Pag1e3fromkomatesi

1 Basi matematiche I sistemi lineari fratti, sono caratterizzati da elementi la cui impedenza nel dominio complesso di Laplace assume la forma sα , in cui tipicamente α è un numero intero. Nei sistemi linerari fratti invece, l’esponente α può essere frazionario! Per una trattazione organica dell’argomento quindi sarà necessario disporre di basi matematiche adeguate, si procederà quindi estendendo le basi di teoria dei circuiti nel caso di trasformate di Laplace con esponenti non interi, infine si applicherà ad un caso concreto l’argomento qui studiato. Poiché a funzioni nel dominio di Laplace con esponente non intero corrispondono derivate di ordine frazionario, sarà necessario definire meglio tale base matematica. Per prima cosa quindi, occorre affrontare uno studio analitico sugli integrali e sulle derivate frazionarie, che tipicamente non sono presenti nel bagaglio culturale degli studenti, che come me, affrontano la tesi di laurea. Cominciamo quindi a vedere di che si tratta, in questo primo capitolo, principalmente tratto dal [2] salvo ove diversamente specificato.

1.1 Generalizzazione di integrali e derivate L’approccio più ovvio per le definizione delle derivate frazionarie consiste in una generalizzazione del concetto di rapporto incrementale, scritto prima per un ordine di derivazione intero e positivo, poi uniformato con la definizione di integrale come limite di somme di Riemann includendo anche ordini di derivazione negativi, ma sempre interi, infine generalizzando il risultato ottenuto per includere anche indici reali o persino complessi. Questo approccio, sviluppato da Grünwald-Letnikov non è il solo possibile, come vedremo ad esempio nel §1.1.3 un approccio a partire dalla trasformata di Laplace.

1.1.1 Differintegrali di Grünwald-Letnikov Partiamo dalla ben nota definizione di derivata attraverso il rapporto incremetale f ( x ) − f ( x − δx ) df ≡ f 0 ≡ lim dx δx δx →0

(1.1)

Incrementando l’ordine di derivazione si ottiene una formula ricorsiva che ci permetterà di generalizzare il caso di derivata n-esima Ad esempio nel caso n = 2 si ha: d2 f f 0 ( x ) − f 0 ( x − δx ) 00 ≡ f ≡ lim , dx2 δx δx →0

1

1.1 Generalizzazione di integrali e derivate dalle quali Γ( a) ≡ Γ( a, x ) + γ( a, x ) =

Z ∞ x

t a−1 e−t dt +

Z x

t a−1 e− tdt

0

come si verifica facilmente. La formula fattoriale si ottiene con alcuni passaggi, integrando per parti a partire dalla definizione data (1.2) h i∞ Z ∞ Γ ( x ) = − t x −1 e − t + ( x − 1)t x−2 e−t dt =

= ( x − 1)

Z ∞ 0

0

0

t x−2 e−t dt = ( x − 1)Γ( x − 1),

poi, scrivendo la legge di ricorsione che se ne deduce considerando un intero n Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = · · · =

= (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · Γ(1) ≡ (n − 1)! si ottiene il risultato cercato. Si osservi infatti che Γ(1) = 1, dalla definizione (1.2) Z ∞ Z ∞   1−1 − t Γ (1) = t e dt = e−t dt = − e−∞ − e0 = 1. 0

0

Funzione Gamma

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 1.1: Funzione Gamma Γ( x ) per valori reali di x. Per valori di x ∈ N è stato riportato con un cerchietto il valore del fattoriale di x − 1, a conferma visiva della legge di ricorrenza (1.3) Γ(n) = (n − 1)!.

3