnue: Section Au des armatures tendues.

7.511-1

Coefficient de remplissage lf/; coefficient de centre de gravité &

Soit: F bc

la résultante des efforts de compression dans la zone de béton comprimé

y

la hauteur de cette zone

Zb

le bras de levier de la résultante F bc par rapport au centre de gravité des aciers tendus (<< bras de levier du béton seul »).

L'effort de compression Fbro dans le béton comprimé qui correspondrait à une contrainte uniforme et égale àJbu sur la totalité de la hauteur y est (figure 7.23). FbcO = bOyJbu

300 Traité de béton armé

rd

.

L_ ~ _ Figure 7.23 On appelle: - coefficient de remplissage \If le rapport 'If = Fbc

;

Fbco

- coefficient de centre de gravité oG : le coefficient permettant de définir la distance OGY du point de passage de la résultante F bc à la fibre la plus comprimée. On peut donc écrire : [7.22] [7.23] En flexion simple, sans aciers comprimés, comme il n'y a pas d'effort normal extérieur, Fbc =~ = AOs

[7.24]

et le moment agissant Mu doit être équilibré par le moment résistant Fbc Zb (égal au moment F s Zb) d'où: [7.25a] équivalente à : [7.25b] (Jlbu moment « réduit », sans dimensions, touou en posant a = Y et Jlb/l = ~II d bod Ib/l jours inférieur à 0,5 1) [7.26]

1. En effet, y ne pouvant être supérieur à d, si y = d, Zb = d /2 et le moment résistant ne peut excéder la valeur Fbco Z correspondante, soit bo dfb,,(d /2) = O,5bo tP fi".

Chapitre 7 • Flexion simple 301 Cas du diagramme parabole-rectangle a) Si le pivot est le point A (région 1), \If et DG dépendent de a. Le raccourcissement maximal du béton, 3,5 %0, n'est pas atteint et l'équilibre s'obtient avec une contrainte maximale du béton qui peut être inférieure àfbu. En revanche, l'allongement de l'acier tendu reste constamment égal à 10 %0. . de compatI·b·l· L "equatlOn lIte'[7 . 1a] :

E bc

= -10 - - (-a- ) donne a =

1000 l-a

1000 Ebc 1O+1000Ebc

Pour la valeur particulière Ebc = 2.10-3 , le diagramme parabole-rectangle se réduit à un diagramme parabolique; la valeur correspondante de a est a = 2/ 12 = 0,1667. Premier cas: 0 ~ a

~

0,1667 ou 0 ~ Ebc ~ 2 %0.

Soit Ày (À > 1) la valeur de l'ordonnée correspondant au raccourcissement de 2 %0 dans le diagramme des déformations fictivement prolongé (figure 7.24).

Figure 7.24

D'après les triangles semblables

E

bc

y

=

2

d'où, compte tenu de la valeur de

1000Ày

Ebc

en

fonction de a rappelée ci-avant:

À=2- (l-a) a

10

La parabole ayant pour équation crç = 2Yç Ày

(1- 2Yç JhY l'aire Ày

contraintes est égale à:

YJcr dÇ = Y 1;JU (3À -1) 2 o

ç

3À

du diagramme des

302 Traité de béton armé En d'autres termes, son« coefficient de remplissage» est:

Son centre de gravité est situé à une distance YG des fibres les plus comprimées égale à (moment statique par rapport à ces fibres) :

c'est-à-dire que le coefficient de centre de gravité est: Ù _ G -

(41.-1) 4(31.-1)

En remplaçant 1. par sa valeur dans les expressions de \jI et ùG, on trouve: \jI

5a (3-8a) =--'----'-

Ù

3(l-a)

G

= (4-9a) 4(3-8a)

Deuxième cas: 0,1667 < a ~ 0,2593 1 soit 2 %0 < êbc ~ 3,5 %0. Soit Ây (1. ~ 1) la valeur de l'ordonnée du diagramme des déformations pour laquelle le raccourcissement est égal à 2 %0 (figure 7.25) : 1. conserve la même valeur que dans le premier cas.

Figure 7.25 L'aire du diagramme des contraintes est égale à:

~ Ây h,1I + y(l- 1. )fbll 3

l.

Voir § 7.431-1a.

(parabole complète + rectangle partiel)

Chapitre 7 • Flexion simple 303 ou encore à: c'est-à-dire que le « coefficient de remplissage» est", = 1- À 3

.

Le centre de gravité de cette aire est situé à une distance YG des fibres les plus comprimées égale à (moments statiques par rapport à ces fibres) :

~ÀY hu[~ÀY+ Y(I-À)]+ y (I-ÀY y hu 3 8 2 YG

=

y _

ou encore à:

YG -

hu

(

1-~ )

~2 -4À+6)y (3-À)

4

'd'Ife que 1e coe ffi' . , est: c ,est-aClent de centre de gravite

s:

UG

2 = (À -( 4À +)6)'

43-À

d'où, en remplaçant À par sa valeur en fonction de a: 2

160.-1 '" = 150.

Ù _1710. -220.+1 G -

200. (160. -1)

Pour chacun des deux cas, les valeurs de a, '" et oG, peuvent être lues en fonction de J.lbu dans le 'tableau 7,1 . Tableau 7.1 J-L/I«

a

0,025

0,0740

0,030

oG 0,3460

0,0815

'11 0,3463 0,3780

0,035

0,0886

0,4073

0,3494

0,040

0,0952

0,4338

0,3511

0,045

0,1026

0,4627

0,3530

0,050

0,1097

0,4896

0,3549

0,055

0,1136

0,5039

0,3560

0.060

0,1194

0,5247

0,3577

0,065

0,1250

0,5442

0,3594

0,070

0,1305

0,5627

0,3611

0,075

0,1359

0,5802

0,3629

0,080

0,1413

0,5971

0,3648

0,085

0,1466

0,6130

0,3668

0,3478

304 Traité de béton armé

0,1518

'If 0,6279

ÔG 0,3688

0,095

0,1570

0,6422

0,3708

0,100

0,1623

0,6559

0,3731

0,1042

0,1667

0,6667

0,3750

0,105

0,1676

0,6689

0,3754

0,110

0,1728

0,6809

0,3778

0,115

0,1782

0,6926

0,3804

0,120

0,1835

0,7034

0,3830

0,125

0,1900

0,7158

0,3861

0,130

0,1943

0,7236

0,3882

0,135

0,1980

0,7300

0,3900

0,140

0,2053

0,7419

0,3934

0,145

0,2108

0,7504

0,3960

0,150

0,2164

0,7586

0,3985

0,155

0,2220

0,7664

0,4010

0,160

0,2277

0,7739

0,4035

0,165

0,2334

0,7810

0,4059

0,170

0,2390

0,7877

0,4082

0,175

0,2448

0,7943

0,4105

0,180

0,2507

0,8007

0,4128

0,185

0,2566

0,8069

0,4150

0,1873

0,2593

0,8096

0,4160

J.lbu

<X

0,090

Remarque: Des valeurs de J.lbu inférieures à 0,025 ne sont pas à considérer, car il faut toujours prévoir une section minimale d'armatures (voir § 7.511-5) qui vient borner inférieurement Ilbu et donc <x.

Chapitre 7 • Flexion simple 305 b) Si le pivot est le point B (région 2), le diagramme parabole-rectangle est « complet ». En conservant les proportions de ce diagramme et en se rapportant à des quantités sans dimensions, on trouve aisément les valeurs des coefficients \If et DG. O'bclfbu

t

IX 1

1 •. -----------;;.--r------l b

C

Figure 7.26 Le coefficient de remplissage \If est donné par :

W = aire{agfcd} .

aire{abcd}

2 4 3 1 aire{agfe}+ aire{efcd} = 3·7.1 +7. =.!2 = 0 8095 "" 0 81 aire{abcd} 1.1 21' ,

Le coefficient de centre de gravité s'obtient en prenant les moments statiques par rapport à l'axe XX:

DG = aire{agfe}x ~ +aire{efcd}xG;G; aire{agfe }+ aire{efcd} - ,3 -,-,3 3 4 avec GG =-+G G =-+-.1 1 7 1 1 7 8 7 2 4 )( 3 3 4) ( 3 )( 3 1) 36 + 27 (- - 1 - +- - + - 1 - 7 8 7 7 7 2 = 2" = 0 416 soit D = 3 7 G

(~*1)+(%1)

7(8+9)'

Avec \If = 0,81 et DG = 0,416, on arrive, en résolvant l'équation [7.26], à: Cl

= _1_(1_

2Do

~ 1- 40\If

G

Il.. ) = 1,2 ( 1-

~ 1- 2,06Jlbu )

[7.27]

306 Traité de béton armé Cas du diagramme rectangulaire simplifié (voir §' 5.222-2°)

On peut démontrer que lorsque les pivots sont B ou A (ce qui est le cas en flexion simpIe), on peut substituer au diagramme parabole-rectangle considéré comme le diagramme « exact» de distribution des contraintes dans le béton comprimé, un diagramme approché, de forme rectangulaire (§ 5.222-2°b), défini comme suit (figures 7.27 et 7.28) : - sa largeur est égale à!bu ;

- il s'étend depuis la fibre la plus comprimée sur une hauteur égale aux 8/ IOde la hauteur y de l'axe neutre (axe des déformations nulles). Distances à l'axe neutre

r

f

_ 0,85 fc28

bU-a 1.5

0,8 Y

0,2 Y

Axe neutre

o

""'-=-------:...--~ O"bc

fbu

Figure 7.27

l L

1" Ebc "1

-----T-----

~

0,4 y

------ot-- -f-=c

F

-f---'

_ ______t_____

bc

= 0,8 boYfbu

A.N.

d

zt, = d - 0,4 Y

A ------

------

1..

Es

----------------- -- .-L

F,:AG,

1

..

.. 1

Figure 7.28 Ce diagramme rectangulaire est donc caractérisé par les valeurs: \jI = 0,80 et <>G = 0,40. L'équivalence avec le diagramme parabole-rectangle (<< PR )}) est évidente en ce qui concerne le pivot B (où les valeurs « exactes» de \jI et <>G sont 0,81 et 0,416). Elle n'est nullement évidente au pivot A : en fait, en utilisant le diagramme rectangulaire (<< R »), on commet une erreur sur la valeur de y (yR < YPR) compensée par le fait que l'on adopte

Chapitre 7 • Flexion simple 307 un coefficient de remplissage généralement supérieur et un coefficient de centre de gravité également supérieur (du moins tant que J!bll < 0,179 pour 'II ou J!bll < 0,153 pour ÔG ; voir le tableau 7.1). En définitive, on ne se trompe guère ni sur la valeur de la force de compression dans le béton, ni sur celle du bras de levier, c'est-à-dire que les valeurs de F bc et de Zb tirées des équations [7.22] et [7.23] sont sensiblement les mêmes qu'en remplaçant 'IIYPR et Ôa)lPR par les valeurs 0,8YR (= 'II YPR) et O,4YR (= Ôa)lPR) (voir figure 7.29). Dans ce qui suit, nous n'utiliserons plus que le diagramme rectangulaire' . Les équations [7.22] à [7.27] doivent alors être modifiées comme suit. La résultante des efforts de compression dans le béton mesurée par le «volume des contraintes» (parallélépipède de côtés 0,8y, bO,fbll), a pour valeur : [7.28] Le bras de levier est: Zb

=d -0,4y =d( 1-0,40.)

[7.29]

On a toujours F bc = Fs c'est-à-dire: [7.30] et [7.31a] ou encore [7.31b] On a donc : [7.32]

d'où

a. =L d

=1,25 ( 1- ~1- 2J!bu )

[7.33]

1. Le diagramme bilinéaire défini par la figure 5.7 (mais en prenant Ec3 = 1,350/00, et non 1,75 %0 comme le préconise l'EC2) est tel qu'au pivot B, 'II = 0,807 et ôG = 0,411 (voir § 16.22). Mais son emploi est bien moins commode que celui du diagramme rectangulaire.

308 Traité de béton armé

- - -:- - - -:- - -i - -- i -0,25

;- - - -;- -- -:- - - -:- - - - --,- - -"1 - -

~

-

=J.

0,261

r-__-+__-_-_-~:r--------r'-------'T_-----~ï-------_t------_Tr-------,i--------'r'--------T:-------;-----r----T-~Arl~_i~ 0,259

0,20

- -', --',

--,

1

0,15

l

_

_

.

J

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~

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0,10 1

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1

1

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1

1

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1

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- - - -i - - -

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1

1

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1

1

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__ ..J ___ J ___ .1 __ _

___ L __ .J ___ J _ _ 1

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1

l

1

1

1

1

1

1

1

1

l

1

1

1

___ L ___ L ___ 1_ _ _ _ 1_ _ _

f 1 _ __ .J ___ .1 _ _ _

___ L ___ L ___ L ___ L _____ J ___

__ _

1

1 ~

--,1 j

_ _ 1 1

__ _

1

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_ __ 1___ -i ___ -' ___ ..J. _ _ _ 1

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1

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1

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1

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1

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1

0,8 uR diagramme rectangulaire -~--~I--I l '" 1 ---'--"'~ .... /.., .. __ .,- -- ---~---~ --~--~--1 1 1 1 1 :.11" 1 1

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1

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'1' (UPR)' uPR diagramme parabole rectangle -

- - -,- - -

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J

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_

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j ___

s.

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'

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~

__ l- __

i

~I--

i

___ i __ _

J

0,209 0,210

Figure 7.29. Équivalence du diagramme parabole-rectangle et du diagramme rectangulaire (pivots A et B seulement)

Chapitre 7 • Flexion simple 309

7.511-2

Moment frontière MAB(voir § 7.412)

II s'agit du moment évalué par rapport au centre de gravité de l'armature tendue et correspondant à la position AB du diagramme des déformations (figure 7.30).

o

Figure 7.30 M AB correspond à Es = 10.10-3, u= y =

d

E bc

Ebc

+ Es

=

Ebc

= 3,5.10-3 c'est-à-dire (triangles semblables) à:

3,5 :::::0,259\ 3,5 + 10

On a alôrs, d'après [7.32] : /lAB = 0,8

x

0,259 (l - 0,4 x 0,259)

soit

/lAB

et

MAB = 0,186 boei fill

= 0,186

Remarque: Avec le diagramme parabole-rectangle, on aurait trouvé par l'équation [7.26] avec '" = 0,81 et ÙG = 0,416: /lAB = 0,187.

a) Si Mil :s; MAB c\;.,t-à-dire si /lbll :s; 0,186 ou u:S; 0,259 le pivot est le point A ;

1. Voir remarque 2° au § 1.43 relative aux valeurs numériques.

310 Traité de béton armé b) Si U, > MAB c'est-à-dire si !lbu> 0,186 ou a. > 0,259 le pivot est le point B. Dans les calculs pratiques, compte-tenu de l'adoption pour les aciers d'un diagramme de calcul à palier horizontal (voir § 2,271b et § 5,221a) la référence à M AB n'est pas indispensable (voir § 7.511-3).

7.511-3

Contrainte de l'acier

Soit Es l'allongement de l'acier tendu. Compte tenu de l'adoption d'un diagramme de calcul à palier horizontal, on a (figure 7.31): crs

fed

Î

S

~~B

~L

1

cp

..

e---- - - r - - + - - - - - - - - - - O

~,

Valeur correspondant au

« moment - limite ultime » (au-delà, crbc > abc en service)

:, : Pivot A : 1 1

1 1 1 1 1 1 1

10 1000

Figure 7.31 (cas où

Cette double condition équivaut à 0 S a. S

fC28

S 40 MPa)

700 ou encore à a. S - - - 700+ fed 3,5+1000~ E 3,5

f.

s

(voir équation [7.2a] avec Es

= f ed Es

)

Chapitre 7 • Flexion simple 311 Ce cas correspond à des solutions peu économiques, car l'acier est mal utilisé ( as < led ). Pour éviter de se trouver dans cette situation, il faut prévoir des aciers comprimés. Mais nous verrons par ailleurs (§ 7.513, P) que l'obligation de vérifier en service l'état-limite de compression du béton implique de borner, à l'état-limite ultime, êsà une valeur généralement bien supérieure à!ed / Es 1• II en résulte qu'en pratique, sous réserve que la condition relative à abc en service soit bien vérifiée, c'est-à-dire sous réserve que /-lbll ~ /-l/ll' on aura toujours las = led que le pivot soit le pivot A ou le pivot B.

l,

Important: Ainsi, dans tous les cas, en flexion simple, il est inutile de calculer l'allongement Es de l'acier pour en déduire sa contrainte.

Il en résulte qu'en pratique il est sans intérêt de savoir si l'on est au pivot A ou au pivot B. La référence à MAB n'est nullement indispensable (elle le serait pour un diagramme ne comportant pas de palier horizontal).

7.511-4

Section d'armatures Au

On dispose des deux équations d'équilibre [7.30] et [7.31b] qui s'écrivent ici, avec: ~c=O

[7.34] [7.35] 1. On commence donc par calculer: /-lbll

=

M 2 Il

bod Ibll

2. Si /-lbu > /-l/ll (voir page 323 et suivantes les tableaux 7.3, 7.4, 7.5, l'abaque de la figure 7.37 ou la formule approchée [7.50] au § 7.514-2) il faut prévoir des aciers comprimés (voir § 7.52).

1. Certains auteurs adoptent pourtant systématiquement cette valeur fedl Es pour défmir le moment de flexion au-delà duquel il est nécessaire de prévoir des aciers comprimés. On voit qu'ils commettent une erreur car ce moment est supérieur, lorsquefc28 S; 40MPa, au « moment limite ultime» pour lequel

abc = alx (voir figure 7.35)

312 Traité de béton armé 3. Si

Ilbu ::; Il/u ,

on tire a et Zb des équations [7.33] et [7.29] rappelées ci-après: a

=1,25 (1-~1- 21lbu )

[7.33]

= d (1-0,4a)

[7.29]

Zb

4 - Finalement, la section d'armatures cherchée est, d'après [7.31 b]l :

Au =

Mil zbfed

(m2 , m, MNm, MPa)

[7.36]

L'organigramme ci-après synthétise la marche à suivre avec les Règles BAEL (pour les calculs selon l'EC2, voir § 7.722).

Remarque: Dans le cas où l'on utilise de l'acier FeE 500, on a, pour Ys = 1,15 : 1 1,15 2,3 --=--=--

fed

500

1000

ce qui permet de prendre directement, en utilisant la formule [7.36] :

2.

À titre indicatif, si l'on compare les sections d'acier Auo et Au auxquelles conduit, toutes choses égales par ailleurs, la prise en compte du coefficient 9 dans l'évaluation defiu (la section Au correspondant à 9 = 1), on trouve que, lorsque Ilbu varie de 0,05 à 0,30, le rapport AllO! Ali varie de 0,998 à 0,972 quand 9 = 0,9 et de 0,996 à 0,96 quand 9 = 0,85. On peut donc se demander si, étant donné les hypothèses faites par ailleurs et la précision des calculs, il était bien nécessaire d'introduire ce raffinement dans les calculs à l'état-limite ultime de flexion. Ce coefficient 9, qui n'intervient que dans ces calculs, est censé tenir compte de l'effet favorable du durcissement du béton dans le temps, par rapport à la résistance à 28 jours prise en compte dans les calculs. Mais il n'est pris en compte ni dans les calculs à l'état-limite ultime de service, ni dans le calcul des pièces comprimées, ce qui constitue une anomalie.

Chapitre 7 • Flexion simple 313 Calcul des armatures d'une section rectangulaire en flexion simple

f

O,85fc28 fe .f bu- 9 x 1,5 'ed- 1,15

Mu

Cas de charge

y=Mser

Calcul de Mu et de Mser

Formule approchée [7.50] ou abaque figure 7.36 ou tableaux 7.3, 7.4, 7.5 Aciers comprimés

Calcul simplifié

Calcul exact

a = 1,25 (1

-

~ 1-

2 IJbu)

Non

ft28 Au = 0,23 bod -f-

e

Oui Terminé

* ou, directement, zb = O,5d (1 + ~ 1 - 2 IJbu )

314 Traité de béton armé 7.511-5

Section Aminimale

II faut vérifier que la section Au trouvée satisfait à la condition de non-fragilité. Cette condition s'obtient en écrivant que le moment résistant ultime du béton armé, l'acier étant supposé soumis à une contrainte égale à sa limite d'élasticité, est au moins égal au moment résistant ultime du béton non armé.

Pour une section rectangulaire bo h, le moment résistant ultime du béton non armé est (figure 7.32) :

=b h

(l

3

_0_

12

et v

=-h ) 2

avec 1t28 résistance caractéristique du béton à la traction. Le moment résistant ultime du béton armé avec la section minimale Amin est M Ra = 4.inh z . La condition de non-fragilité s'exprime par Au ~Amin, avec:

Figure 7.32 Comme z == 0,9d 1 et d == 0,9 h, ou h

==

~, en remplaçant dans l'expression ci-avant z

0,9 et h par ces valeurs, on trouve, tous calculs faits: A . L'mm

=b d 0

1 0,9.0,8l.6

1128 =0 228 b le '

0

d

h28 le

::0

0 23 b d

1. L'équilibre des moments MRb et Min est en fait réalisé avec z = O,95d.

'

0

h28 le

Chapitre 7' Flexion simple 315 II faut donc que l'on ait: [7.37]

Remarques:

POur!c'28 = 60 MPa, c'est-à-diref,28 = 4,2 MPa etJbIl = 34 MPa on trouve ~bll = 0,025 ce qui justifie la remarque qui suit le tableau 7.1. Pour !c'28 = 25 MPa, ~bll ::::: 0,030. Tableau 7.2. Aciers FeE 500 - Pourcentages minimaux

fc28 (MPa) 100

Amin

bod

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0,083

0,097

0,110

0,124

0,138

0,152

0,166

0,179

0,193

2- La formule [7.37] n'est pas applicable aux sections en T, étudiées au § 7.6, même lorsque ces sections peuvent, pour le calcul de leurs armatures, être assimilées à des sections rectangulaires. Une telle erreur est fréquemment commise. Dès que la section n'est plus rectangulaire, il faut déterminer son module d'inertie (l / v) et préndre (voir § 7.611) : A

-

min -

(i) V

1;28

[7.38]

0,9d fe

(V, distance du centre de gravité de la section à la fibre la plus tendue).

7.512

Section d'armatures nécessaire pour que les états-limites de service ne soient pas atteints

On rappelle ici que les états-limites de service sont, pour les Règles BAEL : - un état-limite de compression du béton (défini par crbc = crbc tous les cas, que la fissuration soit peu préjudiciable ou non;

= 0,6fc28) à vérifier dans

...:. des états-limites d'ouverture des fissures (définis par crs =crs' voir le tableau 5.1) qui ne concernent que les cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable.

316 Traité de béton armé

7.512-1

Généralisation de la notion de coefficient de remplissage et de coefficient de centre de gravité

Soit: Fbcl

la résultante des efforts de compression dans la zone comprimée

YI

la hauteur de cette zone

Zbl

le bras de levier de la résultante Fbcl par rapport au centre de gravité des aciers tendus (figure 7.33).

Axe neutre

--A

crs

-

15

crs

s15

Figure 7.33

L'effort de compression

Fbc\,o

dans le béton comprimé, qui correspondrait à une

contrainte uniforme et égale à cr be sur la totalité de la hauteur YI est:

En généralisant les notions déjà établies pour le calcul à l'état-limite ultime (§ 7.511-1), on appellera: - coefficient de remplissage \jf 1 le rapport

\jf 1

= Fbc\ Fbc\,o

coefficient de centre de gravité aGI le coefficient permettant de définir la distance aGJYI du point de passage de la résultante Fbc\ à la fibre la plus comprimée.

Chapitre 7 • Flexion simple 317 On peut donc écrire : [7.39] [7.40] Le moment agissant Aiser doit être équilibré par le moment résistant Fbcl

Zbh

d'où: [7.41]

ou, en posant al

=.b.. et Il ser = M;er d

bod

(moment de service« réduit », sans dimension)

abc

[7.42]

Remarque: Bien noter qu'ici, le moment réduit Ilser est rapporté à cr bc , qui figure au dénominateur, et non à fbu puisque cette contrainte n'intervient qu'à l'état-limite ultime. a) Si le pivot est le point a (crs figure 7.34-a, on trouve al

-t·--t~-.f -..-

al

r

O's O'bc

=15

:

·-ï O'bc

-r-

__________ J1

al

=as; cr be ::; a be)

\jf 1

_

1 - al < O'bc

[7.43] Avec n = 15 et oG!

1

t_ 1

«a»

__________

O's

15

•

Figure 7.34a

dépend de al et, selon la

crs Il ser = 30

cr be

= 1/3 on obtient:

318 Traité de béton armé b) Si le pivot est le point b (as

~ as ; abc

= abc) on a, selon la figure 7.34 b :

\lfl = 1/2 et aGi = 1/ 3

[7.45]

et on obtient : [7.46] crs

-

15

crs

<-

15

Figure 7.34b

7.512-2

Section d'armatures nécessaire pour que l'état-limite de compression du béton ne soit pas atteint

Attention: En pratique, ce calcul n'a jamais à être fait. Il ne sert ici qu'à fournir les éléments nécessaires à la compréhension de la discussion faite au paragraphe 7.513.

Données: bo, d,

a be = 0,6 fc28

Moment de service M ser

Inconnue: Valeur minimale de Aser pour laquelle on a

abc

= abc.

II faut appliquer les équations du pivot « b ». La résolution de l'équation [7.41] avec \If 1 = 1 /2 et aGI

cr, =

= 1 /3 donne:

1,5 [1- ~I-~~,~ ]

[7.47]

La contrainte de l'acier vaut (triangles semblables) : (voir [7.7 aD

Chapitre 7 • Flexion simple 319 Bien noter que la valeur de al donnée par l'équation [7.47] n'est pas celle qu'il convient d'utiliser lorsque la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable (voir § 7.531). Cette erreur est fréquemment commise. Finalement, la section cherchée d'armatures nécessaire pour avoir

abc

= abc est: [7.48]

avec

[7.49]

ICI

Discussion: Notion de moment-limite ultime Mlu

7.513

La formule [7.37] a fourni la section d'armatures Au nécessaire pour que l'état-limite ultime ne soit pas atteint. Par la formule [7.48], on a obtenu la section d'armatures Aser nécessaire pour que l'étatlimite de compression du béton en service ne soit pas atteint. On appelle «moment-limite ultime laquelle Au = Aserl,

~u»

la valeur du moment agissant ultime pour

Cette valeur limite dépend: -de e; - de!c28 (dont dépendent /-lb", et donc Au, abc' /-lser et donc Aser) ; - de/e (dont dépend Au) ; M - du rapport y =_,_, . M ser

La figure 7.35 illustre sur un cas particulier (fc28 = 25 MPa, y = 1,425 et/e = 500 MPa) la notion de «moment limite ultime ». Cette figure montre la variation du pourcentage AI bad d'aciers tendus en fonction des paramètres UJ bod 2 ou Mserl bo d 2 = UJy bo d 2• La double échelle sur l'axe des abscisses permet de représenter sur la même figure les variations de ce pourcentage à l'ELU et à l'ELS. Les courbes donnant A,J bod et Aser 1bod se croisent à une abscisse commune qui définit le moment limite ultime Mlu ' Si l'on détermine à l'avance ce moment limite, il n'est pas nécessaire de se livrer à un double calcul. Tant que Mil ::; Mill, la position respective des deux courbes montre que Au> Aser et l'on sait, à l'avance, avec certitude et sans avoir à le vérifier par un calcul ultérieur, que l'état-limite de compression du béton n'est pas franchi. Si U, > ~1I' la situation s'inverse.

1. Quand il en est ainsi, le calcul à l'ELU correspond donc à l'EL de compression du béton en service (}"lx

= (}"lx

•

320 Traité de béton armé Mais on constate dans ce cas que si l'on voulait respecter l'état-limite de compression du béton en ne prévoyant que des aciers tendus, du fait que la dépense en acier croît alors beaucoup plus vite que User/ hod 2, elle deviendrait rapidement prohibitive (l'asymptote n'est pas loin). Nous verrons au § 7.52 que la solution consiste alors à continuer de mener le calcul à l'ELU, mais en prévoyant des aciers comprimés.

Moment-limite

Figure 7.35. Notion de moment limite La figure 7.35 montre encore: a) que, dans l'exemple choisi (mais cette constatation demeure valable tant que la résistance du béton ne dépasse pas 40 MPa), le moment limite ultime est atteint alors que le point représentatif de la contrainte de l'acier tendu est encore sur le palier horizontal (abscisse du point L inférieure à celle du point S correspondant à la rupture de pente du diagramme de l'acier. Voir la figure 7.31 et ci-après). b) que si l'on continuait de déterminer la section d'aciers tendus par un calcul à l'ELU, sans se préoccuper de la condition sur la contrainte de compression du béton en service, une fois franchi le point L, non seulement la contrainte limite serait dépassée mais enco-

Chapitre 7· Flexion simple 321 re, au-delà du point S, la dépense en acier deviendrait prohibitive comme pour Aser. Là encore, la solution consiste à prévoir des aciers comprimés. Posons

=

Il

r/II

M bod

/11

2

Ibl/

La valeur numérique de Il/II ne résulte pas d'un calcul simple. Il est nécessaire d'avoir recours au calcul automatique (voir organigramme ci-après). Ce calcul a permis de dresser des tableaux (voir, par exemple, pages 323 et suivantes les tableaux 7.3, 7.4 et 7.5 qui donnent les valeurs précises de Il/11) et de dresser un abaque (voir figure 7.36) qui donne Il/II en fonction de 1c28 /8 et de y8. On peut aussi utiliser la formule approchée [7.50] donnée au § 7.514-2. Dans tous les cas, Il/II est plafonné à la valeur pour laquelle l'allongement Es de l'acier atteindrait la valeur led/ Es. En effet, au-delà de cette limite, la contrainte de l'acier n'atteignant plus led, celui-ci serait mal utilisé. Le rôle des aciers comprimés n'est plus alors de bloquer à abc la contrainte en service du béton comprimé, mais de bloquer àled la contrainte des aciers tendus à l'état-limite ultime. Lorsque

Es

= led

, la hauteur relative a de l'axe neutre prend la valeur particulière

Es

ao=

700 et la valeur plafond de Illll est donc égale à Il/II 700+ led

=0,8ao(1- 0,4ao) .

On trouv~ ainsi pour le = 500 MPa : a o = 0,6169, valeur plafond: 0,3717. Les tableaux qui donnent les valeurs exactes de Il/II montrent qu'avec les aciers Fe E 500, la valeur plafond 0,3717 : • n'est jamais atteinte si1c28:::; 40 MPa; • est atteinte tmiquement dans le cas 8 = 1 :

-

pourj~28

= 45 MPa si y;:::: 1,474 ;

- pourlc28 = 50 MPa si y;:::: 1,441 ; - pour.fc28 = 55 MPa si y;:::: 1,414 ; - pourlc28 = 60 MPa si y;:::: 1,390. Ce serait donc une erreur, comme le font certains auteurs, de ne prévoir des aciers comprimés, quel que soit J.·28, que lorsque f.ltll > 0,3717.

322 Traité de béton armé Organigramme de calcul du moment limite ultime (J.liu)

Mu

fc28 ; fe ; Y= - - ; e Mser

IJbu = 0,300 (valeur de départ)

Po =

IlJbU + 6IJbu

19,551Jbu

fc28

1+ ~ 1-21Jbu

efe

1

IlJbU -6lJbu

u1 = Po (- 1 +

Oui

*

~ 1+

***

u1

9

:J

**

17 y u1 (1-"3 ) e > IJbu ?

Non

~ Égalité

1

* calcul de Po

= lSA

à l'ELU (19,SS

bod

","Lw

=IS 0,8Sys

1

)

O,SYb

** équation des moments statiques 2 *"}* yMser > MIl ? -7 (Y~(l-~) r >"rbll b0d 2 0,8S.I;'28 ?) 2 3 b0d 06 , J c28 1 S8

,

1

Chapitre 7 • Flexion simple 323 Tableau 7.3. Aciers Fe E 500 - Valeurs de ~u, C1./u,I3/u =zbtld

y 1c28

(MPa)

()

1

20

0,9

0,85

1

25

0,9

0,85

1

30

0,9

0,85

1,35

1,40

1,45

1,50

Jl/u

0,2271

0,2411

0,2556

0,2704

a/li

0,3265

0,3505

0,3761

0,4029

~/u

0,8694

0,8598

0,8496

0,8388

Jl/u

0,2024

0,2148

0,2275

0,2404

a/li

0,2856

0,3059

0,3272

0,3493

~lll

0,8857

0,8776

0,8691

0,8603

Jllll

0,1903

0,2019

0,2138

0,2258

alu

0,2662

0,2848

0,3043

0,3243

~/u

0,8935

0,8861

0,8783

0,8703

Jllll

0,2554

0,2708

0,2864

0,3025

alli

0,3757

0,4037

0,4330

0,4644

~/u

0,8497

0,8385

0,8268

0,8142

Jl/u

0,2275

0,2410

0,2548

0,2687

a/li

0,3272

0,3503

0,3746

0,3998

~/u

0,8691

0,8599

0,8501

0,8401

Jl/u

0,2139

0,2265

0,2393

0,2523

a/II

0,3045

0,3255

0,3474

0,3702

~/II

0,8782

0,8698

0,8610

0,8519

Jl/u

0,2784

0,2947

0,3113

0,3283

al li

0,4178

0,4490

0,4821

0,5175

~/II

0,8389

0,8204

0,8072

0,7930

Jl/u

0,2479

0,2621

0,2766

0,2914

a/II

0,3624

0,3878

0,4145

0,4426

~Iu

0,8550

0,8449

0,8342

0,8230

Jllu

0,2330

0,2463

0,2598

0,2735

a/li

0,3366

0,3596

0,3836

0,4087

~Iu

0,8654

0,8562

0,8466

0,8365

324 Traité de béton armé Tableau 7.4. Aciers Fe E 500 - Valeurs de J..lIu, atu, f3tu =zbtld 1c28

(MPa)

1

35

0,9

0,85

1

40

0,9

0,85

1

45

y

0

0,9

0,85

1,35

1,40

1,45

1,50

Il/II

0,2973

0,3143

0,3316

0,3493

a/II

0,4541

0,4882

0,5246

0,5638

~/II

0,8184

0,8047

0,7902

0,7745

Il/II

0,2647

0,2795

0,2946

0,3099

a/li

0,3925

0,4199

0,4488

0,4792

~/u

0,8430

0,8320

0,8205

0,8083

Il/II

0,2488

0,2626

0,2766

0,2909

a/li

0,3640

0,3887

0,4145

0,4416

~/u

0,8544

0,8445

0,8342

0,8233

Il/u

0,3132

0,3307

0,3485

0,3668

a/II

0,4860

0,5226

0,5619

0,6048

~/li

0,8056

0,7909

0,7752

0,7581

il/li

0,2788

0,2941

0,3095

0,3253

a/li

0,4186

0,4479

0,4784

0,5111

~/II

0,8326

0,8209

0,8086

0,7956

Il/u

0,2620

0,2762

0,2906

0,3053

a/li

0,3876

0,4137

0,4411

0,4700

~/li

0,8450

0,8345

0,8236

0,8120

Il/II

0,3267

0,3446

0,3628

0,3717*

a/II

0,5141

0,5531

0,5952

0,6169

~/II

0,7944

0,7787

0,7619

0,7533

il/li

0,2907

0,3064

0,3221

0,3382

a/u

0,4413

0,4722

0,5044

0,5389

~/li

0,8235

0,8111

0,7982

0,7844

Il/II

0,2732

0,2878

0,3025

0,3174

a/II

0,4081

0,4357

0,4644

0,4946

~/u

0,8367

0,8257

0,8142

0,8022

* valeur plafond, atteinte pour y =

1,474.

Chapitre 7 • Flexion simple 325 Tableau 7.5. Aciers Fe E 500 - Valeurs de J,.lJu, ex/u, j3Ju =zbtld 1c28

(MPa)

y

9

1

50

0,9

0,85

1

55

0,9

0,85

1

60

0,9

0,85

1,35

1,40

1,45

1,50

~/II

0,3382

0,3563

0,3717*

0,3717*

a/II

0,5389

0,5799

0,6169

0,6169

~/II

0,7844

0,7680

0,7533

0,7533

~/II

0,3010

0,3169

0,3329

0,3492

a/II

0,4614

0,4936

0,5274

0,5635

~/II

0,8154

0,8026

0,7891

0,7746

~/u

0,2829

0,2976

0,3126

0,3277

a/II

0,4263

0,4547

0,4847

0,5162

~/II

0,8295

0,8181

0,8061

0,7935

~/u

0,3482

0,3666

0,3717**

0,3717**

a/II

0,5613

0,6043

0,6169

0,6169

~/II

0,7755

0,7883

0,7533

0,7533

~/II

0,3099

0,3259

0,3422

0,3587

a/II

0,4792

0,5124

0,5478

0,5855

~/II

0,8083

0,7950

0,7809

0,7658

~/II

0,29l3

0,3062

0,32l3

0,3366

a/II

0,4424

0,4718

0,5027

0,5354

~/II

0,8230

0,81l3

0,7989

0,7858

~/II

0,3569

0,3717***

0,3717***

0,3717***

a/II

0,58l3

0,6169

0,6169

0,6169

~/II

0,7675

0,7533

0,7533

0,7533

~/u

0,3177

0,3339

0,3503

0,3669

a/II

0,4952

0,5295

0,5660

0,6051

~/II

0,8019

0,7882

0,7736

0,7580

~lll

0,2986

0,3l37

0,3290

0,3444

a/II

0,4567

0,4870

0,5190

0,5527

~/II

0,8173

0,8052

0,7924

0,7789

*' valeur plafond, atteinte pour y = 1,441 ** valeur plafond, atteinte poury = 1,414 *** valeur plafond, atteinte pour y = 1,39

326 Traité de béton armé !J{u

,,-

'!>(()

0,39

1,34 1,32 1,30 1,28 1,26 1,24

0,35

1,22 1,20 1,18 1,16 1,15

t Sy

0,30

0,25

0,20

0, 17

'-----'~~-~-----~-~-~-~-~-~---'-----7

20

30

40

50

60

70

80

Figure 7.36. Valeurs du moment limite ultime réduit Jl.!u

90

fc28 fi

u

Chapitre 7 • Flexion simple 327

7.514

Calcul pratique

On n'envisage ici que le cas du calcul manuel.

7.514-1

Calcul exact

a) Calculer /.l/II = b ~/~ et a = 1,25l1- ~1- 2/.lbll o bu

J

b) Déterminer /.l/II par les tableaux 7.3, 7.4 ou 7.5, l'abaque figure 7.36 ou encore la formule approchée [7.50] au § 7.514-2 et comparer /.lbu à/.l/II. c) Si /.lbll> /.l/II' cela signifie que Aser> Ali' La figure 7.3 7 montre que Aser finit par croître beaucoup plus vite que /.lsen ce qui conduit à Lille solution peu économique.

Zone correspondant aux !Jiu

4

1 1 1

1 1 .1 1('")

1('")

Ici l-ro 1 Q)

2 ......

~ ~I

......

lB

la. 1

E

lib'

1«

O

.....-""""'--'-_ _-'-_ _-'--L-_-:;. !Jser 0,1 0,2 0,3

Figure 7.371 Dans ce cas, il est donc préférable, si cela est possible, de modifier les dimensions de la section ou, sinon, de placer des aciers comprimés, à calculer selon le § 7.522-1. d) Si /.lbll ::; /.l/II' cela signifie que Ali ~ Aser' le calcul peut être poursuivi sans se préoccuper de la vérification de la contrainte de compression du béton en service, puisque /.l/m ::; /.l/II implique automatiquement, en service, cr be

::;

cr be (voir organigramme au

§ 7.511-4).

1.

L'asymptote à 0,33 vient de ce que, quand YI = d, YI=d(al=I)

Il

ser

=~(I-~)=~3.=~ 2 3 2 3 3

O's

= 0 et donc A,,'T = J\tf.cr! ZbO',

est infmi. Quand

328 Traité de béton armé

1.514-2

Fomules approchées

1. Valeur approchée de J.l11l Lorsque, dans une série de valeurs de deux paramètres interdépendants x et y (en général, résultats de mesures expérimentales), le rapport xl y varie de façon sensiblement linéaire en fonction de x, la loi qui relie les deux paramètres x et y est donc xl y = ax + b ou encore:

x ax+b

y=--

Dans le cas présent, l'examen des valeurs des tableaux 7.3, 7.4 et 7.5 montre que le rôle de ces deux paramètres est tenu par x =1c281 e et y = J.llu. Il en résulte que, de manière approchée, J.llu et 1c281 e sont liés par la relation:

L'ajustement aux valeurs numériques des tableaux montre que les coefficients a et b sont eux-mêmes des fonctions linéaires de e et y et il est plus commode de les calculer à part, individuellement, avant de les introduire dans la formule, pour éviter une écriture compliquée de celle-ci. Nous retenons donc comme valeur approchée du moment limite J.l11I : [7.50] avec

a = 1,75 (2,5 - e y)

et

b=75(2-ey)

L'erreur commise est généralement au plus de 1 %. Par exemple, pour 1c28 = 40 MPa, et y= 1,40, le tableau 7.5 donne /-LIli = 0,2762, et la formule approchée: /-LIu = 0,279.

e = 0,85

Il est rappelé que, pour de l'acier Fe E 500, J.llu ne peut excéder la valeur 0,3717 (voir § 7.5l3).

2. Valeur approchée de Zb Onaétabli: a=1,2S(

1-~1-2/-Lbu)

et

zb=d(I-0,4a)=0,5d(1+~1-2/-LbJ

La fonction ~ = Zb 1d = g(J.lbu) est représentée sur la figure 7.38.

