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1.1 generalizzazione di integrali e derivate

dalle quali Γ( a) ≡ Γ( a, x ) + γ( a, x ) =

Z ∞ x

t a−1 e−t dt +

Z x

t a−1 e− tdt

0

come si verifica facilmente. La formula fattoriale si ottiene con alcuni passaggi, integrando per parti a partire dalla definizione data (1.2) h i∞ Z ∞ Γ ( x ) = − t x −1 e − t + ( x − 1)t x−2 e−t dt =

= ( x − 1)

Z ∞ 0

0

0

t x−2 e−t dt = ( x − 1)Γ( x − 1),

poi, scrivendo la legge di ricorsione che se ne deduce considerando un intero n Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = · · · =

= (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · Γ(1) ≡ (n − 1)! si ottiene il risultato cercato. Si osservi infatti che Γ(1) = 1, dalla definizione (1.2) Z ∞ Z ∞   Γ (1) = t1−1 e−t dt = e−t dt = − e−∞ − e0 = 1. 0

0

Le formule di ricorsione ricavate per un intero n o per un reale qualunque x sono quindi: Γ(n + 1) = n! Γ( x + 1) = xΓ( x ),

(1.3)

che si rivelano estremamente utili in tutti i casi in cui compaiono i fattoriali. I coefficienti binomiali, definiti solamente per i numeri Naturali, possono essere estesi grazie alla funzione Gamma, anche nell’ambito dei reali e dei numeri complessi. Ricordando la definizione dei coefficienti binomiali [5]   n n! Ck ≡ ≡ , k (n − k)!k! Funzione Gamma

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 1: Funzione Gamma Γ( x ) per valori reali di x. Per valori di x ∈ N è stato riportato con un cerchietto il valore del fattoriale di x − 1, a conferma visiva della legge di ricorrenza (1.3) Γ(n) = (n − 1)!.

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