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B A S I M AT E M AT I C H E

I sistemi lineari fratti, sono caratterizzati da elementi la cui impedenza nel dominio complesso di Laplace assume la forma sα , in cui tipicamente α è un numero intero. Nei sistemi linerari fratti invece, l’esponente α può essere frazionario! Per una trattazione organica dell’argomento quindi sarà necessario disporre di basi matematiche adeguate, si procederà quindi estendendo le basi di teoria dei circuiti nel caso di trasformate di Laplace con esponenti non interi, infine si applicherà ad un caso concreto l’argomento qui studiato. Poiché a funzioni nel dominio di Laplace con esponente non intero corrispondono derivate di ordine frazionario, sarà necessario definire meglio tale base matematica. Per prima cosa quindi, occorre affrontare uno studio analitico sugli integrali e sulle derivate frazionarie, che tipicamente non sono presenti nel bagaglio culturale degli studenti, che come me, affrontano la tesi di laurea. Cominciamo quindi a vedere di che si tratta, in questo primo capitolo, principalmente tratto dal [3] salvo ove diversamente specificato.

Figura 1: Funzione Gamma Γ( x ) per valori reali di x. Per valori di x ∈ N è stato riportato con un cerchietto il valore del fattoriale di x − 1, a conferma visiva della legge di ricorrenza (1.2) Γ(n) = (n − 1)!.

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BASI MATEMATICHE

1.1

FUNZIONE GAMMA

La funzione gamma permette di generalizzare la definizione di fattoriali anche per numeri reali e complessi, non solo interi, e quindi di estendere di conseguenza le formule che fanno uso del fattoriale. Anche i coefficienti binomiali, necessari nelle definizioni generalizzate di derivata, possono essere definiti con la funzione gamma e quindi generalizzati. La definizione risale ad Eulero (Leonhard Euler, 1707–1783), ed è la seguente[5]: Γ( x ) ≡

Z ∞ 0

t x−1 e−t dt

(1.1)

per x ∈ R+ . La funzione gamma completa si ottiene dalle funzioni gamma incomplete, superiore ed inferiore, rispettivamente Γ( a, x ) ≡ γ( a, x ) ≡

Z ∞ x

Z x 0

t a−1 e−t dt t a−1 e− tdt

dalle quali Γ( a) ≡ Γ( a, x ) + γ( a, x ) =

Z ∞ x

t a−1 e−t dt +

Z x 0

t a−1 e− tdt

come si verifica facilmente. La formula fattoriale si ottiene con alcuni

Figura 2: Funzione Gamma Γ( x ) per valori reali di x. Per valori di x ∈ N è stato riportato con un cerchietto il valore del fattoriale di x − 1, a conferma visiva della legge di ricorrenza (1.2) Γ(n) = (n − 1)!.

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1.1 FUNZIONE GAMMA Funzione Gamma

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 3: Funzione Gamma Γ( x ) per valori reali di x. Per valori di x ∈ N è stato riportato con un cerchietto il valore del fattoriale di x − 1, a conferma visiva della legge di ricorrenza (1.2) Γ(n) = (n − 1)!.

passaggi, integrando per parti a partire dalla definizione data (1.1) h i∞ Z ∞ Γ ( x ) = − t x −1 e − t + ( x − 1)t x−2 e−t dt =

= ( x − 1)

Z ∞ 0

0

t

0

x −2 − t

e dt = ( x − 1)Γ( x − 1),

poi, scrivendo la legge di ricorsione che se ne deduce considerando un intero n Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = · · · =

= (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · Γ(1) ≡ (n − 1)! si ottiene il risultato cercato. Si osservi infatti che Γ(1) = 1, dalla definizione (1.1) Z ∞ Z ∞ h i Γ (1) = t1−1 e−t dt = e−t dt = − e−∞ − e0 = 1. 0

0

Le formule di ricorsione ricavate per un intero n o per un reale qualunque x sono quindi: Γ(n + 1) = n! Γ( x + 1) = xΓ( x ),

(1.2)

che si rivelano estremamente utili in tutti i casi in cui compaiono i fattoriali. I coefficienti binomiali, definiti solamente per i numeri Naturali, possono essere estesi grazie alla funzione Gamma, anche nell’ambito dei reali e dei numeri complessi. Ricordando la definizione dei coefficienti binomiali [6]   n n! , Ck ≡ ≡ (n − k)!k! k e la seguente proprietà [6]       n n k k−n−1 = = (−1) , k n−k n

(1.3)

3