Chapitre 7 • Flexion simple 329

- -r---

----c ---------r - --- -- -- - - - - ----,- -- - - - - .-- ,--

~

-- "i--

~~ _L~~ r~_nl . . ___ rr___L~ ____ ~ ________ ~ _L __ ~.~ ____ . __ . _... 1 \

1

1 1

1

-""r~-----""--~

-~

- - - - - - - - - ---

1

1 .-. -- -,----------

-----I-~

_ •• _ • • • _~" •••

-r

J__ .,. _____ 'o. ~ __ ~~ ~L

~-_.-

--.'~ ~~ c_~ ~_._,- - - -

''''4_' • _,.< •• ,., ••••

\ 1

~

~"'-

...

1

-,.,y'~

• 0,974::

-

-)

,j,,", _,. ,... l

' 1 ) , j

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"

, 0,15

0,10

, 0,20

, 0,25

0,278

, 0,30

J.lbu

Figure 7.38

Cette courbe étant très «tendue », on peut sans grosse erreur, lui substituer la droite d'équation: ~ =1 - 0,6 f-l/u

qui est du côté de la sécurité tant que pour 0,278 < f-lbll :::; 0,30.

f-lbll

1

< 0,278 et faiblement du coté de l'insécurité

En pratique, on peut admettre comme valeur approchée de Zb valable tant que f-lbll :::; 0,30 : [7.51] 3. Valeur approchée de A On arrive ainsi à A =

(

Mu

d 1- 0,6/l bu

)

(m, m2 , MNm, MPa)

fed

1. 0,278 voir fig. 7.36 - correspond à la valeur de J.ltu pourlc2S/e = 25 MPa et ye = 1,425. Pour cette valeur [3 exact = 0,833. On a cherché la droite passant par les points !-lm, = ([3 = 1) et Ilou = 0,278 = JO 136 soit [3 = 0,833 = 5/6. L'équation de cette droite est 6 [3 - 5 = 1 - 3,6 !-lbu soit [3 = 1 - 0,6 Iloll-

°

330 Traité de béton armé Pour une approximation beaucoup plus grossière, on peut encore prendre: A=

Mu ::::::125 Mu 0,9 d fed ' h fed

(ou, en cm2 : 28,75 Mu , Mz, en MNm et h en m) h

Remarque importante:

II faudrait se garder de se servir de la valeur approchée de Zb pour en tirer une valeur approchée de a (qui serait a = 1,5 J.1bz,). En effet Zb variant relativement peu (voir ci-avant, figure 7.38 donnant ~ = Zb/ cl) une approximation sur Zb n'a que peu d'influence sur le résultat final, alors qu'il n'en est pas de même pour a et toutes les quantités (allongements, contraintes) que l'on peut en déduire.

7.52

Section rectangulaire avec aciers comprimés - cas de la fissuration peu préjudiciable

Des aciers comprimés ne sont strictement requis que lorsqu'à l'ELU, on a Mz, > à l' ELS, User> À1iser avec À1iser = À1iu / Yet y = Mz,/ User).

Mtu (ou,

Mais il peut exister, dans la zone comprimée sous l'effet du moment agissant, des aciers capables de jouer le rôle d'aciers comprimés. C'est en particulier le cas sur un appui de poutre continue où, les moments étant négatifs, la zone comprimée se trouve en partie inférieure. Les aciers inférieurs qui équilibrent des moments positifs en travée étant, totalement ou partiellement, prolongés jusqu'aux appuis, la section Aa qui arrive sur appuis pourrait théoriquement être prise en compte dans les calculs en tant que section d'armatures comprimées. Cependant, attention! Il faut prendre garde que si la profondeur d'ancrage ldis disponible pour ces aciers est telle que ldis < 0,6 ls valeur que l'on peut admettre comme longueur d'ancrage (voir § 4.33 et § 4.621), la section à introduire dans les calculs qui suivent ne peut être prise supérieure à : A'= A a

Idis 0,6/,

En outre, et de manière générale, seules les armatures comprimées (de diamètre 0,) entourées par des armatures transversales espacées d'au plus 15 0, peuvent être prises en compte dans le calcul.

1.521

Principe général de calcul (valable pour l'état-limite ultime et pour l'état-limite de service)

Une section rectangulaire avec aciers comprimés peut être considérée comme résultant de la superposition de deux sections fictives (figure 7.39) : 1) une section rectangulaire, sans aciers comprimés, de mêmes dimensions que la section réelle, dont l'armature tendue est constituée par une fraction Al de la section totale

Chapitre 7 • Flexion simple 331

A, qui équilibre une fraction MI du moment total M (M" ou

Mser

selon l'état-limite

considéré). 2) une section de hauteur d - d', de largeur nulle, dont la membrure comprimée est constituée par l'armature comprimée (de section A') et la membrure tendue par une fraction A2 de la section totale, et qui équilibre une fraction M2 (limitée à 40 % selon l'article B-6.6 des Règles BAEL) du moment total.

ft

-p(

CD /JI

--------------~ _

d

d

L -- ______________1__ A

---------------;----1+

f\1 -_.~--

:

Zs =d-d'

_________ ~---l-

Figure 7.39 Si l'on désigne par as et asc les contraintes respectives des aciers tendus et comprimés, le moment équilibré par la deuxième section fictive est avec Zs = d - d' : [7.52] On a donc de façon générale, aussi bien pour l'état-limite ultime que pour l'état-limite de service (moments rapportés au centre de gravité des aciers tendus) :

ou encore

M = MI + Alasc(d -dl)

[7.53]

M = MI + A2 a s (d -dl)

[7.54]

et

[7.55]

Remarques importantes 1°) Lorsqu'à l'ELU,M" = ~u (et donc, qu'à l'ELS, Mser = MIse". = Mtuly); la section AI d'acier tendu nécessaire à l'équilibre de la section 1 peut, indifféremment (voir définition du moment limite ultime au § 7.513) être calculée par l'une ou l'autre des deux formules :

AI = Mtlll zblj~d

[7.56]

AI = ML5er i ZII a s.ser = ~J ZII (y.as•ser )

[7.57]

332 Traité de béton armé

avec: Zb/

= d (1 - 0,4 ahJ et a/u = 1,25 (1 - ~1- 21l'1l

ZU

= d (1 -

all/3) et (Js.ser = 15

(Jbc

)

[7.58]

(1- ŒI/)/ ail

ail pouvant lui-même être obtenu par résolution de l'équation du second degré:

[7.59] En identifiant [7.56] et [7.57] on voit immédiatement que: Y(Js,ser

=100 (Zb/ / ZII)

[7.60]

2°) Lorsqu'à l'ELU Mu> Mil (et donc, qu'à l'ELS, User> Mser = Mtu/Y) et que la section d'aciers comprimés n'est pas imposée, la section rectangulaire 1 sans aciers comprimés ne peut pas équilibrer un moment supérieur à Mu ou, ce qui revient au même, supérieur à Mser. Le béton comprimé ne peut en effet équilibrer une force supérieure à celle correspondant à ces moments limites: la hauteur de l'axe neutre correspondant à chacun d'eux est maximale, et ne peut plus augmenter. La position de l'axe neutre, repérée à l'ELU par a/u et à l'ELS par ail, est donc « bloquée ». Pour que cette position change, il faudrait accepter une réduction des déformations ou des contraintes des matériaux, ce qui conduirait à des solutions peu économiques. Le diagramme des déformations à l'ELU, défini par les deux paramètres (a/u ; Ebc = 3,5/ 1000) étant devenu fixe, la contrainte des aciers comprimés, de même que celle des aciers tendus, conservent toujours la même valeur. La même conclusion peut être tirée du diagramme des contraintes à l'ELS, défini par les deux paramètres (ail· ; (Jbc), devenu également fixe. Les aciers comprimés sont déterminés pour équilibrer l'excédent de moment Mil - Mil (ou, ce qui est équivalent, l'excédent Mser - Mser). Puisque leur contrainte est devenue invariable, leur section est proportionnelle à cet excédent, la part de moment équilibrée par le béton seul restant toujours la même, à savoir Mtu (ou Mtser).

Par exemple, si, le moment ultime étant égal à 1,2 Mu = Mu + 0,2 Mu, la section des aciers comprimés nécessaire pour équilibrer l'excédent 0,2 Mu est égale à une certaine valeur A', dans le cas où le moment passerait à 1,4 Mu = Mu + 0,4 Mil, l'excédent de moment ayant doublé, la section d'aciers comprimés nécessaire serait égale à 2 A'. Corrélativement, la part A2 d'aciers tendus nécessaire pour réaliser l'équilibre des forces dans la section fictive 2 devrait, elle aussi, être doublée, et ajoutée à la section requise pour que la section 1 équilibre Mu.

1.

Bien noter que si l'on a 2

Ms" = Mu/y, on n'a pas !ls... = !lu/Y. En effet, on peut écrire:

!l,cr = Muly bod a/x. = !l,Jbulyabc

= 0,85

J.l,,Iy.O,6 f!yb = 0,9441lu1f!y POUryb = l,S.

Se méfier de façon générale des quantités adimensionnelles qui ont l'inconvénient de ne plus faire apparaître les paramètres de base.

Chapitre 7 • Flexion simple 333

7.522

Cas où la section A' n'est pas imposée

Données:

bo, d, d',fbll,!ed, Mil,

Mer

d'où y = Mill Mser puis ~lll et Mil = ~III bocfJbu

Inconnues: A' etA.

1°) Si Mil ::; Mil: des aciers comprimés ne sont pas nécessaires, A' = O. La section d'aciers tendus est déterminée comme indiqué au § 7.514. 2°) Si Alzi ::; Mil::; 1,40 Mil, il faut déterminer à la fois A' et A. 3°) Si Mil> 1,40 Mu il faut changer les dimensions du coffrage de la section, en augmentant si possible la hauteur h (et donc la hauteur utile d) de préférence à la largeur bo. Pour résoudre le problème de la détermination simultanée de A' et A, on ne dispose toujours, en tout et pour tout, que d'un système de trois équations (voir § 7.43) qui, lorsque A' = 0, donne successivement la hauteur de l'axe neutre (équilibre des moments), l'allongement des aciers tendus (compatibilité des déformations) et donc leur contrainte, puis la section des aciters tendus (équilibre des forces). Ici, il y a une inconnue de plus et, à moins de se donner une condition supplémentaire, le problème comporte une infinité de solutions, c'est-à-dire qu'il existe théoriquement un nombre infini de couples (A + A') permettant d'équilibrer le moment de flexion. Toutefois, un certain nombre de ces solutions ne peuvent être retenues, soit parce qu'elles ne sont pas économiques, soit parce qu'elles ne permettent pas de satisfaire la condition de non-dépassement de l'état-limite de compression du béton en service. Par ailleurs, une seule de ces solutions correspond au minimum mathématique de A + A'. La recherche de cette solution par voie manuelle est faisable mais longue (en se donnant a priori des positions d'axe neutre et en opérant par approximations successives). Le temps ainsi passé (même en ayant recours à l'ordinateur) ne compense pas toujours l'économie de métal réalisée, et il faut ensuite chercher si la solution obtenue correspond aussi à l'optimum économique, dans un calcul de coüt où il faut prendre en considération les conditions réelles de livraison par les fournisseurs, de stockage, d'exécution, etc., et en particulier le coüt de la main d'oeuvre nécessaire au façonnage et à la mise en oeuvre des armatures (voir § 16.4). Pour lever l'indétermination, nous allons nous donner comme condition supplémentaire de faire équilibrer le moment limite ultime par la section 1, dans la décomposition en . deux sections fictives. Il faut toujours commencer le calcul par la recherche de la section d'aciers comprimés nécessaire.

334 Traité de béton armé

7.522-1

Calcul des aciers comprimés

On ignore a priori si la section cherchée va résulter d'un calcul à l'ELU ou d'un calcul à l'ELS. En principe, il faudrait donc faire un double calcul. Toutefois, nous allons voir que grâce à un artifice, la section correcte peut être obtenue en en faisant un seul, et en restant à l'ELU. a) Dimensionnement à l'ELU Le choix que nous avons fait de faire équilibrer Mu par la section fictive 1 implique (remarque 2 ci-avant) que la section A' ud'acier comprimé nécessaire doit être telle que: A' Il

= Mil-Mill (d -d') cr"u

[7.61]

avec crscu contrainte des aciers comprimés à l'ELU, déterminée à partir du raccourcissement ESCII de ceux-ci, lui-même calculé au moyen de l'équation de compatibilité [7.2b] du pivot B, pour la hauteur de l'axe neutre correspondant à Mil (ou f..llll ), donc en prenant a = alu tiré de [7.58]. Compte tenu du diagramme bilinéaire adopté pour les aciers, on a crscu =led tant que Escli

3 5- ( 1 -8'-J '?--f!!!... !, avec 8'= d', soit - 0' =-' 1000 a lll Es d a lll

~ 1- 1000 !,ed

3,5 Es

ou encore, pour led = 500 JI, 15 MPa, tant que 0' ~ 0,38 aill • La plus faible valeur de alll étant 0,2662 (tableau 7.3) la condition finale est donc 8' ~ 0,38 x 0,2662 "" 0,10 ce qui est en général réalisé. Finalement, la section d'aciers comprimés nécessaire à l'ELU est donnée par:

A' 1/

=

Mu -Mlu

(d-d')fed

[7.61bis]

b) Dimensionnement à l'ELS D'après la remarque 2 ci-avant, la section telle que:

A'ser

d'acier comprimé nécessaire doit être

[7.62] avec crsc.ser contrainte des aciers comprimés à l'ELS, calculée au moyen de l'équation de compatibilité [7.7b] appliquée au diagramme «figé» des contraintes, donc en prenant ·al = al/donné par la résolution de l'équation du second degré [7.59] : crsc,ser

= 15 (0,6fc2S)

(1-~J = 9 fc28 (l-k' 8'), en posant k' = 1 Jall ail

[7.63]

Chapitre 7 • Flexion simple 335 Connaissant Mtser et donc /-lIser = Mtserl bod 2 et ayant déterminé ail par [7.59], il serait facile d'en déduire k' et crsc,sen puis de reporter ces valeurs dans l'expression [7.62] pour obtenir A'ser' Mais en pratique, on peut se dispenser de calculer /-lIser car on peut obtenir k' directement en fonction de la quantité /-l' = /-lIIlIGy (voir § 7.521), soit au moyen de la courbe de la figure 7.40 ci-après, soit au moyen de la formule approchée: k'=

1 1,6/-l' (1 + 2/-l')

[7.64]

k'

Figure 7.40 Comparons maintenantA'u donné par l'expression [7.61 bis] à A'ser donné par [7.62]. En multipliant haut et bas par y = Mill Mser le second membre de l'expression [7.62], on peut écrire : A' .Ier

=

y(Mser-M'ser) = Mu-M'II (d - d'){y cr sc",er) (d - d'h cr sc,ser

On en conclut que: - si y crsc,ser A ',J - si y crsc,ser > led, la section d'aciers comprimés à retenir sera A' Il (> A' ser) L'examen des courbes de la figure 7.41 page 337 montre que, pour les aciers de nuance Fe E 500, on tombe toujours dans le premier cas si!c28 ~ 35 MPa, et que l'on tombe toujours dans le second si!c28;::: 45 MPa. · l' = 40 M P' l" s;::, d' 3 (y -1,2) SIJc28 a, on n a y crsc,ser <.Ied que SI u =d;::: 8 .

336 Traité de béton armé c) Calcul pratique de la section d'aciers comprimés nécessaire Pour aboutir à des expressions générales, nous allons introduire dans nos calculs une contrainte fictive des aciers comprimés, que nous désignerons par (Jsee «(Jse « équivalente ») égale à: (Jsee =

min [y (Jse,ser ;!ed] ou d'après [7.63] :

(Jsee

= min [9y!c28 (1 - k' 8') ;!ed]

[7.65]

avec k' tiré de la figure 7.40 ou de la formule [7.64]. Ainsi nous n'avons plus qu'une formule unique qui donne la section A' des aciers comprimés et couvre à la fois les conditions de l'ELU et celles de l'ELS : [7.66] Formule approchée donnant la contrainte équivalente (Jsee

Il est possible de trouver une expression approchée commode de la contrainte équivalente (Jsee. qui évite tout calcul fastidieux. Il suffit d'écrire: (Jsee

= 9y!c28 (1 - k' 8') = 9y!c28 - (9y!c28 k')8'

[7.65 bis]

et d'observer que la valeur du terme entre parenthèses est sensiblement invariante pour une qualité de béton donnée (dans le domaine 1,35 $ Y$ l,50 et 1,8 $ k' $ 2,5) ce que la figure 7.41 met en évidence (pentes des droites égales et constantes, chacune égale à une fonction linéaire def~28). Pour les aciers de nuance Fe E 500, la formule [7.65 bis] peut ainsi être correctement représentée par la formule approchée [7.65 ter], dont la valeur numérique doit être plafonnée à!ed, soit 435 MPa. On a donc: (MPa)

[7.65 ter]

Plus précisément: • Pour!c28

$

35 MPa, ou pourfc28 = 40 MPa, mais avec 8'=

d'

(Jsce

=9y fc28 - -;;(13 fc28 + 415)

~' ~ 3 (y-81,2) (MPa)

Cette formule est valable pour e = 1 (voir § 5.222). Elle demeure toutefois suffisamment approchée pour e = 0,90 ou e = 0,85. Si l'on désire une meilleure approximation, on peut la transformer légèrement sous la forme:

Chapitre 7 • Flexion simple 337 a sce = ya sc. ser (MPa)

IÎ\ fed = 435

f c2 8 = 40 MPa

400

f C28 = 35 MPa

350

f c28 = 30 MPa

300

f C28 = 25 MPa

230 ' - - - - - " ' - - - - - ' - - - - - - - ' - - - - - ' - - - - " " " ' - - - - " - - 3 1 > ô' = E.:. 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 d La variation est quasi-linéaire, et la pente quasi-constante, d'où la valeur approchée [7.65 ter]. Les droites tiretées correspondent à la loi approchée, tracée dans chaque cas pour y = 1,425.

Figure 7.41

338 Traité de béton armé Le coefficient 13, valable pour 8 = 1, peut alors être pris égal à : - 13,25 pour 8 = 0,90 - 13,50 pour 8

= 0,85.

Toutefois, l'écart sur la valeur de crsce obtenue en modulant ce coefficient étant de l'ordre de - 1 % au maximum, la précision des calculs ne nécessite vraiment pas un tel raffinement. • Pour 11.'28;::: 45 MPa, ou pour !c28 = 40 MPa, mais avec 8'= d' < 3 (y -1,2) d 8

crsce =j~d = 435 MPa 1.522-2

Calcul des aciers tendus

Nous venons de déterminer la section d'aciers comprimés strictement nécessaire par [7.66]. La fraction AI d'aciers tendus équilibrant le moment ~u dans la section fictive 1 est donnée par [7.56]. L'équilibre des forces dans la section fictive 2 exige de prévoir en complément une section d'aciers tendus A 2 (à ne pas oublier) telle que: - à l'ELU: A 2!ed= A'u crscu - à l'ELS : A 2 crs.ser = A' ser crsc.ser avec:

crsoser

=15 crbc

(_1 -1) =9!c28 (k'-l)

[7.67]

<XII

et k'= _1_ tiré de la figure 7.40 ou de la formule [7.64]. <XII

La section d'aciers tendus à retenir A = AI + A2 , est donc égale à la plus grande des deux sections Au et Aser déduites de l'équation d'équilibre des forces: d'où

A = Mis. +A' crso• /1

.{'

zU·Jai

Il

('

Jed

d'où Compte tenu de [7.56] et [7.57], on peut, dans l'expression donnant

M111- d'où: par __ Zbl !cd crs.l"r

Miser Zbl

ASC1'

remplacer

Chapitre 7 • Flexion simple 339 En remplaçant dans les expressions précédentes [7.61] et [7.62], on obtient:

A ser

=

+

M lu Zbl

J:d

M ser - Miser

(d - d') crse.ser

A'u

et

(y crse.ser) =

(y crs.ser )

A'ser

M lu ZbI

!cd

+

par leurs valeurs tirées de

Mu - M lu

(d - d') Ycrs•ser

Finalement, si l'on pose: a se

= min[fed; yas.ser ] et a sce = min[fed; yase.ser]

on peut, compte tenu de [7.63] et [7.67], obtenir la section A cherchée au moyen de la formule unique et rigoureuse:

avec Zb[

A =~+A'

cr sce

Zbl fed

cr se

[7.68]

= 0,5 d(1 + ~1- 21l/u ).

La valeur approchée de a sce a été déterminée ([7.65 ter]). La valeur de a se s'obtient à partir de la relation [7.67] donnant as.ser en multipliant les deux membres par yet en plafonn,ant le résultat àfed :

crse

=Ycrs,ser =15 Ycrbc (_1 -IJ = 9 YfC28(k'-I) 5:.!ed

[7.67 bis]

ail

Bien noter que l'introduction de asce et de asen'est qu'un artifice destiné à éviter de faire un double calcul de A', de retenir la plus grande valeur trouvée, et enfin de calculer A par la méthode exposée ci-après pour le cas où A ' est connu. Lorsque Mtll atteint sa valeur plafond (/l/II = 0,3717), les contraintes a,ct' et a,e doivent être prises égales àfed et, tous calculs faits, on trouve: A ::::: 0,5 bo c!fbul!ed + A'

avec A' déterminé par [7.61 bis], avec asce =!ed. Formule approchée donnant la contrainte équivalente ase

On ne peut partir d'une formule approchée pour en déduire une autre. C'est pourquoi, tirer une valeur fictive de k' de la comparaison des deux coeffcients de ô' = d - d' dans [7.65 bis] et [7.65 ter] et la porter dans la formule [7.67 bis] ne fournirait pas une for-

340 Traité de béton armé mule approchée convenable, car conduisant à des écarts sur les valeurs de a se pouvant aller de - 3 % pour les valeurs basses de !c28 à + 1 % pour les valeurs élevées.

°

En calculant les valeurs exactes de ase pour un certain nombre de couples (y, !c28), on constate que ase varie en fonction de Ic28 selon une loi sensiblement linéaire qui peut être représentée, avec une bonne approximation (écarts, dans le sens de la sécurité, au plus égaux à 5/ 1000), par la formule:

crse

=434 -

k" fc28 ~ (crJlim

(MPa)

[7.69]

a) dans le cas où e = 1, k" prend en fonction du rapport y les valeur du tableau ci-après (interpolations linéaires pour des valeurs de y intermédiaires mais ne pas faire d'extrapolation) :

Y

1,35

1,40

1,45

l,50

k"

0,19

0,34

0,51

0,69

(crse)lim correspond au cas où la contrainte réelle de l'acier tendu à l'état limite ultime atteintled et ne peut descendre au-dessous (voir § 7.513b, les valeurs de y correspondant à ce cas). Cette valeur limite peut être prise égale à: (crse)lim = 382 + 0,6!c28 (MPa). b) dans le cas où e = 0,9, on peut prendre sans avoir à vérifier la condition sur (crsehm : - pour y ~ 1,40 ; k" - pour y;::; 1 45 . k"

"

°; =° "

=

08 .

- pour y = 1,50; k" = 0,20. c) dans le cas où e = 0,85, quelle que soit la valeur du rapport y : crse = 434 MPa.

Remarques 1. L'anomalie consistant à avoir des contraintes différentes (ase etj~d) aux dénominateurs des deux termes de la formule [7.68] alors que"ce devrait être la même (soit l'une, soit l'autre) ~est qu~apparente. Pour obtenir cette expression, nous sommes bien partis des équations d'équilibre des forces.

2. Pour une section dans laquelle il est nécessaire de prévoir des aciers comprimés, il est inutile de vérifier que l'on a bien A ~ Amin.

7.523

Cas où la section A' est imposée

(cas relativement fréquent des sections sur appuis des poutres continues, voir début du § 7.52)

Données:

Chapitre 7 • Flexion simple 341 Aire réelle A 'réel des armatures comprimées présentes dans la section. Inconnue:

Aire A de la section des armatures tendues a) Vérifications préalables

Il ne faut pas se lancer dans les calculs en y introduisant A 'réel. En effet, il faut s'assurer tout d'abord que les aciers comprimés s'étendent de part et d'autre de la section droite où agit le moment U/ sur une longueur la au moins égale à 0,6 ls (voir début du § 7.52) et retenir, pour le calcul:

A'=min[4.-,

. 4éel

°1] ~l ,

s

avec les conditions supplémentaires:

-,)111 ,

A';? (Mil avec (Jsce déterminé par la formule [7.65] ou par la formule approchée d - d O'sce [7.65 ter]. Si cette condition n'est pas vérifiée, il faut opérer comme si la section d'aciers comprimés n'était pas imposée; A'::; ( OA ~u ,sinon il faut modifier le coffrage (augmenter d, si possible, de préféd-d fed rence à bo). b) Détermination de la section A des aciers tendus:

La contrainte O'sce ayant été déterminée par la formule [7.65 ter], on calcule A' O',I'ce (d - d') plafonné à 0,4 U/ puis: MI

et l'on prend /lbll

= Mil -A'crsce(d-d')

=/lI = Mil bo d 2 j~1I

;?

0,6M

II

(::; /l/ll par hypothèse).

On calcule ensuit!.. une première valeur k' 1 de k l par la formule: k l '=

. 1

1,6/l 1 (2+/l 1 ')

avec /ll'=~ ey

La nouvelle contrainte des aciers comprimés est O'scl = 9 Y fc28(1-k'8') avec 8'

= d' 1d.

• Si cette valeur est supérieure à led, on remplace dans l'expression de MI donnée ciavant O'see parled d'où une nouvelle valeur Mie de MI et, en s'aidant, pour déterminer Zb, de l'organigramme donné au § 7.511-4, on calcule la section A 1 d'aciers tendus nécessaire pour équilibrer le moment Mie soit:

342 Traité de béton armé

La section d'armatures tendues cherchée est donnée par A

=~ + A'

fed avec O"sce déO"sce

terminé comme indiqué au § 7.522-2 (formule [7.69]) . .. Si on trouve O"scl
=

~2

ho d 1;,1/

et

M-~ = M-2

8y

ce qui permet de calculer une seconde valeur k' 2 de k' et

une nouvelle valeur cr sc2 = 9 Y fc28 ( 1- k;Ù') à introduire à la place de O"sce pour calculer un moment M3, et ainsi de suite jusqu'à trouver

0" sci+l :::::: 0"sei S.!ed.

On a alors M;+1 = Mz, - A'O"sci(d - d');::: 0,6 Mz, et Zb

= M~+l

d'où l'on peut déduire hod 1;,1/ (formules [7.29] ou [7.51]). La section d'armatures tendues cherchée est: M-i+l

avec O"se déterminé comme indiqué au § 7.522-2 (formule [7.69]). En général, le système étant rapidement convergent et de faibles vanatIOns de la contrainte des aciers comprimés ne modifiant pas sensiblement le résultat, on peut s'arrêter à la deuxième itération (i = 2). Il est inutile de s'assurer pour finir que l'on a bien A;::: Amin. Remarque: Suivant le pourcentage d'aciers comprimés, la méthode qui vient d'être exposée peut conduire à des résultats nettement du côté de la sécurité. La recherche de la solution optimale nécessiterait un double calcul (ELU et ELS), avec des approximations successives et des développements assez longs dans les deux cas. La méthode précédente donne assez rapidement une solution en pratique acceptable, pour un problème qui, lorsqu'il se présente, n'exige pas un raffinement excessif. Si l'on augmente A' par exemple, la force que doit équilibrer le béton comprimé diminue et donc la section Al d'aciers tendus nécessaire pour équilibrer cette force dans la section fictive 1 diminue également. En contrepartie, la section A 2 qui doit équilibrer dans la section 2 la force de compression dans les aciers comprimés, augmente. Et réciproquement, si on diminue A'. Il Y a une certaine compensation entre ces deux effets et, en défi nive, la section totale d'armatures tendues évolue peu. Il en résulte que, pour une estimation très rapide de la quantité d'aciers tendus, on peut même mener le calcul en négligeant totalement A' imposé (organigramme au § 7.511-4).

Chapitre 7 • Flexion simple 343 Organigramme de calcul d'une section rectangulaire avec aciers comprimés d'

bo' d, d' -> 0' =

d ;fc28 -> fbu =

0,85 fc28 9'1,5 ; 9 ; fe

->

fe Mu fed = 1 15 ; Mu ; Mser ; Y , ser

0';;: 3 (y-1,2)/8?

ACIER FeE500

M

->

IJtu

Non

IJ

M

-

u

bU-~

o

IJ'=

bu

Mu-Mtu

A'= (d - d') fed

k'=----1,6 IJ' (1 + 2 IJ') approché

d'

O"sce = 9yfc28 - -

d

«exact»

r-~------------,*

1 Ml u A = - (--)+A' fed O,753d

(13fc28 + 415)

Soit

/>:= O"sce (d - d')

_

Attention! « exact»

Ml.u

O"sce

zt>l fed

O"se

A = - - +1\--

Attention!

Nota: Les formules approchées donnant 0"!Ce et 0"se ne doivent pas être uü/isées pour déterminer les sec/ions yf' et SIt en flexion composée (voir chapitre 8)

344 Traité de béton armé

7.524

Cas où l'on désire avoir A == A' (armatures symétriques)

Dans ce cas, pour éviter un calcul manuel itératif pénible!, la meilleure solution consiste à avoir recours à des «diagrammes d'interaction» (voir chapitre 8).

7.53

Section rectangulaire avec ou sans aciers comprimés

[Cas de la fissuration préjudiciable ou très préjudiciable] Dans ce cas, la contrainte de l'acier en service est limitée par les conditions de fissuration à une valeur limite crs (voir tableau 5.1) et il faut substituer au moment limite ultime défini précédemment la notion de« moment résistant-béton »2.

7.531

Moment résistant-béton

Le moment résistant-béton M rb est le moment de service pour lequel l'état-limite de compression du béton (caractérisé par cr be res (caractérisé par crs

=crbe )

et l'état-limite d'ouverture des fissu-

= crs) sont atteints simultanément (le diagramme des contraintes

passe donc à la fois par les pivots « a» et «b », voir § 7.422).

Volume des contraintes

Y1

Figure 7.42

1. On peut trouver le détail de ce calcul itératif à l'annexe 1 de l'ouvrage de J. Perchat et J. Roux, Pratique du BAEL 91, éd. Eyrolles. 2. Nous conservons ici la notation traditionnelle Mrb au lieu de la notation Mab utilisée au § 7.422.

Chapitre 7 • Flexion simple 345 Lorsque User = Mrb , l'axe neutre occupe une position définie par (triangles semblables) :

-;;- _ 2L _ 150"be ""1 -

et la relation générale

llser ='lfl al

. . 1 donne ICI, avec 'If 1 = - , 2

s::

u GI

1

= -,

al

d

-

(1-8GI =

al

[7.71]

150"be + 0" s al)

et

Ilrb

établie au § 7.512-1, équation [7.42], =

3

M rb 2

bod

O"bc

[7.72]

c'est-à-dire

(MNm, m, MPa)

[7.73]

II est donc possible de calculer la valeur de M rb a priori, une fois connues les valeurs des contraintes limites

O"be

et crs .

Pour les valeurs usuelles de 0"be et 0" s , se reporter aux tableaux 7.6 et 7.7 ci-après qui

J

A = ( 1 -aldonnent 1es va1eurs de -al '1-'1 3

,llrb

et k =

Il,.bO"bc

rb = -M -2 .

bo d

346 Traité de béton armé Tableau 7.6. 1c28 /t28

MPa

crbe

Fissuration préjudiciable

Fissuration très préjudiciable

250

200

0,4186

0,4736

13 1

0,8605

0,8241

!lrb

0,1801

0,1944

k

2,16

2,39

crs

250

200

al -

0,4737

0,5294

131

0,8421

0,8235

!lrb

0,1994

0,2180

k

2,99

3,27

crs al -

250

200

0,5192

0,5744

131

0,8269

0,8085

!lrb

0,2147

0,2322

k

3,86

4,18

crs

250

200

al -

0,5575

0,6117

13 1

0,8142

0,7961

!lrb

0,2270

0,2435

k

4,77

5, Il

crs

250

200

al -

0,5902

0,6429

131

0,8033

0,7857

!lrb

0,2370

0,2526

k

5,69

6,06

MPa

crs

20

-

al -

12 1,8

25

15 2,1

30

18 2,4

35

21 2,7

40

24 3,0

Chapitre 7' Flexion simple 347 Tableau 7.7

-

fc28 ft28

crbc MPa

Fissuration préjudiciable

MPa

0S5,5 mm

0::::6 mm

0S5,5 mm

0::::6 mm

250

253

200

201

0,6183

0,6157

0,6694

0,6670

f31

0,7939

0,7948

0,7717

0,7777

f..lrb

0,2454

0,2447

0,2642

0,2594

k

6,63

6,61

7,02

7,00

crs -

250

264

200

211

al

0,6429

0,6303

0,6923

0,6806

f3 1

0,7857

0,7899

0,7692

0,7731

f..lrb

0,2526

0,2489

0,2663

0,2631

k

7,58

7,47

7,99

7,89

crs

250

275

200

220

al

0,6644

0,6430

0,7122

0,6925

f31

0,7785

0,7857

0,7626

0,7692

f..lrb

0,2586

0,2526

0,2716

0,2663

k

8,535

8,34

8,96

8,79

crs

257

285

206

228

al

0,6775

0,6544

0,7242

0,7030

f31

0,7742

0,7819

0,7586

0,7657

f..lrb

0,2623

0,2558

0,2747

0,2691

k

9,44

9,21

9,88

9,69

crs -

45

al

27 3,3

50 30 3,6

55

3,9 60 (1)

36

::

4,2

-

33

Fissuration très préjudiciable

( 1) toutes les valeurs numériques correspondant à!c28 = 60 MPa ont été établies en prenant n = 15. Selon l'additif aux Règles BAEL 91, n = 9 serait mieux adapté.

348 Traité de béton armé

Calcul des armatures dans le cas où la section A' n'est pas imposée

7.532 Données:

bo, d, crs et crbc , d'où al , Jlrb et M,.b, Uer-

Inconnues: A etA'

Premier cas : Uer::; M rb Cette inégalité implique crbe

::;

cr be

;

des aciers comprimés ne sont donc pas nécessaires

et A' = O. Pour les aciers tendus, on cherche à atteindre la contrainte crs (pivot a). Les équations pour le calcul des armatures tendues sont:

M ser

al ( 1- al) bod 2 = crbc 2

2

~

avec cr bc = crs (triangles semblables, crs connu) et 15 1-a l En éliminant al et

crbc

Zbl

=d

(1-~) 3

de ces trois relations, on obtient une relation

~ = g( M J d b d cr ser

2

o

s

que l'on peut représenter graphiquement (figure 7.43) et qui permet d'avoir Zbl puis: [7.74] Les diamètres des barres nécessaires pour réaliser la section Aser doivent être tels que: - 0 - 0

~ ~

6 mm en cas de fissuration préjudiciable; 8 mm en cas de fissuration très préjudiciable.

0,90

0,85

0,80 0,005

0,010

0,015

Figure 7.43

0,020

0,025

Chapitre 7 • Flexion simple 349 En pratique, on peut utiliser une valeur de Zb approchée, à savoir: [7.75] M

avec ).ts =

~er (attention à bien introduire la contrainte limite de l'acier O's au débod O's nomitateur, et non celle du béton).

Il faut, pour finir, s'assurer que l'on a bien Aser:2: Amin (§ 7.511-2, formule [7.37]). Sinon, il faut prendre Aser = Amin.

Remarques: 1. La formule [7.74] conduit-elle à une valeur de Aser suffisante pour assurer la sécurité à l'état-limite ultime de résistance? En d'autres termes, si l'on calculait la section Au nécessaire pour équilibrer le moment yMser. ne risquerait-on pas de trouver Au > Aser?

Les sections correspondantes, exprimées en pourcentages, sont:

_

Au

_

Mu

Pli - b d o

l'

ZbJed

_

O's

d

_

Zbl

O's

b f-Ylls-;:---YPscl'--;:oC

Jed Zb

Zh

Jad

Pour aboutir à Au> Asen c'est-à-dire à Pu> pser, il faudrait que l'on ait:

Or, en cherchant le cas où le rapport O's!j~d est le plus élevé, on trouve que ce cas correspond 0's / fed

à

!c28

= 60 MPa, valeur pour laquelle

= 285/435 = 0,655)

O's

= 285 MPa

(donc

et en associant cette valeur à la plus grande valeur

possible du rapport zb,1 Zb soit 1,05, on trouve, pour y = 1,45 (1/3 de charges permanentes, 2/3 de charges variables) : Z

0'

Zb

Jed

Y 2.!.. /'

= 1,45 x 1,05 x 0,655 =

0,998 < 1

Ce n'est que si, avec les mêmes hypothèses, 'Y était égal à 1,5 (cas peu courant d'une absence totale de charges permanentes) que l'on aurait Ali = 1,02 A.n dépas-

350 Traité de béton armé sement que l'on peut considérer comme négligeable, étant donné la précision des calculs.

Conclusion: En cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable, l'état-limite déterminant est l'état-limite de service. Calculer alors la section d'acier nécessaire à l'état-limite ultime ne présente aucun intérêt et ne ferait qu'entraîner une perte de temps totalement inutile.

2. Une question telle que: « Peut-on avoir Mu > À1il/ quand User < Mrb , autrement dit les aciers comprimés éventuels trouvés à l'ELS seraient-ils suffisants à l'ELU? » est une question qui n'a aucun sens. En effet, dès que User::; M rb , on est sûr qu'en service crbe

::; cr be

et compte-tenu de la

remarque 1, une vérification à l'ELU est tout à fait inutile. En outre, on a effectivement toujours Ml/ly inférieur à À1rb, cette situation venant de ce que lorsqu'on calcule les contraintes en service d'une section dimensionnée à l'ELU, on trouve que l'axe neutre est plus haut que dans les sections dimensionnées à l'ELS, et donc que le moment résistant que peut développer le béton comprimé pour cr be plus faible (la fonction

g(YI)

±

=

YI (

d-

~I

)

= crbe est

bocrbe est en effet une fonction crois-

sante).

d- Y1

3

0,7 fe 15 (-15)

O"s

O"s (F.P)

15

O"s

15 (F.T.P)

Figure 7.44 Cas
Chapitre 7 • Flexion simple 351 Deuxième cas: Uer> Mrb Sans aciers comprimés, on aurait abc> abc ; des aciers comprimés sont donc nécessaIres. Leur section A' sel' est déterminée par : [7.76]

avec

-0.-8'

asc = 15 ab e - L -

[7.77]

al

8'=~

d'

crs

15

Figure 7.45

La section de béton seul (section fictive CD, voir fig. 7.40) équilibre M,'b avec un bras .de levier rigoureusement égal à Zbl et une fraction Al de la section totale d'armatures tendues égale à:

Al

M_ rb =_ Zbl

[7.78]

as

Au total on a donc: Aser

=

(Ml'b)

d 1-~ 3

+ A~er a as

sc

cr

[7.79]

s

Il est inutile de s'assurer pour finir que l'on a bien Aser;::: Amin.

7.533

Calcul des armatures dans le cas où A' est imposé

II faut vérifier si la section donnée est suffisante, c'est-à-dire si l'on a bien (voir [7.76] et [7.77])

352 Traité de béton armé a) S'il en est bien ainsi, on s'impose de faire équilibrer par la section rectangulaire fictive sans aciers comprimés le moment: Ml = M ser - A' 0'se (d - d') < M rb par hypothèse (donc

O'be

<

0' be ).

Par la méthode exposée au § 7.532, premier cas, on obtiendra la fraction Al d'aciers tendus nécessaire pour l'équilibre du moment Ml avec une contrainte égale à La section totale à prévoir est

Aser

= A1 +A' O'se

O's .

[7.80]

O's

Il est inutile de s'assurer que l'on a bien Aser ::::A min •

b) S'il n'en est pas ainsi, il faut prévoir une section d'aciers comprimés au moins égale à: (O'se

par [7.77])

On est alors ramené au calcul de la section d'aciers tendus A connaissant A' (voir § 7.532 - second cas).

7.54

Dimensionnement d'une section rectangulaire

L'une des dimensions bo ou d n'est pas fixée, l'autre étant imposée par des raisons de construction ou choisie a priori. On cherche à ne pas avoir d'aciers comprimés; la valeur minimale de la dimension inconnue est tirée selon le cas de l'une des conditions suivantes: - fissuration peu préjudiciable

Ur, ::; Mu

c'est-à-dire: bod 2 :::: ~ (unités m,

Illuf;m

MNm,MPa) - fissuration préjudiciable ou très préjudiciable: c'est-à-dire bod 2

::::

M ser Ilrb O'bc

User::;

M rb ,

(m, MNm, MPa)

Si la largeur bo n'est pas imposée, on peut prendre 0,3 d::; bo ::; 0,5 d. La hauteur utile d reste alors la seule inconnue dans les inégalités précédentes.

Remarques: 1. Si l'inconnue est d, il faut adopter, si possible, une valeur nettement supérieure à dnùn (économie d'acier, voir les formules donnant Au ou Aser, qui contiennent toutes d au dénominateur). 2. À noter que, pour les raisons données à la suite de la figure 7.44, la condition Ur,::; l~u conduit à un dimensionnement supérieur (bod 2 plus élevé) que la condition User::; Mrb •

Chapitre 7 • Flexion simple 353

Organigramme de calcul d'une section rectangulaire à l'état-limite de service d'

bo ; d ; d' -+ ô'

_

=d ; O"be =

_

0,6 fc2S ; O"S (tabl. 5.1) ; Mser

U1

u1

Ilb=-(1--)

2

r

3

Oui

Calcul exact

Non

Calcul approché /li =

Mser - Mrb O"se (d - d')

Zb1 en fonction de Ils par abaque

O"se Mrb A = - - - - - + /li

Terminé

Oui

""'1---<

Non

fas

':>----+1 Amin = 0,23 bod -

Terminé

Oui

-oE---<

fe

Non

A=Amin

354 Traité de béton armé

7.55

Vérification à l'état-limite ultime d'une section rectangulaire dont on connait les armatures

~r--r----y

""

_____ J_____ _____ _ /

/

/

/

/

/

d -0,4 y

-- --- -- - ' - - - - - '

Figure 7.46 Données .' ho, d, d', A, A' ,1e,fc28, d'où/bll = 0,85fc28/ 1,5

e

Inconnue .'

