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1.1. GENERALIZZAZIONE DI INTEGRALI E DERIVATE

1.1.2

3

Funzione Gamma

La funzione gamma permette di generalizzare la definizione di fattoriali anche per numeri reali e complessi, non solo interi, e quindi di estendere di conseguenza le formule che fanno uso del fattoriale. Anche i coefficienti binomiali possono essere definiti con la funzione gamma e quindi generalizzati. La definizione risale ad Eulero (Leonhard Euler, 1707–1783), ed è la seguente[4]: Γ( x ) ≡

Z ∞

t x−1 e−t dt

(1.2)

0

per x ∈ R+ . La funzione gamma completa si ottiene dalle funzioni gamma incomplete, superiore ed inferiore, rispettivamente Γ( a, x ) ≡ γ( a, x ) ≡

Z ∞ Zx x

t a−1 e−t dt t a−1 e− tdt

0

dalle quali Γ( a) ≡ Γ( a, x ) + γ( a, x ) =

Z ∞ x

t a−1 e−t dt +

Z x

t a−1 e− tdt

0

Funzione Gamma

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 1.1: Funzione Gamma Γ( x ) per valori reali di x. Per valori di x ∈ N è stato riportato con un cerchietto il valore del fattoriale di x − 1, a conferma visiva della legge di ricorrenza (1.3) Γ(n) = (n − 1)!.