Moment résistant maximal Mil que peut équilibrer la section à l'état-limite ultime.

=y

et procéder par itération (voir § 7.432 et l'organigramme d donné au 3°), soit opérer comme suit. On peut soit se fixer x

7.551

Cas de la section sans aciers comprimés

1. Puisque la section ne comporte pas d'armatures comprimées (A' = 0), il faut vérifier tout d'abord que l'on a bien Mu::; Mtu, sinon l'état-limite de compression du béton en service serait dépassé. Ce qui suit n'est valable que si cette condition sur lv!" est bien réalisée. Il faut vérifier également que l'on a bien A ~Amin (§ 7.511-5, formule [7.37]).

2. La position de l'axe neutre est donnée par l'équation d'équilibre des forces, F.\ = F bc c'est-à-dire:

Afed

=0,8 ho Y !t'II

d'où

(Puisque Mil :s Mtll' il n'est pas nécessaire de vérifier que la hauteur y ainsi trouvée est bien compatible avec la valeurfedintroduite dans le calcul; voir § 7.511-3).

Chapitre 7 • Flexion simple 355 3. Le bras

Mu

de

levier

vaut

Zb

= d - 0,4 y et le moment ultime cherché est

=AfeAd-0,4y).

II suffit alors de vérifier que l'on a bien Mu::;;

~l

•

7.552

Cas de la section avec aciers comprimés

7.552-1

Calcul de la position de l'axe neutre

II faut commencer par s'assurer que la section d'aciers comprimés est telle que l'étatlimite de compression du béton en service n'est pas atteint c'est-à- dire que l'on a bien:

crsee étant déterminé soit par la formule [7.65], soit par la formule approchée [7.65 ter]. Ce qui suit n'est valable que si cette condition sur A' est bien satisfaite. Si elle ne l'est pas, alors la section A' initiale doit être augmentée. On commence par supposer que le pivot B est atteint et que la contrainte réelle des aciers comprimés est crseu =!ed (et non crsee qui n'est qu'une contrainte «équivalente », utilisée dans le dimensionnement). La hauteur de l'axe neutre est donnée par l'équation d'équilibre des forces qui, avec les hypothèses faites, s'écrit:

AJed

= 0,8 boY hu + A' Jed d'où Y = (A -

(m, MN, MPa)

A'}fed

[7.81 ]

0,8 bOh" 1. Si y> 0,259 d,l'hypothèse faite sur le pivot B est bonne. . a) St, en outre y;:::

700d'

(ce qui correspond à

t:

Escu ;:::. ed )

700- fed Es est également bonne, et la valeur de Y trouvée peut être retenue.

l'hypothèse faite sur

crscu

b) Si, tout en ayant y > 0,259 d, la valeur de y ne vérifie pas l'inégalité ci-avant, il faut recommencer le calcul de y en prenant:

< 1" avec crsell =E sEsclI -Jcd

Escu -

~ Y - d 'SOIt . cr -_ 700 y.;.. d' (MPa ) sell 1000

Y

Afed - 700A ' Y et y est racine de l'équation

Y

c!..

y=------"-y-

0,8boh"

356 Traité de béton armé ou, tous calculs faits,

(0,8boj~J y2 - Y [Afed -700A']-700A'd'= 0 (m, MN, MPa)

[7.82]

2. Si Y < 0,259 d, l'hypothèse faite sur le pivot B n'est pas bonne; le pivot est le point A. (Il en est en particulier ainsi dans le cas d'armatures symétriques (A = A') puisque l'équation [7.81] donne alors y = 0). On commence par supposer (J'scu =!ed et on calcule y par l'équation [7.81]. a) SI. y

~

+ 2000d' , l'hypoth'ese sur (J'SCIi est correcte et 1a va1eur de y trouvee '1 est a

d

/ed+

2000

bonne. b) si y ne vérifie pas l'inégalité ci-avant (cas, en particulier, des armatures symétriques), il faut recommencer le calcul de y en prenant: (J'SCIi

'd'1re c , est-a-

(J'scu

(la condition

=

ES E sclI
y-d' = 2000 -

(J'SCII

10 y-d'

Escu

=----1000 d - Y

(MPa)

d-y

=j~d

avec

correspond donc à

(y-d')~(d-y)

fed d'où a été tirée 2000

l'expression figurant en a) ci-avant). On trouve ainsi: AI" _ 2000A' y-d' 'Jed d y= -y 0,8bohll

Tous calculs faits, y est racine de l'équation: (0,8bo/ bll )y2 - y[0,8bod /bu + A/ed - 2000A'l+ Ad fed + 2000A' d'= 0 (m, MN, MPa)

[7.83]

7.552-2

Calcul de Mu

Dans tous les cas, On doit s'assurer que Mu :::; Mil .

[7.84]

Chapitre 7 • Flexion simple 357

1.56

Calcul des contraintes d'une section rectangulaire avec ou sans aciers comprimés (états-limites de service) bo

I-C----~)Io1

·~-+-~A

d'

-t------- ---------.:--------~O"SC O"bc

- ------

15

8'1 _A_ _

=8'+15A' =boY1+15A'

8 1 = (bo Y1)

__________ -L-_ _---l

y; +15A'(Y1 - d')

O"s

15

Figure 7.47 Le calcul des contraintes normales en service est à faire: 1. dans tous les cas où la valeur « exacte» des contraintes en service est exigée et où la preuve qu'elles n'atteignent pas les limites admissibles (ce dont on est sûr par exemple, pour le béton, lorsque f.lbll < f.llu ou Mser < M rb ) n'est pas considérée par le maître d'œuvre (ou le client) comme suffisante; 2. lorsqu'il est nécessaire de vérifier les flèches par le calcul (voir § 15.33).

Données .: bo, d, d', A, A'

,Mser. crbc

=O,6fcZ8' et crs

(tableau 5.1)

Inconnues: Contraintes normales sur la section droite,

crbc

pour la fibre la plus comprimée, crs pour

les aciers tendus, à comparer éventuellement aux limites

crbc

et crs .

Pour calculer les contraintes normales, il suffit d'appliquer la formule classique de la Résistance des Matériaux cr = Mv à la section homogène réduite après avoir déterminé 1 la position de l'axe neutre par l'équation des moments statiques (voir équation [7.11] en 7.44). I?ans le cas de la section rectangulaire avec aciers comprimés, l'équation des moments statiques s'écrit: l

,

bo~21 + 15A' (YI -d') -15A (d - YI) ou encore:

=

boY~ + 15YI(A + A') -15(Ad + A'd') = 2

° °

[7.85]

358 Traité de béton armé S'il n'y a pas d'aciers comprimés, faire A' = 0 dans cette équation et dans les formules suivantes. La résolution de l'équation [7.85] donne YI. Le moment d'inertie de la section homogène réduite par rapport à l'axe neutre est: [7.86] Les contraintes valent: [7-87a]

- pour le béton, valeur maximale :

- pour l'acier tendu: Le calcul de

Ose

M () das =15~ d-y =15a Il be 1 YI

[7-87b]

est en principe inutile, puisqu'aucune condition n'est imposée à l'acier

comprimé à l'état-limite de service (on aurait, si besoin, a sc = 15 M ser (YI -d')).

Il

Remarque: Si A'

= 0 (et dans ce cas seulement), on a

zb

=d _li, et on peut écrire plus rapi-

3 dement, après avoir déterminé YI par l'équation des moments statiques:

[7.88a]

[7.88b]

et Dans ce cas, le calcul de Il n'est donc pas nécessaire.

7.6

SECTION EN T (À TABLE DE « COMPRESSION »)

Les poutres sous chemin de roulement des ponts-roulants constituent un exemple de sections en T isolées [la table joue ici un double rôle: d'une part, elle participe à la résistance à la flexion sous l'effet des charges de pesanteur, d'autre part elle assure aussi la résistance à la flexion sous l'effet des forces horizontales (vent, forces de freinage transversales) du pont-roulant].

Chapitre 7 • Flexion simple 359 Mais le cas le plus fréquemment rencontré est celui des sections en travée des planchers nervurés, où la forme en T résulte du « découpage» isolant une nervure et la largeur de dalle participante qui lui est associée (voir figure 3.12 tirée de l'EC2). Pour les Règles BAEL (A 4.1,3) la largeur de table à prendre en compte de chaque côté d'une nervure à partir de son parement est définie par la plus restrictive des conditions ci-après. - on ne doit pas attribuer la même zone de hourdis (dalle) à deux nervures différentes; -la largeur en cause ne doit pas dépasser le dixième (1110) de la portée d'une travée; - la largeur en cause ne peut pas dépasser les deux tiers de la distance de la section considérée à l'axe de l'appui extrême le plus rapproché. L'EC2 (voir § 3.522.1) ne considère que les deux premières conditions, en prenant en compte, pour la deuxième, la distance entre points de moment nul, évaluée forfaitairement, au lieu de la portée. La présence de cette table rend pratiquement superflue la vérification en service de l'état-limite de compression du béton. Il n'est donc généralement pas nécessaire de prévoir une armature comprimée. Toutefois, dans ce qui suit, on envisagera aussi le cas oùA' O.

*

,.1

,1

a_rc_~~~~J

______________________

----------------~ Appui intermédiaire (la table est tendue)

,1

T

T'APPUi extrême

1

Figure 7.48

7.61

Dimensionnement par l'état-limite ultime

Ce dimensionnement est le seul à considérer en cas de fissuration peu préjudiciable. En cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable, dimensionner par l'état-limite de service selon le § 7.62. Tout ce qui suit n'a de sens que si la table est du côté comprimé par le moment de flexion, donc à la partie supérieure dans le cas d'un moment positif. C'est dans ce seul cas que le terme « table de compression» peut être utilisé. Si le moment est négatif, la table est tendue et la zone comprimée étant à la partie inférieure, on est ramené au cas d'une section rectangulaire de largeur ho. Dans ce cas, calculer Mr.u (formule [7.89]) et en tirer une conclusion quant à la position de l'axe neutre serait une ineptie.

360 Traité de béton armé

Données: Dimensions b, bo, d, ho, (figure 7.49) Éventuellement A' et d'

/,ed-_ - le

115 ,

et

J; _ 0,85 fc28-8- -15· bu ,

Moments agissants Mu et À1ser-

Inconnues: Section A des aciers tendus.

ho

z=d- -

2

-

A

--------------------- ~

Aas

Cas où Mu = MT,u

Figure 7.49

7.611

Dimensionnement à l'aide du diagramme rectangulaire

Premier cas: Il n'y a pas d'aciers comprimés En l'absence d'aciers comprimés, le moment MT,u équilibré par la table seule, de largeur b, dans l 'hypothèse où elle serait uniformément comprimée à la contrainte fim sur sa hauteur ho (figure 7.49) est:

Mr,u

=bho( d- ~ ).lbu

(mMN, m, MPa)

[7.89]

a) Si Mu ~ MT,u, la table seule est surabondante pour équilibrer le moment agissant (donc . 0,8 Y < ho) : la zone comprimée a une forme rectangulaire et le calcul se ramène à la détermination des armatures d'une section rectangulaire de largeur égale à la largeur b de la table de compression. b) Si Mu > MT,u, la table seule ne suffit plus pour équilibrer le moment agissant. On a alors 0,8 y > ho : la zone comprimée a une forme de T.

Chapitre 7 • Flexion simple 361 À retenir: Pour le calcul, ce qui importe est donc la forme de la zone comprimée plus que la forme de la section totale elle-même. On décompose la section en deux sections fictives (figure 7.50). 1. Une section rectangulaire, de largeur bo et de hauteur utile d, dont l'armature tendue est constituée par une fraction A 1 de la section totale A, et qui équilibre une fraction MI du moment total. 2. Une section en T, avec table de largeur (b - bo) et de hauteur ho, d'épaisseur d'âme nulle, de hauteur utile d dont l'armature tendue est constituée par une fraction A 2 de la section totale A, et qui équilibre une fraction M2 du moment total.

------

+ A1crs

._-----

_ 1

----------'--A2crs

Figure 7.50 Puisque Mil > MT.II' la contrainte de la zone comprimée de cette deuxième section fictive est connue: C'esthll' La force que cette zone peut équilibrer est Fbc2 =(b -bJ hohu . Le bras de levier de cette force par rapport au centre de gravité des aciers tendus étant: z2

h 2

=d-~

le moment que peut équilibrer la deuxième section fictive est:

La section rectangulaire fictive
362 Traité de béton armé [7.91] Si f.!lu n'atteint pas sa valeur plafond (0,3717), il est inutile de comparer le moment Ml au moment-limite ultime que peut équilibrer la section fictive 1. Même si l'on trouvait Ml > UlI, il ne serait pas nécessaire de prévoir des aciers comprimés. En effet, dans la section fictive 2, la zone de béton comprimé (hachurée sur la figure 7.50) est capable d'équilibrer à elle seule une force de compression Fe2 et un moment de flexion Fe2 Z2 assez considérables.

À titre d'exemple, 1 cm2 d'acier étant sensiblement équivalent à 15 cm2 de béton ayant même centre de gravité (voir § 5.32), une table de 10 cm d'épaisseur, ce qui est faible, appartenant à une travée de poutre de 1= 3,00 m de portée et débordant de 1/ 10 = 30 cm de chaque côté de la nervure (figure 7.48) apporte pratiquement le même complément de résistance que 2 x 30 x 10/15 = 40 cm2 d'aciers comprimés placés à 5 cm de la face supérieure (et joue le même rôle que 13 barres de 20 mm de diamètre qui, en l'absence de table, seraient à loger dans la largeur de la nervure). De

f.!bll

calculé par [7.91], on tire a comme indiqué au § 7.514 puis: [7.92]

Par ailleurs, dans l'équilibre des forces de la section (î), on a: A2 d'où

A = (b - bo) hoj~1I 2

le" = Fbc2 [7.93]

Je"

[7.94]

et finalement:

Si Ml déterminé par [7.90] excède la valeur plafond 0,3717 bocPfbu, la meilleure solution est d'augmenter l'épaisseur de la table pour augmenter MT.u. Sinon, il faut prévoir des aciers comprimés dont la section est déterminée par la relation [7.61 bis] où l'on fait Mu = Ml et Mtu = 0,3717 bo d 2 jiJ/l et, tous calculs faits, la relation [7.94] conduit à:

A = ~II [ 0,5bod + (b -bo)J1o] + A' Je"

Section minimale Attention! Même si le calcul des armatures (effectué en négligeant le béton tendu) d'une section en T est mené, lorsque la table est surabondante (voir a) ci-avant), comme s'il s'agissait d'une section rectangulaire de largeur b, physiquement, du point de vue de son comportement juste avant la rupture du béton par traction (où toute la section intevient), ce n'est pas une « vraie» section rectangulaire. Aussi, déterminer la section minimale à partir de la formule [7.37] donnée au § 7.511-5 serait une erreur.

Chapitre 7 • Flexion simple 363 Il faut revenir à la formule de la Résistance des Matériaux donnant la contrainte de traction du béton de la section non armée (cr = Mv / l) et écrire que cette contrainte atteint la résistance à la traction lorsque M = Amin!e z avec z = 0,9 d == 0,81 hl. D'où, pour une section en T soumise à un moment positif: A ''min

1

= 0,81 h V

~28

f:

avec 1 moment d'inertie de la section non armée par rapport à l'axe de flexion simple (passant par le centre de gravité Go de celle-ci) et v distance de Go à la fibre inférieure tendue. De même, et pour les mêmes raisons, lorsqu'une section en T est soumise à un moment négatif, ce n'est pas parce que, pour le calcul de ses armatures, elle est assimilée à une section rectangulaire de largeur bo que son comportement réel est, physiquement, juste avant la rupture du béton par traction, celui d'une véritable section rectangulaire. Dans ce cas, le mode de calcul décrit ci-avant conduit à :

Deuxième cas: Il y a des aciers dans la zone comprimée, et on veut les prendre en compte2 • Dans ce cas la valeur du moment MT,II donnée par l'équation [7.89] doit être corrigée pour tenir compte du moment équilibré par les aciers comprimés c'est-à-dire qu'il faut prendre: [7.95]

crsc,o étant la contrainte des aciers comprimés lorsque 0,8 y = ho ou y = 1,25 ho.

1. En fait, il faudmit prendre z = d [0,97 - 0,04 (bo 1b)] pour avoir une meilleure estimation de Amin. 2. Ce qui implique qu'ils soient concentrés à l'aplomb de la nervure et maintenus par des armatures transversales (cadres d'effort tranchant de la nervure) espacés d'au plus 150,. En tenant compte de ces aciers, on diminue légèrement la section d'aciers tendus nécessaire dans la première section fictive mais en contrepartie il faut en rajouter pour équilibrer la force de compression dans les aciers comprimés. Le gain total étant faible, on mène souvent le calcul comme s'i! n'y avait pas d'aciers comprimés.

364 Traité de béton armé 1. Si Y = 1,25 ho ~ 0,259 d soit ho ~ 0,207 d (pivot B) : a) si

d'~ 1,25 ho(l- ~~)

b) en cas contraire:

{j,c 0

.,

: cr,c.o

= hd

= 700 (1- 125d' h ,

J

(MPa)

0

2. Si Y = 1,25 ho < 0,259 d ou ho < 0,207 d (pivot A) :

a) si

d'~1,25ho- j~

2000

. b) en cas contrarre:

(d-l,25ho) :

{jsc 0

,

crscO=fed

'

= 2000 1,25 ho -

d' d-l,25 ho

(MPa)

Bien noter que ces valeurs de {jsc,o ne servent qu'à déterminer le moment plus à être utilisées dans la suite du calcul des annatures.

MT,u

et n'ont

Les conclusions à tirer de la comparaison de Mz, à MT,lI sont les mêmes que lorsqu'il n'y a pas d'aciers comprimés. Si Mz, > MT,II les sections d'armatures s'établissent aisément par une décomposition en trois sections fictives. Compte tenu de la remarque qui a été faite précédemment sur la non-nécessité d'armatures comprimées dans les sections en T pour respecter l'état-limite de compression du béton en service, on ne prend ici en compte ces aciers que pour corriger (faiblemen,t !) la section des aciers tendus et non pour limiter la contrainte maximale de compression du béton. Il en résulte que la notion de «contrainte de compression équivalente O'sce » n'a ici aucun sens. La contrainte des aciers comprimés peut être prise égale à!ed. Le moment que peut équilibrer la première section fictive est ainsi:

d'où /lI

=

Ml puis 2 bod fbu

Zb

=0,5d ( 1+ ~1- 2J.ll)

ou plus rapidement

zb

=d(l- 0,6/l 1)

et l'on obtient:

A =_1 fed

[Ml + (b-bo)hoftm] + A' Zb

[7.96]

Chapitre 7 • Flexion simple 365 Organigramme de calcul d'une section en T à l'état-limite ultime

Attention

A=

Mu - M2 zbofed

Amin

= --0,81 hv

Non

Terminé

(b - bol ho f bu

+---fed

(Vérification de A min inutile l fe

A=Amin

366 Traité de béton armé

7.612

Dimensionnement à l'aide du diagramme parabole - rectangle (dans le cas où A' == 0)

La section en T réelle peut être considérée comme obtenue en enlevant d'une section rectangulaire bh une section rectangulaire (b - bo) (h - ho) (figure 7.51) :

~ o Figure 7.51

On affecte l'indice (l) à la première section fictive et l'indice (2) à la deuxième. On a :

On supppse que les conditions de déformation sont les mêmes pour les deux poutres fictives, et on commence par calculer pour la section rectangulaire de largeur b (section 1) :

a) Si on trouve a::; ho ,c'est que l'axe neutre tombe dans la table, et la section se comd porte effectivement comme une section rectangulaire. Le calcul peut donc être poursuivi, en déterminant:

Zb

= d (1- O,416a)

et en prenant

A= Mu . zbfed b) Si on trouve a> ho , c'est que l'axe neutre tombe dans la nervure. Dans ce cas, on . d choisit une valeur al légèrement supérieure à a pour tenir compte de la réduction de largeur lorsque l'axe neutre passe de la table à la nervure. Les équations de compatibilité permettent d'écrire: Ebc2

a 2d 2

= Ebcl a1dl

Chapitre 7 • Flexion simple 367

[7.97] Deux cas peuvent se présenter: a) Si al

~

0,259 (pivot B) on introduit dans la formule précédente Cbc\ = 3,5 %0, d'où:

=-3,5- al -(ho/d)

C bc2

b) Si al < 0,259 (pivot A) on a:

cbc1

c

1000

--'--~--'-

al

= ~~ 10001-al

d'où, en portant dans [7.97] :

10 al -(ho/d) = bc2 1000 (l-a )

---.!...;-~-:-'-

l

Cbe2

étant connu, en posant À =~, on en déduit les valeurs du coefficient de rempliscbe2

sage \jf et du centre de gravité OG du diagramme des contraintes du béton par les formules établies au § 7.5511-1 et rappelées ci-après: - si 0::::; al::::; 0,1667 :

3À-l \jf=3F

4À-l 4 (3À-l)

8 - ---:-----,G -

si 0,1667 < al::::; 0,259 : À

\jf=I-3

2

8 _ À -4À+6 G-

4(3-À)

L'abaque de la figure 7.52 permet d'obtenir les valeurs de \jf et oG sans calculs. c) La marche à suivre est alors la suivante: 1°) Ayant choisi al on calcule d'abord le moment MI que peut équilibrer la première section fictive et la section d'armatures Ai> correspondant à MI : et

_ \jf bod aJ/m Al -

Ied

2°) Dans la deuxième section fictive, les équations d'équilibre fournissent le moment M 2 et la section A2' une fois \jf et oG connus: A 2

= \jf(b -

bo)(d -

J:d

ho) a 2 ftJU

368 Traité de béton armé 3°) On adopte comme valeur de la section d'aciers tendus A cherchée

Si Ml - M2 diffère trop de M,,, il faut recommencer avec une valeur de al. inférieure si Ml - Mz > M" ou supérieure si Ml - Mz < Mu, à la valeur prise en compte dans le premier calcul. \jf

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Figure 8.8

La section est donc partiellement comprimée si le moment de service évalué au centre de gravité A des aciers tendus, À1serA, est tel que:

M serA :s; 0,333 ho d 2 abc + 15 A' d 0bc(I-8,)2 S'il n'y a pas d'aciers comprimés, faire A' = 0 dans l'expression précédente. Qu'il s'agisse de flexion composée avec traction ou avec compression, si la section est partiellement comprimée, il suffit de remplacer, dans les formules [8.10], N par Nser et d'y faire

crs =Os .

sont à évaluer pour le moment u"er = Mser,A = Nser eA par les méthodes exposées pour la flexion simple au § 7.53 ou au § 7.62.

)il et)il'

Bienjàire attention que c'est le moment Mser.A (ou Mser.A -15A'do bc (I-8'Y si A' est connu) qui doit être comparé au moment résistant lv~'b et non le moment À1ser.GO. Autrement dit, la condition relative à l'état-limite de compression du béton s'exprime, pour une section rectangulaire, par :

Mser,GO + N se,.( d Nser étant pris en valeur algébrique.

~):s; M

rb

[8.15]

Chapitre 8 • Flexion composée 419 Remarque: Pour une section rectangulaire en flexion composée avec traction, si la condition [8.15] ci-dessus est vérifiée, on peut montrer qu'une valeur approchée, généralement (mais pas toujours) par excès, de la section d'armatures tendues est: [8.16]

avec z,

~ d(l- ~' ) ~ ~,d , ~,

résultant des tableaux 7.6 et 7.7.

Démonstration En application de l'expression [8.1 Ob] on part de (figure 8.9) :

d'où. [8.17]

Figure 8.9

Or, en général,

Zb

~ Za =2 (d - ~), c'est-à-dire - Zb ~ h - 2d

En remplaçant donc h /2 - d par -

zb /2

dans le deuxième terme du second mem-

bre de l'expression [8.17], compte tenu de ce que l 'expression [8.16].

INserleo =1Mser.GO 1 '

on arrive à

420 Traité de béton armé

8.322

Section enT

Pour une section en T, il faut en rester à la notion de noyau central. L'excentricité du bord du noyau central est, avec V2 = v et VI = v' = h - v : - du côté de la table: GoCl

=eOlim2 =~

~, oppose: 'GC - du cote 0 1 = eOliml

Bv

J = B (h-v )

Pour J, B et v, se reporter à l'organigramme donné au § 7.611. Si le moment M Go est positif, la section est donc partiellement comprimée si eo > ~ . La zone comprimée est Bv alors du côté de la table, et si MuA> MT,sm le calcul de la section A nécessaire pour équilibrer MuA en flexion simple doit être mené comme indiqué au § 7.622-2.

8.33

Application au dimensionnement par l'état-limite ultime

8.331

Section rectangulaire

d

Réduction en Go

Figure 8.10

Réduction en A

Chapitre 8 • Flexion composée 421 Soit: les sollicitations au centre de gravité Go de la section de béton seul, évaluées comme indiqué en 8.2.

MuA (= Nu eA)

le moment de flexion évalué au niveau de l'armature tendue.

(Nu étant pris avec son signe). a) En flexion composée avec traction, la section est partiellement comprimée si le centre de pression est à l'extérieur des traces des deux nappes d'armature; b) En flexion composée avec compression, il faut que: y ::; h ou CI. ::; h / d En faisant CI. = h / d dans la formule [7.32] établie au § 7.511-1, on obtient la valeur réduite /-lBC du moment frontière correspondant au cas où la droite des déformations passe à la fois par le pivot B et par le pivot C : /-lBC

= 0,8a (1-0,4a)= 0,8 ; (1- 0,4 ; )

d'où

(/-lBC ::::: 0,493

La nappe A d'aciers n'est tendue que si y::; d ou CI.::; 1. Soit respondant à CI. = 1.

/-lBD

si

hl d ::::: 1,1 )

le moment réduit cor-

En portant ctte valeur dans la formule [7. 32] on obtient: /-lBD

= 0,8(1-0,4) = 0,48 et

Donc, si l'on suppose connue la section A' des aciers comprimés (éventuellement, A' = 0), la section est partiellement comprimée lorsque: 0::; MuA -

AI feAd

- dl)::; M BC

:::::

0,493 bo d 2 fbu

mais il n'existe une nappe d'aciers tendus que si :

Moment limite ultime en flexion composée Comme la sollicitation de flexion composée est une sollicitation vectorielle, et que les coefficients de pondération des actions ne sont pas nécessairement les mêmes pour le moment et pour l'etIort normal, il n'est pas possible de savoir de façon simple, a priori, .s'il faut ou non prévoir des aciers comprimés. En particulier, étant donné le nombre de paramètres en jeu, il n'est pas possible d'établir un abaque comme celui de la figure 7.36.

422 Traité de béton armé En posant

N YN- - -u-

N = __

'0

11-

N ser

bodhu

u

_ MuA Ilbu - b d 2 l' o Jbll

MA _u

YM - - - ' M serA

il est possible, moyennant un programme approprié (cf. organigramme ci-après) de dresser des tableaux qui donnent, en fonction de ;;'-28, e, le, 'Ou, YMet YN, les valeurs limites Il/II de IllI au-delà desquelles la contrainte limite de compression du béton en service serait dépassée, c'est-à-dire au-delà desquelles il devient nécessaire de prévoir des aciers comprimés. Origine des différentes étapes de l'organigramme:

Ligne 1 : 0,8a u

=1- ~1- 21lo

-7

4, fed =P =08a -v

bd o

et 15

Ps

l' Jbu

=15 ( bd A" J=15 hll =15 0,85 fc28 PlI l' Pli 15 e o

2 · LIgne :

'Os =

Jed

~~r b d f a

0,6

=

c28

'

Il

,

U

"

1,15 l'

Je

0,6fc28 YN

Ligne 3 : équilibre des forces à l'ELS Ligne 4 : expression de Ils en fonction de as =YI / d

=

Ligne 5 . Il •

s

M serA bod 2 (0,6 fczs)

=

Il,, lb" 0,6 fc28 yM

-7

Il "

Les tableaux 8.2a à 8.2d sont donnés à titre d'exemples. La valeur 0,3717 correspond à la limite imposée par l'acier (crs =led). En flexion composée avec compression on peut en réalité s'affranchir de cette limite, sans dépense excessive d'acier.

Chapitre 8 • Flexion composée 423 Organigramme de calcul de !JIu en flexion composée

15ps = [1 -

~

1 - 21-10 -

IJ u]

0,85 x 11,5

e

f c28 . fe

0,85 IJ u IJ=-'--

s

YN

0,9

as

e

as

I-Is=2(1-3")

0,96 I-Ibu = I-IsYM 0,85

® 1-10+ Ôl-l o

>

<

Égalité

!Jeu = 1-10 Terminé pour cette valeur de IJu

(s pour« service »)

424 Traité de béton armé Tableau 8.2a Aciers Fe E 500; fc28 =25 MPa ; e =1 Valeurs de f.1/u en flexion composée 2 U u = N u/ bo dlbu; YN= N II / N ser ; YM=MuA / M serA ; Ilill = MIII / bo d lbll 1)11

° 0,05

0,1

0,15

0,2

YN

YM 1,3

1,35

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

##

0,2403

0,2555

0,2708

0,3025

0,336

0,3714

--0,3717--

1

0,2485

0,2646

0,2811

0,315

0,3504

--0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2454

0,2616

0,278

0,3119

0,3473

--0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2428

0,259

0,2755

0,3093

0,3447

--0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2406

0,2568

0,2732

0,3071

0,3425

--0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2396

0,2558

0,2723

0,3061

0,3415

--0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2387

0,2549

0,2714

0,3052

0,3406

--0,3717-- --0,3717--

1,5

0,237

0,2532

0,2697

0,3035

0,3389

--0,3717-- --0,3717--

1

0,26

0,2774

0,295

0,3309

0,3683

--0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2557

0,2703

0,288

0,3242

0,3615

--0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2464

0,2642

0,282

0,3183

0,3558

--0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2408

0,2588

0,2768

0,3133

0,3509

--0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2383

0,2563

0,2744

0,311

0,3486

--0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2359

0,2541

0,2722

0,3089

0,3466

--0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2315

0,2498

0,2681

0,3049

0,3428

--0,3717-- --0,3717--

1

0,2761

0,2946

0,313

0,3506

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2638

0,2827

0,3016

0,3398

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2523

0,272

0,2914

0,3302

0,3697

--0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2413

0,262

0,2821

0,3216

0,3617

--0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2358

0,2573

0,2777

0,3177

0,358

--0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2305

0,2526

0,2735

0,314

0,3544

--0,3717-- --0,3717--

1,5

0,219

0,2435

0,2654

0,3069

0,3479

--0,3717-- --0,3717--

1

0,2973

0,3162

0,3352

1,1

0,2799

0,2998

0,3195

0,359

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2622

0,2839

0,3047

0,3456

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2423

0,2676

0,2904

0,3331

--0,3717- -0,3717-- --0,3717--

1,35

0,229

0,259

0,2832

0,3272

0,37

-0,3717-- --0,3717--

1,4

Non défini

0,2493

0,2758

0,3214

0,3648

--0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

0,1998

0,2598

0,31

0,355

--0,3717-- --0,3717-

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

Chapitre 8 • Flexion composée 425

Ull

0,25

0,3

YIIf YN

1,3

1,35

1,4

1

0,3223

0,3413

0,3604

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,3012

0,3213

0,3413

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2786

0,301

0,3225

0,3645

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2459

0,2782

0,3031

0,3483

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

Non défini

0,2634

0,2926

0,3403

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

Non défini

Non défini

0,2806

0,3321

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

Non défini

Non défini

0,3152

1

0,3493

0,3681

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,3263

0,346

0,3658

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3012

0,3232

0,3445

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2636

0,2964

0,3216

0,3674

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

Non défini

0,2768

0,3084

0,3576

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

Non défini

Non défini

0,2916

0,3475

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

Non défini

Non défini

0,3245

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

1,6

0,3648

1,7

1,8

--0,3717-- --0,3717--

Les lignes sans valeurs numériques - colonnes J,3, 1.5 et J,4 mention « non défini» - correspondent au cas où la notion de moment limite n'a plus de sens, le béton pouvant résister seul, sans armatures tendues.

Tableau 8.2 b. Aciers Fe E 500; fc28 =30 MPa ; e =1 '\lu =Nu 1bo d fbu ; yH =Nu 1Nser ; yM =MuA 1MserA ; j,llu =M/u 1bo d 2 fbu

'\lu

°

0,05

YN

YM 1,3

1,35

1,4

1,5

1,6

##

0,2623

0,2786

0,2945

0,3283

0,3637

1

0,2695

0,2865

0,3037

0,3393

-0,3717- -0,3717-- --0,3717-

1,1

0,2668

0,2838

0,3011

0,3365

-0,3717- --0,3717- --0,3717--

1,2

0,2646

0,2816

0,2988

0,3343

0,3715

--0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2627

0,2796

0,2969

0,3324

0,3695

-0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2618

0,2788

0,296

0,3316

0,3687

--0,3717- -0,3717--

1,7

1,8

-0,3717-- --0,3717--

426 Traité de béton armé

Uu

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

YN

YM 1,7

1,3

1,35

1,4

1,5

1,6

1,4

0,261

0,278

0,2952

0,3308

0,3679

--0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2596

0,2765

0,2938

0,3293

0,3664

--0,3717-- --0,3717--

1

0,2793

0,2973

0,3156

0,353

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,273

0,2912

0,3096

0,3471

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2676

0,286

0,3044

0,3421

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2629

0,2814

0,2999

0,3378

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2608

0,2793

0,2979

0,3358

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2587

0,2773

0,296

0,334

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2551

0,2738

0,2926

0,3307

1

0,2926

0,3117

0,3308

0,3697

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,282

0,3014

0,3209

0,3603

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2722

0,2922

0,3121

0,3521

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2633

0,284

0,3043

0,3448

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,259

0,2801

0,3007

0,3415

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2549

0,2763

0,2973

0,3384

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2468

0,2693

0,2908

0,3326

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,3102

0,3298

0,3495

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2948

0,3153

0,3356

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2797

0,3016

0,3228

0,3648

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2641

0,2882

0,3108

0,3543

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2554

0,2815

0,3049

0,3493

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2455

0,2746

0,2991

0,3444

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

0,2593

0,2875

0,3352

--0,3717-- --0,3717- --0,3717--

1

0,3317

0,3514

0,3712

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,3122

0,3332

0,354

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2918

0,3151

0,3373

--0,3717- -0,3717-- --0,3717- -0,3717--

1,3

0,2658

0,2956

0,3206

0,3666

--0,3717-- --0,3717- --0,3717--

1,35

Non défini

0,2843

0,3118

0,3598

--0,3717- --0,3717- --0,3717--

1,4

Non défini

0,2698

0,3024

0,353

--0,3717-- -0,3717-- -0,3717-

1,5

Non défini

Non défini

0,2789

0,3394

-0,3717- --0,3717- -0,3717--

1

0,3556

-0,3717-- -0,3717-- --0,3717-- -0,3717-- --0,3717- -0,3717--

0,3699

1,8

--0,3717-- --0,3717--

Chapitre 8 • Flexion composée 427

'Ou

YN

YM 1,3

1,35

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,1

0,3338

0,3545

1,2

0,3098

0,3332

0,3556

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2733

0,3085

0,3348

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

Non défini

0,2916

0,3232

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

Non défini

Non défini

0,3093

1,5

Non défini

Non défini Non défini

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

0,3649

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

0,3462

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

Les lignes sans valeurs numériques - colonnes 1,3, 1,5 et 1,4 mention « non défini» - correspondent au cas où la notion de moment limite n'a plus de sens, le béton pouvant résister seul, sans armatures tendues.

Tableau 8.2 c. Aciers Fe E 500; fe2S =35 MPa ; e =1 'Ou =Nul bo d fbu; yH =Nul Nser ;yM =MuAI MserA; !JIu =M/ul bo d 2 fbu

'Ou

° 0,05

0,1

0,15

YN

YM 1,3

1,35

1,4

1,5

##

0,2808

0,2974

0,3145

0,3493

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,287

0,3045

0,3224

0,3591

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2846

0,3022

0,32

0,3567

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2826

0,3001

0,318

0,3547

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,281

0,2985

0,3163

0,353

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2802

0,2977

0,3156

0,3523

--0,3717- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2794

0,2971

0,3149

0,3516

-0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2782

0,2958

0,3136

0,3503

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,2954

0,314

0,3327

0,3711

--0,3717- -0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2899

0,3086

0,3274

0,3659

-0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2853

0,304

0,3229

0,3616

--0,3717- --0,3717-- -0,3717--

1,3

0,2812

0,3

0,319

0,3578

-0,3717-- -0,3717-- -0,3717-

1,35

0,2793

0,2982

0,3173

0,3561

--0,3717- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2776

0,2966

0,3157

0,3545

-0,3717- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2744

0,2935

0,3127

0,3517

-0,3717-- --0,3717- --0,3717-

1

0,3068

0,3262

0,3458

1,6

1,7

1,8

-0,3717-- --0,3717- -0,3717- -0,3717--

428 Traité de béton armé

1.)u

0,2

0,25

0,3

YN

YM 1,5

1,6

1,7

1,8

1,3

1,35

1,4

1,1

0,2974

0,3173

0,3371

1,2

0,2891

0,3093

0,3295

0,3702

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2815

0,3022

0,3227

0,364

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,278

0,2989

0,3196

0,3611

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2746

0,2959

0,3168

0,3584

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2682

0,29

0,3112

0,3534

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,3217

0,3418

0,3619

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,308

0,3289

0,3497

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,295

0,317

0,3385

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2822

0,3057

0,3281

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2756

0,3001

0,3232

0,3677

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2688

0,2947

0,3184

0,3636

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2531

0,2836

0,309

0,3559

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,3403

0,3605

1,1

0,3225

0,344

0,3652

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3044

0,3279

0,3205

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2834

0,3113

0,3359

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2689

0,3022

0,3286

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

Non défini

0,2923

0,3211

0,3707

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

Non défini

0,3046

0,3594

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,3616

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,3411

0,3625

1,2

0,3187

0,3429

0,3658

-0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2871

0,3209

0,3473

--0,3717- --0,3717-- --0,3717-- -0,3717--

1,35

Non défini

0,3068

0,3373

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717- --0,3717--

1,4

Non défini

0,2781

0,3261

--0,3717- --0,3717- -0,3717-- --0,3717-

1,5

Non défini

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

Non défini Non défini

0,3649

-0,3717-- --0,3717- -0,3717--

Les lignes sans valeurs numériques - colonnes 1.3. 1,5 et 1.4 mention « non défini» - correspondent au cas où la notion de moment limite n 'a plus de sens, le béton pouvant résister seul, sans armatures tendues.

Chapitre 8 • Flexion composée 429

'Uu

'U u

° 0,05

0,1

0,15

0,2

YN

Tableau 8.2 d. Aciers Fe E 500; fe2S 40 MPa ; e 1 Nu 1bo d fbu ; yH Nu 1Nser ; yM MuA 1MserA ;jJ/u

=

= =

=

=

=M/u 1bo d

2

fbu

YM 1,3

1,35

1,4

1,5

##

0,296

0,3131

0,3307

0,3669

1

0,3017

0,3197

0,3379

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,2996

0,3175

0,3358

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,2978

0,3158

0,3341

0,3717

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2963

0,3143

0,3326

0,3702

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2956

0,3136

0,3319

0,3695

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,295

0,3129

0,3313

0,3689

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2938

0,3118

0,3301

0,3677

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,3091

0,328

0,3471

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,3042

0,3232

0,3424

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3001

0,3191

0,3384

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2965

0,3156

0,335

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2949

0,3141

0,3334

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2934

0,3126

0,332

0,3716

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2906

0,3099

0,3294

0,369

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,319

0,3387

0,3586

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,3107

0,3308

0,3509

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3034

0,3238

0,3442

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2968

0,3176

0,3383

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,2938

0,3147

0,3356

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2909

0,3121

0,333

--0,3717-- --0,3717- --0,3717-- --0,3717--

1,5

0,2856

0,3071

0,3283

1

0,3319

0,3523

1,1

0,3196

0,3408

0,3617

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3082

0,3303

0,3519

--0,3717-- --0,3717- -0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2973

0,3205

0,3428

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717- -0,3717--

1,35

0,292

0,3158

0,3386

-0,3717-- --0,3717-- -0,3717- -0,3717--

1,4

0,2667

0,3113

0,3345

--0,3717-- --0,3717- --0,3717-- --0,3717-

1,5

0,2756

0,3024

0,3267

--0,3717- --0,3717- --0,3717- -0,3717-

0,3707

1,6

1,7

1,8

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

--0,3717-- --0,3717-- -0,3717--

--0,3717- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

430 Traité de béton armé

Uu

0,25

0,3

YN

YM 1,3

1,35

1,4

1,5

1

0,3481

0,3687

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,1

0,332

0,3538

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3158

0,3393

0,362

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,2983

0,3249

0,3494

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

0,288

0,3175

0,3431

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

0,2747

0,3097

0,3368

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

0,2914

0,3329

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1

0,3671

1,1

0,348

0,3698

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,2

0,3274

0,352

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,3

0,3005

0,3324

0,3587

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,35

Non défini

0,321

0,35

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,4

Non défini

0,3057

0,3407

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,5

Non défini

Non défini

0,317

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

1,6

1,7

1,8

--0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717-- --0,3717--

Les lignes sans valeurs numériques - colonnes 1,3, 1,5 et 1,4 mention « non défini» - correspondent au cas où la notion de moment limite n'a plus de sens, le béton pouvant résister seul, sans armatures tendues.

Dans l'ouvrage Pratique du BAEL 91 de 1. Perchat et 1. Roux (Eyrolles, éd.), on peut trouver des tableaux pOUrf~-28 = 25,30 et 35 MPa et = 1,0,9 et 0,85.

e

Marche du calcul et formules de dimensionnement Il faut commencer par déterminer (voir § 8.21 pour la flexion avec traction et § 8.22 pour la flexion avec compression) : - les sollicitations ultimes Nil, MuGO au centre de gravité Go du béton seul, et en déduire .le moment M,III au centre de gravité des aciers tendus; - les sollicitations de service Nse,., MserGO au centre de gravité du béton seul, et en déduire le moment Mser.A au centre de gravité des aciers tendus. On peut alors calculer V,,, Il,,, YN, YM et en déduire, par interpolations linéaires (ou « à vue »), au moyen des tableaux 8.2 la valeur du moment limite ultime réduit 11111' Pour la détermination des armatures, la marche du calcul est celle indiquée aux paragraphes 7.522 et 8.311 en remplaçant, dans toutes les formules Mil par MuA et en retran-

Chapitre 8 • Flexion composée 431 chant Nu lied de la section d'aciers tendus trouvée (Nu avec son signe, + pour une compression, - pour une traction). Bien entendu les unités doivent être convenables. Attention! Ne jamais oublier de retrancher le terme Nu lied, en se rappelant que pour une flexion avec traction, cela revient à ajouter lM, 1lied,

Les formules de dimensionnement sont ainsi (unités: m, MN, MNm, m2 )

:

a) pour la section rectangulaire sans aciers comprimés A = MuA _ Nu zbled led Pour les sections minimales, se reporter au § 8.312. Attention! La section minimale vise la valeur finale A, et non la section}f. de la flexion simple. b) pour la section rectangulaire avec aciers comprimés non imposés:

La section A' doit être telle que AI:?

M -M IIA( il:) . O"sce

d-d

Mais, à moins d'avoir 1,35:S YM:S 1,5, les formules approchées [7.65 ter] et [7.67 bis] donnant les contraintes équivalentes O"sce et O"se ne peuvent être utilisées car, compte tenu 1 des valeurs élevées que peut atteindre YM en flexion composée (voir tableaux 8.2a à d), ces formules manquent de précision. Il convient de déterminer ces contraintes au moyen des formules [7.65] et [7.67 bis], en 2 prenant :

Il faut s'assurer que Mill ::; Mu 10,6 sinon l'équarrissage (c'est-à-dire les dimensions bo et 1ou cl) serait à revoir. c) pour le cas de la section rectangulaire avec aciers comprimés imposés, la marche du calcul est celle indiquée au § 7.523, en remplaçant dans toutes les formules Mu par M,A et en retranchant Nulled de la section d'aciers tendus trouvée, Nil avec son signe. Les contraintes O"sce et O"se doivent être déterminées comme indiqué ci-avant.

l. Ces valeurs élevées viennent de la prise en compte de l'excentricité due aux effets du second ordre

dans l'évaluation du moment ultime (8.22 a), alors que le moment de service est déterminé sans tenir compte de ces effets (8.22 b). Le rapport Y.\Ide ces deux moments sort ainsi de la fourchette habituelle (I,35 ; 1,5) de la flexion simple. 2. Pour f/.[, résolution de l'équation [7.59], avec Jlls.,. = O,944Jllu/OyMcomme indiqué dans la note au bas de la page 322.

432 Traité de béton armé

8.332

Section à table de compression

i"..I lc - - - - - - ------JooIJoI b

MuGo

---r----d-v'

_L Réduction en Go

Nu

Réduction en A

Figure 8.11

Le moment ultime rapporté au centre de gravité des aciers tendus est (figure 8.11) :

M,lA = Nue A = Mu,GO + Nu(d -

v')

v' étant la distance du centre de gravité Go de la section de béton seul à la fibre la plus comprimée (attention! pour une section en T, v' < h/2) a) Si ~IA < MT,u, MT,u étant le moment équilibré par la table seule, évalué par les expressions [7.89 ou 7.95], on est ramené à l'étude d'une section rectangulaire de largeur b . b) Si ~IA > MT,u, en décomposant la section en deux sections fictives comme on l'a fait au § 7.611, premier cas, on peut écrire, dans le cas où il y aurait des aciers comprimés, les équations d'équilibre suivantes:

Nu

=Fbc2 + Fbc1 + F.:c MUA

F.:

=(b - bo) ho hll + 0,8 bo Y Ibu + A'O'se + AO's

= Fhc2 Z2 + Fbc1 Zl + F.,c(d -d'):

Ces expressions sont celles d'une section rectangulaire de largeur bo qui serait soumise aux sollicitations « réduites» suivantes: -etfortnormal: N uR =Nu -{b-bo)holhU

~ moment de flexion:

MuRA

= NfuA -

(b - bo ) ho( d -

~ )fbll

Déterminer les armatures de la section en T revient donc à déterminer celles de la section rectangulaire bod soumise à NuR et MuRA.

Chapitre 8 • Flexion composée 433 Bien faire attention que, dans les expressions donnant la section A des armatures tendues, le terme soustractifest alors N,iR/crs et non NI/crs (crs =!edseulement si a ~0,617 (Fe E 500)). En l'absence d'aciers comprimés, il suffit évidemment de faire A' précédentes.

8 .. 4

=

°dans les formules

SECTIONS ENTIÈREMENT COMPRIMÉES

On se trouve dans cette situation si (l'un des deux cas a ou b n'impliquant pas l'autre) : a) à l'état-limite ultime on se trouve au pivot C, région 3 c'est-à-dire si :

Nu est un effort de compression, avec

MuA -

A' feAd -d'}> MBcCvoir § 7.412 et § 8.331) ; A' peut être nul.

Pour une section rectangulaire bah, avec le diagramme parabole-rectangle dans ce cas, et avec y = h (voir expression [ 7.25 aD: M BC

flBC

= 0,81 bo h[(d -0,416 h)]/"" = flBC bo d 2 fb'"

=0,81!: . d

[(1-

en posant:

0,416 !:)] =0,484 si d = 0,9 h d

b) à l'état-limite de service: Nser est un effort de compression ,-(h-d')(d-d') h ( h) 2-1., ~ avec M serA -15 A crbe >1- bo d cr/Je ,A peut etre nul. h 2d 3d Dfu'1S les deux cas, le calcul manuel du dimensionnement des armatures est assez fastidieux, comme on va le voir ci-après. On a généralement recours à des abaques, qui ont été établis pour des formes de section particulières (voir § 8.61 et § 8.62).

1. Quand Mm

la

section

est

entièrement

1- ( y) ="2erbcYI d--j- +A'ers)d-d'} avec

erse

comprimée,

=15er-hc

jz-d'

-jz-'

YI = h

dans

l'expression

434 Traité de béton armé

8.41

Dimensionnement par l'état-limite ultime (pivot C, région 3)

8.411

Sections rectangulaires à deux nappes d'armatures

On n'envisage ici que le dimensionnement avec le diagramme parabole-rectangle (voir la remarque 3 page 439).

8.411-1

Coefficient de remplissage et coefficient de centre de gravité

L'effort de compression Fbcr, qui correspondrait à une contrainte uniforme et égale àfiJll sur toute la hauteur de la section est (figure 8.12) :

0,ct

=hohhu

TT

1Jrrr. . . ./ . _--_!.----------

y

""',"",

Ill, Ebc2

---------

~ 1

/

1 1 ~

_____ L _____ ~~~~~~ ____________ _______ _ o Figure 8.12

On peut, comme dans le cas des pivots A et B, considérer (voir § 7.511-1)

=Fbc / Fbcr , un coefficient de centre de gravité oG permettant de définir la distance oGh (et non plus

- un coefficient de remplissage:

\jf

00."') du point de passage de l'effort résultant Fbc à la fibre la plus comprimée.

En cherchant l'aire et le centre de gravité du diagramme des contraintes de compression, on trouve, après avoir posé : [8.20]

les valeurs:

\jf

4 ~2 = 1-0,190 ~~ ~~ = 1-2ï~ 0,5 - 0,163 ç2 1- 0,190 ç2

= --------:-

[8.21 ]

[8.22]

Chapitre 8 • Flexion composée 435 En éliminant 1;2 de ces deux expressions, on trouve:

8

G

= 0,857 _ 0,357

[8.23]

\If

Les valeurs de \If et 8a peuvent être lues en fonction de Œt dans le tableau 8.3.

t -1 f- l~I-,------"1:::: ._~~~~'~ lL~

3

y

2'10.

I/Ebc2 1 1 11 Axe neutre

1

1 1

1 / 1/ ._._~_._-----------~---------------Il Il

o

Figure 8.13

Les équations d'équilibre s'écrivent (figure 8.13) : [8.24] [8.25] Cette dernière équation peut aussi s'écrire, en posant 81= dl h et 8'1 = d' 1h

Pour les aciers Fe E 400 (fed = 348 MPa), on a toujours 1 que, dans ce cas :

f.,d Es

=

O"sc

=!ed quel que soit 8'1 puis-

fed < 2.10-3 < ê, < 35.10-3

2. 105

.le'

Décomposons la section en deux sections fictives (voir § 7.521). La section rectangulaire sans aciers comprimés doit équilibrer un moment Ml tel que [8.26]

1.

Pour les aciers Fe E 500, en supposant 0'1 = 0,1, on n'a cru =!c,f= 435 MPa que si fit :::; 6,46. Pour simplifier, on pourra admettre, pour ce calcul, que crse = !cd = 400 MPa (et non 435 MPa) pour les aciers Fe E 500.

436 Traité de béton armé Si l'on considère le moment réduit rapporté à la hauteur totale (indice t) : !-lbt

l'équation [8.26] devient

!-lbt

=

M,tA - A' !"d (d - d') b h 2 l' o

'

[8.27]

Jb/l

=\jf(Dt - DG),

ou, compte-tenu de [8.23] : !-lbt

=0,357 + \jf(Dt -

0,857)

Tableau 8.3

at

DG

1,00

'If 0,8095

0,4160

1,05

0,8389

0,4314

1,10

0,8620

0,4428

1,15

0,8805

0,4515

1,20

0,8955

0,4583

1,25

0,9078

0,4637

1,30

0,9181

0,4681

1,35

0,9267

0,4718

1,40

0,9341

0,4748

1,45

0,9404

0,4774

l,50

0,9458

0,4795

1,55

0,9505

0,4814

1,60

0,9547

0,4830

1,65

0,9583

0,4845

1,70

0,9615

0,4857

1,75

0,9644

0,4868

1,80

0,9669

0,4878

1,90

0,9713

0,4894

2,00

0,9748

0,4908

2,25

0,9813

0,4932

2,50

0,9855

0,4948

2,75

0,9885

0,4958

3,00

0,9906

0,4966

3,50

0,9934

0,4976

4,00

0,9951

0,4983

5,00

0,9970

0,4989

00

1,0000

0,5000

[8.28]

Chapitre 8 • Flexion composée 437

8.411-2

Marche du calcul pour une section rectangulaire

Données: ho, d, h et d' (voir figure 8.14)

fed

=

fe et fb" 1,15

= 0,85fc28 1,58

(en situation non accidentelle)

Sollicitations de calcul: MuGo , et Nu au centre de gravité de la section du béton seul.

Inconnues: A si A' est connu, ou A et A'

h

2

d _.b..

2

Figure 8.14

1. La section A' des aciers les plus comprimés est connue. Le moment agissant ultime, rapporté au centre de gravité de l'armature la moins comprimée et évalué comme indiqué au § 8.331 est: MuA

= M uGO + Nu ( d -

~)

Dans le cas où le pivot est le point B et où l'axe neutre franchit le niveau des aciers A, et a fortiori en région 3 pivot C, toutes les forces internes deviennent des compressions et l'équilibre n'est p03sible que si le centre de pression se trouve entre: - d'une part Go (au-dessous de Go, le moment serait de signe contraire à celui pour -lequel on cherche la solution) d'autre part le barycentre de Fbc et de Fsc lorsque l'axe neutre passe par A, puisqu'alors F.ç = O. Pour cette position particulière de l'axe neutre, le pivot est le pivot B et y = d d'où F;,c =0,81 ho d hu

438 Traité de béton armé En prenant les moments en A', on a pour ce cas particulier:

d'où la valeur limite de eo

:

[8.29]

Figure 8.15

Des valeurs de eo supérieures à eo,lim ne permettent pas de réaliser l'équilibre au pivot C.

Cette condition n'est pas suffisante. En effet, puisqu'au pivot C le coefficient de remplissage \If est au moins égal à 0,81 (frontière BC) et au plus égal à 1 (verticale du pivot C), il faut encore d'après [8.27] et [8.28] que l'on ait:

081 ~ ,

UI

-0337< , -!lbl

_MuA-A'feAd-d')<~ 2 - U

-

bo h hu

-05 I

,

c'est-à-dire qu'il faut que la section A' imposée soit telle que:

MuA - bo h

,

mais avec

hl{

d-

A''? AI

=

A'< A'

= MuA -bo h hu(0,81d -0,337h)

-

2

,) hd (d-d

~)

fed(d -d')

[8.30a]

[8.30b]

Si la première de ces deux conditions n'est pas satisfaite, la section ne peut équilibrer les forces appliquées.

Chapitre 8 • Flexion composée 439 Si c'est la seconde qui n'est pas satisfaite, l'équilibre n'est possible qu'au pivot B, région 2 bl • Les armatures A ne sont comprimées que si : A'::; MuA - 0,473 bo d

2

hu

feAd -d') En effet, lorsque l'axe neutre passe par le centre de gravité des armatures A on a y = d, a = yi d = 1, la droite des déformations occupe la position BD et IlBD = 0,81 (1-0,416)= 0,473. Dans ce qui suit, nous supposons donc qu'outre la condition sur eo , les deux conditions [8.30] sur A' sont bien réalisées. Les équations précédentes permettent de résoudre le problème. On peut en effet successivement écrire: ~

0,357 Ct -0,857

Ilbt -

(avec Ut = dl h)

- d'après [8.28] :

\If =

- d'après [8.21] :

ç = Jl~ ~ = 2,294~1-\If

- d'après [8.20] :

at

=~(~+3) 7 ç

et en utilisant les équations de compatibilité du pivot C (voir équations [7.3] au § 7.431-~): 2(a t -Ct)

E,

= 1000(a, -~J

(avec ici Ct = dl h et at d'après [8.20])

d'où crs = Es Es = 2.105 Es = min {IOO (4 + 3 ç-7 C,

ç)

feJ

(MPa)

[8.30c]

et finalement, par la formule [8.24] avec crsc = !ed : [8.31 ]

1.

La région « 2b » correspond à un axe neutre situé entre les armatures A et la fibre extrême de béton la plus proche de A.

440 Traité de béton armé Remarques: 1. En prenant le moment agissant au centre de gravité des aciers comprimés:

MUA'

= M uGO -Nu(~ -dl],

il est facile de voir qu'au pivot C, on doit nécessairement avoir :

2 MUA' - boh2 fbu (Ct - 0,5) < A < MUA' - 0,81boh fbu (Ct - 0,584) feAd - d') - 700(1- Ct)

6V=1 ;

ç=O)

(",=0,81;

ç=1)

2. La relation [8.30b] montre que l'on a crs = fed dès que: 4 + 3): - 7C ): = fed ':> t':> 100

ou

a > C + fed t

t

700ç

(dans ces expressions, 100 et 700 représentent des MPa)

2. Les deux sections A et A' sont toutes deux inconnues. Dans ce cas, la condition e o :::; eo,lim étant supposée satisfaite, il suffit de choisir A' dans la fourchette définie par les inégalités [8.30a et b] et de continuer ensuite le calcul de A comme dans le premier cas ci-avant. En choisissant le(s) diamètre(s) des barres comprimées, il faut s'arranger pour que la section A' réelle demeure dans la même fourchette [8.30a et b] qui est très étroite. Sinon, on retourne au pivot B, mais si, la condition e o :::; eo,lim qui implique que les deux nappes d'armatures sont comprimées étant satisfaite, on trouve que pour obtenir l'équilibre des forces la nappe A doit être tendue, le problème ne comporte pas de solution (et il faut changer une ou plusieurs données - dimensions; résistances - du problème). L'organigramme de calcul ci-après résume la marche à suivre au pivot C.

Chapitre 8 • Flexion composée 441 e ,. = o,lm

h 0,81 bo dfbu -d'(0416d-d') 2 Nu'

Pivot B, région 2a

, -____________L-__________- - , .

Pivot B, région 2b ou pivot e, région 3

h

"2 )

MuA - bohfbu (d -

Po: ?

Non } - - - - '... Augmenter bo ou h ou fc28

------------

fed (d - d')

Oui

MuA - bohfbu (0,81d - 0,337h)

Non

Po: s ----------------fed(d-d')

Oui

pivote

MuA -Po: fed (d - d') Ilbt= MuA - 0,473 bod2 fbu

Po:s

fed(d-d')

Ilbl- 0,357 \jI=

01- 0,857 Oui

Non

A comprimé

ç=2,294~

A non nécessaire (% minimal)

MuA -Po: fed (d - d') lluA = a = 1,20 (1 -

~ 1-

2,06lluA)

Z = d (1 - 0,416a) a-1

O's

A= -

= 700 - -

1 [

O's

a

MPa

MuA-Po:fed(d-d')] Nu-A'fed-----------z

• Région 2a : axe neutre au dessus des armatures Région 2b : axe neutre entre les armatures A et la fibre extrême de la section la plus proche de A

442 Traité de béton armé Remarques: 1. Si l'on effectue la différence des deux sections A' 2 et A' 1 données par les équations [8.30 a], on trouve:

A' -A' _ (0,190, - 0,163 )hoh2 hu 2

feAd -d')

1-

hd = 435 MPa A'2 -A\ = 1,6h 2 •

ce qui, pour d = 0,9 h (0, = 0,9), d' = 0,1 h, /LIU = 14,2 MPa, ho = h/2 (par exemple) conduit à (avec les unités cm2 et m):

Si h = 0,60 m, on trouve A'2 - A'l

et

= 0,6 cm2

Ceci illustre ce qui vient d'être dit avant les remarques. Un faible écart sur la section A' par rapport à sa valeur théorique suffit pour modifier considérablement le résultat (et repasser au pivot B ou avoir un équilibre impossible !). Il ya en quelque sorte une « instabilité mathématique» du calcul qui constitue une anomalie du dimensionnement sous efforts presque centrés. Cette anomalie n'est pas propre aux calculs à l'état-limite ultime; on la rencontre également dans le dimensionnement à l'état-limite de service. 2. Dans le cas où le rapport X = A / A' entre les sections des aciers les moins et les plus comprimés est imposé a priori, on doit opérer par approximations successives, en se donnant en premier lieu une valeur de !-lbf comprise entre 0,81 Of - 0,337 et 0, - 0,5.

À cette valeur de !-lb! correspond une valeur de crs (voir organigramme ci-avant). L'équation d'équilibre des forces [8.24] donne alors, puisque A = XA' : A'= Nu

-\jI ho

h hu

!.,t/ + X crs

[8.32]

Cette valeur est portée dans la relation [8.27] donnant !-lb'. On compare la nouvelle valeur de !-lbr. ainsi trouvée à celle dont on est parti et on recommence les calculs jusqu'à ce que ces deux valeurs de !-lb' soient égales. On obtient ainsi les valeurs définitives de crs et de A' donnée par la relation [8.32]. Celle de A s'en déduit par A = XA'. Si l'on veut en outre X = 1 (armatures symétriques), il faut corriger dans le sens convenable la valeur deA' pour tenter d'y arriver. Dans tous les cas, la meilleure solution est encore de recourir aux diagrammes d'interaction (voir § 8.62). 3. Remarque sur l'utilisation d'un diagramme rectangulaire au pivot C, région 3 : En région 3, le coefficient de remplissage du diagramme parabole-rectangle varie de 0,81 à 1 quand la hauteur de l'axe neutre varie de h à l'infini (voir tableau 8.3 où al varie de 1 à 00). Le coefficient de centre de gravité varie de 0,416 à 0,5. Si l'on voulait substituer au diagramme parabole-rectangle un diagramme rectangulaire équivalent, il conviendrait de s'arranger pour que le coefficient de remplissage

Chapitre 8 • Flexion composée 443 de ce dernier varie également en fonction de la position de l'axe neutre. Toutefois, compte tenu de la remarque 1 ci-avant, les approximations que l'on est inévitablement amené à faire introduisent de trop grandes incertitudes sur le résultat final du calcul pour qu'un diagramme simplifié, quel qu'il soit, puisse être considéré comme satisfaisant. Pour cette raison, aucun diagramme simplifié n'a été ni proposé, ni envisagé ici.

8.412

Sections à table de compression

Puisqu'en région 3 la contrainte de compression du béton est constante sur les trois septièmes de la hauteur totale de la section (figure 7.9 c), toute table de compression d'épaisseur ho telle que ho ::; 3h / 7 (ce qui est le cas général) est soumise à une contrainte de compression uniforme et égale àfbll' Dans ces conditions, il est possible d'appliquer directement aux sections à table de compression les méthodes exposées au § 8.311-2. Le problème se ramène en effet à la recherche des armatures d'une section rectangulaire de largeur bo qui serait soumise aux sollicitations:

N lIR MuRA

= Nu -

(b - bo )hohJll

= MuA - (b- bo)ho( d -

~ )hu

comme on l'a vu au § 8.332.

8.42

Dimensionnement par l'état-limite de service

On est dans le cas d'une section entièrement comprimée lorsque N.ver est un eff0l1 normal de compression et que el avec el distance du bord du noyau central au centre

hl::;

de gravité Go du béton seul (el = h / 6 pour une section rectangulaire). On raisonne sur la section de béton seul, les sections Al et A2 étant supposées inconnues a priori.

Noyau central

MGo
Figure 8.16

444 Traité de béton armé Le problème du dimensionnement des armatures comporte une infinité de solutions. Les sections d'acier Al et A2 doivent être telles que: -le pourcentage d'armatures soit au moins égal au pourcentage minimal; -la contrainte limite du béton en service

(Jbc

= O,6fc28

ne soit pas dépassée.

La marche à suivre est la suivante: 1. On commence par se fixer les valeurs des sections A 1 et A2' par exemple de manière à atteindre au moins le pourcentage minimal d'armatures requis en compression simple (formule [10.10]).

2. On calcule ensuite successivement: -l'aire de la section totale rendue homogène: Bh = B + 15 (Al + A2) avec B aire totale de la section de béton seul; -le moment d'inertie h de Bh par rapport à l'axe perpendiculaire au plan moyen (plan de symétrie) passant par le centre de gravité Oh de Bh ;

3.

étant le moment en Oh pris avec son signe, la contrainte de compression maximale du béton a pour valeur : Mser,Gh

a) si M., ' > 0: (J .sa,Gh

bc max

= NBser

+ Mser,Gh 1

h

b) si M .

ser,Gh

<0.

(J

' b e max

VI

h

N _ M ser, C'hV2 =~ B 1 T

h

il

Figure 8.17 4. Si

(Jbcmax «(Jbc

réduire "écart entre

5. Si

0bcmax

les sections Al et A2 choisies a priori doivent être diminuées, pour (Jbcmax

et

(Jbc

mais de manière à toujours respecter la condition

> abc , il faut augmenter Al et A2 et recommencer les calculs jusqu'à trou-

Ces calculs étant longs et fastidieux, il est préférable, comme déjà dit, d'avoir recours à des abaques (voir § 8.61).

Chapitre 8 • Flexion composée 445

8.5

SECTIONS ENTIÈREMENT TENDUES

8.51

Dimensionnement par l'état-limite ultime

eA2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ t:.L..L..t:..L...C..

Figure 8.18 (correspond à MuGo> 0)

La section est entièrement tendue si Nu est un effort de traction et si le centre de pres-

sion défini par :

tombe entre les traces des deux nappes d'armatures (leol
Nu

= A21ed + A10's

Elles sont valables quelle que soit la forme de la section. Si les deux sections A 1 et A 2 sont inconnues a priori, le problème peut avoir plusieurs solutions. La plus économique correspond à O's =led (le centre de pression coïncide alors avec le 'centre de gravité de l'ensemble des armatures).

En prenant les moments successivement par rapport à l'une et à l'autre des deux nappes d'armatures, on trouve qu'il faut avoir: [8.33]

446 Traité de béton armé [8.34]

avec la condition supplémentaire (AI + A2 );::: B Jm

. Je

Le cas des armatures symétriques correspond à eAI = eA2 d'où (voir chapitre 6) : A

1

= A2 =max{ 2.(" Nu

. BJm } 2.('

J ed

[8.35]

Je

(le deuxième terme correspondant à la section minimale).

8.52

Dimensionnement par l'état-limite de service

La section est entièrement tendue si le centre de pression C défini par:

tombe entre les traces des deux nappes d'armatures. Le calcul se fait selon les mêmes principes que pour l'état-limite ultime. Le dimensionnement économique correspond à cri =cr2 =crs d'où (notations, voir figure 8.18) : [8.36]

[8.37]

avec la condition supplémentaire (AI + A2);::: B j;28 .

Je

Le cas des armatures symétriques correspond à eAI A 1

= eA2 d'où

ser = A2 =max{ N2 • '

cr s

Bfr28 } 2/,e

. (le deuxième terme correspondant à la section minimale).

Chapitre 8' Flexion composée 447

8.6

ABAQUES ET DIAGRAMMES D'INTERACTION

8.61

Abaques type Caquot (états-limites de service)

Ces abaques peuvent être établis pour toutes les formes de section.

Principe: On écrit les équations d'équilibre au centre de gravité de la section de béton seul en exprimant les contraintes des aciers en fonction de la contrainte maximale du béton et on se ramène à des quantités adimensionnelles. Par exemple, pour une section rectangulaire en flexion et compression (figure 8.19).

-Î--r---~~F-,,_hr----f Y1

d'

f.- 4 bo

Figure 8.19

avec

Fbc

=~cr bcboY\ 2

(volume des contraintes)

d-y crs =15crhe _ _1 YI

a",

y,-d' Ose = 150be - -

Y1

448 Traité de béton armé d' 100A En posant A'= x,A, al = Ydl , Ù=-d ' Po = - - , et en supposantd'=h-d, d'où bod h -=l+Ù d

(h/2}-d ' = 1+ Ù _ Ù= 1- Ù , on arrive à:

et

d

2

2

Pour une forme de section et une distribution d'armatures données, en se fixant a priori les valeurs de Ù et de X on peut tracer des courbes donnant en fonction de al et de Po la

.. d vanatIOn e

Db,

eo =-/-lb d Db

/-lb et -

.

Si les armatures sont symétriques, X = 1. L'abaque de la figure 8.20, donné à titre d'exemple, est établi pour d' = h - d

= 0,1 Oh .

a) Détermination des armatures Données: . d ' A' u~ · Forme et d ImenSIOns e al sectIOn, X =-,

A

User.GO

=-d' d

et N,er

Inconnues: A etA' O nse fi x e

rr < i'T Vbc-Vbc

et on cal cu le

/-lb=

et

Mser, GO 2

bo d abc

"b v

=

N ser

bo d abc

Sur l'abaque correspondant à la forme de la section et à X et Ù, le point d'intersection des .

courbes correspondantes a pour abscIsse 15 Po

= 1500A bo d

et pour ordonnée (figure 8.21) :

-f(al ) -as -15abc

On peut ainsi contrôler si 1'hypothèse faite sur a he conduit bien à as=:;; as' S'il n'en est pas ainsi, il faut recommencer le calcul avec une valeur de la première. S'il en est bien ainsi, on a :

A = (15 Po)bo d 1500

et

A'=x,A.

abc

inférieure à

Chapitre 8 • Flexion composée 449 Valeurs de Ub

20

0,00

1

la

a

20

Valeurs de lSpo 0,02

19 15 12,3 10

9 8 7 6

40

30

0,00

50

i

Section rectangulaire armée symétriquement

0,04 1500A 15Po =b;;d

0,10 0,06

u -

Nser

b- bod (ft<:

0,08

5

M..ro

4

0,20

0,10

~b= bod'~bc

0,12

Ôt=-h-=0,10

3,5

h-d

3

,, -&

0,14

2,5

"i {)1

0,30

0,40

~~

,

___ ~ ___

~~.

'. ,•.• ,.

W~,,

,

___ .,,,

___

~ _,_~

__

, . __ w ••

,

'"f"~'-"

~ ~~~ __ "

e

____ _

:

\

0,18 1,5

___

\ "ct ,,'P~

0,16

2

t)- ~~ _~C>,,

0,20' 0,22

1,22

10,00

0,24

5,00

0,50

3,00

0,26

2,00

0,80

0,66

0,28 0,60

1,50

..

0,30

~-

~

1,20

-~

0,60

1,00

0,3'2

0,90

0,50

0,80

0,70

0,70

0,40

0,65 0,60

0,30 0,55

0,80 0,50 0,48

0,20

0,48 0,44 0,42

0,40 0,38

0,35 0,34

1t 0

1 1

11

1 1 1

1 10

1 1 1

11

1 1

1 20

Vil'A!Urs de 151>0 11 1 t t

1 1 1 1

11 30

1 t

,1

1 1 1 1

11 ~O

Figure 8.20. Abaque de M. Caquot pour le calcul des sections rectangulaires à armatures symétriques

1 1

11 t

1 1

1 80

450 Traité de béton armé

---.--15po Figure 8.21. Utilisation des abaques type Caquot pour la détermination des armatures

Figure 8.22. Utilisation des abaques type Caquot pour la vérification des contraintes

b) Vérification des contraintes Données: Forme et dimensions de la section, X et 8 Mser.GO

et Nser

A et A' =x;A,

Inconnues:

e A1 GO 1500A. e = sel', et 15 Po = . La vertIcale de 15po coupe la courbe --.Q.. en ho d d d N ser un point par où passent une courbe !lb et une courbe Db. L'échelle latérale donne

On forme

--.Q..

l'ordonnée

~ correspondant à ce point (figure 8.22). 15crbc

d'où l'on déduit la valeur de crJ à partir de la valeur lue pour ~ sur l'échelle latérale. 15crbc

Chapitre 8 • Flexion composée 451

8.62

Diagrammes d'interaction (état-limite ultime)

8.621

Courbe d'interaction 1+---bç--l!>oI

1

h

- - - - - - - :;;"'---+ 1 1

Cfsj

Cfsn 1'---_---'

Béton

Acier

Contraintes

Figure 8.23 Soit une section quelconque mais possédant un plan de symétrie (plan moyen) et comportant des armatures A\, A 2 ••• Aj ... An respectant la symétrie et situées à des distances dl. d2 ... dn de l'axe f1 perpendiculaire au plan de symétrie et passant par le centre de gravité Go de la section de béton seul (par convention An est supposée être l'armature la plus éloignée de la fibre la plus comprimée). On se donne une valeur de y et on considère le diagramme de déformations passant par le pivot correspondant, à savoir:

ct....

- pivot A si y::; 0,259 (dn + v') - pivot B si 0,259 (dn + v') < y ::; h

[8.38]

- pivot C si y > h . Pour la valeur de y choisie et le diagramme de déformations qui lui est associé, les déformations Eç et El} de deux fibres quelconques, respectivement de béton comprimé et d'acier (tendu ou comprimé) sont parfaitement déterminées; il en est de même de leurs contraintes respectives, crcç pour le béton, crsj pour l'acier (crSj positif au-dessus de l'axe neutre et négatif au-dessous).

452 Traité de béton armé Compte tenu de cette convention de signe, on peut écrire les expressions de la résultante Ni des forces internes d'une part et du moment en Go de ces forces, c'est-à-dire ~,GO, d'autre part, sous les formes générales suivantes' : y

NI (y )= Ni

n

= fbçacçdÇ + LAjasj o

n

y

MI (y) = Mi,Go

[8.39]

)=1

= fbçacç(v'-Ç)dÇ+ LA)asjdj o

[8.40]

)=1

avec v' distance du centre de gravité du béton seul à la fibre la plus comprimée de la section. Dans le système d'axes orthonormé plan (OMN), le point PI de coordonnées MI(y) et NI(y) décrit un arc de courbe convexe CI (figure 8.24) 10) Pour Y= - 00, la droite des déformations est la verticale du pivot A (Es as) = -fed)'

= 10 %0, donc

Le point PT (MT,Go, NT) correspond à l'état-limite ultime de traction simple et on a : Il

NI (-00)

= NT = LApsj = -fedLA) j=I

Il

MI ,Go (-oo)=

Il

MT,GO

= LAj j=I

[8.41 ]

j=I n

a Sj d j =-fe"LAj d j

[8.42]

j=I

1. Si l'on voulait connaître les moments frontières (§ 7.412) évalués en Go, il suffirait d'introduire, comme bornes de l'intégrales de l'expression [8.40], les valeurs limites de y données par [8.38]. Mais ici, cette connaissance n'est nullement indispensable (voir cependant § 16.3).

Chapitre 8 • Flexion composée 453 N

--------~------~~--------~M

+

PT

Figure 8.24

[MT,Go n'est nul que si le centre de gravité du béton seul est également celui des aciers, n

puisqu'alors

L Aj d j = 0 ] j=1

2°) Pour y = +00, la droite des déformations est la verticale du pivot C (Es = 2 %0), donc O"cç = Cte = lbu et O"Sj = min Esc Esc = 400 MPa } 1 : le point Pc (Me,Go, Ne) corres-

Ved ;

pond à l'état-limite de compression simple et on a: 11

N 1(+oo)= Ne

= Bfbu +O".vLAj

[8.43]

j=l 11

MIGo{+oo} = Me,GO

=O"sj LAjdj

[8.44]

j=l

avec B aire de la section totale du béton (pour y = + 00, l'intégrale de l'expression [8.40] est nulle puisque O"cÇ étant constant, cette intégrale correspond au moment statique de l'aire B par rapport à son propre centre de gravité, qui est nul par définition; par ailleurs, Me,GO n'est nul que si le centre de gravité des armatures coïncide avec celui du béton seul).

1. Donc, pour des aciers de nuance Fe E 500, asj = 348 MPa

a~j =

400 MPa, et pour des aciers de nuance Fe E 400,

454 Traité de béton armé 3°) Pour une certaine valeur YF! dey, le point P occupe la position PFl telle que:

Nl(YF!) = 0 Ml (YF!) = MF! MF! étant le moment résistant ultime de flexion simple correspondant au sens de flexion considéré. 4°) Si l'on change le sens de la flexion, on définit de la même manière l'arc de courbe C2 passant par les points PT et Pc déjà définis et par le point PF2 (y = Yn) tel que: N 2(YF2)= 0

M 2(YF2)= MF2 (de signe opposé à MF1 ) L'ensemble des deux courbes Cl et C 2 constitue une courbe continue et fermée C appelée « courbe d'interaction ». Si la section possède un centre de symétrie, les points PT et Pc sont situés sur l'axe ON et les deux courbes Cl et C2 sont symétriques par rapport à cet axe.

Le contour fermé C délimite le domaine de sécurité de la section étudiée munie de ses armatures de section totale IAj • Soit P l'extrémité du vecteur représentant la sollicitation agissante, c'est-à-dire ayant pour composantes Nu et Mu,Go. Trois cas peuvent se présenter: a) si P tombe à l'intérieur du contour C, la section est apte à résister à la sollicitation agissante (N,,, Mu,Go) ; b) si P tombe sur le contour C, la section est toujours apte à résister à la sollicitation agissante, mais l 'tm au moins des pivots est atteint; c) Si P tombe à l'extérieur du contour C, l'un au moins des pivots est franchi, c'est-àdire que l'état-limite ultime est dépassé. Il faut modifier l'un des paramètres du problème; en général on agira sur (IAj) et on augmentera proportionnellement toutes les sections d'armatures c'est-à-dire que l'on remplacera chaque section Aj par une nouvelle section k Aj (k > 1), ce qui a pour effet d'augmenter l'étendue du domaine de sécurité (voir § 16.3). 5°) Si la section ne comporte aucune armature (I.Aj

=0),

ce qui est un cas d'école

puisqu'un pourcentage minimal est toujours requis, les points PT et Pc ont respectivement comme coordonnées (0 ; 0) et (0 ; B fiu) et les relations [8.39] et [8.40] où les .termes dus aux aciers sont alors nuls définissent le contour lenticulaire Co (figure 8.24).

Chapitre 8 • Flexion composée 455

8.622

Diagrammes d'interaction

8.622-1

Tracé et particularités des diagrammes d'interaction

La forme de la section transversale est donnée, ainsi que la position de chaque armature. On pose

1 '. ,,-_

Nil

v

,II

r

Bfbll

G

__ M Il,GO et p __ ....:.-...::....:......:.:;... (LAj lied (pourcentage mécanique total) Bh/bu Bft",

avec:

B

aire totale de la section

h

hauteur totale de la section

!ed= j~/ys =!el 1,15 en général. La position des armatures restant invariable, donnons à p diverses valeurs: 0, 0,1, 0,2 ... On obtient dans le plan orthonormé (0 !-l'U) le diagramme d'interaction de la section qui se compose de courbes régulièrement espacées Co; CO,I; CO,2, •.• correspondant aux diverses valeurs de p, coupées par un réseau de droites rayonnantes (mais sans loi de convergence), correspondant à des positions d'axe neutre identiques (voir § 16.3). Le tracé s'effectue automatiquement à l'aide d'un ordinateur (exemple figure 8.26). Dans la direction de chacune des droites rayonnantes, p croît linéairement. Les courbes p = 0, p = 0,1, P = 0,2, etc. coupent donc chaque droite en des points équidistants le long de celle-ci, ce qui veut dire que les interpolations doivent se faire dans la direction des droit~s (figure 8.25). Compte tenu de cette remarque, pour obtenir la valeur de p correspondant à un point P quelconque du plan avec une bonne précision, on peut, au lieu de se cantonner aux deux courbes les plus proches encadrant le point P, étendre l'intervalle de lecture, et mesurer sur l'abaque, dans la direction «estimée» de la droite ex = yi h = ete passant par P (figure 8.25), les longueurs des segments POPI et PoP (Po correspondant ici à P =

°et PI correspondant à p = 1) puis prendre p = POPI PoP

(soit 0,688

sur l'exemple de la figure 8.25). Par ailleurs, dans le système d'axes (0 !-l 'U), les coordonnées des points PT et Pc présentent des particularités qu'il convient de signaler: a) pour les sections sans armatures C!:A j

°

- pour PT: 'U =

.:. . pour Pc: 'U =1

°)

ces coordonnées sont:

° °

= !-lG = !-lG

=

2

1. Bien faire attention aux quantités entrant dans les fonnules. Remarquer qu'on introduit ici U"Go (et non MuA) etfiu = 0,85!c281 fjyb, mais qu'à l'abaque donné en exemple ci-après, on a remplacéfbu par !cd = !c2S/Yb (sans le coefficient 0,85/0) 2. Ou u = 0,85/0 si le paramètre d'entrée pour le béton est!ctl selon la note précédente; c'est le cas pour la figure 8.25 et pour le diagramme de la figure 8.26.

456 Traité de béton armé u

Figure 8.25

b) pour la section avec armatures, la position de celles-ci étant invariable, comme les Aj varient en étant tous multipliés par le même facteur k, on a 1:(k A = k(L A Les

J

J.

coord01;mées des points PT et Pc sont donc telles que: fl 1:A,d, _ pour PT : --.!L = J } 1) h 1: Ai

=Cte

flG 1:A,d, -pour Pc : - - = } } =C te 1)-1 h 1: Ai II en résulte que, si le centre de gravité des armatures n'est pas confondu avec celui de la section du béton seul (1: Ai di 0), lorsque p varie, les points PT et Pc décrivent

*

deux droites ~T et ~c de même pente ~

1:A,d, } } passant, l 'une ~T par l'origine 0, l'autre, h1:Aj

par le point de coordonnées (1) =1 ; flG

=0) (figure 8.27).

Chapitre 8 • Flexion composée 457

1.8

1,6

1,2

..__ .- .,--

-~

"',- -

--

.. As1 +As2

Ollel

=

bhfcd

fyd

bh fcd

Atel

=As1 + As2 =Ollel - fyd-

0,6

0,4

0,2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Figure 8.26. Exemple de diagramme d'interaction (extrait du Manuel flexioncompression du CES) Section rectangulaire à armatures symétriques di = 0,10h, fe= 500 MPa Attention: ici le" = aflnJ 0,85 (l'écriture Ec211::s 1 = 3,5/2,0 par exemple ne correspond pas à un rapport. Elle signifie seulement, Ec = 3,5%0 et Esi = 2 %O. La ligne pointillée correspond aux « déformations équilibrées» (voir § 11.763-3, effort Nhal, texte accompagnant les figures Il.45 et 11.46)

458 Traité de béton armé

8.622-2

Utilisation des diagrammes d'interaction

JO) Détermination des armatures (figure 8.27) - Dimensionnement

La section est soumise à une série de sollicitations (Nu, Mu,Go)j avec j = 1, 2, 3 ... Le pourcentage P cherché est le plus élevé des pourcentages mécaniques Pj correspondant aux différentes courbes passant par les points Pj (Uj, ~Gj). En effectuant cette opération sur plusieurs diagrammes d'interaction correspondant, pour une même section, à des distributions différentes d'armatures, il est possible de trouver la distribution la plus économique (LAj minimal) permettant d'équilibrer l'ensemble des couples (Uj, ~Gj) imposés. u

u

Dimensionnement

Vérification

Figure 8.27 ]0) Vérification de la sécurité (figure 8.27)

Les points Pj (Uj' ~Gj) correspondant à (Nz" Mu,Go)j doivent tous se trouver à l'intérieur du contour délimité par la courbe C correspondant au pourcentage mécanique P des armatures de la section. Remarque: On peut encore, au moyen des diagrammes d'interaction (figure 8.28) : - trouver la valeur du plus grand moment d'un signe déterminé que peut équilibrer une section lorsqu'elle est soumise à un effort normal agissant donné ou, inversement, - trouver la valeur du plus grand effort normal d'un signe donné que peut équilibrer une section lorsqu'elle est soumise à un moment agissant donné.

Chapitre 8 • Flexion composée 459 u

u

Figure 8.28

8.7

CALCUL DES CONTRAINTES NORMALES

8.71

Section entièrement comprimée

1 - - - - / crsc1

15 Va 1

Axe de fle.'{ion simple

~ _er_et_·-I_~-_h_-

--L._-f---+__

--f--_ --_-_-

tJ>

~:.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ' - -_ _--L.

crbc2

Mser.Gh > 0 Figure 8.29

= crbc max

Mser.Gh < 0

460 Traité de béton armé L'effort normal de service Nser est un effort normal de compression et le centre de pression est à l'intérieur du noyau central de la section rendue homogène (figure 8.29).

-- --

Celui-ci est tel que G"C1 xG"OI de même G"C2 X Gh 0 2

=-1/ B

=-II B

d'où

--

c e =1/ BV h

----

d'où G"Cj =-II BV j (G"Cj < 0, G"Oj > 0) et 2

2

(G"C2 > 0, G,,02 < 0).

Il suffit d'appliquer à cette section la formule classique de la Résistance des Matériaux, qui conduit pour une fibre de béton quelconque à :

[8.45] avec: N ser

effort normal de service

Mser,Gh

moment de service évalué au centre de gravité Gh de la section homogène Bh

Bh

= B + 15A (B aire totale de la section transversale de l'élément, A aire totale de la section droite des armatures)

I"

moment d'inertie de passant par G"

v

distance à ce même axe de la fibre dont on cherche la contrainte.

Bh

par rapport à l'axe perpendiculaire au plan moyen et

Pour l'acier situé à la même distance v de l'axe ci-dessus défini, la valeur résultant de l'application de la formule [8.45] est à multiplier par 15.

8.72

Section entièrement tendue

_________________________

'-"-"-L.L..<.~

(la figure correspond à Mser.Go > 0)

Figure 8.30

Chapitre 8 • Flexion composée 461 N ser est un effort normal de traction et le centre de pression tombe entre des traces des

deux nappes d'armatures (figure 8.30). On pourrait continuer d'appliquer la formule classique de la Résistance des Matériaux. En fait, comme le béton tendu n'intervient pas, le problème se ramène à l'équilibre des trois forces: N sen AIO'sh A 20's2. En prenant les moments successivement par rapport à A 1et A 2 on trouve: et

[8.46]

Section partiellement comprimée

8.73

Le centre de pression C est à l'extérieur du noyau central de la section homogène si Nser est un effort normal de compression ou à l'extérieur des traces des deux nappes d'armatures si N ser est un effort normal de traction.

-----1--------- --

1d

-

crÇ=KÇ

ç

_____ J__ :~_K

,

h

.~-~~"._~~~._~~

________ _

1 Axe -------,-----1 neutre

/

/

/

/

/

crs 15

Figure 8.31

Soit (figure 8.31) :

YI

distance, essentiellement positive, de la fibre la plus comprimée de la section à l'axe neutre,

Yc

distance du centre de pression C à l'axe neutre, prise positive si Nser est un effort de compression et négative si Nser est un effort de traction,

c

la distance du centre de pression à la fibre la plus comprimée de la section: c = d - eA, eA ayant le signe de Nsen donc (figure 8.32) :

462 Traité de béton armé • si Nser est une traction « 0) : c> 0 quelle que soit la position de C. e

si Nser est une compression (> 0) :

c < 0 si eA > d ( C à l'extérieur de la section) c> 0 si eA < d ( C à l'intérieur de la section).

C

Compression

Compression

Traction

Traction

Figure 8.32

Dans tous les cas, on a YI = Yc + c et en désignant par K le coefficient angulaire du diagramme des contraintes, celles-ci se calculent par (unités m, MPa, K en MN / m3) :

abc a s

=KYI =K(yc +c)

= 15abc (d-yc-c) Yc+c

II faut donc calculer: -la valeur de Yc - la valeur du coefficient angulaire K.

Soit: Se le moment statique de la section homogène réduite Be par rapport à l'axe neutre:

avec:

Il

11

= 1 si dBe est une fibre de béton

11

=

15 si dBe est une fibre d'acier

moment d'inertie de la section homogène réduite Be par rapport au même axe:

Chapitre 8 • Flexion composée 463

Se

moment statique de la section homogène réduite Be par rapport à la parallèle à l'axe neutre passant par C :

=- If (Ye - Ç) n d Be

Se

Be

(le moment statique est considéré comme négatif si l'aire est au-dessous de l'axe, ce qui est le cas de la figure 8.32). le

moment d'inertie de la section homogène réduite Be par rapport à ce même axe: le

If (Ye - ç) 2ndBe

=-

Be

Ona: Be

et

Be

Se =-Yc

Be

If ndBe + If ç ndBe Be

Be

d'où

[8.47]

a) Expression deyc La forc~ élastique élémentaire est: crç(ndBe) = K

ç ndBe

En écrivant que le moment des forces élastiques élémentaires est nul au point C, on a :

K

If (Ye - Ç) ç ndB =0 e

Be

[8.48]

ou encore, d'après [8.47] : Ye = -

~ Se

Pour les sections rectangulaires ou en T,Ye s'obtient par la résolution d'une équation du troisième degré sous forme canonique: Y:+PYc+q=O

464 Traité de béton armé avec: - pour une section rectangulaire de largeur bo :

p = -3e 2 - 90A' (e -d')+ 90A (d -e) bo bo q = -2e 3 _ 90A' (e _d,)2 _ 90A (d _e)2 bo bo

c !.--------------1

f4f----- b

C

1

« 0)

1

r-~----~--.----------~ 1 d' -Pi 1

_ _ _ _ _ .....1.. _ _ _

et Il doit être calculé par la relation [7.86].

1

-~':~~~--ld

1

1

'A

----------- -

..,j,.;" 1

Figure 8.33

- pour une section à table de compression :

J(

b 2+3 ( --1 b 90A p=-3-c c-ho )2 - 90A' - - (c-d,) + - (d-c ) bo bo bo bo

J(

b 3+2 (--1 b q=-2-c c-hoJ\3 -90A' - - (c-d ,)2 - 90A - - (d-cJ\2 bQ bo bo bo Dans ce dernier cas, la condition pour que l'axe neutre tombe dans la nervure est: - si Nser est un effort normal de compression: f(h o - c) f(d - c) < 0 - si Nser est un effort normal de traction: f( - c )f(ho - c) > 0 S'il en est bien ainsi 1) doit être calculé par la relation [7.101] sinon il faut utiliser la relation [7.86] en y remplaçant bo par b, largeur de la table. b) Expression de K

En écrivant que le moment des forces élastiques par rapport à l'axe neutre est égal à NserYc:

D'où K = N ser Yc ou encore, d'après [8.48] : K = N ser ~ Se

Attention! Comme N ser Yc::f; N.ler eo = Mur•GO on n'a pas K = M ser comme en flexion

1)

simple.

Chapitre 8 • Flexion composée 465

8.8

CONDITION POUR QU'UNE SECTION RECTANGULAIRE SOIT ENTIÉREMENT COMPRIMÉE SOUS LES SOLLICITATIONS AGISSANTES ULTIMES

Pour le calcul des semelles de fondation, on utilise fréquemment la «méthode des bielles» dont l'une des hypothèses est que le poteau supporté par la semelle est soumis à la compression centrée. Toutefois des hypothèses complémentaires permettent d'étendre la méthode aux cas où la section de base du poteau est soumise à la flexion composée. L'une de ces hypothèses complémentaires est que la section de base du poteau doit être entièrement comprimée. Or les sollicitations prises alors en compte étant des sollicitations ultimes, la notion de noyau central (§ 8.32) n'a plus de sens. IMser,G o 1 :::; N ser

!!:.6 permet bien de conclure que la section est entièrement comprimée, le fait que l'on ait: Pour une section rectangulaire, si à l'état-limite de service, la condition:

1Ml/Go 1 . ' ree , 1d ' ' 1"Imite - :::; -h n ,apporte aucun renseIgnement sur l' etat e al sectIOn a'l' etatNu 6 ultime et il serait grossièrement faux d'en déduire que la section est entièrement comprimée.

Il serait également grossièrement faux de dire que la section est entièrement comprimée lorsque le pivot est le pivot C. Il suffit d'imaginer que l'effort de compression agissant ultime soit faible et peu excentré: le raccourcissement ultime de 2 %0 ne pourra être atteint en aucun point de la section; en particulier, il ne sera pas atteint sur les fibres correspondant au pivot C (fibres situées aux 3/7 de la hauteur de la section). Il faut bien se rappeler, et bien comprendre ainsi qu'on l'a dit au § 5.211-6, que la règle des trois pivots est une règle commode pour le dimensionnement des sections. Elle ne saurait décrire l'état de déformations physique réel d'une section dans laquelle les dimensions du coffrage et les sections des armatures sont connues, lorsque cette section est soumise à des sollicitations données (dans l'exemple choisi ci-avant de la section faiblement sollicitée, un projeteur utilisant la règle des trois pivots pour le dimensionnement concluerait seulement que des armatures ne sont théoriquement pas nécessaires et que la section minimale est suffisante). Dans ces conditions, comment peut-on s'assurer qu'une section est entièrement comprimée sous sollicitations ultimes? Il suffit que les déformations (raccourcissements) soient de même signe sur les fibres extrêmes de la section, le cas limite étant celui où l'une des déformations est nulle (figure 8.34, quantités sans dimensions).

466 Traité de béton armé

r

P

h=1

lL------l p

_____ --

~b=1-+l

0

A Figure 8.34 (p =-

hh

)

A cet état de déformations, correspond un état de contraintes dans le béton et dans les armatures, d'où l'on peut déduire l'effort normal résistant N Ru et son excentricité

eu'

Pour une section rectangulaire non armée, il est facile de voir qu'en posant UR

=

N Ru

ho hfbu

et

llR

eU

=h

et en faisant varier tbe de 0 à 3,5.10-3, on a: UR

='If

llR

=0,5 - ÙG

(coefficient de remplissage du diagramme des contraintes) (ùa: coefficient de centre de gravité de ce diagramme).

Les expressions de 'If et À

ùG données au § 7.511-1 (deuxième cas) en fonction de

-i-permettent de résoudre le problème. 10

=

tbc/

Chapitre 8 • Flexion composée 467 Pour une section rectangulaire munie d'armatures symétriques, de section totale 2A, il est possible, grâce à un programme de calcul, de tracer les courbes uA~) pour différentes valeurs de !c28, de le et des rapports d' / h et p = A / bh (moitié du pourcentage total d'armatures rapporté à la hauteur totale de la section). Jean Roux a bien voulu se charger d'établir ce programme, qui conduit au diagramme donné, à titre d'exemple, à la figure 8.35 (cet exemple correspond à le = 400 MPa, !c28 = 25 MPa, d' / h = 0,10). Chacune de ces courbes définit la frontière d'un certain domaine situé du côté de sa concavité. Pour toute sollicitation agissante ultime définie par Nu et e ou encore par u =

Nu et bD h!bu

YI =!!.... la section est entièrement comprimée si le point représentatif de cette sollicitah tion se trouve à l'intérieur de ce domaine. Remarques:

1. Pour p = 0 le noyau central correspond à YlR = 0,166 = 1 /6. Cette valeur constitue la limite de

eu

h

quand N Ru tend vers 0, car la parabole tend à se confondre

avec sa tangente à l'origine: le diagramme des contraintes devient triangulaire, c'est-à-dire qu'il se déduit du diagramme des déformations par affinité, et l'on retrouve l 'hypothèse de Hooke et la valeur de la Résistance des Matériaux. Mais comme tous les points de la frontière du domaine correspondent pour p = 0 à YlR < 0,166, l'extrapolation, tout à fait injustifiée, des résultats de la Résistance des Matériaux n'est pas dans le sens de la sécurité. 2. Si l'on tient compte des armatures, les paramètres se multiplient: sections de celles-ci, position, résistance du béton pour définir le rapport led/fiu. N Ru augmente et eu aussi, mais beaucoup moins vite que N Ru • La courbe p = 0 de la figure 8.35 se déplace vers le haut et vers la droite. Ne pas en tenir compte va dans le sens de la sécurité mais peut se révéler pénalisant (bien entendu, dans le calcul élastique également, si l'on tient compte des armatures, on trouve que le

noyau central occupe plus que le tiers central: e1im

""!!..

5 pourcentage d'acier de 0,5 % du côté le plus comprimé).

(au lieu de

!!..) pour un 6

468 Traité de béton armé Nt bhfbu 1,25

--

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fe =400 MPa fc28 = 25 MPa

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Figure 8.35

ci

Chapitre 8 • Flexion composée 469

8.9

SECTION CARRÉE FLÉCHIE DANS UN PLAN DIAGONAL

Dans le cas où la section est partiellement comprimée, la méthode d'assimilation à la flexion simple exposée au § 8.31 est applicable. a) Si la hauteur y de l'axe neutre est au plus égale à 0,625 h (h = bJ2 étant la hauteur totale de la section dans le plan de la flexion), la zone comprimée est triangulaire. Dans ce cas, les sections d'armatures Jl et Jl' nécessaires pour équilibrer le moment de flexion simple MuA = Nu eA peuvent être déterminés comme indiqué au § 7.81. On prend ensuite: A' = JI.' et A = Jl- Nu (Nu avec son signe). fed

Y > 0,625 h,

_.!..]

inégalité équivalente à: MuA> .!..[d il est préférable d'avoir 4 h 3 directement recours aux diagrammes d'interaction qui ont été établis pour le type de section considérée. b) Si

8.10 BIBLIOGRAPHIE SÉLECTIONNÉE DU CHAPITRE 8 Outre les documents mentionnés au chapitre 7 : - Millan (A), Programmes de flexion composée suivant les Règles BAEL ou CCBA 68 au moyen d'un ordinateur de poche (HP67 ou 97), Annales ITBTP, novembre 1982. - Pliskin (L), Calcul en flexion composée d'une section en béton armé avec des lois de comportement des matériaux quelconques, Annales ITBTP, octobre 1983.

CHAPITRE 9 FLEXION DÉVIÉE

9.1

DÉFINITION l

De manière générale, une poutre est soumise à la flexion déviée lorsque l'axe du couple de flexion ne coïncide pas avec l'un des axes centraux d'inertie de sa section droite et lorsque la direction de l'effort tranchant ne coïncide pas avec celle de l'autre axe. Seul est étudié dans ce qui suit le cas des poutres à plan moyen (plan de symétrie). Dans ce cas, il y a donc flexion déviée lorsque le plan de flexion ne coïncide pas avec le plan 2 moyen. 1°) S'il n'existe pas d'effort normal, la flexion déviée est dite simple; exemples: a) poutres à plan moyen vertical soumises simultanément à des charges de pesanteur (poids propre, composantes verticales des charges d'exploitation, ... ) et à des forces horizontales (vent, composantes horizontales des charges d'exploitation, de la poussée de l'eau, etc.) (figure 9.1 a); b) poutres à plan moyen non vertical soumises à des charges de pesanteur (figure 9.1 b) : p

H

Figure 9.1

1. 2.

La flexion déviée constitue l'une des deux fonnes de la flexion gauche, l'autre étant celle où la flexion s'accompagne de torsion (voir chapitre 13). Une pièce à section carrée sollicitée par une force extérieure de direction quelconque contenue dans un plan diagonal est donc sollicitée en flexion droite composée et non en flexion déviée, puisque le plan diagonal est un plan de symétrie.

472 Traité de béton armé 2°) S'il existe un effort normal, la flexion déviée est dite composée; exemples: - poutres sous chemins de roulement des ponts roulants, - poteaux supportant ces poutres. Ces poutres et poteaux sont en effet soumis aux forces verticales P résultant du poids propre et des charges variables et aux efforts horizontaux ± HI, ± H 2 provenant du vent, du retrait et du freinage longitudinal ou transversal (figures 9.2 a et b) :

P

•

Poutre (coupe verticale)

o

Poteaux (coupe horizontale)

Figure 9.2

9.2

SOLLICITATIONS À CONSIDÉRER

t!'y La section droite ayant au moins un axe de symétrie (trace du plan moyen sur le plan de cette section) on peut décomposer le moment de flexion correspondant à chaque action j suivant les deux directions principales de la section Gox et GoY, Go étant le centre de gravité du béton seul (Gox dirigé dans le sens de la largeur b de la section, GoY dans le sens de sa hauteur h). Les composantes correspondantes sont désignées par M.Tj.GO et Mn.GO (figure 9.3).

h

b

Figure 9.3

Chapitre 9 • Flexion déviée 473

9.21

Flexion déviée simple

Conformément aux principes énoncés au § 3.42 les sollicitations à considérer sont, symboliquement: a) vis-à-vis de l'état-limite ultime de résistance Ml/x,GO

= L Yj

M.r},GO

Ml/y,GO

= L Yj

Myj,GO

b) vis-à-vis des états-limites de service

9.22

Mserx,GO

= L M.r},GO

MS€ly,GO

=L M

yj,GO

Flexion déviée composée avec traction

a) vis-à-vis de l'état-limite ultime de résistance

M ux,GO

et

Muy,GO

comme pour la flexion déviée simple

b) vis-à-vis des états-limites de service:

Mserx,GO

9.23

et

Msery,GO

comme pour la flexion déviée simple

Rexion déviée composée avec compression

Dans tout ce qui suit, bien faire attention aux indices. a) État-limite ultime En principe, les sections soumises à un effort normal de compression doivent être vérifiées vis-à-vis de l'état-limite ultime de stabilité de forme (flambement biaxial, voir § 11.8). 1

Pour les poutres à section rectangulaire, les Règles BAEL permettent de tenir compte forfaitairement des effets du second ordre, en opérant comme indiqué ci-après.

1.

Article A 4.35. C'est le seul article où les Règles BAEL font mention de la nexion déviée, et encore, en commentaires, et en des termes très vagues, qui nécessitent une interprétation.

474 Traité de béton armé

les longueurs de flambement de la poutre évaluées respectivement dans le plan Gox et dans le plan GoY;

b et h

les dimensions de la section dans les directions respectivement parallèles à GoX et à GoY; l'excentricité additionnelle définie ci-après; les excentricités du premier ordre respectivement définies par (voir Figure 9.11) : [9.1 ]

et Lorsque les rapports 1ft / b et 1fy / h sont tous les deux tels que:

1ft :::; max{15' 20 elx } b 'b

et

/fy :::; max{15' 20 ely h 'h

}

[9.2]

on peut effectuer le calcul par les méthodes exposées ci-après au § 9.4, à condition d'opérer en prenant comme sollicitations de calcul:

avec (les signes à attribuer à ea , e2x et e2y étant, pour chacun des termes entre crochets, les mêmes que ceux de el x et el y respectivement) : el.n el y : excentricités définies ci-avant par les expressions [9.1] où ea est une excentrici-

té « additionnelle» (voir § 8.22 a) :

ea

= max{2 cm;

_I_} 250

1 étant la longueur de la poutre e2x, e2y : excentricités dues aux effets du second ordre (voir chapitre Il) évaluées forfai-

tairement au moyen des expressions: [9.3]

Chapitre 9· Flexion déviée 475

a.v et <Xx désignent pour chacune des deux directions principales le rapport du moment du premier ordre Mf, dû aux seules charges permanentes et quasi où

permanentes, au moment total du premier ordre Ml (avant application des coefficients y). En mettant à chaque fois l'indice y ou x convenable:

a~ M~(G+ ~1j12Û;J Ml(G+Ql + Lwoû;J

[9.4]

;2:2

ML

(moments de service du premier ordre, évalués en Go avec

<Xy

=--.!L M ly

L

et

<Xx

= M lx M lx

)

b) État-limite de service

Dans ce cas, les calculs sont conduits en prenant:

9.3

MÉTHODES DE CALCUL À L'ÉTAT-LIMITE DE SERVICE

Sauf pour les sections entièrement comprimées, les formules classiques de la Résistance des Matériaux pour un matériau homogène ne donnent pas une solution immédiate, car les caractères mécaniques de la section (aires et moments d'inertie) dépendent de la position de l'axe neutre, laquelle est inconnue a priori. Pour les sections de forme quelconque, le calcul ne peut être pratiquement mené que par approximations successives. Les nombreuses tentatives pour résoudre le problème ont été résumées par J. Rüdinger dans les Annales de 1'ITBTP d'octobre 1943 (Circulaire F nO 17). Treton dans la Revue Travau..'( nO 92 de février 1941 et dans l'Ingénieurçonstructeur de juillet-août 1944 a donné également des exemples d'application de la méthode par approximations successives. À l'époque de ces diverses publications, il n'existait pas d'ordinateur et les approximations devaient être faites manuellement. Actuellement, il existe des programmes de calcul qui permettent d'obtenir rapidement la solution du problème.

Le fait de ne pas disposer d'ordinateur et! ou de programme ne rend pas pour autant le problème insoluble par un calcul manuel.

476 Traité de béton armé Pour les sections rectangulaires, une solution rigoureuse est obtenue par l'emploi d'abaques dus à J. Rüdinger (op.cit.) et à A. Roussopoulos (Annales techniques, Athènes, mai 1933) que l'on peut trouver dans le Formulaire du béton armé de R. Chambaud et P. Lebelle, tome 1.

9.31

Flexion déviée simple: abaque de J. Rüdinger

Cet abaque (figure 9.5) concerne les poutres à section rectangulaire soumises à la flexion déviée simple et armées de quatre barres de même diamètre (section totale d'acier: 4A) disposées à chacun des angles de la section (figure 9.4), de sorte que chacun de leurs axes soit situé à une distance du côté b égale à 0,08 h et à une distance du côté h égale à 0,08 b.

+

Les axes Ox, Oy, sont:

!f\Y 1

1°) choisis de sorte que l'axe Ox soit perpendiculaire au côté effectivement rencontré par l'axe du moment agissant Mser. Par définition, la dimension b est parallèle à l'axe Ox ainsi défini (et la dimension h parallèle à Oy) ; 2°) orientés de façon que les projections Mserxo du moment Mser soient positives.

Mser,Go

Msery b

De ces deux conventions, il résulte que l'on a :

Figure 9.4

ou encore

b M sery tan '11=---:::;1 h M serx

a) Dimensionllement

Données: Composantes Mserxo Msery du moment de flexion section, avec les conventions précédentes

Mser suivant les axes de symétrie de la

Dimensions du coffrage: b dans la direction Ox ; h dans la direction Oy.

Inconnues: Aire totale AlOI = 4A de l'armature constituée par quatre barres de même diamètre. 1. On se fixe la contrainte extrême crbc du béton telle que crbc

:::;

0,6fc28

Chapitre 9· Flexion déviée 477 2. À partir des données, on calcule Il = Ilserx

b M sery et tan \11=--h Msen:

=

3. L'horizontale d'ordonnée tan \II coupe la courbe Il en un point dont l'abscisse est le pourcentage total ur (= 100 AloI / bh) et par lequel passe une courbe K (figure 9 .6 a).

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1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Figure 9.5. Abaque de Rüdinger pour la flexion déviée simple

4,0 m total

478 Traité de béton armé On en déduit: -la section A de chaque barre d'angle: A = ~Ol 4 - la contrainte maximale des armatures : crs

= mbh 400

= 15Kcrbc

Si cette valeur est supérieure à la contrainte limite crs , il faut recommencer en adoptant une valeur de crbc inférieure à celle utilisée pour le premier calcul.

ct Figure 9.6 b) VérÎfication des contraintes

Données: Mserx, Msery , b (suivant Ox), h (suivant Oy)

Aire totale de l'armature AloI = 4A (4 barres de même diamètre)

Inconnues: Contraintes extrêmes crbc et crs du béton et de l'acier.

, partIr . des d ' on cal i 1. A onnees, cu e: tanb 'If =- Msery -h M serx ainsi que le pourcentage total m =100 AlOI bh

=100 4 A . bh

2. Par le point d'abscisse m et d'ordonnée tan 'If passent une courbe !J. et une courbe (figure 9.6 b).

K

Chapitre 9· Flexion déviée 479 3. Connaissant Il et K on en déduit les contraintes maximales: - du béton: a he

- de l'acier: as

= Msen:2 Il b h

=15 K abc

Ces contraintes doivent être inférieures aux valeurs limites abc et as .

9.32

Flexion déviée composée: vérification des contraintes

9.321

Sections entièrement comprimées

/ Y Msery,G

La section est entièrement comprimée lorsque la force extérieure F = Nser est une force de compression appliquée à l'intérieur ou sur la frontière du noyau central de la section rendue homogène. Dans ce cas, les formules classiques de la Résistance des Matériaux sont applicables à cette section homogène.

/

~/M~erG x'

,1 Mserx,G

x

Soit G son centre de gravité, M ser; le moment de flexion évalué en ce point, Mserx,G et Msery,G les composantes de ce moment suivant les deux directions principales Gx et Gy de la section (Gx perpendiculaire au plan moyen, figure 9.7).

Figure 9.7

La contrainte en un point quelconque de coordonnées x et y s'obtient en appliquant le principe de superposition des effets des forces: [9.5] avec : Bh

aire de la section rendue homogène (Bh = B + 15 LA)

I hn I hy

moments d'inertie de l'aire rapport à l'axe Gy

Bh

respectivement par rapport à l'axe Gx et par

Les signes figurant dans la formule [9.5] correspondent à la disposition de la figure 9.7.

480 Traité de béton armé La direction de l'axe neutre s'obtient en écrivant:

Mserx,G l,v::

y-

Msery,G 1hy

x= 0

c'est-à-dire que le coefficient angulaire de cet axe a pour valeur: L X

= Msery,G

1hx

Mserx,G l/ry

La direction de l'axe neutre étant maintenant connue, la fibre de béton la plus comprimée et la fibre d'acier la plus tendue (ou la moins comprimée) le sont également, ainsi que les contraintes maximales sur ces fibres (pour l'acier, ne pas oublier que la valeur ainsi obtenue représente crs / 15),

9.322

Abaques de A. Roussopoulos pour les sections partiellement comprimées

Ces abaques valent pour la vérification des contraintes de sections rectangulaires soumises à une force extérieure de compression appliquée hors du noyau central (dans le cas contraire, on se trouve dans le cas traité au § 9.321), L'armature est supposée constituée par des barres de même diamètre disposées de sorte que sur chaque face de la poutre il y ait le même nombre n de barres. Les axes des barres placées le long des côtés de longueurs h et b sont supposés situés respectivement à O,06b et O,06h des faces correspondantes (figure 9.8).

Figure 9.8

Remarque: Lorsque h est nettement supérieur à b (ou réciproquement) cette dernière condition conduirait à une anomalie dans la disposition des armatures (figure 9.9),

Chapitre 9 • Flexion déviée 481 En pratique, bien qu'ayant mené le calcul avec les hypothèses de Roussopoulos, on adoptera pour l'exécution le même enrobage sur toutes les faces, en prenant pour la distance des axes des barres aux parements min[0,06 b; 0,06 hl, comme indiqué sur la Figure 9.10, à condition que cette distance respecte bien les conditions d'enrobage minimal données au § 4.l2a.

Calcul

Exécution

Figure 9.9

Figure 9.10

Il existe des abaques pour un nombre n de barres par face, égal à : - 2 (4 barres au total c'est-à-dire une barre à chacun des angles) ; - 3 (8 barres au total) ; -;::: 4 (en fait, n très grand, avec une section d'armatures le long d'une face indépendante de la face considérée).

Dans chaque cas, on définit le pourcentage relatif à la totalité des barres par : ID' =100 rA bh Pour chacune des valeurs de n indiquées ci-dessus, il existe quatre abaques correspondant respectivement à ID' = 0,8; ID' = 1,0; ID' = 2,0; ID' = 3,0. Pour une valeur de ID' différente des valeurs d'abaques, on peut admettre d'effectuer une interpolation linéaire.

h

Les axes Ox et Oy sont choisis de façon que le centre de pression C ait des coordonnées ex et ey positives (figure 9.11) : Figure 9.11

482 Traité de béton armé

Utilisation des abaques Données: Effort normal N ser Coordonnées ex et ey du centre de pression par rapport aux axes de symétrie de la section (attention aux indices)

= M yserG

e x

N

ser

• e 'y

= MxserG N ser

Dimensions du coffrage: b parallèlement à Ox, h parallèlement à Oy Nombre n de barres par face Aire totale de l'armature AloI = 4A (n - 1), A étant l'aire d'une barre.

Inconnues: Contraintes normales

crbc

et crs

l. À partir des données, on calcule les excentricités réduites: . . amsi que le pourcentage

tu

Ex

= e;

et Ey

=~

400(n -1)A = 100 AlOI =---'---'-bh

bh

2. Au point de coordonnées Ex et Ey de l'abaqùe correspondant au nombre n de barres par face et au pourcentage tu prévus passent une courbe u et une courbe K (figure 9.12) :

f: y

3. Connaissant u et K, on obtient les contraintes maximales :

--- ...." " K \

- du béton : cr

= ub N ser h be

- de l'acier: crs

f:y

=15 K crbc o

0-----,..----1

,

1 1 1

/t----'----'>~ Ex

f: x

Figure 9.12 Ces contraintes doivent être inférieures aux valeurs limites. S'il n'en est pas ainsi, il faut recommencer en adoptant une valeur tu supérieure à la première (a contrario, si crbc et crs sont très inférieures aux valeurs limites admissibles, on peut essayer de diminuer tu pour obtenir une solution économique, qui doit bien entendu être telle que

crs :::; crs ).

crbc :::;

cr/x- et

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Abaques de Roussopoulos pour les cas de trois barres par face

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484 Traité de béton armé

9 .. 4

MÉTHODES DE CALCUL À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME

(Sollicitations à considérer: voir § 9.21 a, § 9.22 a ou § 9.23 a selon le cas). Pour le calcul à l'état-limite ultime des sections en flexion déviée, il existe plusieurs méthodes, car les paramètres étant nombreux, le projeteur a la liberté de choisir comme il l'entend la distribution des armatures par exemple. Certaines méthodes sont plus particulièrement applicables aux sections rectangulaires, mais leur intérêt est limité au cas où la section n'a à équilibrer qu'un seul couple (Nu, Mu) correspondant à un cas de charge unique. Dans tous les autres cas, il est nécessaire de recourir à des abaques tels que les abaques « en rosette» (voir § 9.5) qui constituent les diagrammes d'interaction d'un type de section donné (rectangulaire, en caisson, etc.).

Remarque importante: II est rappelé que pour les sections rectangulaires soumises à la flexion déviée, la valeur de fbu à introduire dans les calculs, lorsque l'on utilise le diagramme rectangulaire est

r = 0 80 fc28 (et non r = 0 85 j~28 voir § 5 222-2 b)

lbu

9.41

,

ft'yb

lbu'

ft'yb'

.

Section rectangulaire sans aciers comprimés en flexion déviée simple

On suppose que le centre de gravité A des armatures tendues est situé dans le plan passant par le centre 0 du rectangle bd (et non par le centre de gravite Go du rectangle bh) et normal à l'axe du couple de flexion (figure 9.13). Par convention, les axes Ox, Oy sont choisis de telle sorte que l'axe Ox soit perpendiculaire au côté (désigné dans ce qui suit par «h ») rencontré par l'axe du moment agissant ultime Mu. Soit ô l'angle formé par cet axe avec l'axe Ox. Les composantes du moment Mil suivant les deux axes Ox et Oy sont respectivement

M'L:

= M~ cosô

et

M~ = M~ sinô

Chapitre 9 • Flexion déviée 485 y .... ....

--r-----"'-.:r-- .... • .,..,...r-r"JJ'""?'""JJ'""?'".,j-,....,..."T-;...,....,...,....,~!'

o

h

------. - I~G 0 • 1 ;'

d

. .1

....

----Mu

/

A .'

. ---.~ 1

1.

b

.1

Figure 9.13 On pose

[9.6]

Soit U l'angle le plus comprimé de la section, V sa projection sur l'axe neutre. La zone comprimée est limitée par la droite /). parallèle à l'axe neutre et passant par le point V' situé sur UV et tel que : UV'=û,8UV Cette droite /). sera repérée par ses points d'intersection avec les côtés de la section. Si ces points sont situés sur deux côtés opposés de la section, la zone comprimée est trapézoïdale; s'ils sont situés sur deux côtés adjacents, cette zone est triangulaire. Elle peut aussi être pentagonale, pour un axe neutre situé très «bas ». Ce dernier cas n'est pas envisagé ici.

486 Traité de béton armé 1°) Cas d'une zone comprimée trapézoïdale (figure 9.14)

La droite Ô. est définie par les ordonnées: YI =ç,)d Y2 =Ç,2 d «YI)

Son inclinaison (qui, par définition, est également celle de l'axe neutre) sur l'axe Ox est donnée par :

1

1

-

A . N.

d

-,'_ 1

o~

---- -

1 1

Il

1 1-1

1

-_ e

t--+--'--3> 1 Xc

X

'I

'I

,...., 1

d/2

On pose X =Ç,I - Ç,2

1

=-b tan e d

A

[9.7]

1

1Ô 1 1 1

1"

1

1 1

--.------y---1 1

L'aire de la zone comprimée est celle du trapèze

B = YI + Y2 b = Ç,I + Ç,2 bd

2

,.1

Figure 9.14

[9.8]

2

Les équations d'équilibre sont: [9.9]

Bhll =Aled

[9.lOa] [9.1 Ob]

En remplaçant B par sa valeur dans l'équation [9.9], on trouve:

Ç,I + Ç,2 2

A led

= bd -;:- = p ,

lbll p désignant le « pourcentage mécanique» de la section, et les équations [9.9] et [9.10 a] peuvent s'écrire:

pbd Ibll =Aled

MIJX = P bd Ibll

Zy

[9.11] [9.12]

Les paramètres Ç,I et ~ étant tels que : Ç,I - Ç,2 = X

[9.13]

=2p

[9.14]

Ç,I +Ç,2

Chapitre 9 • Flexion déviée 487

1;\ =p+ X

on trouve:

[9.15]

2

1;2 =p- X

[9.16]

2

Les coordonnées du centre de gravité de la zone comprimée s'obtiennent facilement en considérant successivement les moments statiques par rapport au bord supérieur de la section et par rapport à la grande base du trapèze. On trouve:

[9. 17a]

En tenant compte de ce que Yc ~

=cot8 ou encore, d'après [9.6]:

Yc d

=k Xc

[9.17b]

b

et en remplaçant 1;\ et ~ par leurs valeurs tirées de [9.15] et [9.16], on arrive à:

X=-k+~k2+12p(I-P)

[9.18]

Le bras de levier Zy du couple résistant (équilibrant Mw:) est donné par : Z

Tous calculs faits, on trouve:

.

Zy

= f3d

y

d =-+y 2 c

avec

f3 =_1_ [12 P (2 - p)- X2] Mp

[9.19]

L'équation [9.12] peut s'écrire:

Mw:

=P bd fbu Z y =p f3 bd 2 fbu

ou, en posant:

[9.20]

Comme la section d'aciers cherchée est donnée par:

on pourrait penser que la connaissance de f3 est nécessaire. En fait, il est plus simple de choisir comme paramètre p et de dresser des tableaux comme le tableau 9.1. (ou d'établir des abaques) donnant des couples (p, /-lux) pour des valeurs de k fixées à l'avance : pour p et k donnés, les équations [9.18] et [9.19] fournissent respectivement les valeurs des inconnues auxiliaires X et f3 et l'équation [9.20] donne alors !lux = g (p, k).

488 Traité de béton armé La position de l'axe /). (et non celle de l'axe neutre) peut être obtenue au moyen du tableau 9.2, qui donne pour p et k connus les paramètres ç = ç) et YJ = 1;:z déduits des équations [9.15], [9.16] et [9.18].

L'axe neutre est l'axe parallèle à!1 et tel que UV = 1,25 UV' (Figure 9.13). Pour que l'on soit dans le cas considéré d'une zone comprimée trapézoïdale, il faut que 1;:z > 0 (voir figure 9.13) c'est-à-dire, d'après [9.16] que l'on ait:

2P>X relation que l'on peut transformer à partir de [9.18] en :

3-k

[9.21]

P>-4-

ce qui, dans les tableaux 9.1 et 9.2 correspond aux zones situées à droite de la ligne en escalier. 2°) Cas d'une zone comprimée triangulaire

" 1orsque: p $; 3 -k II en est amSI 4

La droite !1 (voir ci-avant) est définie par les distances x et y de l'angle le plus comprimé à ses points d'intersection avec le contour de la section (figure 9.15):

d

------ 0

1 1 1

1

y=çd

1 1

1 1 1 1

d/2

d'où l'inclinaison de !1 sur la direction Ox par : tanS = y

= çd

x

YJ b

1

A /

--é----------Figure 9.15

D'après [9.7] on a donc

X=~tanS=5. d

L'aire de la zone comprimée est B' =! x y 2

[9.22]

YJ

=! Tl çb d 2

[9.23]

Chapitre 9 • Flexion déviée 489 Les équations d'équilibre s'écrivent: 1

-rtl; bd fbu = A.fed 2

Mux =Afed Muy

[9.24]

Zy

[9.25a]

=A fed Zx

[9.25b]

.!.rtl; =

De l'équation [9.24] on tire:

2

A fed bd fbl/

=p

[9.26]

et, en éliminant successivement 1; et rt de [9.22] et [9.26] on trouve: [9.27a] [9.27b] Les coordonnées du centre de gravité de la zone comprimée sont, respectivement:

Xc

d

="6(3 - 21;)

[9.28a]

=%(3-2 rt )= ~(3- ~)

[9.28b]

Yc

En tenant compte de [9.17], on trouve que 1; est donné par la résolution de l'équation du second degré :

21;2 -31;(1-k)-4kp=0

ç= ![(\-k)+ (\-kf +

soit:

3:

kp ]

[9.29]

Le bras de levier Zy du couple résistant (équilibrant MI/x) est donné par :

d

Zy

=2"+ Y c =f3h

1;

avec

f3=1-"3

[9.30]

d'où On a toujours

J.lIlX

= P f3

(voir [9.20])

Comme dans le cas précédent, on peut dresser des tableaux tels que le tableau 9.2 (ou établir des abaques) donnant les couples (p, J.lIlX) pour des valeurs de k fixées à l'avance: pour p et k donnés, les équations [9.29] et [9.30] fournissent respectivement les valeurs des inconnues auxiliaires 1; et f3 et l'équation [9.20] donne alors J.ll/X = g (p, k).

490 Traité de béton armé La position de l'axe Il. (et non celle de l'axe neutre) peut être obtenue au moyen du tableau 9.2, qui donne pour p et k connus les paramètres ç et Tl déduits des équations [9.29] ---et [9.26]. L'axe neutre est l'axe parallèle à Il et tel que UY = 1,25UY' (figure 9.13). Tableau 9.1 Mux

Afed

bM ux

Valeurs de Ilux = - - - en fonction de p= - - et de k= - bd2 fbu bd f bu d Muy

A gauche de la ligne en escalier, zone comprimée triangulaire; à droite, zone comprimée trapézoïdale. P 0,05

k

1.00

1.10

1.20

1.30

1,40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90

2.00

2.50

3.00

4.00

5.00

oc

13

0,894

0,912

0,924

0,933

0,940

0,945

0,949

0,952

0,955

0,957

0,959

0,965

0,968

0,971

0,972

0,975

Ilux 0,0447 0,0456 0,0462 0,0467 0,0470 0,0473 0,475 0,0476 0,0478 0,0479 0,0480 0,0483 0,0484 0,0486 0,0486 0,0488 0,10

0,15

0,20

13

0,851

0,867

0,879

0,889

0,897

0,904

0,909

0,913

0,917

0,922

0,923

0,932

0,937

Ilux 0,0851 0,0867 0,0879 0,0889 0,0897 0,0904 0,0909 0,0913 0,0917 0.0922 0,0923 0,0932

13

0,817

0,832

0,844

0,854

0,862

0,869

0,874

0,879

0,884

0,897

0,890

0,903

0,943

0,945

0,950

0,0943 0,0945 0,0950 0.909

0.915

0,919

0,925

Ilux 0,1226 0,1248 0,1256 0,1261 0,1293 0,1304 0,1311 0,1319 0.1326 0,1331 0.1335 0,1355 0,1364 0,1373 0.1379 0.1388

13

0,789

0,802

0,814

0,923

0,831

0,636

0,844

0,850

0,853

0,857

0,861

0,873

0.881

0,889

0,893

0,900

Ilux 0,1578 0,1604 0,1628 0,1846 0,1562 0,1676 0,1688 0,1700 0,1706 0,1714 0,1722 0,1746 0,1762 0,1778 0,1786 0,1800 0,25

13

0,784

0,776

0.787

0,800

0,804

0,810

0,816

0,821

0,826

0,830

0,833

0,846

0,854

0,863

0.867

0,875

Ilux 0,1910 0,1940 0,1968 0,2000 0,2010 0,2025 0,2040 0,2053 0,2065 0,2075 0,2083 0,2115 0,2135 0.2156 0,2168 0,2168 0,30

13

0,742

0,753

0,763

0,771

0,778

0,785

0,790

0,795

0,800

0,804

0.807

0,820

0.828

0,837

0,842

0,850

Ilux 0,2226 0,2259 0,2289 0,2313 0,2334 0,2355 0,2370 0,2385 0,2400 0,2412 0,2421 0,2460 0,2484 0,2511 0.2526 0,2550 0,35

13

0,721

0,731

0,740

0,748

0,755

0,761

0,767

0,772

0,776

0,780

0,783

0,802

0,804

0,812

0,617

0,625

Ilux 0,2524 0,2559 0,2590 0,2618 0,2843 0,2684 0,2685 0,2702 0,2716 0,2730 0,2741 0,2807 0,2184 0,2842 0,2860 0,2888 0,40

13

0,702

0,711

0.719

0,727

0,733

0,739

0.744

0.749

0,753

0,756

0.760

0,772

0,779

0,788

0.792

0,800

,Ilux 0,2806 0,2844 0,2876 0,2908 0,2932 0,2956 0,2976 0,2996 0,3012 0.3024 0,3040 0.3088 0,3116 0,3152 0.3168 0,3200 0,45

0,50

13 ~Iux

13

0,684

0,692

0,700

0,707

0,713

0,718

0,723

0,727

0,731

0,734

0,737

0,748

0,755

0,763

0,767

0,775

0,3078 0,3114 0.3150 0.3182 0,3209 0,3231 0.3254 0.3272 0,3290 0,3303 0,3317 0,3368 0.3398 0,3434 0.3452 0.3488 0,667

0,675

0.682

0.688

0,693

0,698

0,702

0,705

0.709

0,712

0.715

0.726

0,732

0,739

0.743

0,750

Ilux 0.3335 0.3375 0.3410 0.3440 0,3465 10,3490 1°·3510 0.3530 0,3545 0.3560 0.3575 0,3630 0.3680 0.3695 0,3715 0.3750 0,55

13

0,650

0.657

0,665

0,689

0,674

0.678

0,682

0,666

0.689

0.691

0.694

0.703

0.709

0,715

0.719

0,725

Ilux 0,3575 0.3614 0.3658 0,3680 0,3707 0,3729 0.3751 0,3773 0.3790 0,3601 0.3817 0,3887 0,3900 0,3933 0.3955 0.3988 0,60

0,65

P /lux

Il /lux

0,635

0.841

0,648

0,651

0,656

0,659

0,683

0.684

0.668

0.671

0.673

0,681

0.682

0,692

0.695

0,700

0,3714 0.3646 0.3888 0.3906 0,3936 0.3954 0.3978 0.3994 0.4008 0.4026 0,4036 0,4086 0,4092 0.4152 0.4170 0.4200 0,619

0,625

0.631

0,634

0,637

0,641

0,644

0.646

0.648

0.651

0.652

0,662

0.663

0.868

0.670

0,675

0,4024 0,4003 0,4102 0,4121 0,4141 0,4167 0.4186 0,4199 0.4212 0,4232 0.4236 0,4303 0,4310 0.4342 0.4355 0.4368

Chapitre 9 • Flexion déviée 491 Tableau 9.2 Valeurs des paramètres 1; et 11 (fixant la position de la droite ô) en fonction de :

ll b

I;d ô

(~.

;P

'"

/

•

AN.

Afed b p= - - etdek= bd·fbu d

:r:

Mux Muy

A gauche de la ligne en escalier, zone comprimée triangulaire. A droite de la ligne en escalier, zone comprimée trapézoïdale: 1;=1;1,11=1;2

b

P 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0.55 0,60 0.65

k

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,50

3,00

4,00

5,00

cc

1;

0,317 0,265 0,227 0,200 0,179 0,164 0,152 0,143 0,135 0,128 0,123 0,106 0,097 0,085 0,078 0,050

11

0,315 0,377 0,441 0,500 0,559 0,610 0,658 0,699 0,741 0,781 0,813 0,943 0,003 0,015 0,022 0,050

1;

0,447 0,400 0,362 0,332 0,308 0,289 0,273 0,260 0,248 0,235 0,231 0,204 0,187 0,166 0,153 0,100

11

0,447 0,500 0,552 0,602 0,649 0,692 0,733 0,769 0,806 0,851 0,866 0,980 0,013 0,034 0,047 0,100

1;

0,548 0,504 0,469 0,439 0,414 0,394 0,377 0,362 0,349 0,338 0,329 0,290 0,270 0,243 0,225 0,150

11

0,547 0,595 0,640 0,683 0,725 0,761 0,796 0,829 0,860 0,888 0,912 0,010 0,030 0,057 0,Q75 0,150

ç

0,632 0,593 0,572 0,530 0,506 0,485 0,468 0,450 0,440 0,428 0,417 0,379 0,352 0,317 0,294 0,200

11

0,633 0,675 0,699 0,755 0,791 0,825 0,855 0,859 0,909 0,935 0,959 0,021 0,048 0,083 0,106 0,200

ç

0,707 0,671 0,639 0,612 0,589 0,569 0,551 0,536 0,523 0,511 0,500 0,458 0,427 0,386 0,360 0,250

11

0,707 0,745 0,782 0,817 0,849 0,879 0,907 0,933 0,956 0,978 1,000 0,042 0,073 0,114 0,140 0,250

1;

0,775 0,741 0,712 0,686 0,665 0,645 0,689 0,614 0,600 0,583 0,536 0,531 0,492 0,452 0,423 0,300

Il

0,774 0,810 0,843 0,875 0,902 0,930 0,954 0,977 1,000 0,012 0,023 0,069 0,103 0,148 0,177 0,300

ç

0,836 0,806 0,779 0,755 0,734 0,716 0,700 0,686 0,672 0,659 0,647 0,598 0,562 0,514 0,483 0,350

11

0,837 0,868 0,899 0,921 0,954 0,978 1,000 0,015 0,028 0,041 0,053 0,102 0,132 0,186 0,217 0,350

ç

0,895 0,866 0,842 0,819 0,800 0,783 0,766 0,751 0,737 0,724 0,712 0,661 0,623 0,573 0,504 0,400

Il

0,894 0,924 0,950 0,977 1,000 0,018 0,034 0,049 0,063 0,076 0,089 0,139 0,177 0,227 0,260 0,400

ç

0,949 0,923 0,900 0,879 0,860 0,842 0,826 0,810 0,796 0,782 0,770 0,718 0,680 0,628 0,594 0,450

'1

0,948 0,975 1,000 0,021 0,040 0,058 0,074 0,090 0,104 0,117 0,130 0,182 0,220 0,272 0,306 0,450

..;

1,000 0,976 0,949 0,933 0,914 0.896 0.879 0,863 0.849 0.836 0.823 0.771 0,732 0,679 0,646 0,500

11

1,000 0.024 0,051 0.067 0,081 0.104 0,121 0.137 0.151 0.165 0,177 0.229 0,268 0.321 0.354 0,500

ç

1,041 1.022 0,995 0,979 0,960 0.942 0.926 0.910 0.896 0,882 0.871 0.818 0.780 0,728 0,694 0.550

11

0.054 0,Q78 0.105 0.121 0.140 0,158 0.174 0.190 0,204 0.217 0,230 0.282 0.320 0.372 0.406 0,550

ç

1.085 1.061 1.034 1,019 1.000 0,983 0.966 0.951 0.937 0.924 0.912 0.861 0.823 0.773 0.740 0.600

11

0,115 0.139 0,166 0.181 0,200 0.218 0.234 0.249 0.263 0.276 0,289 0.339 0.377 0,427 0,460 0,600

ç

1.116 1,092 1.066 1,051 1,033 1.016 1.000 0.935 0.972 0.959 0.947 0,898 0.862 0.814 0,783 0,650

11

0,134 0.208 0.234 0.249 0.217 0.284 0,300 0.315 0,328 0.341 0.353 0.402 0,438 0.486 0.517 0.650

9.411

Dimensionnement des armatures

Données: Largeur b et hauteur utile d de la section .Résistances de calcul: Composantes

~IX

Jbu = 0,80 Jc28 8

1,5

et

Jed = Je

1,15

et ~~V du moment agissant ultime.

492 Traité de béton armé Inconnue: Section A d'aciers tendus. 1. On commence par calculer: k =

bM

_---1!:!..

et !-lux =

d Muy

M

2 ux

bd ~u

2. Pour les valeurs ainsi trouvées, le tableau 9.1 donne, par interpolation linéaire, la valeur du pourcentage mécanique p. 3. La section d'aciers cherchée est: A =P b d

Ibll led

4. Le centre de gravité des barres prévues pour réaliser la section A doit se trouver sur la droite passant par le centre 0 de la section bd et faisant l'angle 0 avec la direction Oy (figure 9.13). Comme ces armatures ne peuvent pratiquement être disposées que sur l'horizontale de cote d (puisqu'à toute barre placée au-dessus devrait correspondre une barre symétrique par rapport à A donc insuffisamment enrobée) il faut avoir, compte tenu d'un enrobage latéral forfaitaire,

4b tano::;;--

5d'

l'égalité correspondant au cas d'une armature concentrée dans l'angle le plus tendu. Sur l'horizontale de cote d, on peut donc disposer, pour réaliser la section A, en mettant l de toute·manière au moins une barre dans l'angle le plus tendu . - soit n barres de même diamètre 0 ayant leur centre de gravité au point A du calcul (figure 9. 16a) ; - soit ni barres de diamètre 0 1 et n2 barres d'un diamètre O 2 peu inférieur (par exempIe: 025 et 0 20 ou 0 20 et 0 14) disposés en sorte que leur centre de gravité soit le point A du calcul (figure 9.l6b).

1. On pourrait aussi envisager de disposer les armatures « en cornière », en s'arrangeant pour que le point A de calcul soit le centre de gravité, mais ce serait trop compliqué !

Chapitre 9 • Flexion déviée 493

•

1

PointA

Figure 9.16

Dans l'un et l'autre cas, il est bon de rajouter dans les autres angles des armatures forfaitaires (0 ~ 12 mm), même si elles ne sont pas prises en compte dans les calculs. Remarque:

Soit: v' . la distance de l'axe neutre à la fibre la plus comprimée la distance de ce même axe à l'axe de la barre tendue qui en est la plus proche (figure 9.17) : Vrnin

II est facile de voir que: v' = 1,25 ~ d cos 8

et où

Vmin

[9.31 ]

=dCOS8[1-1,25~+ ;(1-2 S)]

ç désigne l'abscisse réduite de la barre considérée (voir figure 9.17) et où selon

b [9.7] : X =- tan 8 . d

Pour qu'aucune barre tendue ne subisse du fait de sa position une contrainte inférieure à!ed, il faut que, pour la barre d'abscisse ç b, on ait:

> fl!d s-E s

E

=

fed 2.10 5

=E

.

.fmm

494 Traité de béton armé

b --Çb 2

Figure 9.17 v'

3,5

ë

ou encore, comme - - = ~ = V rnin

ë srnin

1000 ë smin

(relation de compatibilité)

1,25 ~

;::: 700

1 -1,25 ~ + ; (1- 2 ç)

led

Le tableau 9.2 permet de voir si la condition ci-dessus est bien réalisée: - à gauche de la ligne en escalier (zone comprimée triangulaire): X =

à droite de cette ligne (zone comprimée trapézoïdale):

9.412

Vériflcationdessections

Données: Dimensions b et d Section A . Résistances de calcul: r

Jbu

c28 e f1,5

= 0,80

et

l' Jed

=

le

1,15

Composantes UIX et UIY du moment agissant ultime.

Inconnue: Moment résistant M,IX

ç=~I

1 11

et X =~-11

Chapitre 9 • Flexion déviée 495 p

1. On calcule :

=_A--=:...f.!:!:!ed,-- et k =! M lLT bd Ibu

d Muy

2. Pour ces valeurs, on lit dans le tableau 9.1 la valeur de ~ (interpolations linéaires).

3. On a alors: 4. On s'assure que:

9.42

Section rectangulaire avec aciers comprimés

La notion de «moment-limite ultime réduit» Jlll/ définie pour la flexion droite n'a, ici, aucun sens. On peut cependant se donner comme règle prudente de prévoir des aciers comprimés dès que:

Jl,a > 0,8 JlIII (Jllu déterminé comme en flexion droite, pour y = M /IX M serx

)

d'où En adoptant la méthode de la décomposition en sections fictives, on peut écrire:

MI/X

=Mux,lim + (M ux -

Mux,lim)

L'armature de compression A' doit être telle que:

A'~ M,IX - 0,8 Jllu bd2 1bll feAd-d') où d - d' représente la distance mesurée parallèlement à Oy entre les centres de gravité des armatures tendues et des armatures comprimées. Le centre de gravité A' des armatures comprimées doit se trouver sur la droite AO (figure 9.18). y

Pour avoir la section d'armatures A, il faut commencer par calculer:

k=!M,1X et =MlL~-A'leAd-d') d M !l,IX bd 2 r uy Jbl/ . Le tableau 9.1 donne alors p (interpolations linéaires) d'où: A =pbd

d-d'

Ibll + AI fed

Figure 9.18

496 Traité de béton armé

9.43

Sections rectangulaires en flexion déviée composée

9.431

Méthodes ramenant la flexion déviée à deux flexions droites

9.431-1

Superposition de deux flexions droites dans des directions perpendiculaires

a) Une première méthode, qui ne peut guère être recommandée, consiste à considérer séparément deux flexions, définies chacune par les couples (MI, M,LY)' (Nu, Muy) (figures 9.19 et 9.20 a). y

y

y

!f\

!f\

!f\

1

1

1

+ ---

At~t (Atot=Ax+Ay)

Figure 9.19 Les sections d'armatures nécessaires dans chaque cas sont ajoutées l'une à l'autre. Cette manière de faire revient à considérer la force extérieure comme agissant aux points Cl et C2 respectivement situés sur les axes Gox et GoY. Une telle méthode ne bénéficie d'aucun support théorique. Il faut réduire arbitrairement la contrainte du béton prise en compte dans le calcul (comme le demandaient les Règles BA 1960 aux Commentaires de l'article 3.421), sinon le béton est compté deux fois. L'erreur commise peut être nettement du mauvais côté de la sécurité. On peut envisager d'affecter une part seulement de la force extérieure à chacune des deux flexions droites (Nu:" N uy). Cette part étant déterminée de façon tout à fait arbitraire, le résultat du calcul n'est pas fiable. Pour toutes ces raisons, l'utilisation d'une telle méthode n'est pas recommandée. b) Une deuxième méthode, qui n'a pas plus de support théorique que la précédente, mais pour laquelle certains tests ont montré qu'elle pouvait être acceptée, consiste à considérer une droite quelconque il coupant les axes Gox et Goyen CI et C2 •

Chapitre 9 • Flexion déviée 497

La force extérieure Nu est décomposée en deux forces statiquement équivalentes NzLr: et N uy agissant respectivement en Cl et C2 (figure 9.20b)

y

..

------------_ 1Nu 1 1 1 1 1 1

Méthode a

Méthode b

Figure 9.20

Ces deux forces sont donc telles que:

La section, armée symétriquement, est calculée successivement en flexion droite: - sous l'effet de NI/x agissant seul, en prenant: . sous l' effiet de N ,' - pUIS u}' agIssant seu1, avec..

fbul

= NlLl:

fbu

Nu

l' _ N uy l' J bu2 - - - J bu

Nu

Les sections d'armatures correspondantes sont ensuite ajoutées. Si C2 devient infini on doit considérer successivement: - une flexion composée (Nu, ~a) en prenant en compte la totalité de la contrainte fiu ; - une flexion simple (Mu}' seul) pour laquelle l'équilibre doit être réalisé en ne prenant en compte que les armatures (bras de levier égal à la hauteur utile) .

. 9.431-2

Superposition d'une flexion droite« médiane» et d'une flexion droite « diagonale»

9.431-21 Principe du calcul

Le principe de la méthode qui suit est dû à Telemaco Van Langendonck (Brésil).

498 Traité de béton armé Les conventions sont les mêmes que précédemment, c'est-à-dire: 1°) que les axes Gox, et GoY sont choisis de sorte que l'axe Gox soit perpendiculaire au côté rencontré par l'axe du moment agissant MI/Go; 2°) que la dimension « b» est parallèle à l'axe Gox ainsi défini. Dans ces conditions, le centre de pression est situé sur l'axe passant par Go et faisant avec la direction GoY un angle 8 tel que (figure 9.21) : e

b

tan8=-:L~ey h

L'axe diagonal Goz fait avec la direction GoY un angle 'If tel que:

b À=-=tan'lf h Pour simplifier l'écriture, l'indice 1 est affecté à tout ce qui se rapporte à la direction GoY et l'indice 2 à tout ce qui se rapporte à la direction Goz. y

!1\

.1f

1

ex

1

,"

il' l

n

' Z 1

)101

-

-

-

~/,:~~~; -r --

-

n

'1

_________J,., /1

,

b

~i..~------------)Io~i

Figure 9.21

La force extérieure Nil appliquée en C peut ainsi être décomposée en deux forces Nul et Nu2 appliquées respectivement en CI (sur GoY) et Cz (sur GeZ). ces forces étant telles que le point C, affecté de la masse Nu, soit le barycentre des points CI et Cz affectés chacun des masses Nul et Nu2 •

Chapitre 9 • Flexion déviée 499 Comme CCI = ex et C IC 2 = ~ev = À e), , on trouve ainsi: h-

N =N CC 2 =N Àey-eX =N ul u CC u Àe 1 2

U

y

(1-

tanù) À

Et Le calcul est mené successivement: - pour la section rectangulaire fléchie selon le plan médian de trace GoY soumise aux sollicitations Nul; Mul,GO = Nul e; (= Nul ey) 1 en prenant comme contrainte du béton:

Ibul

= Ibu(l- ta~ù)

;

- pour la section rectangulaire fléchie selon son plan diagonal de trace Goz soumise aux sollicitations N1I2 M 1I2 ,GO = N u2 en prenant comme contrainte du béton:

e;

tanù

Ibu2

=lbU--:;':-'

Les sections d'armatures obtenues dans chacun de ces deux cas étant respectivement A}, Al' etA 2, A 2', on a, pour la section réelle:

9.431-22 Réduction à une section carrée Le problème ainsi posé n'est facilement soluble que si l'on opère sur une section carrée, auquel cas la flexion diagonale est une flexion droite. II suffit pour cela d'effectuer sur la section réelle une affinité dans la direction GoY, de rapport À = b / h.

La section carrée doit être considérée comme soumise à une force /..Nu' Les excentricités GoC I dans la direction GoY et GoC z dans la direction GoZ deviennent, respectivement,

Àe; et Àe;.J2 . Les sections d'armatures sont ÀA' et ÀA (figure 9.22) :

1. Les notations el* et e2* sont utilisées ici pour éviter toute confusion avec les excentricités du premier et du second ordre définies au § 8.22 a.

500 Traité de béton armé

Àe*1"2.

C1

• c2

•

Àd' ey =e*1

h=blÀ

Àe*1

-

x

.-

Àh=b

1

le b

b

·1

Sollicitations À2Mu> ÀN u

Sollicitations Mu> Nu

Figure 9.22

Dans ces conditions, le procédé de calcul exposé au § 9.431-21 conduit à superposer deux sections fictives (figure 9.23) .

•C

1(uu1)

f-

p'

1

"+"

b=1

l

"- ,

f..lu1

• • • •

le

b=1

"- ,

/ '

Go)' /

•• __. __• 1...-._._._.

.....1

P1

P1 "+" P

2

·1 Figure 9.231

10 ) Une section (j) carrée, de largeur b et de hauteur b, fléchie dans son plan médian sous l'effet de ÀNul excentrée de Ml*. L'aire de cette section est B = b2 ; sa hauteur dans le plan de flexion est b.

1.

Cette figure est symbolique. Le signe « + » n'a pas le sens d'une addition ou d'une superposition. Il doit être compris comme signifiant « combiné avec ». On ne peut en effet additionner les pourcentages mécaniques, qu'il s'agisse de PI et P2 ou de p' 1 et p' 2, car ils n'ont pas de dénominateur commun. En réalité, ce sont les sections d'armatures déduites de ces pourcentages qu'ils convient d'ajouter. Voir la figure 9.24.

Chapitre 9 • Flexion déviée 501 Les quantités adimensionnelles relatives à cette section
1)"1

f.tul,GO

_ ÀNul _ ÂNJÀ-tan8] _ Nu 2 - Blbul - b fbu [À - tan 8] - bh fb" À2 N ul

= Bb Pit

=1)u

ev_ _ Il el* _ 1) II."1 e 1• - 1) e*1 - 1) _" ul b- 1/1 - ; ; - 1/ h -rux,GO bul

l' 1

= À (AI

led B fbul 101 )

= (AI

fed À bhfbu À-tan8 101 )

2°) Une section @ carrée, de côté b, fléchie dans son plan diagonal sous l'effet de ÂNI/2 excentrée de "'e~ J2 L'aire de cette section est B = b2 ; sa hauteur dans le plan de flexion est " 1) bon .. Les quantités adimensionnelles relatives à cette section

@

sont:

Nu 1)u2 = B hu2 = b lb" tan8 = b h fbu ÂNu tan8

ÂNu2

2

_

f.tu2,GO -

",2

b..fi. (atten-

=1)u

N"2 ( e~ ..fi.) _ À Nue; _ 1) e; _ Il r;:; tan8 - b2b l' - U h - rux,GO

B bv2

2

l' - À lbu

lbu

d'où, en conclusion, la méthode:

Pour déterminer les armatures d'une section rectangulaire en flexion composée déviée, on peut utiliser les diagrammes d'interaction établis en flexion droite pour les sections rectangulaires et pour les sections en losange, en entrant à chaquefois avec les paramètres de la section réelle:

=

1) Il

N 1/

bhfbll

On trouve ainsi les pourcentages mécaniques totaux, PlI pour la section rectangulaire, PlI pour la section en losange. Les armatures de la section réelle s'obtiennent par superposition des sections correspondantes. Ainsi, dans le cas où les armatures sont disposées en deux nappes: A h A; d'une part, sur les faces « b» de la section,

502 Traité de béton armé A2' A; d'autre part, dans son plan diagonal, on aura, ayant choisi a priori les rapports: k

A' = _1 1 A 1

et k

A' = _2 2 A

:

2

(1

k) A1 + A1' -A 1 + 1 -

Pit

bhJ;JlI

fed

(1- tanô)

[9.32]

À

[9.33] Par exemple, si l'on décide de ne placer des armatures que dans les angles de la section, et de prendre k l = k2 = 1, on aura la disposition ci-contre (figure 9.24) :

P\1

2

A 2

_1 +A2

Figure 9.24

Remarque: Si l'on ne dispose pas des abaques d'interaction, on peut faire un calcul manuel des sections A\, Al' et A 2, A2'. Il faut prendre garde qu'alors les moments à considérer sont rapportés au centre de gravité des armatures tendues (figure 9.25).

+

Figure 9.25

Chapitre 9 • Flexion déviée 503 Les quantités à considérer sont, respectivement (avec À =k et tan Ô = ~ ) : h ev

Carré

Losange

N~l =ÀN"1 = NIl(À-tanô)

N;'2 =ÀN"2 = N" tan Ô

M:IlA = N~l (Àe;Al)

M~2A = N:'2 (Àe~Al..fi)

lblll = lbu (

tanô) 1---:;:-

. tanô lbu2 = JbU--:;:-

Les méthodes exposées aux § 8.3 et 8.9 permettent, dans leur domaine d'application, le calcul des sections d'armatures: - ÀA J, ÀA l '

pour la section carrée de coté b et de hauteur b ;

- ÀA2' ÀA 2' pour la section losange de coté b et de hauteur b..fi .

11 est facile d'en déduire les sections d'armatures de la section réelle. Nota:

En utilisant des hypothèses assez proches de celles des Règles BAEL, mais non totalement identiques à celles-ci (par exemple, en supposant que le comportement d'une section ne varie plus dès que YII ;::: 1,25 h puisqu'alors le diagramme rectangulaire occupe la totalité de la section 1), T. Van Langendonck a cherché les solutions . "" con dUlsant a' loptImisatlOn« math"ematIque»

[d(Ady+ AI)] = 0 des sections . d" aCIer

et a établi pour ces solutions un certain nombre de formules approchées. Quelques calculs comparatifs nous ayant montré que ces formules n'étaient pas très précises, ni très fiables, nous ne les reproduisons pas ici.

9.432

Méthodes de réduction à une flexion droite unique

Soit une section rectangulaire bh (ramenée à la section carrée équivalente) comportant sur chacune de ses faces la même section d'armatures placée de telle sorte que db b (figure 9.26) :

= d" h

1. Il s'agit de la méthode dite du « diagramme rectangulaire plafonné », proposée au CEB, dans les années 60, par le Professeur Eduardo Torroja (Madrid). Cette méthode n'avait rien à voir, comme le croient pourtant certains, avec la méthode du diagramme rectangulaire telle qu'on la pratique actuellement.

504 Traité de béton armé l'ly

ft

b=À.h

\IIl'l

L

l'l

l'lx

IC 1

l'lx

1 1 1 1 1 1 1

)10'

1

Figure 9.26

Pour une force extérieure Nu (ou

DII

,. pourcentage mecamque p = AlOI fed . bh fb/l

= )

Nu ) et une section d'aciers totale AloI (ou un bhfbll

fi' ' . d' eqm ' 'l'b ' p 1us lom ' lxees, les equatlOns 1 re d onnees

au § 9.51 permettent de tracer dans le système d'axes Orlx11yavec 11x

e

=2.. b

e

et 11 y =..L

h

la courbe C dont chacun des points correspond au même pourcentage p' qui délimite le domaine de sécurité (analogue aux courbes d'interaction en flexion droite). On voit immédiatement que le pourcentage total (et donc la section totale) d'acier à prévoir pour une section soumise à une force extérieure Nil présentant une double excentricité relative 11x, 11y (point E quelconque de la courbe C précédente) est le même que cetui à prévoir pour la même section soumise à une flexion composée droite, dans laquelle la force Nil présenterait dans un des deux plans principaux de la section une excentricité relative équivalente 11 (par exemple, point CI de la figure 9.26).

La courbe C précédente ne pouvant être représentée avec précision par une expression analytique, différents auteurs ont cherché à lui substituer des courbes d'expressions . analytiques simples et suffisamment approchées. a) Aas -Jakobsen (Norvège) remplace la courbe par un arc de cercle: 11 =~11; +11; Cependant, en faisant varier le pourcentage p à Du constant, on s'aperçoit (voir figure 9.27) que la forme de la courbe réelle peut s'éloigner notablement de l'arc de cercle (l'erreur commise peut atteindre 40 % dans le sens de l'insécurité).

Chapitre 9 • Flexion déviée 505 b) Parme (USA) et Moran (Espagne) se réfèrent respectivement à des arcs « d'hyperellipses» ou de paraboles, au moyen d'expressions:

11 = g{l1x, 11y' \If) qui exigent la connaissance, pour chaque courbe réelle, du rapport \If entre le moment équilibré en flexion déviée et le moment équilibré en flexion droite. TJy

1,3 Armatures égales dans chaque angle

._i '

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

,,

0,1

----:, C

i

1 0,0 1-~-~-""""'-~_L-~L-~--'--.:.L~-~~---'-'---":'~--7 TJx 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,2 1,1 1,2 1,3

Figure 9.27 Ainsi que le montre la figure 9.27 ce rapport dépend des paramètres suivants: - disposition et nombre des barres sur chaque face de la section; - pourcentage mécanique p ; - effort normal réduit VU' (ainsi que du type d'acier, de sa limite d'élasticité et de l'enrobage). Il est normalement nécessaire de disposer de tableaux ou d'abaques donnant les valeurs de \If à utiliser Oa solution se trouve peu simplifiée de ce fait).

506 Traité de béton armé c) P. Jimenez-Montoya (Espagne) remplace chaque courbe C,BC2 par deux cordes C,B et BC 2• L'excentricité équivalente est ainsi définie par une loi linéaire. Cette méthode a le mérite d'être très simple tout en se plaçant du côté de la sécurité. Nous la détaillons ci-après.

9.433

Méthode « Montoya ))

Cette méthode est applicable au cas où les armatures sont constituées par des barres toutes identiques et disposées en nombre égal sur chaque face. Les conventions précédentes ( 2 ex

;:: !!.... ; côté b parallèle à GoX) demeurent. b

y

~

b

"*J Figure 9.28

Pour le calcul, on suppose que la force extérieure Nil est appliquée dans le plan moyen

GoY, avec une excentricité fictive (figure 9.28) :

f3 est le coefficient angulaire de la droite BC2 de la figure 9.27. II est facile de voir (figu. re 9.29) qu'avec les notations utilisées précédemment, on a : f3=1-'If 'If ('If représente le rapport du moment équilibré en flexion déviée au moment équilibré en flexion droite).

Chapitre 9 • Flexion déviée 507 Parmi tous les paramètres dont dépend 111, on ne s'attache qu'à l'effort normal réduit Vu:

f3 est donc lui-même considéré comme ne dépendant que de Vu (figure 9.30).

11 tC 2

~

Pente

W"·~:{ , ,

'. ...

.. .. 11 - 111j1 111j1

1 - ljI

=~=ljI

avec 11 excentricité relative (eylh ou ex 1b)

Figure 9.29

1,0

0,8

0,6

0,4

.... ,., .... "" ... "..

··'''·c''''''''

,

,--

-_ ..

0,2

._

.

- -;-

.'

,

. -,

~

~

, 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

Figure 9.30

1,0

1,2

508 Traité de béton armé Le calcul est mené pour la section soumise à (Nu; M uGO = Nl~Y ') en utilisant les diagrammes d'interaction de la flexion droite. Une légère correction doit être faite pour les valeurs extrêmes du pourcentage mécanique p : - si l'on trouve p> 0,60, il est nécessaire d'effectuer un nouveau calcul, en augmentant de 0,1 la valeur de ~ ; - si au contraire, on trouve p < 0,20, on peut diminuer ~ de 0,1. Remarque:

Prendre

~=

l, c'est-à-dire prendre:

e~ =e.y + ex!?..h

place en sécurité puisque cela

revient à remplacer la courbe C I BC2 par sa corde C I C2 • Bien sûr, la précision est nettement moins grande que dans les méthodes précédentes, mais l'avantage est qu'on n'a pas besoin de calculer de paramètre auxiliaire. La méthode est alors assez rapide et peut suffire pour un prédimensionnement. On peut s'en servir pour résoudre certains problèmes de flambement biaxial (voir § 11.822).

9.5

ABAQUES « EN ROSETTE »

Les méthodes exposées précédemment ont l'inconvénient de ne fournir une solution que pour un cas de charge unique, c'est-à-dire pour un seul couple de valeurs (Nu; M uGo ). Dès que les sollicitations (N" et! ou MuG) appliquées à un même élément sont susceptibles de varier ou de changer de signe selon le cas de charge considéré, il est préférable d'avoir recours à des abaques. On peut, par exemple, utiliser des abaques « en rosette» (ainsi appelés du fait de leur aspect, voir figures 9.36 et 9.37) qui sont les équivalents, en flexion déviée, des diagrammes d'interaction établis pour la flexion droite. Ces abaques s'obtiennent en coupant par un plan Ni = Cte les « surfaces d'interaction» de la section considérée.

9.51

Surfaces d'interaction

Soit une section de forme quelconque, comportant au voisinage de sa périphérie des armatures A h A2' ... Aj, ... Ali distribuées de façon quelconque (figure 9.31).

Chapitre 9 • Flexion déviée 509 y

Figure 9.31

Rapportons-la à deux axes de coordonnées. Ces axes peuvent être quelconques, mais en pratique il est commode de se référer aux axes principaux d'inertie Gox, GoY de la section de béton seul. Dans ce système : - une fibre de béton comprimé quelconque, d'aire dB' = dx dy est repérée par les coordonnées x et y de son centre de gravité; - une armature quelconque, d'aire Aj est repérée par les coordonnées Xj et Yj de son centre de gravité. Donnons-nous la direction de l'axe neutre (par exemple en fixant l'angle 8 que fait cet axe avec la direction Gox) ainsi que sa distance Yu à la fibre la plus comprimée (ou la moins tendue)!. Cela revient à fixer les coordonnées des deux points d'intersection Pet Q de l'axe neutre et du contour de la section.

l.

L'indice u est mis ici pour rappeler qu'il ne s'agit pas d'une ordonnée lue sur l'axe GoY!

510 Traité de béton armé Associons à la valeur de Yu choisie le diagramme des déformations passant par le pivot correspondant. Pour la valeur de Yu choisie et le diagramme de déformations qui lui est associé, les déformations Ecl; et ESj de deux fibres quelconques, respectivement de béton comprimé (dx dy) et d'acier (Aj) (tendu ou comprimé) sont parfaitement déterminées. Il en est de même de leurs contraintes respectives, crç pour le béton, crsj pour l'acier (crsj positif audessus de l'axe neutre et négatif au-dessous). Compte tenu de cette convention de signe, on peut écrire les expressions d'une part, de la résultante N j des forces internes, d'autre part, des moments résultants ~x,GO, ~y,GO de ces forces par rapport aux deux axes Gox et GoY sous les formes générales suivantes où B' désigne l'aire du béton comprimé: Il

Nj(yu,e)=

fJcrcçdxdy + LAsP'sj B'

j=l Il

Mjx,Go(Yu,e) = Njey = fJO'cçy dxdy + LAsPsjYj B'

j=l Il

Mjy,Go(yu,e)= Nje X

= fJO'cçx dxdy + LA.yO'sjx j B'

j=l

En éliminant les deux variables Yu et e entre ces trois équations, on obtient dans un trièdre orthonormé (N, M.~, My) l'équation d'une surface, dite « surface d'interaction» (figure 9}2):

Cette surface délimite le domaine de sécurité de la section étudiée munie de ses armatures de section totale IAj (figure 9.32). Si l'on fait varier proportionnellement cette quantité totale d'armatures sans changer la l position de celles-ci, on définit pour une même section plusieurs surfaces d'interaction . En coupant ces surfaces par des plans N j = Cte on obtient en projection sur le plan (Mn My) des familles de courbes, chacune de ces courbes étant relative à une quantité totale donnée d'armatures.

1. Une image familière de la représentation de ces surfaces en couches successives est celle d'un oignon.

Chapitre 9 • Flexion déviée 511

S (Pourcentage mécanique p)

)....--~_2'/

Surfaces d'interaction

Figure 9.32

9.52

Application aux sections rectangulaires

9.521

Équations générales

Considérons une section rectangulaire comportant des armatures disposées de façon quelconque (dans les angles, sur deux faces opposées ou sur les quatre faces, la quantité d'acier pouvant n'être pas la même dans chaque angle ou sur chaque face). Cette section étant supposée soumise à la flexion déviée composée, donnons-nous la direction de l'axe neutre en fixant l'angle e que fait cet axe avec le plan moyen de trace Gox, ainsi que sa distance Yu à l'angle le plus comprimé (ou le moins tendu). Pour simplifier les calculs, nous commençons par rapporter cette section à deux axes p.erpendiculaires Gox, Goyen choisissant Gox parallèle à l'axe neutre (figure 9.33). De cette manière, la contrainte du biéton ad;; est constante sur les fibres situées à la distance y" - ç de l'angle le plus comprimé (ou le moins tendu).

512 Traité de béton armé

Figure 9.33

Pour la bande élémentaire de béton comprimé Xç dÇ située à la distance ç de l'axe GoX, la force de compression élémentaire est X ç dÇ crd; . Une armature Aj est repérée par ses coordonnées)Ç, Jj (Figure 9.34). Dans ces conditions, en conservant les autres notations utilisées dans le cas général, la résultante Ni des forces internes et les moments résultants A{x, A{y de ces forces par rapport aux axes GoX et GoY peuvent être exprimés sous la forme d'intégrales de contour, de la manière suivante: y Ni

= fcrcçXçdÇ + LApsj =gl (S,y,,)

[9.35]

Xj _____________ .

B'

MXi

= fcrcÇxçç dÇ + LApSjJ} =g2(S,yJ

[9.36]

B'

M Yi

Yj

-fcrcç--dÇ (XçY + L APSjXj -- g3 (S,Yu ) -

B'

A-l

[9.37]

2

x

Go

Figure 9.34

L'intégration le long du contour de l'aire B' du béton comprimé, représentée par le signe

f

peut être faite par des méthodes numériques.

De A{x et A{y on déduit les composantes M;.r,GO et A{y,GO correspondant aux deux axes principaux d'inertie Gox et GoY de la section (figure 9.35)

Chapitre 9 • Flexion déviée 513

y

En signe: M·lX, G

= M·x

cosS+ M.1 y sinS

[9.38]

M.Iy, G

= M.vu\ sinS+ M. y cosS

[9.39]

0

0

1

1

Figure 9.35

La distribution des armatures et la section Aj de chacune d'elles étant connues, pour toute valeur de Ni et de S fixées à l'avance, l'équation [9.35] donne Yu et les équations [9.36] à [9.39] donnent un point du diagramme d'interaction de coordonnées À1ïx,GO, À1ïy ,GO situé dans le plan de cote Ni. La courbe d'interaction correspondant au pourcentage total d'armatures de la section et située dans ce plan s'obtient en faisant varier SI. En changeant ce pourcentage et en recommençant, on obtient une autre courbe du même plan. Enfin, en changeant la valeur de Ni de départ et en recommençant, on obtient, pour chaque pourcentage d'armatures, l'ensemble des lignes de niveau de la surface d'interaction correspondante. En pratique, on se réfère à des quantités «réduites », adimensionnelles (attention aux dénominteurs !). _ M ixGO flxG - b h 2 r.

u=

J bll

et on trace pour u = (0 !lxG 0 !lyG).

N1 b h ftJII

ete les courbes d'interaction, fonction de p, dans le système d'axes

Selon les propriétés de symétrie de la section « réduite}) (carré de côté 1) munie de ses armatures (un axe de symétrie, deux axes, quatre axes) on peut se borner à ne représenter que la moitié, le quart ou le huitième du plan (!l.tG .. !lyG) et donner ainsi sur le même graphique les courbes p correspondant à deux, quatre ou huit valeurs différentes de u.

1.

Lorsqu'on change aussi.

e, les distances À} et 1) prises en compte dans les formules [9.35] à [9.37] changent

514 Traité de béton armé On obtient de cette manière les abaques en rosette dont les figures 9.36 et 9.37 constituent deux exemples.

Utilisation des abaques en rosette

9.522 Données:

Largeur b et hauteur h de la section, t J bu

= 0 85 ,

Ic28 1

( OU t

15 , e

Jcd

= Ibu

085 ,

)

Force extérieure Nu Coordonnées du centre de pression: ex dans le sens b, ey dans le sens h par rapport aux axes de symétrie Gox (parallèle à b), GoY (parallèle à h). Distribution des armatures. La section totale des armatures connue (vérification).

AlOI

= rA peut être inconnue (dimensionnement) ou

Dans les deux cas, la marche à suivre est rigoureusement la même: 1. On calcule:

=

'U Il

Nue y

N Il

bhfbll

!-lux,Go

= b h2 t

J bu

2. On cherche la valeur du pourcentage mécanique total p strictement requis. Pour cela: - si la valeur trouvée pour 'Uu est une des valeurs rondes de l'abaque correspondant à la distribution d'armatures choisie, on lit directement la valeur de p sur la courbe passant par le point de coordonnées (!-lux,Go, !-llly,Go) ; - si la valeur de 'UII n'est pas une des valeurs rondes de l'abaque, pour avoir la valeur de p strictement requise, il faut interpoler linéairement entre les pourcentages obtenus avec les deux valeurs rondes de 'U qui encadrent celle de 'UII • La précision n'est généralement pas excellente. 3. Pour finir il faut prendre (dimensionnement) ou s'assurer que (vérification): A > b1ifbu IOI-P

l.

led

•

On utilise pour le tracé des abaques en rosette le diagramme parabole-rectangle. Ce n'est qu'en cas

d'utilisation du diagranune rectangulaire qu'il faudrait substituer 0,80 à 0,85 pour calculer /b".

Chapitre 9 • Flexion déviée 515 .

Of =~

Attention, pour cet abaque: fcd

0,85

0.50

0.40

0.30

0,20

0.10

~1

0

~1

0,10

0,20

0.30

0,40

0,50

0,50

0,50

0.40

0.40

0,30

0,30

0,20

0,20

0.10

0,10

o

0

~~~~~~~~~~~-+-+-+-t~--LT~~~~~~~~~~~~

~

~

0,10

0,10

0,20

0,30

0,30

0.40

0,40

0,50

0.50

Figure 9.36. Exemple d'abaque en rosette pour une section rectangulaire à armature symétrique en flexion composée déviée (fe = 400 MPa. dl! h = b1! b = 0.10) (extrait du Manuel CfB-FIP Flexion-Compression).

- si - si

IlxG IlxG

> llyG : III

< llyG

=IlxG'

112

=llyG

Ptot

= As,tot bh

III = llyG' 112 = IlxG As.tot

=Ptot

fed

r

Jcd

bh fcd

r

Jed

516 Traité de béton armé

?l

Attention, pour cet abaque: fcd = 9fbu 0,85

"'~16.~ As.tot/2

0,20

0,15

0.10

0,05

f..l1

0

f..ll

0,05

0,10

0,15

0.20

0,20

0.20

0.15

0.15

0.05

0.05

o ~~~~~-r~~-r~r1-+H-~~~--~--~~r-~~----~----~ o f..ll

f..ll

0.05

0.05

0.10

0.10

0.15

0.20

0.20

0.20

0.15

0.10

0,05

0.05

0.10

0.15

0.20

Figure 9.37. Exemple d'abaque en rosette pour une section rectangulaire à armature dissymétrique en flexion composée (fe =400 MPa, dl / h =bl / b =0,10) (extrait du Manuel CEB-FlP Flexion-Compression) Formules de calcul: voir au dessous de la figure 9.36.

Chapitre 9 • Flexion déviée 517

9.6

MÉTHODES DE CALCUL PAR ITÉRATION

Dans le cas particulier de sections pour lesquelles il n'existe ni abaques, ni tableaux, ni formules simplifiées il faut, si l'on ne dispose pas d'un programme de calcul approprié, faire le calcul à la main, en résolvant les équations d'équilibre par itération. Une telle méthode n'est commodément applicable qu'aux sections partiellement comprimées et dans lesquelles la position des armatures tendues est connue. Bien entendu, on utilise pour la distribution des contraintes de compression du béton le diagramme rectangulaire. Lajustification de telles sections à l'état-limite ultime consiste à montrer qu'il existe un état de contraintes dans lequel: a) les sollicitations agissantes sont au plus égales aux sollicitations résistantes. b) la droite joignant le centre de gravité des aciers (supposés atteindre tous la contrainte !ed) et celui de la zone comprimée du béton est perpendiculaire au vecteur moment agissant, ce qui signifie que cette droite passe par le centre de pression (figure 9.38) :

Figure 9.38

Si les armatures peuvent être considérées comme concentrées en leur centre de gravité A de coordonnées Xs et Ys, le calcul peut être simplifié en rapportant les moments agissants au point A :

518 Traité de béton armé avec:

(avec les signes appropriés; dans le cas de la figure 9.38, X s = 0).

-

La direction de MuA doit être perpendiculaire à la ligne AGe joignant le centre de gravité des aciers et celui de la zone comprimée c'est-à-dire, joignant les points d'application des résultantes des forces de traction et de compression (voir figure 9.38). En l'absence d'aciers comprimés, la section d'aciers tendus nécessaire est: avec

(x s, xc, Ys etyc étant pris avec leurs signes sur les axes orientés Gox et GoY). On calcule alors l'excentricité « interne» ei de la manière suivante: - la résultante des forces internes (résistantes) est:

Ni

= Nu = Fbc - F;, = B' fbu -

Afed

où B' représente l'aire de la zone comprimée (de hauteur 0,8 YIJ - le moment de ces forces par rapport à A est :

L'excentricité cherchée est:

II faut que cette excentricité soit au moins égale à l'excentricité « externe », c'est-àdire:

S'il en est ainsi, l'itération est terminée. Sinon il faut modifier la position de l'axe neutre de manière à augmenter B' tout en diminuant peu Zb et recommencer.

Chapitre 9 • Flexion déviée 519

Remarque: La méthode est évidemment applicable aux sections rectangulaires (figure 9.39) : y

Figure 9.39

L'axe neùtre peut être défini à partir des points d'intersection P et Q avec le contour de la section de la droite !1limitant l'aire de la zone comprimée (donc passant à la distance O,8yu de l'angle le plus comprimé) c'est-à-dire: - si la zone comprimée est trapézoïdale, par les distances ç,)h et ~h de ces points d'intersection à l'angle le plus comprimé d'une part et à l'angle le moins comprimé d'autre part ; - soit, si la zone comprimée est triangulaire, par les distances 'f;fl et l'lb de ces points d'intersection à l'angle le plus comprimé. Pour chacun de ces deux cas, pour avoir l'aire B' de la zone comprimée et les coordonnées Xe, Ye de son centre de gravité Ge, il suffit de se reporter aux expressions [9.8] et [9.17a] ou [9.23] et [9.28 a et b] données au § 9.41 (1 ° ou 2°) en substituant dans cellesci h à d.

520 Traité de béton armé

9 .. 7

BIBLIOGRAPHIE SÉLECTIONNÉE DU CHAPITRE 9

- Rüdinger (1), Calcul des sections en béton armé soumises à laflexion déviée, simple ou composée, Annales de l'ITBTP, octobre 1943. - Chambaud (R.) et Lebelle (P.), Formulaire du béton armé, Tome l (pp. 239 et suivantes), Eyrolles (1967).

- Manuel de calcul CEB-FIP « Flexion-Compression », Bulletin d'information CEB n° 141, Construction Press, 1982. - Documentation complémentaire au Manuel de Calcul CEB-FIP «FlexionCompression ». Bulletin d'information du CEB nO 83, avril 1972. - Van Langendonck (T), Flexâo composta obliqua no concreto armado. Association brésilienne du Ciment Portland; Sâo-Paulo (Brésil) 1977. - Montoya (P. Jimenez), Contribution al estudio de la flexion esvÎada. Calculo en rotura. Estructuras, 2° Série, Tomo IV num. 4. - Moran Cabré (F), Meseguer (A.G) et Calzôn (lM), Estudio téOl'ico experimental de la flexocompresiôn esviada en secciones de hormig6n armado. Monographie de l'Institut Eduardo Torroja nO 265-666, septembre 1967 (contient des résultats d'essais de poteaux en flexion déviée).

CHAPITRE 10 COMPRESSION « CENTRÉE »

Le présent chapitre ne concerne que les poteaux le plus fréquemment rencontrés dans le domaine du «bâtiment» et dont les conditions de mise en œuvre - et, en particulier, la qualité des coffrages - sont convenablement contrôlées (voir § 10.53). Il se réfère exclusivement aux Règles BAEL.

10.1

DÉFINITIONS

1°) Une poutre rectiligne est sollicitée en compression centrée lorsque l'ensemble des forces extérieures agissant à gauche d'une section droite L est réductible au centre de gravité G de L à une force unique N (effort normal) perpendiculaire au plan de L et dirigée vers la droite (figure 10.1). Dans une poutre rectiligne en béton armé (poteau, colonne, pieu) sollicitée en compression centrée, le centre de gravité des armatures est confondu avec celui du béton seul.

foJ 1

A

1 1 1

B

Figure 10.1 La compression centrée se rencontre rarement en pratique; un poteau réel est toujours soumis à la flexion composée (effort normal N et moment M = Ne.., figure 10.2), éventuellement déviée, par suite de la dissymétrie du chargement, des imperfections d'exécution (telles que non-rectitude de l'axe, défaut de verticalité, ... ), de la solidarité du poteau avec les poutres qu'il supporte, etc.

522 Traité de béton armé x

x

IN

IN

•

r--~ 1 1 1 1 1 1 1

ex=cte 1 1 1

X

X

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

Y

Y

....-

....

1

•

lN

N

Figure 10.2 2°) Ne voulant pas imposer dans tous les cas un calcul en flexion composée, les Règles BAEL (art. B-8.2,10) admettent que soit conventionnellement considéré comme soumis à une compression « centrée» tout poteau qui, en plus de l'effort normal de compression N, n'est sollicité que par des moments dont l'existence n'est pas prise en compte dans la justification de la stabilité et de la résistance des éléments qui lui sont liés et qui ne conduisent par ailleurs qu'à de petites excentricités (de l'ordre de grandeur de la moitié de la dimension du noyau central, soit e:S min {a112 ; b112} pour un poteau rectangulaire). La méthode de calcul approchée développée au paragraphe 10.5 est applicable à de tels poteaux.

10.2 COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL DES POTEAUX SOUMIS À LA COMPRESSION « CENTRÉE » 10.21 Essais à caractère qualitatif et démonstratif De 1953 à 1970, à l'initiative des organisations professionnelles, on a procédé à des séances d'essais (<< Enseignement expérimental du béton armé ») devant les élèves de certaines Ecoles d'Ingénieurs. Au cours de ces séances, on soumettait notamment à des

Chapitre 10 • Compression centrée 523 efforts de compression centrée trois séries de poteaux à section carrée de 20 x 20 cm2 , de 2,50 m de hauteur, comportant des embases frettées à leurs deux extrémités, destinées à éviter des ruptures accidentelles au contact des plateaux de la machine d'essais. Les essais de recherche exigeant un temps relativement long (voir § 10.22), on se contentait dans ces essais de démonstration de déterminer uniquement les charges de rupture des éprouvettes. Les poteaux de la première série ne comportaient aucune armature, ceux de la seconde série comportaient uniquement des armatures longitudinales, ceux de la troisième des armatures longitudinales et des armatures transversales sous forme de cadres entourant les armatures longitudinales (figure 10.3).

:~.~

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1 .1 I l r.;;. ___.1

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•f"'···.1

t

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j

1 'j;;;.';;;. .. .,;'1 1 1

.1.

~

~ Figure 10.3

Flambement des barres longitudinales entre deux cadres

524 Traité de béton armé La rupture des poteaux non armés de la première série se produisait d'une façon soudaine et extrêmement brutale, suivant un plan incliné d'environ 30° sur la verticale (voir § 2.221-2) et sous une charge correspondant à une contrainte normalement inférieure à la résistance à la compression !cr mesurée le jour de l'essai sur des éprouvettes cylindriques ayant une hauteur double du diamètre, prélevées au moment du coulage du poteau l . Pour les poteaux de la deuxième série, la rupture se produisait également brutalement et contrairement à ce que l'on pourrait croire a priori, pour un même béton, la charge de rupture n'était pas toujours nettement plus élevée que celle obtenue pour le poteau non armé et était même, parfois, plus faible. En effet, les barres longitudinales qui sont comprimées ne sont pas parfaitement rectilignes. Elles sont donc exposées au flambement et elles flambent effectivement quand la contrainte du béton est voisine de la contrainte de rupture (le béton présente alors une résistance trop faible aux tractions latérales pour pouvoir s'opposer efficacement au flambement des armatures). Pour les poteaux de la troisième série, la rupture était beaucoup plus progressive, et se produisait sous une charge nettement plus élevée que celles obtenues pour les poteaux des deux premières séries. On observait généralement un plan de rupture incliné à 30° sur la verticale, avec flambement des armatures longitudinales, mais localisé ici entre deux armatures transversales consécutives. Tous ces essais montraient la nécessité de disposer normalement dans les poteaux en béton armé des armatures longitudinales et transversales si l'on voulait éviter des ruptures fragiles et donc brutales. L'élancement des poteaux en cause ne faisait pas apparaître des phénomènes de flambement.

10.22 Essais de recherche Dans le cas général, le problème du comportement des éléments comprimés, notamment des poteaux de structures, est très complexe. Dans les essais de recherche, on opère généralement sur des poteaux à axe rectiligne, articulés à leurs deux extrémités. Même lorsqu'il s'agit de poteaux courts, d'élancement géométrique (voir § 10.310) au plus égal à 10 ou 12 environ, la réalisation d'épreuves de compression théoriquement centrée est délicate. Les tranches extrêmes de l'élément essayé ne sont jamais rigoureusement planes ni parallèles. Son axe n'est jamais parfaitement rectiligne. Le «centrage» des forces appliquées est toujours imparfait; même si cette condition est remplie aux sections d'application de la charge, les imperfections de l'exécution déterminent, dans les éléments, des excentricités impossibles à chiffrer, que les effets des déforma"tions du second ordre (voir chapitre 11) accentuent. En outre, quand il s'agit d'un élément en béton, rien ne permet d'affirmer que les caractères mécaniques de celui-ci sont les mêmes en tous points de l'éprouvette de sorte que, même si les conditions géométri-

1. La résistance réelle .kr. le jour de l'essai, ne doit pas être confondue avec la résistance caractéristique spécifiée.k28 prise en compte dans les calculs !

Chapitre 10 • Compression centrée 525 ques théoriques se trouvent parfaitement réalisées, la courbe des pressions réelle peut fort bien ne pas être une droite et des excentricités dues à l 'hétérogénéité mécanique sont susceptibles de se produire. La reproduction en laboratoire du cas théorique de la « compression centrée» impose de corriger progressivement le positionnement du poteau dans la presse d'essais, jusqu'à ce que les déformations unitaires (t:J / 1), mesurées aux moyens d'extensomètres placés sur chaque face du poteau, soient toutes égales sous une fraction donnée de la charge de service. Lorsque cette condition est réalisée, le poteau ne subit aucune déformation transversale: son axe reste rectiligne jusqu'à la rupture. Que le poteau soit ou non muni d'armatures, celle-ci se produit le long d'un plan incliné à 30° environ sur l'axe (voir § 2.221-2) comme indiqué ci-avant au § 10.21 ; le flambement des armatures, s'il yen a, s'observe à leur traversée de ce plan (figure 10.3). Si les précautions pour obtenir un centrage parfait ne sont pas prises, ou si l'élancement géométrique augmente notablement, ou encore si d'emblée la charge appliquée présente une certaine excentricité, le poteau prend au cours de l'essai une « flèche latérale» et la rupture survient par flambement (voir chapitre Il).

10.23 Conclusions à tirer des essais de poteaux 10) La brutalité des phénomènes de rupture des poteaux non munis d'armatures longitudinales ou transversales conduit à prévoir dans les éléments comprimés: a) des al}llatures longitudinales pour pallier la fragilité du béton non armé et pour résister aux efforts inévitables de flexion; b) des armatures transversales relativement rapprochées pour empêcher ou retarder le flambement des armatures longitudinales. Les formes et les ancrages d'extrémité des armatures transversales doivent être tels que celles-ci puissent effectivement se mettre en traction. Si ces conditions ne sont pas réalisées, on doit tenir pour nulle l'efficacité des armatures longitudinales qui peuvent même devenir nuisibles. II convient donc d'examiner avec le plus grand soin la disposition des armatures transversales des poteaux surtout lorsque des feuillures ou encoches sont pratiquées dans ces derniers. 2°) Au cours des essais, les ruptures se produisent presque toujours au voisinage des tranches extrêmes des poteaux si ceux-ci ne sont pas munis d'embases armées. Il faut donc veiller à la bonne exécution des extrémités des poteaux (position correcte et lon'gueur suffisante des barres en attente aux extrémités inférieures; nettoyage des tranches supérieures avant bétonnage des poutres).

526 Traité de béton armé

10.3 ÉLANCEMENT D'UN POTEAU La compression a pour effet d'accentuer les excentricités. Lorsque la longueur de l'élément comprimé est grande par rapport à ses autres dimensions, l'accroissement devient tel qu'il ya risque de flambement.

10.31 Définitions 10.311

Élancement mécanique

La susceptibilité au flambement d'un poteau est définie par référence à l'élancement mécanique (rapport sans dimensions) 1 À=L i

[10.1]

avec: i

rayon de giration de la section droite du béton seul [10.2]

If

B

aire brute totale de la section droite (supposée non armée)

1

moment d'inertie de la section B par rapport à un axe passant par son centre de gravité et perpendiculaire au plan de « flambement»

longueur de flambement, fonction de la longueur libre 10 et de la nature des liaisons d'extrémité: a) Poteaux isolés (BAEL, art. B-8.3,2).

-r-----l-------r:I'"+-------1--------

------

./.

//

------

-

Figure 10.4

...

--------

/,".,t

-------

1" ------...

-------

Chapitre 10 • Compression centrée 527 b) Poteaux de bâtiments à étages multiples (BAEL, art. B-8.3,3) Soient KI la raideur du poteau considéré l , K 2 et K3 les raideurs des poutres de plancher qui le traversent; - étages courants : si K 2 :2: KI etK3 :2: KI : If

= 0,7/0

t

- étages en sous-sol : si K 2 > KI et si le poteau est encastré dans sa fondation: If =0,7/0 - dans tous les autres cas : If

= '0

Pour une évaluation plus précise de Ij, voir § 11.723-1.

Figure 10.5

Remarque importante:

Le flambement s'effectue dans le plan pour lequel l'elancement est le plus grand (donc If maximal et/ou 1 minimal), qui n'est pas toujours, comme on le croit souvent, celui dans le sens duquel le moment d'inertie de la section est le plus faible. Ce plan peut d'ailleurs avoir une direction qui ne soit pas confondue avec lm des axes principaux de la section. Dans ce cas le flambement est dit « biaxial » ou parfois « diagonal ». Exemple: Poteau rectangulaire de section ab, avec b = l,Sa. Dans le sens a, le poteau est supposé encastré en pied et en tête. Dans le sens b, la section de tête ne peut pas tourner mais peut se déplacer latéralement (voir figure 10.4).

1.

II est rappelé que la raideur est le rapport III du moment d'inertie à la portée ou à la longueur de l'élément considéré. Dans le cas où un poteau rectangulaire est lié à chacune de ses extrémités à deux poutres qui se croisent, il faut évaluer deux valeurs de la raideur (correspondant aux deux valeurs de l) pour chacune des deux directions des poutres. Il peut en résulter des valeurs de If différentes pour chaque direction. Dans le cas d'un plancher-dalle, il faut prendre If= 10'

528 Traité de béton armé Sens a: 4

3

, B = ab =15a

- ba _ 1,5a 1 ----12 12 À

2

= 1fa = 3,46 ~ = 1 73 10 2

a.

la

a

'

a

lE

Sens b:

1jb

= 10

3

1 = ab = 3,375a 12 12

4

B =ab= 1,5a 2

3,375a 4 a 12 (1,5a 2 ) = 2,31 Le plan de flambement est donc, dans ce cas, celui qui contient la plus grande dimension (et qui correspond donc au plus grand moment d'inertie de la section droite).

10.312 Élancement géométrique Pour un poteau rectangulaire de petit côté a ou pour un poteau circulaire de diamètre a, on appelle « élancement géométrique» le rapport ft/ a. L'élancement géométrique ne doit pas être confondu avec l'élancement mécanique (voir § 10.32). Compte tenu de la remarque précédente on constate que l'élancement géométrique n'est un paramètre représentatif que pour les poteaux dans lesquels les conditions de liaison aux extrémités sont les mêmes dans toutes les directions.

10032 Cas particuliers - Poteau rectangulaire de petit côté a (lorsque, comme c'est souvent le cas, le plan de flambement est celui dans lequel le moment d'inertie est minimal) : À=

/f.fï2

a

=

3,46 /f

a

3,5/f :::::-

a

[10.3]

(on voit donc qu'à un élancement mécanique de 35 correspond un élancement géométrique de 10 environ). - Poteau circulaire de diamètre a : 4/ À = f-

a

[10.4]

Chapitre 10 • Compression centrée 529

10..4

ARMATURES DES POTEAUX

Bien que le béton ait une bonne résistance à la compression, les essais (voir § 10.21) montrent qu'un poteau ne peut être constitué uniquement en béton; il doit toujours être muni: - d'une part, d'armatures longitudinales susceptibles d'assurer la résistance aux moments de flexion négligés; - d'autre part, d'armatures transversales maintenant les armatures longitudinales et les empêchant de flamber.

10.41 Armatures longitudinales :>

Référence: BAEL, art. A-8.1,2

a) Types et nuances: On peut utiliser indifféremment des barres HA Fe E500 ou des treillis soudés. Choisir de préférence, mais ce n'est pas une obligation, 0[;::: 12 mm (au-dessous de ce diamètre, les barres n'ont pas une rigidité propre suffisante pour conserver une certaine rectitude).

b) Disposition Les barres doivent être disposées au voisinage des parois en respectant les règles d'enrobage (voir § 4.12) et réparties le long du contour, de manière à assurer au mieux la résistance à la flexion du poteau dans les directions les plus défavorables. Il faut prévoir : - pour les sections polygonales, au moins une barre dans chaque angle; - pour les sections circulaires, au moins six armatures réparties sur le contour. Dans le cas de poteaux rectangulaires, avec b > a, et plus particulièrement si À> 35, il ya intérêt à grouper les armatures le long des côtés perpendiculaires au plan de flambement (grands côtés si le plan de flambement est celui qui correspond à l'inertie minimale).

530 Traité de béton armé

. . . . .. [El .W .• \.• . •.· ·.i . . • ... ... ... ...... : ..... ::. ..: . . .. . .

0{max

0 tmin

",

~.

"

Épingle ou étrier

Sections sensiblement carrées

SMin[a+10cm;40cm]

Section rectangulaire allongée

(Nombre de barres longitudinales ;a6) Section circulaire

Figure 10.6

c) Section minimale Une section minimale d'annatures est toujours nécessaire (voir § 10.541).

10.42 Armatures transversales :>

Références: BAEL, art. A-8.1.3

a) Types et nllances Ces armatures sont constituées par des barres HA Fe E500 de petit diamètre: 0( ~ 12 mm (ou par les fils transversaux du treillis soudé, lorsque celui-ci est utilisé pour constituer l'armature longitudinale).

b) Disposition Les armatures transversales sont disposées en nappes successives (on dit aussi « cours successifs ») normales à l'axe du poteau et régulièrement espacées. Dans chaque nappe, les armatures transversales forment obligatoirement une ceinture continue, parallèle au contour de la pièce, sans angles rentrants, entourant toutes les barres situées dans les angles, quel qu'en soit le diamètre, de façon à empêcher tout déplacement de celles-ci vers la ou les parois les plus voisines. En dehors des angles, seul le maintien des barres de diamètre 0 ;::: 20 mm placées au voisinage des faces est requis par les Règles BAEL, au moyen d'annatures transversales s'opposant à toute tendance à une «poussée au vide» de ces barres, mais alors, les barres qui ne sont pas entourées ne peuvent être prises en compte dans les calculs l . II faut prévoir des ancrages aux extrémités selon les tracés indiqués au § 4.43, donc avec retours dirigés vers la masse du béton, et proscrire absolument les retours d'équerre ou les recouvrements rectilignes parallèles aux parois.

1. Cette disposition a pour objet de laisser la latitude d'utiliser certains types d'armatures préfabriquées où le maintien de toutes les barres longitudinales se révèle impossible.

Chapitre 10· Compression centrée 531 Pour un poteau carré ou rectangulaire, chaque nappe d'armatures transversales comprend donc (voir figure 10.6) : - un cadre fermé entourant l'ensemble des barres longitudinales, - des étriers, cadres ou épingles maintenant les barres placées près des faces. Pour les poteaux circulaires, les nappes transversales sont uniquement constituées par des cerces fermées (figure 10.6) ou parfois par une armature spirale. Des armatures transversales diamétrales ne sont pas nécessaires. Elles seraient plus néfastes qu'utiles, en risquant de provoquer une ségrégation du béton lors du coulage de celui-ci.

10.5 MÉTHODE DE CALCUL ,

10.51

Evaluation de certaines données de base

Le calcul des poteaux est toujours conduit à l'état-limite ultime, pour un effort normal agissant de calcul de la forme:

On désigne par : B

A

. l'aire de la section droite du poteau

l'aire de la section totale des armatures longitudinales.

Dans l'évaluation de A, il faut toujours avoir présent à l'esprit que: 1. Toute barre longitudinale de diamètre 0, non maintenue par des armatures transversales espacées d'au plus 150, ne peut être prise en compte dans les calculs de résistance (BAEL, art. A-4.1.2) 2. Si À > 35, seules peuvent être prises en compte les armatures disposées de façon à augmenter le plus efficacement possible la rigidité dans le plan de flambement (BAEL, art. B-8.4.1 ; voir figure 10.7).

l' I~

.. .. .. 0

a

•

~

O,9SalbS1.1 (aciers d'angle seulement)

alb 1,1 (aciers le long des grands côtés)

Figure 10.7

532 Traité de béton armé

10.52 Effort normal résistant théorique A et B sont connus, on cherche Nres ' II faut d'abord s'assurer par la formule [10.9] donnée plus loin que, compte tenu de ce qui vient d'être dit au § 10.51 pour l'évaluation de A, on a bien A ;;:: Amin. En application des hypothèses énoncées au § 5.211, la compression «centrée» correspond à la verticale du pivot C : le béton et l'acier subissent uniformément un raccourcissement

E be

= Esc = 2.10-3

ce qui entraîne:

- pour le béton, une contrainte uniforme égale à

hu = 0,85fc28 (8 =

1 dans ce cas).

Yb - pour l'acier, une contrainte égale à crse2 correspondant, sur le diagramme de calcul, au raccourcissement de 2.10-3 . Dans ces conditions, la valeur théorique de l'effort normal résistant est:

10.53 Effort normal limite selon les Règles BAEl Les Règles BAEL apportent à la formule donnant tions:

Nres,th

un certain nombre de correc-

a) elles pénalisent les poteaux de faible section, particulièrement sensibles aux imperfections d'exécution et aux défauts de centrage de la charge, en introduisant à la place de B une aire de béton réduite Br; b) elles tiennent compte du degré de maturité du béton à l'âge, généralement supérieur à 90 jours, auquel le poteau aura à supporter la majeure partie des charges qui lui seront appliquées; c) elles compensent le fait de négliger les effets du second ordre en minorant la valeur de l'effort normal résistant par un coefficient réducteur fonction de l'élancement (il revient au même de majorer l'effort normal agissant). d) elles admettent enfin que crse2 est toujours égal à jed

= je

1

Ys

1. Ce qui est inexact pour les aciers de classe Fe ES 00, pour lequels cr$C2 < 500 Jed = MPa = 435 MPa alors que crse2 = Esê sc = 400 MPa seulement. 1,15

Jal.

En effet

Chapitre 10 • Compression centrée 533

Pour des poteaux dont la qualité d'exécution est contrôlée en sorte que l'imperfection de rectitude puisse être estimée au plus égale à max [1 cm ; 1/500], l'effort normal agissant ultime Nu doit être tel que: - a [B rfc28 +A 1e ] N u
[10.5]

a étant un coefficient fonction de À. On peut modifier légèrement cette condition dans sa présentation, de manière à faire apparaître les quantités :

{' = 0,851c28

Jbu

et J.

ed

Yb

= Je Ys

qui interviennent dans tous les calculs d'états-limites ultimes de résistance (8 = 1 pour les poteaux). II suffit de multiplier les deux membres de l'expression [10.5] par tient ainsi l'expression suivante, valable pour À::; 70 1• AN::::; BrJbll + 0 85AIf.

1-'

u

09 ,

'

ed

f3 = 0,85/a.

(m, MN,MPa)

On ob-

[1O.6a]

avec: Nu

effort normal de calcul agissant

Br

section réduite, obtenue en retirant 1 cm d'épaisseur de béton sur toute la périphérie du poteau coefficient supérieur à l'unité dont les valeurs sont définies comme suit: 1. Si plus de la moitié des charges est appliquée à un âge j > 90 jours:

~ ~ 1+0,2(~)' soit f3

pour À';

50

[1O.7a]

1,20 pour À = 35 et f3 = 1,408 pour À = 50; 2

f3 = 0,85À

pour 50 < À ::; 70

1500

1. Dans les premières versions des Règles BAEL, la formule était valable jusqu'à À. = 100.

[1O.7b]

534 Traité de béton armé 2. Si plus de la moitié des charges est appliquée avant l'âge de 90 jours, les valeurs de f3 ci-avant sont à multiplier par 1,10, c'est-à-dire qu'il faut vérifier:

°'

AN:::; _l_[Br/bu + 85 A!f. ]

J-l

u

1,10

0,9

ed

[1O.6b]

ou

3. Si la majeure partie des charges est appliquée à un âgej < 28 jours les valeurs de f3 ci-avant sont à multiplier par 1,20, et il faut substituer, dans l'expression defim'!ci à!c28 ce qui revient, par application des Règles BAEL art. A-2. 1.1 à multiplierfbu parj / (a + bj) (voir § 2.241 a). Dans ce cas, la condition à vérifier devient: AN :::;_1_[BIIbu_j_+ 085A f. ] J-l u 1,20 0,9 a + b j ' ed

[1O.6c]

avec: - POur!c28:::; 40 MPa; a = 4,76 et b = 0,83 - POuri'28 > 40 MPa; a = 1,40 et b = 0,95.

10.54 Détermination des annatures 10.541 Armatures longitudinales Données:

Nu, B, 1c28,

Ic>

10 d'où If = k10 (voir § 10.311) puis À et f3

Inconnue:

Section totale A des armatures. La section A cherchée est tirée selon le cas des inégalités [1O.6a], [1O.6b] ou [1O.6c]. Dans le cas général où plus de la moitié des charges est appliquée à un âgej> 90 jours, l'inégalité [10.6a] donne immédiatement: A~

1

0,85/ed

[f3 Nu -

Br/bu] 0,9

(m2, MN, MPa)

[10.8]

La section ainsi trouvée doit satisfaire à la double condition:

Amin :s:; A :s:; Arnax

[10.9]

Chapitre 10 • Compression centrée 535 avec (BAEL, art. A-8.1.21), Amin étant exprimé ici en cm2 : Amin

= maX{4U

0,2~} 100

;

(cm2, m)

[10.10]

désignant la longueur en mètre du périmètre de la section droite, d'aire B (cm2 ), du poteau et li

5B

[10.11]

~ax = 100

Si la formule [10.8] conduit à A > Amax l'équarrissage l du poteau est à revoir, car le dépassement de la valeur 5B / 100 n'est toléré que dans les zones de recouvrement des barres.

10.542 Armatures transversales :> Références: BAEL, art. A-S.I.3 1. Choix du diamètre

Soit:

0, : le diamètre nominal de l'armature longitudinale à maintenir

0 t : le diamètre nominal de l'armature transversale nécessaire. On prend pour 0 t la valeur normalisée la plus proche de 0,/3 c'est-à-dire (valeurs en mm): 25

32

40

8

10

12

6

2. Espacement des différelues nappes

a) En dehors d'une zone de recouvrement Soit St l'espacement des nappes d'armatures transversales parallèlement à l'axe du poteau. Il faut avoir st::S min {15 0'min ; 40 cm; a + 10 cm}

(unité: cm)

[10.12]

avec 0'min, diamètre minimal des barres longitudinales prises en compte dans l'évaluation de A (voir 10.51). Si A

= Amin, la condition se réduit à St ::s min {40 cm ; a + 10 cm}.

b) Dans les zones où la proportion des armatures présentant des jonctions par recouvreornent est supérieure à 1/2. Pour la longueur à donner à la zone de recouvrement ( Ir' ), voir § 4.62.

1. C'est-à-dire les dimensions de la section droite.

536 Traité de béton armé 0tmin

Les Règles BAEL demandent de disposer sur la longueur Ir' au moins trois nappes d'armatures transversales, c'est-à-dire une nappe à chacune des extrémités du recouvrement (en laissant environ 3 cm pour réaliser les ligatures) et une nappe au milieu (figure 10.8) : si les armatures sont de diamètres différents 0/min et 0/max (voir par exemple figure 10.6), à chacun d'eux correspond une longueur l~. On doit trouver au moins trois nappes sur l'espacement

3 nappes au minimum

la longueur l~min , correspondant étant

conservé sur la longueur l~max

.

Figure 10.8

10.55 Dimensionnement Données: Nu, !c28 et

le, 10

d'où lf=klo (voir 10.311)

Inconnues: B et A et donc À ainsi que f3.

Premier cas : On est complètement libre du choix de la section B. La formule [1O.6a] peut s'écrire: B > r -

fJ Nu

[flm +0 85~.{."Jtd ] 09 ,

'

[10.13]

Br

Un certain nombre de choix étant libres, on peut chercher à dimensionner le poteau de manière à avoir : A

-~-

et, en arrondissant certaines valeurs numériques car il n'est pas nécessaire d'avoir une très grande précision dans la recherche de la section B, la formule [10.13] devient:

B > 0,9f3Nu r - J; + hd bu

130

[10.14]

Chapitre 10 • Compression centrée 537 Pour 1c28 = 25 MPa et!e = 500 MPa (fiu = 14,2 MPa et!ed = 435 MPa), on obtient ainsi:

Br ~ 0,051313 Nu que l'on pourrait même arrondir (pour réduire un peu A) à :

Br ~ 0,05513 Nu La valeur de 13 dépend de l'élancement choisi (formules [10.7]). Si l'on vise un élancement À = 35 (ce qui permet de prendre en compte la totalité des armatures, voir § 10.51 point 2) on aura 13 = 1,20 (soit Br::::: 0,066 Nz, dans l'exemple considéré précédemment) et si l'on vise un élancement À = 50, on aura 13 = 1,41 (soit Br::::: 0,077 Nz,). Applications : a) Poteau à section rectangulaire de côté a et b (on suppose a::; b) : B = ab. En exprimant a et b en m, on a :

Br

=(a -0,02)(b-O,02)

Si l'on veut À::; 35, il faut, puisque (d'après la relation [10.3]) : a=

If.J12 À

3,5 If

If (m) 10

a~-

:::::--

À

et, en appliquant la formule [10.14] avec 13 = 1,2 : b

.

~

140N + 0,02 (130Ibll + led )(a - 0,02)

(m, MN, MPa)

lI

Si l'on trouve b < a, il faut prendre un poteau carré de côté Ijll O. Une fois choisis a et b, il faut calculer l'élancement réel du poteau puis le coefficient 13 (formules [10.7]) et déterminer les armatures longitudinales et transversales comme indiqué au § 10.54.

. Le poteau « optimal» est tel que, pour À = 35 : a

1 =.L

10

0,9I3Nu + 0,02Ibu(a -0,02)-6,12 a Jed 10-4 . If} b =max{ --"----"-----,-..;;...;:,:;~---"------:....::;::..--Jbu(a -0,02)-6,12 a Jed 10-4 ' ïO

(m, MN, MPa)

et la section d'armatures nécessaires est alors égale à la section minimale (formule [10.10]). b) Poteau à section circulaire de diamètre a: .

En expnmant a en m, on a: Br

°

= 1t (a - '02)2 4

538 Traité de béton armé 41 1 Si l'on veut À:S; 35, il faut, puisque (d'après la relation [10.4]) a = -L : a;?:...L À

Mais il faut aussi que la condition [10.14] avec

> a_

~=

1,2 soit satisfaite, c'est-à-dire:

1,375N 002 .( u +,

.( + Jbu

9

(m, MN,MPa)

Jed

130

(ce qui POur!c28 = 25MPa et!e = 500 MPa conduit à a"" 0,3 ~ Nu + 0,02 (m, MN). Une fois choisi le diamètre a, il faut calculer l'élancement réel du poteau, puis le coefficient ~ (formules [10.7]) et déterminer les armatures longitudinales et transversales comme indiqué eau § 10.54. Deuxième cas : La dimension de l'un des deux côtés est imposée (section rectangulaire). Soit C la dimension imposée. Puisque l'on ignore a priori si c est le petit côté ou le grand côté, il faut commencer par calculer (voir § 10.32) : À = If

Jl2 "" 3,51f c

c

puis le coefficient ~ par les formules [10.7]. On calcule ensuite la quantité (ayant les dimensions d'une longueur) :

=

c r

0,9~NII .(

(m,MN,MPa)

+fed

130

Jbll

a) Si c :s; Cr + 0,02 m, c est le petit côté: c = a. La dimension inconnue b se déduit de la formule [10.14] :

Br

= (a-0,02)(b-0,02)

0,9 ~N + 0 02 - J; + fed a - 0,02 '

b>

Il

bu

(m2 )

(m, MN, MPa)

130

a et b étant maintenant connus, la section d'armatures est déterminée comme indiqué au . § 10.54 avec la valeur de ~ trouvée ci-avant. b) Si c > Cr + 0,02 m, c est le grand côté: c = b.

Chapitre 10 • Compression centrée 539 Dans ce cas, a doit satisfaire à la fois à deux conditions l

:

3,5 If a?-À

a~ [

0,9 l' + fed ] Jbu 130

~N u

+ 0 02

(b - 0,02)

(m, MN, MPa)

,

Comme ~ dépend de À donc de Ifl a, la résolution est laborieuse. On peut procéder par approximations successives, en calculant d'abord à part la quantité ko (qui a les dimensions d'une longueur) :

ko

=

0,9 l'

Jbu

+ 1ed

130

~Nu

(b - 0,02)

+ 0,02

(m, MN, MPa)

351 On se fixe ensuite une première valeur 1..1 de À telle que 1..1 < ~ (puisqu'il faut de b toute manière respecter aussi la condition d'élancement dans le sens« b »).

À 1..1 correspond une valeur ~l de~, (formules [10.7]) et une valeur: al

=ko f3l + 0,02

(m)

3,5 If d'où une seconde valeur 1..2 de À donnée par: 1.. 2 =- - . .

al

À 1..2 correspond une valeur f32 de f3 (formules [10.7]) et une valeur : a2

= ko f3l + 0,02

(m)

On s'arrête quand a i+1 :::: ai. La convergence est assez rapide et il n'est pas nécessaire de rechercher une grande précision.

1.

Le signe:::: indique qu'une grande précision n'est pas nécessaire puisque le choix de A! Br = 1/100 est arbitraire et que la section réelle d'armatures est ajustée pour finir sur les dimensions imposées (ou retenues) pour b et pour a.

540 Traité de béton armé

10.56 Abaque pour le calcul des poteaux En posant

'UII

=

Nil

Br

f c28

, la formule [10.5] peut s'écrire:

A = Br

f c28 [~_ ex.

fed

ou encore en posant Po

1 ] 0,9.1,5

= AI.ed Br

fc28

'U

Po =_11 -0,741 a Compte tenu des valeurs de a données par les Règles BAEL, on a : '\ <50' _ pour 1\, _ •

~=[1+0,2(À/35fl 'U a

II

0,85

- pour 50 < À :::; 70 :

'U _II

ex.

')..2

=- - ' U 1500

Il

1. Cas des poteaux à section rectangulaire de petit côté a

lm et Po prend les valeurs:

Dans ce cas, À = f

.

a

1+ 0,00 196 (If /a ) 2

-pour À:::; 50 :

Po =

- pour 50 < À :::; 70 :

Po = 0,008

0,85

1 (;

)2 'U

II

-

'UII

-0,741

0,741

L'abaque figure 10.9 donne les valeurs de P = 104 Po = fed

A

Br

(cm 2 , m2 , MPa) en

fc28

fonction de 'UII et de Irl a. Si plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours, Po est déterminé à partir de 1,10 'UII • Si la majeure partie des charges est appliquée à un âge j < 28 jours, il faut ' cons!'derer

'U 1Y

' . . de, 1 20 'U ' =-Nil- et determmer Po a, partIT 1y

Br fCj

Chapitre 10 • Compression centrée 541 2° Poteaux à section circulaire de diamètre a

L'abaque est applicable, en prenant:

Br

=0,785 (a-0,02)2

et en adoptant une longueur de flambement fictive lf= 1,155 lfo, lfo étant la longueur de flambement du poteau circulaire réel. Remarques:

1. Dans le cas d'armatures en acier de limite d'élasticitéle différente de 500 MPa, les valeurs de A trouvées par l'abaque seraient à multiplier par 5001le. 2. La pente des droites de l'abaque montre que la formule [10.8] donnant A est très sensible à une erreur, même faible, sur Br (difficile à évaluer aisément pour les sections de forme compliquée) ou sur Nr, (oubli du poids propre du poteau par exemple). Supposons que la valeur exacte de '\)1/ soit 0,4 et que l'on se soit en réalité trompé de

+ 5 % sur Br. On trouverait donc '\)1/ = 0,4 1 1,05 0,38 et pour lfl a = 16,5 dans notre exemple, on trouverait p = 2,5 au lieu de p = 3, soit

A = 2,5.1,05 Brfc28 = 2,625 Br fc28

au lieu de A =3 Br fc28

L'erreur commise sur A est de - 12,5 % ! Il convient donc de calculer avec précision.

542 Traité de béton armé

Figure 10.9. Abaque pour la determination des armatures des poteaux (acier Fe E SOO)

CHAPITRE 11 ÉTAT-LIMITE ULTIME DE STABILITÉ DE FORME (FLAMBEMENT)

Cet état-limite peut se rencontrer dans les ossatures (et leurs éléments constitutifs) susceptibles de présenter une instabilité de forme sous des sollicitations de compressionflexion par suite de l'influence défavorable des déformations sur les sollicitations. Il existe également des phénomènes d'instabilité par flexion-torsion, compression-torsion, cloquage (voiles), etc., qui ne sont d'ailleurs pas traités dans les Règles BAEL et doivent faire l'objet d'études spéciales.

11.1

GÉNÉRALITÉS

11.11 le phénomène de flambement Soit une pièce à axe rectiligne et à plan moyen, supposée soumise uniquement à une force de compression dirigée suivant sa ligne moyenne. Si la pièce est suffisamment courte, la force de compression se répartit uniformément sur une section droite quelconque et la déformation produite est un raccourcissement. La fibre moyenne de la pièce (c'est-à-dire «son axe ») reste rectiligne, les sections droites restent planes et normales à l'axe; la rupture survient par écrasement du béton, la fibre moyenne ayant conservé jusqu'à la fin sa forme rectiligne. Si la longueur de la pièce augmente, le phénomène devient plus complexe et, à partir d'une certaine valeur de la charge, il change complètement d'aspect: brutalement, il se produit une flexion latérale. L'axe longitudinal cesse ainsi d'être rectiligne; il dessine une ligne courbe dont l'allure dépend des conditions de liaison aux extrémités de la pièce. On ne sait pas déterminer exactement cette ligne a priori. À partir de là, selon les cas, différents modes de ruine peuvent se produire (voir § 11.3) : c'est le flambement.

544 Traité de béton armé En théorie, pour une pièce d'axe rectiligne chargée axialement, le flambement ne devrait pas se produire, puisqu'il n'y a aucune flexion initiale. Mais dans la réalité: -la ligne moyenne d'une pièce n'est jamais parfaitement rectiligne, -le matériau n'est jamais rigoureusement ni homogène ni isotrope, - les efforts ne sont jamais parfaitement centrés, etc. Bien que le flambement d'un poteau se manifeste par une flexion latérale, le comportement d'un poteau ainsi fléchi est très différent de celui d'une poutre simplement fléchie. Considérons en effet une poutre horizontale sur appuis simples, soumise à l'action d'une charge P appliquée à une abscisse a quelconque (figure Il.1).

Le moment de flexion est maximal à

, ,,'" 1

l'abscisse a et vaut: M max

= Pab 1

La poutre prend à l'abscisse x une déd 2 y (x) _ M(x) formation telle que: dx2 - -el

:..

a

b

,.,,

x )10'

p

~-----'--~~------------~~

J;;; .........-- ; y(x) 1...

-.. -------~----------

----......

... 1

Figure 11.1

Le moment est la cause de la déformation. Celle-ci conserve la portée à peu près constante et le moment de flexion en chaque section est peu affecté par la déformation: la flexion sous l'effet de la charge P est inévitable, mais elle est limitée et stable si cette charge est modérée. Soit maintenant la même poutre placée verticalement, ses extrémités étant articulées et guidées le long de son axe rectiligne (figure Il.2). Appliquons lui en tête une charge P axiale.

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 545 x

A priori, il n'y a aucune raison pour qu'il y ait flexion,

1

p

le moment «du premier ordre» étant nul (absence d'excentricité de la charge P). Si, pour une cause indéterminée, une déformation latérale quelconque se produit, elle fait apparaître dans une section L d'abscisse x, un moment de flexion dit «du second ordre» :

1 1 1 1

y(x)

1 1 1 1 1

L

M(x)=-P y (x)

1 1 1 1 1

,, ,

X

\ \ \

P

\ \

\

Y

Le moment de flexion est ici l'effet de la déformation et non plus sa cause. Ce moment varie et augmente avec la flèche. La pièce qui est maintenant sollicitée en flexion composée peut atteindre, ou non, un état d'équilibre.

Figure 11.2

En outre, le fluage du béton accroît les déformations dans le temps et l'augmentation de la flèche qui en résulte (et qui, dans une poutre simplement fléchie, ne modifie pas le moment de rupture) entraîne une diminution de la charge que le poteau peut supporter sans se rompre.

11.12 . Difficulté de l'étude du phénomène de flambement La difficulté de l'étude du phénomène de flambement réside dans le fait que les problèmes de flambement sont des problèmes non linéaires. En effet : - d'une part les matériaux (acier et béton) n'ont pas un comportement linéaire jusqu'à leur rupture; - d'autre part, par suite des effets du deuxième ordre dus aux flèches que prennent les éléments sous charge, les sollicitations cessent d'être proportionnelles aux actions (figure 11.3).

546 Traité de béton armé

o

'---------------------e-------e

>M

Figure 11.3

11.13 Objet du présent chapitre L'étude du flambement se rattache plus généralement à celle de la stabilité des ossatures formées de poteaux et de poutres, lorsque les effets du deuxième ordre ne peuvent être négligés .. Toutefois la vérification complète de la stabilité de telles ossatures, en suivant les principes donnés à l'article A-4,4 ou à l'annexe E7 des Règles BAEL mériterait à elle seule des développements assez longs. Elle exige la détermination des sollicitations dans chaque élément de l'ossature, par un calcul effectué avec les hypothèses de l'élasticité linéaire, en tenant compte ou non des déplacements des nœuds et nécessite généralement le recours à l'ordinateur.

Le présent chapitre concerne principalement la vérification des poteaux « isolés» c'està-dire soit des poteaux isostatiques, soit des poteaux d'ossature pour lesquels il peut être valablement supposé que la position des points où le moment du deuxième ordre s'annule reste invariable au cours du chargement.

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 547

11 .. 2

RAPPEL DES RÉSULTATS DE LA THÉORIE ÉLASTIQUE

11.21

Flambement « eulérien ))

11.211 Poteau biarticulé soumis à une charge centrée - Charge critique d'Euler Considérons tout d'abord un poteau rigoureusement rectiligne et de section constante, de longueur lfi constitué par un matériau homogène, isotrope et idéalement élastique, de module de déformation longitudinale E. Nous supposons que les deux extrémités sont articulées et que l'une est guidée le long de l'axe (figure Il.4) x

Appliquons à ce poteau un effort axial P et imposons lui une déformation latérale infiniment petite y (x). Le moment extérieur (c'est-à-dire dû à l'effort axial extérieur) qui en résulte est: M(x) =- P y (x) La courbure est donnée pari : 1 _

r (x) -

d2Y (x) _ M(x) _ P y (x) dx 2

-IiI - -

Y(X)

El

-II>t---+... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

La déformation est donc solution de l'équation différentielle:

\ \ \ \

\ \ \

y -E--..,.,//"".,/..,n.,./:<"7'7':'"/

lp Figure 11.4

dont la solution intégrale est classique; en posant

y

(1)2

= ~, on arrive à : El

(x) = CI coswx+ C2 sinwx

Les constantes CI et C2, sont données par les conditions aux limites: • y (0) = 0 entraîne CI = 0

1. L'approximation y" (x) =:: M(x)1 El ,justifiée lorsqu'il s'agit de petits déplacements, est pratiquement toujours valable en béton armé (voir § 15.331).

548 Traité de béton armé • y (/f)

= 0 entraîne:

- soit C2 = 0, c'est-à-dire y (x)

= 0: il n'y a pas de flambement;

- soit sin (oo!.r) = 0, alors 00 lf= lm, ce qui correspond à un flambement en k demi-ondes sinusoïdales

[ y{x) = C2 sin lm x If

avec

C2

non

nul

mais

indéterminé

lorsque

La charge critique de flambement ou « charge critique d'Euler» est la plus petite des charges P capables de maintenir le poteau dans son état déformé. Cette charge est obtenue pour k 1, soit:

n 2 EI

~. =--2-

[11.1]

If

À cette charge Pc correspond une déformée sinusoïdale d'équation: y

(x) = C2 sin!: x = f If

sin!: x If

en désignant par fla flèche dans la section médiane (x

!.rI 2).

Lorsqu'on atteint la charge critique d'Euler, l'équilibre est indifférent: il ya « bifurcation d'équilibre ». Le poteau peut fléchir jusqu'à ce que la flexion produise des contraintes supérieures à la résistance du matériau constitutif (figure 11.5). Un moment parasite ne peut plus être équilibré par un accroissement de la flexion du poteau (comme cela se produit pour P < Pc), et entraîne la rupture. Pour P > Pc> l'équilibre rectiligne est encore possible, mais il est instable: si l'on donne au poteau une légère déformation, le moment « moteur» dû aux effets du second ordre est supérieur au moment résistant développé par la flexion.

~

Bifurcation d'équilibre

: P : . . - - Instable

~!Pc

----r-p=p

stable

J

c

10""'''''.

----------------------~------------------~~y

o

Figure 11.5

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 549

11.212 Poteau soumis à une charge excentrée Supposons maintenant que la force extérieure P soit appliquée avec une même excentricité eo à ses deux extrémités (figure 11.6). x

1 1 1 1

,

y{x)

,, J

---

, ,1

t-' eo

1 1 1 1

--

,, ,

tf X

,, , \ \

Y

t

p

Figure 11.6

Dans une section d'abscisse x, le moment de flexion a pour valeur : - au premier ordre (poteau supposé indéformable) : - P eo - au second ordre (effet de la déformation) : - Py (x) c'est-à-dire qu'au total, ce moment vaut:

M(x) =-P [y (x )+ eo] La déformation est donc solution de l'équation différentielle: [11.2]

· . , 1 d.ont 1a so1utlOn mtegra e est, en posant

li

wlf [P =-2="21t vP:

des conditions aux limites: y

(x) =eo[l- cos(u - ro x)] cosu

et en tenant compte

550 Traité de béton armé On constate que le moment de flexion total dans la section médiane est:

M(!L)=~ 2 cosu et qu'il devient infini [comme y (x)] lorsque P tend vers Pc puisqu'alors u tend vers Tt/2. En fait, cette circonstance ne peut se présenter, car tout se passe comme si chaque section était soumise à la flexion composée [effort normal N = P et moment M GO = P (eo + y (x)] et la rupture survient donc sous cette sollicitation, soit lorsque la résistance à la compression du matériau est atteinte sur la fibre la plus comprimée, soit lorsque sa résistance à la traction est atteinte sur la fibre la plus tendue (figure Il.7). p

i

~.------------------------------------------

..--- --- --- ----

Rupture en flexion composée (Jmax (eo)=fr

o

~------------------------------------~

y

fr = Résistance du matériau (en compression ou en traction selon le cas)

Figure 11.7

La charge de rupture est d'autant plus éloignée de la charge critique d'Euler (et donc d'autant plus faible) que l'excentricité eo est plus grande.

11.213 Amplification du moment Supposons que l'excentricité soit elle-même variable selon une loi sinusoïdale (c'est-àdire que le moment du premier ordre soit lui-même sinusoïdal) :

. nx

YI (x ) =eosm-

If

où eo désigne la flèche initiale dans la section médiane.

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 551 L'équation [11.2] s'écrit, avec ro 2 = ~ :

El

d~X) +ro'y (x)=-ro'e, sin [ ~ ] L'intégrale générale de cette équation est:

. (mJ

eosm -

y (x) = CI sinrox + C2 cosrox +

I~

(n-roll ) -1

Les constantes CI et C2 sont données par les conditions aux limites: y(O)=Od'oùC2 =O

Y(/r) = 0 d'où CI sin roll= 0 Comme P < Pc on a sin roirl 0 donc CI = O. Compte tenu de la définition de ro :

L'équation de la fibre moyenne déformée s'écrit donc: Y(X)+YI (X)=eosin[m][I+ 1 ]=YI 11 (~/ P) -1

(x)~ ~- P

L'application de l'effort axial P a donc pour effet d'amplifier la déformation initiale [et donc le moment initial P YI (x)] en la multipliant par le rapport (

~

~-P

) appelé« coeffi-

cient d'amplification des moments ». Le moment total (y compris le moment du deuxième ordre) est ainsi en valeur absolue: [11.3] avec MI (x) = P YI(X). "on en déduit que le moment du deuxième ordre a pour expression :

M 2 (x)=

P ~-P

P MJ{x)=-M(x) ~

[11.4]

et aussi que [11.5]

552 Traité de béton armé

11.22 Méthodes de vérification des anciens règlements Dans les anciens règlements aux contraintes admissibles, on se contentait de faire une vérification de la section médiane d'un poteau (x = 1j/2), la plus sollicitée, supposée soumise à une flexion composée.

11.221 Circulaire Ministérielle de 1934 - Formule de Rankine Rankine admettait que le flambement est une forme de flexion composée due à une excentricité de la charge:

avec:

1

longueur de la pièce,

v

demi-hauteur de la section dans le plan de flexion,

Il

coefficient dépendant du matériau (lO--4 pour le béton armé),

f3

coefficient dépendant des liaisons aux extrémités (voir figure 10.4).

À cette excentricité correspondait donc un moment de flexion MGO = Pe. La vérification de la stabilité consistait à s'assurer que la contrainte maximale était au plus ég~le à la contrainte admissible: P B

M

v

-

cr=-+~:::;cr

1

be

avec: B

aire de la section droite du poteau

1

moment d'inertie de celle-ci par rapport à l'axe perpendiculaire au plan de flexion et passant par Go : 1 =Bi 2 avec i rayon de giration.

L'expression de cr pouvant donc aussi s'écrire:

.La formule de Rankine s'écrivait (aux notations près) :

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 553

11.222 Règles BA 1960 Dans les Règles BA 1960, on multipliait par le coefficient d'amplification des moments (voir § 11.213) l'excentricité du premier ordre, à laquelle devait être ajoutée auparavant une excentricité supplémentaire fonction de l'élancement À et du rapport ç = [charge permanente/ charge totale].

11.223 Règles CCBA 68 Dans ces Règles, on ajoutait à l'excentricité du premier ordre el une« excentricité complémentaire » ou flèche de ca1cullc, donnée par une expression empirique fonction de el et ç (même définition que ci-avant). Cette méthode (de même que celle des Règles BA 1960) conduisait dans certains cas à des anomalies l . Il s'agissait en effet d'une transposition plus ou moins heureuse en vérification aux contraintes admissibles de la méthode du moment complémentaire (voir § 11.52) qui avait été proposée vers 1965 par Aas-Jakobsen comme méthode de vérification à l'état-limite ultime dans le cadre des travaux du Comité EuroInternational du Béton.

11.23 Critique des méthodes élastiques Dans le cas du béton armé, qui est un matériau non élastique et non homogène, les méthodes q.ui supposent implicitement ou non un comportement élastique linéaire (Euler, Rankine, Règles BA 1960 et CCBA 1968) sont totalement inadaptées à une représentation correcte des phénomènes de flambement. En effet: a) l'acier et le béton ne suivent pas la loi de Hooke jusqu'à leur rupture; b) le module sécant du béton E décroît quant la contrainte croît (ce qui entraîne la divergence d'équilibre, voir § 11.31); de plus sa valeur dépend de la durée d'application des charges (fluage) ; c) les méthodes élastiques supposent que l'élément étudié possède dans la direction du flambement un moment d'inertie déterminé et constant. Or du fait de la flexion on rencontre le long du poteau des sections non fissurées (l constant) et des sections fissurées (l variable, diminuant quand l'excentricité augmente puisque l'axe neutre se déplace vers les compressions). Il n'est donc même pas possible d'introduire un moment d'inertie« moyen» obtenu par ·pondération entre celui, faible, des sections fissurées et celui, plus élevé, des zones situées entre les fissures.

1. Il fallait appliquer, selon le cas, l'une ou l'autre de deux formules présentant une discontinuité aux bornes de leur domaine d'utilisation. Ainsi, l'excentricité complémentaire à prendre en compte était bien plus élevée pour un poteau d'élancement 49,9 que pour un poteau d'élancement 50,1.

554 Traité de béton armé d) la limitation des contraintes à des valeurs admissibles (les mêmes que celles prises en compte pour vérifier la résistance des sections) ne conduit pas nécessairement à une sécurité convenable vis-à-vis du flambement. e) il n'est pas possible de donner une expression de la flèche de calcul qui puisse être valable pour tous les cas. Celles qui ont été proposées (voir § 11.22) conduisent à des résultats très dispersés, pouvant aller dans le sens soit d'une trop grande sécurité, soit au contraire, d'une insécurité.

f) la transposition en contraintes admissibles du principe de l'excentricité complémentaire, combinant les défauts précédents, ne peut que conduire à des anomalies. Pour toutes ces raisons, diverses méthodes de calcul à l'état-limite ultime ont été développées. Elles seules permettent une approche correcte du phénomène de flambement. En France, le développement de ces méthodes commença en 1956, avec des essais entrepris pour l'édification du Centre National des Industries et des Techniques (CNIT), dont la conception est due à Nicolas Esquillan. Cet ouvrage remarquable, autrefois mis en valeur au sommet de la colline de Chantecoq (lieu de durs combats lors de la guerre de 1870, rebaptisée « La Défense» après celle-ci, et où se trouvait auparavant une statue commémorative) méritait mieux que de se retrouver, dans l'aménagement du quartier qui a suivi son édification, semi-enterré entre les voies de desserte rapide qui l'entourent et écrasé par les constructions environnantes. Ce chef d'œuvre d'esthétique et de technique ne peut plus, d'aucun côté, être apprécié à sa juste valeur. Il s'agit pourtant d'un record mondial, une structure voûtée en double coque mince autoportante en béton armé, reposant seulement sur trois points d'appui disposés aux sommets d'un triangle. équilatéral, distants de 206 m en façade, pratiquement la largeur de la place de la Concorde (210 m). Dans un ouvrage d'une telle envergure, la sécurité vis-à-vis du flambement général de l'ensemble de la couverture et du flambement local du voile mince (6 cm d'épaisseur) était d'une importance primordiale. C'est Pierre Faessel, jeune ingénieur de l'Entreprise Coignet, qui fut chargé de la conception des essais, de leur suivi, de leur interprétation et en tira le principe d'une méthode de calcul pour les vérifications au flambement (voir § 11.636-4). À la date de parution des Règles CCBA68, les outils de calcul pour l'application commode de la méthode n'étant pas encore disponibles (voir § 11.641-1), ces Règles n'envisageaient, à l'article 33,3, le recours aux étatslimites que comme une vague possibilité: «Les justifications relatives au .flambement peuvent éventuellement reposer sur l'évaluation des charges ultimes ... etc. ».

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 555

11.3 COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL DES POTEAUX EN BÉTON ARMÉ 11.31 Comportement sous charges de courte durée Considérons des poteaux de même section transversale, soumis à des charges croissantes, dont l'excentricité est constante et tout d'abord faible. Pour un poteau de faible élancement (voir § 10.311 - pour fixer les idées, élancement mécanique À de l'ordre de 25 à 30) la charge maximale est relativement élevée (figure 11.8) ; la rupture se produit dans une section voisine de la section médiane, avec écrasement du béton du côté de la concavité du poteau déformé sans autre avertissement que l'apparition de fissures longitudinales du béton de ce même côté. Pour un poteau d'élancement «moyen» (À de l'ordre de 50), la charge maximale est plus faible que dans le cas précédent. La rupture est précédée de l'apparition de fissures transversales sur la face convexe. Pour un poteau très élancé (À supérieur à 70), essayé sous déformation contrôlée (c'està-dire en opérant à vitesse constante d'accroissement de déformation) la charge maximale est encore plus faible, mais elle ne correspond plus à l'écrasement du béton comprimé consécutif ou non à l'allongement des armatures du côté convexe, c'est-à-dire qu'elle est atteinte avant que la capacité de résistance de la section la plus sollicitée soit épuisée (figure 11.8). La flèche prise par le poteau continue d'augmenter sous la déformation imposée alors que la charge diminue. C'est le phénomène de divergence d'équilibre, qui est lié à la décroissance du module sécant lorsque la contrainte augmente. La rupture finit par se produire soit par insuffisance du béton comprimé, soit par insuffisance de l'acier tendu. p

It\ • Rupture en flexion composée

r·

~-------

Rupture en flexion composée

Instable L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

~y

o Figure 11.8

556 Traité de béton armé Dans le cas de poteaux de même section transversale, mais cette fois de même longueur, des comportements identiques à ceux décrits ci-dessus sont observés lorsque l'on augmente progressivement l'excentricité structurale de la charge. II convient de remarquer que des essais sous charge contrôlée (c'est-à-dire en opérant à vitesse constante d'accroissement de la contrainte) ne permettent pas de mettre aussi nettement en évidence ces mêmes comportements. Lorsque la charge atteint sa valeur maximale, on assiste en effet à un phénomène dynamique d'augmentation des déformations sous charge constante, et la rupture survient brutalement. Ce comportement est celui auquel il faut s'attendre pour les poteaux de structures réelles où ni les charges appliquées, ni leur excentricité ne sont susceptibles de diminuer si le poteau commence à céder.

11.32 Comportement sous charges de longue durée L'observation montre que les flèches d'un poteau soumis à une charge constante de longue durée augmentent avec le temps du fait du fluage et, éventuellement, du retrait du béton. Selon que la charge appliquée en permanence est plus ou moins élevée, les déformations lentes peuvent s'accentuer jusqu'à provoquer la rupture ou bien se stabiliser, la rupture ne survenant pas. Soit un poteau soumis d'une part à des charges de longue durée vis-à-vis du fluage, appliquées à l'âge to puis rigoureusement constantes dans le temps, d'autre part, à des charges de courte durée, quasi instantanées, appliquées à l'âge t. Selon le cas, on peut observer trois types de comportements (figure 11.9) :

1. Flambement sous charge de courte durée: l'accroissement de la charge est trop rapide pour que le fluage ait le temps de se manifester. Les phénomènes observés sont alors ceux décrits au § Il .31 (courbe OA) ; 2. Flambement par «fluage»: ce type de flambement se produit lorsqu'une charge assez élevée, mais inférieure à la charge de rupture que l'on observerait pour un chargement de courte durée, d'abord appliquée rapidement à l'âge t o , est maintenue ensuite constante. Les déformations croissent alors dans le temps par suite du fluage et on observe une instabilité au temps tu c'est-à-dire que la courbure 1/ r varie de telle sorte que d(1 / r)/ dt ~ 00 quand t tend vers tll (courbe OBB'). 3. « Capacité résiduelle» en courte durée: à l'âge (0, on applique au poteau une charge relativement modérée, qui est maintenue constante. Les déformations, d'abord crois.santes dans le temps, tendent à se stabiliser. Au temps t, la charge est accrue rapidement jusqu'à la valeur maximale qui entraîne l'instabilité: ce supplément de charge est appelé « capacité résiduelle ». La capacité résiduelle subsistant après une période de chargement soutenue est (si l'on néglige l'augmentation de résistance du béton au cours du temps) toujours inférieure à la capacité portante sous charge de courte durée (figure 11.9 courbe OCC'C").

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 557 Charge P

~;::~~~e_d~:~_~U:_~:~O) ~:--::-: - - - ~ Capacité résiduelle (o*< q»

A

- - - - - - B'

®'?ambement par fluage [: (ta, t)]

~-----~ 1 1

Chargement soutenu

,.:

L - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' 7 Courbure 1/r

o

Figure 11.9

11.33 Contrôle expérimental de la validité des hypothèses de calcul La validité des hypothèses de calcul qui seront faites dans ce qui suit (en particulier déformée sinusoïdale (§ 11.635) et coefficient de fluage réduit (§ 11.621-2 h) ) a été contrôlée (par B. Fouré) en comparant la charge ultime ainsi calculée p ca/, à celle, Pexp observée au cours de 259 essais de poteaux effectués dans diverses conditions par 10 laboratoires différents, dans 7 pays. Ces essais couvrent un large éventail de variation des principaux paramètres: - élancements géométriques: 8 à 43 ; - excentricités relatives:

°

à 1;

- pourcentages mécaniques d'armatures: 0,04 à 0,40 ; - résistances du béton : 12 à 50 MPa ; - coefficient de fluage: 0,7 à 5,5 ; -etc.

,Les résultats qui sont résumés ci-après montrent la fiabilité de la méthode. Tableau 11.1

Nombre d'essais

Moyenne Pcal ! Pexp

Coefficient de variation (%)

Courte durée

103

0,996

10,1

Flambement par fluage

70

0,989

10,1

Capacité résiduelle

86

1,075

9,7

558 Traité de béton armé

11.4 PARAMÈTRES INFLUANT SUR L'ÉTAT-LIMITE ULTIME ATTEINT PAR FLAMBEMENT D'après les constatations expérimentales décrites au § 11.3, il faut retenir comme essentiels parmi les paramètres les plus importants: 1°) l'élancement À = Irli du poteau (voir § 10.311) qui dépend lui-même en premier lieu de la longueur de flambement; 2°) l'excentricité de la force extérieure ce qui oblige à tenir compte des imperfections géométriques et des incertitudes sur le point d'application de cette force; 3°) la durée d'application des actions, ce qui conduit à prendre en compte les effets du fluage.

11.41 Longueur de flambement - élancement Ces deux notions ont déjà été développées au § 10.3. Dans le domaine élastique, à tout poteau de section constante, de longueur l, avec des conditions de liaison quelconques à ses extrémités, on peut attribuer une «longueur libre de flambement If» égale à la longueur du poteau de même section, articulé à ses deux extrémités, qui aurait même charge critique d'Euler l . La longueur libre de flambement est ainsi définie par :

n 2 El

n 2El

l~

p2f2

p=--=-c

c'est-à-dire que

[11.6]

[11. 7]

P dépendant des conditions de liaison aux extrémités (voir BAEL, art. B 7.3,2 et figure 10.4 du présent texte). En particulier:

P= 1 (par définition) pour un poteau articulé à ses deux extrémités (poteau «biarticulé ») ; P= 2 pour un poteau encastré en pied et libre en tête (<<mât»).

1. De façon plus générale, la longueur libre de flambement d'un poteau à section variable, soumis à des charges axiales appliquées en divers points de son axe peut être définie comme la longueur du poteau de section constante et égale à la section critique du poteau réel, articulé à ses deux extrémités, qui, lorsqu'on lui applique aux extrémités toutes les charges supportées par le poteau réel, a la même charge de flambement que ce dernier. Ce calcul n'est donc possible que si la section critique est connue, ce qui n'est pas toujours le cas.

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 559 L'étude de tout poteau de longueur 1 avec des conditions de liaison quelconques à ses deux extrémités peut alors toujours se ramener (figure 10.10) : - soit à celle d'un poteau bi-articulé de longueur If =

~ 1;

- soit encore à celle d'un mât de longueur 1;-/2 = ~ 1/2.

p

lp

l

( Liaisons quelconques

~

l

r

ou à

Équivalent à

t f =l3t

I3l

lf

2

2

-=/

I

P

I

P

P

I

Figure 11.10

Etant donné l'incertitude sur les conditions réelles de liaison aux extrémités du poteau, il convient d'évaluer toujours lfavec beaucoup de prudence (ne pas oublier que les moments du second ordre sont d'autant plus importants que l'élancement réel du poteau est plus grand; il ne faut donc pas sous-estimer celui-ci).

11.42 Excentricité de la force extérieure Dans une section donnée d'un élément comprimé, l'excentricité de la force extérieure par rapport au centre de gravité du béton seul est la somme de trois termes : . 1°) une excentricité structurale connue eo (voir § 8.1) qui est due aux dispositions de la construction et résulte de l'ensemble des forces ou couples appliqués;

560 Traité de béton armé 2°) une excentricité additionnelle ea (involontaire, inconnue et inévitable) qui provient des imperfections géométriques de l'exécution et dont l'évaluation est arbitraire. Dans les Règles BAEL : - dans le cas d'un élément isolé, cette excentricité est forfaitairement prise égale à (voir § 8.22 a) : ea

= max{2 cm ;

_l_}

[ 11.8]

250

avec l, longueur de l'élément, - dans le cas d'une ossature, cette excentricité résulte d'une inclinaison involontaire d'ensemble, prise forfaitairement égale à 0,01 radian s'il s'agit d'un seul étage avec une majorité des charges appliquée au niveau supérieur, et 0,005 radian dans les autres cas. 3°) une flèche y due à la flexion (la flèche maximale est désignée parfi. a) Cas d'un poteau encastré en pied et libre en tête soumis uniquement à une charge « centrée» (figure Il.11).

e8,1

,1

Théorie: Compression centrée

Réalité: Flexion composée

Figure 11.11 La compression« centrée» n'existe donc pas. b) Cas d'une« potence» de longueur li2 soumise à une charge verticale P excentrée, à une charge horizontale « en tête », à une charge horizontale p répartie sur sa hauteur, et à un couple C en tête (figure 11.2) Cet exemple est donné pour montrer qu'il faut bien faire attention de ne pas confondre l'excentricité eo (ou eo + ea) de la force extérieure dans la section d'extrémité et l'excentricité du premier ordre eJ dans la section laplus sollicitée, à la base de la potence.

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 561 H --..

p

M 1 : moment en pied dans l'hypotèse d'une potence indéformable M2 : moment en pied da à la déformation de la potence (effet du second ordre)

Figure 11.12

Les forces et couple externes P, H, p et C engendrent dans une section donnée d'abscisse x un moment MI dit «du premier ordre» directement calculable d'après les équations élémentaires de la Statique l : MI

px 2 2

= C+P (eo +eJ+Hx+--

À ce moment MI(x) correspond à une flèche latérale YI dans la section d'abscisse x considérée: l'excentricité augmente donc de YI, ce qui accroît le moment de : D..M1 =PYl

d'où un nouvel accroissement de flèche ~Yl, et ainsi de suite ...

~Yi'

La flèche latérale totale est Y (x) =YI + L~Yi et le moment du deuxième ordre est:

M2{x) = pY (x) =P (yI +L ~Yi) Deux cas peuvent se présenter:

Premier cas: Si un état d'équilibre peut être atteint entre les forces externes et les forces internes dans toutes les sections du poteau, le processus s'arrête à cet état d'équilibre . . La section de base (x = If /2) est alors soumise: - à un effort normal de compression N = P - à un moment de flexion total MGO = MI + M2 avec :

1.

Puisqu'elles sont calculées en supposant le poteau rigoureusement indéformable.

562 Traité de béton armé 1 pf MI =C+P{eo+eJ+H ; +-t

[11.9]

M 2 =Pj [11.10]

j étant la flèche totale en pied de la potence. Dans l'état d'équilibre, dans chaque section, la courbure due aux contraintes internes est égale à la courbure due aux actions extérieures, c'est-à-dire à la courbure de la déformée.

Deuxième cas: Si un état d'équilibre ne peut être atteint entre les forces externes et les forces internes, c'est-à-dire si les forces externes sont supérieures à celles qui correspondent à la capacité portante du poteau, l'équilibre est impossible et le processus évolue vers la ruine du poteau.

11.43 Durée d'application des actions (fluage) La manière dont, selon les Règles BAEL, il doit être tenu compte du fluage dans les vérifications aux états-limites atteints par flambement est exposée en détail au § 11.621-2. Cette méthode (non rigoureuse sur le plan théorique, car elle suppose que le fluage reste linéaire même pour des contraintes élevées) consiste à amplifier le diagramme contraintes-déformations du béton par une affinité effectuée parallèlement à l'axe êbc. Elle diffère profondément de la méthode de la norme allemande DIN 1045. Cette dernière est basée sur une hypothèse de comportement linéaire en l'absence de fissuration (donc sous sollicitations de service) ; elle conduit par application des théories de Dischinger à introduire le fluage par le biais d'une excentricité additionnelle ecc de forme exponentielle, qui tient compte du caractère récurrent de l'influence du fluage.

11.5 MÉTHODES PRENANT EN COMPTE UN MOMENT « COMPLÉMENTAIRE» 11.51 Considérations préliminaires Considérons un poteau de section constante, à axe rectiligne soumis à une charge P excentrée. Celle-ci entraîne, au centre de gravité Go du béton seul de la section la plus sollicitée: - un effort normal N = P - un moment de flexion MGO = P (e o + f),J étant la flèche dans la section la plus sollicitée, due à la déformation du poteau.

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 563

Représentons l'évolution des sollicitations à charge P croissante dans le système d'axes orthonormé OMN. a) Cas d'un poteau de faible élancement (figure 11.13a)

La flèche prise par le poteau à la rupture est faible. La charge maximale correspond à la rupture de la section la plus sollicitée sous un moment M,. :::: Pr eo. N

o

N

N

~--~------~--~M

~----------~-7M

•

Figure 11.13

•

b) Cas d'un poteau d'élancement moyen (25 < À < 50 environ) Par suite de la flèche que prend le poteau, lorsque la charge P croît à excentricité eo constante, le moment croît plus vite que l'effort normal (figure 11.3b). Le poteau périt par rupture de la section la plus sollicitée, sous l'effet combiné: - d'un effort normal N r = Pmax - d'un moment de flexion M,. =

Pmax

(e o +!c) = ~r + MC'

L'extrémité du vecteur de composantes (Nn Mr ) est située sur la frontière du domaine de résistance (courbe d'interaction de la section considérée, c'est-à-dire de la section la plus sollicitée). Tant que le point représentatif des sollicitations auxquelles est soumise la section tombe à l'intérieur de ce domaine, la résistance du poteau est assurée. Le moment Mc = Pmax!c est appelé « moment complémentaire ». .À partir de valeurs de P max déterminées expérimentalement pour diverses combinaisons de paramètres: À, eo, ••• il est possible de trouver une expression empirique dei.. (ou de Mc) et de ramener ainsi à nouveau la vérification d'un poteau vis-à-vis du flambement à celle du même poteau sollicité en flexion composée.

564 Traité de béton armé c) Cas d'un très grand élancement (À > 50 environ) Dans ce cas, le poteau périt par divergence d'équilibre, le point correspondant à la charge P max est à l'intérieur du domaine de résistance de la section la plus sollicitée; la tangente à la courbe de chargement en ce point y est horizontale (figure 1 1. 13c). La rupture de la section n'est atteinte que dans la branche descendante de la courbe de chargement. La notion de « moment complémentaire» perd alors toute signification. On pourrait imaginer de définir un domaine de stabilité d'un poteau qui serait le lieu géométrique des points à tangente horizontale des différentes courbes de chargement correspondant au poteau considéré, en faisant varier l'excentricité initiale. Mais alors que le domaine de résistance d'une section est indépendant du reste de la structure, le domaine de stabilité d'un poteau n'a aucun caractère intrinsèque. Il dépend en effet: - de la déformabilité du poteau, - de son élancement, - des éventuelles variations de la section, soit de béton, soit d'acier, - des actions ou sollicitations appliquées, même si la section la plus sollicitée reste la même (par exemple: variation du moment du premier ordre sur la hauteur du poteau). La stabilité d'un poteau n'est assurée que s'il existe une distribution de contraintes qui équilibre dans chaque section de ce poteau les sollicitations de calcul créées par les actions données y compris celles du second ordre, les lois contraintes-déformations des matériaux étant fixées. Il s'agit.1à d'un critère global, qu'il n'est généralement pas possible de traduire par un domaine unique de stabilité à moins de faire des hypothèses simplificatrices telles que celles qui sont faites aux § 11.621-1 et 11.621-2. d) Conclusions Pour pouvoir valablement supposer: - d'une part que le flambement d'un poteau correspond à une rupture de section (c'està-dire que les conditions de rupture sont atteintes dans la section la plus sollicitée du poteau lorsque celui-ci périt par flambement), - d'autre part qu'il est possible de déterminer à l'avance le moment complémentaire dans cette section au moyen d'une formule empirique tirée de résultats d'essais, il est nécessaire de limiter le domaine de validité des méthodes qui découlent de ces hypothèses à des élancements relativement modestes (voir BAEL, A-4.3,5 et § 8.22 a du présent texte).

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 565

11.52 Méthode de calcul du moment complémentaire (Aas-Jakobsen, CEB 1965) Bien que cette méthode ne soit plus guère utilisée, il nous paraît intéressant d'en rappeler le principe. Il s'agit en effet d'une part de la première tentative de traitement du flambement par une méthode de calcul aux états-limites, d'autre part de la méthode dont les Rédacteurs des Règles CCBA 68 avaient fait une « transposition» aux contraintes admissibles, à l'article 33 de ces Règles. Cette méthode qui avait été mise au point par le Dr Aas-Jakobsen (Norvège) et qui figure dans les Recommandations internationales CEB-FIP de 1970, ne s'appliquait qu'aux poteaux dont la section droite est constante et possède un centre de symétrie. Son point de départ était la formule d'amplification des moments (§ 11.213). En ce qui concerne les élancements, aucune limite n'était imposée, en dehors d'une limite supérieure de 140 valable pour la plupart des autres méthodes. Pour fixer les idées, une telle limite corespond, pour un poteau de 40 cm de côté articulé à ses deux extrémités, à une hauteur de 16 m (pour se représenter ce que peut être un élancement de 140, un crayon neuf, jamais taillé, n'a qu'un élancement de 90 environ. Pour atteindre 140, il faudrait encore en accroître la longeur de plus de 50 %). En désignant par :

Mu

le moment ultime dans la section médiane,

Ml

le moment dû à toutes les actions de calcul dans la section médiane, évalué par la théorie du premier ordre, c'est-à-dire sans tenir compte des déformations, en . supposant le poteau rigoureusement indéformable,

Mc

le moment complémentaire (du deuxième ordre) dans la section médiane, dû à l'effort normal de calcul Nu = Pu.

Ona:

[11.11]

et compte tenu des relations [11.3], [11.4] et [11.1], on a aussi:

n2EI 10 El p M C =M -E.. avec P =--::::-P l' f2 [2 1/

c f f

M , on arnve . ( aux notatIOns . , ) a, l' expressIOn . donnee "al ' artlc . 1e En posant K = -l = _" pres r El R 42,23 des Recommandations internationales de 1970 :

= NIIK l}

M c

10

[11.12]

Sous cette forme, K apparaît comme une quantité dont il ya lieu d'ajuster la valeur pour que les capacités portantes calculées au moyen des équations [11.11] et [11.12] soient en bon accord avec les résultats d'essais.

566 Traité de béton armé Les expressions de la courbure figurant dans les Recommandations internationales de 1970 répondaient à ce but. Cependant, il était apparu que ces approximations de la valeur de la courbure pouvaient conduire à des résultats qui n'étaient pas toujours du bon côté de la sécurité. Pour éviter ceci, les coefficients partiels de sécurité des matériaux Ys sur l'acier et Yb sur le béton devaient, en application de l'article R. 42,231, être corrigés par un coefficient «de comportement ».

Remarque: L'expression du moment complémentaire conduit à une excentricité du deuxième ordre (flèche) : M

KI 2

1 [2

e2 =_c =_-L (soit e =_f ) 2 2 Nu r n 10 qui est celle que l'on trouve en faisant l'hypothèse d'une déformée sinusoïdale (voir § 11.636-1). Ceci n'a rien d'étonnant puisque c'est également la forme de la déformée du flambement eulérien.

11.53 Méthode simplifiée des Règles BAEl :> Références: BAEL, art A-4.3,5 Cette méthode qui a été exposée au § 8.22a n'est applicable qu'aux éléments comprimés de section constante dont l'élancement géométrique est tel que: If :::; max (15' h '

20~) h

[11.13]

c'est-à-dire, pour un poteau carré de côté h : À :::; max (52 ; 70

~)

environ.

Elle consiste à ajouter à l'excentricité du premier ordre el (dans laquelle est déjà incluse une excentricité additionnelle) une excentricité complémentaire basée sur une valeur empirique de la courbure de rupture, cette valeur constituant une limite supérieure tirée de la considération de la forme des lois moments-courbures des sections (voir figure 11.28).

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 567

11 .. 6 JUSTIFICATIONS VIS-À-VIS DE L'ÉTAT-LIMITE ULTIME DE STABILITÉ DE FORME SELON LES RÈGLES BAEL :>

Références: BAEL, art. A-4.4 et annexe E 7

11.61 Principe des justifications :>

Références: BAEL, art. A-4.4

Les justifications ne sont à faire que pour les structures dans lesquelles les effets du second ordre ne peuvent être négligés. Elles sont à présenter vis-à-vis de l'état-limite ultime, mais dans le cas d'éléments très déformables, il est nécessaire de vérifier également les états-limites de service. a) Pour les éléments dont l'élancement géométrique satisfait à l'inégalité [11.13] donnée en 11.53, il est possible de tenir compte des effets du second ordre d'une manière forfaitaire, dans les conditions qui ont été précisées au § 8.22a et rappelées au § Il.53. b) Pour les éléments dont l'élancement géométrique ne satisfait pas à la condition [11.13] ci-avant, la justification de la stabilité de forme consiste à montrer qu'il existe un état de c~ntraintes qui équilibre les sollicitations agissantes de calcul, y compris celles du second ordre, et qui soit compatible avec la déformabilité et avec les résistances de calcul du béton et de l'acier.

En d'autres termes, il faut montrer que, sous les sollicitations agissantes de calcul amplifiées du fait des déplacements, un équilibre existe entre les efforts internes et les forces extérieures, déplacements et efforts internes étant évalués en tenant compte des lois de comportement (cr - E) réelles des matériaux.

568 Traité de béton armé

11.62 Sollicitations et hypothèses de calcul 11.621 Sollicitations agissantes de calcul Ces sollicitations sont calculées à partir des combinaisons d'actions définies aux § 3.421-1 et § 3.423-3 1 [c'est-à-dire que ce sont les mêmes que pour l'état-limite ultime de résistance], en tenant compte d'une part de l'excentricité additionnelle définie au § 11.42-2°, et, d'autre part, des sollicitations du second ordre liées à la déformation de la structure sous l'état de contraintes considéré au § 11.61 b. Cet état de contraintes est déterminé à partir des hypothèses ci-après:

11.621-1 Hypothèses générales 1. Le poteau étudié a un (ou plusieurs) plan(s) moyen(s), qui demeure(nt) plan(s) au cours de la déformation du poteau. 2. Les longueurs de flambement déterminées dans l'hypothèse de l'élasticité linéaire, donc à l'aide des charges critiques d'Euler, peuvent être utilisées pour la vérification des états-limites atteints par flambement (BAEL, art. A-4.3,5).

11.621-2 Hypothèses de calcul a) Les sections droites restent planes. b) II n'y a aucun glissement entre l'acier et le béton. c) La résistance à la traction du béton est considérée comme nulle. d) Les effets du retrait sont négligés. e) Le diagramme contraintes-déformations de calcul des aciers est celui défini au § 5.221-a (Ys = 1,15).

t) Sous les actions de courte durée vis-à-vis du fluage, le diagramme contraintesdéformations du béton est le diagramme parabole-rectangle défini au § 5.222 (avec

r Jbu

= 0,85 e

fi

15 ,

i.

g) Sous les actions de longue durée vis-à-vis du fluage, les effets de celui-ci sont pris en compte globalement (sans suivre pas à pas l'évolution des contraintes et des déforma-

. 1. Dans les combinaisons d'actions, il ne faut pas oublier celle dans laquelle les charges permanentes ne sont pas majorées (coefficient 1 au lieu de 1,35). Cette combinaison est en effet celle qui est la plus défavorable lorsqu'un accroissement de la charge axiale va dans le sens de la sécurité. 2. À noter que la valeur Y. = 1,5 qui a pour objet de tenir compte d'une chute locale de résistance, est trop sévère pour évaluer la déformabiIité d'ensemble d'un élément. En outre, le diagramme parabolerectangle n'est pas applicable aux structures exceptionnelles telles que les piles élancées de certains viaducs (voir BAEL, art .A-4.4,3 et commentaires). Pour celles-ci, il est recommandé d'adopter une loi de comportement plus conforme au conformément physique, telles que les lois de Sargin [2.12] ou de Desayi et Krishnan [2.16] (voir § 2.234).

Chapitre 11 • État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) 569 tions dans le temps) en admettant que les contraintes dans l'état d'équilibre final n'ont pas varié pendant toute la durée considérée. h) L'effet de la superposition d'actions pennanentes ou quasi permanentes à des actions de courte durée est prise en compte au moyen d'un «coefficient de fluage réduit a
coefficient de fluage du béton sous contrainte de compression pris égal à 2 quelle que soit la valeur de cette contrainte.

a

rapport des moments du premier ordre (évalués avant pondération par les coefficients y) dans la section la plus sollicitée, dus respectivement:

abc

constante,

- aux actions permanentes et quasi permanentes (MIL) - à la totalité des actions ( MI) :

Cette hypothèse revient à effectuer sur le diagramme parabole-rectangle une affinité parallèle à l'axe des déformations (Ebe) et de rapport 1 + a<j> (figure 11.14).

fbu ------------

:

:

........... ",'"

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,

"

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: 0

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---r-------.

1

:

: : 1L.---_-':c--_ _ _....J''--_ _ _--7

o

2-10-3

Ebc

2-10- 3 (1 +aq»

Figure 11.14

Remarque: La méthode du coefficient de fluage réduit est due à Bernard Fouré; a