OPERACIONES CON POLINOMIOS
Suma de polinomios.Dados dos polinomios, por ejemplo p(x) = 2x4+5x3-3x+5 y q(x)=-2x3+5x2-12x+8, procedemos de la siguiente manera: colocamos los polinomios en dos líneas, de forma que los términos del mismo exponente estén uno debajo del otro (si falta alguno, se deja un hueco), y a continuación se suman los coeficientes de los términos de igual grado y se deja el mismo exponente. OBSERVA:
2x4 + 5x3 + - 2x3 2x4 + 3x3
2
+ 5x + 5x2
- 3x + 5 -12x + 8 -15x +13
Vamos a hacer otro ejercicio. Si A(x)=-76+5x4-3x3+8x-9 y B(x)=8x5-9x4+5x3-8x2+7x-18. Calculemos A(x) + B(x). -7x6 + 5x4 - 3x3 + 8x - 9 5 4 3 2 + + 8x - 9x + 5x - 8x + 7x -18 6 -7x + 8x5 - 4x4 + 2x3 - 8x2 +15x -27 Dados los polinomios: p(x)= -3x7+5x4+2x2+7x-8 r(x)= 7x6-9x4+6x2-12 h(x)= -8x5+7x4-5x3+8, calcula:
q(x)= 5x5-7x3+2x2-8x s(x)= 12x4-9x3+5x
a) p(x)+q(x) ; b) s(x)+h(x) ; c) q(x)+s(x) ; d) q(x)+h(x) ; e) p(x)+r(x) ; f)p(x)+r(x)+h(x) ; g) q(x)+r(x)+s(x).
Polinomio opuesto de otro.El polinomio opuesto de otro es el que se obtiene cambiando de signo todos los términos del primero. Por ejemplo, si p(x)= 3x35x+8, su opuesto es -p(x) = -3x3+5x-8. Comprueba que si sumas un polinomio y su opuesto da cero.
Halla los polinomios opuestos de los del ejercicio anterior: Polinomio p(x)= -3x +5x4+2x2+7x-8 q(x)= 5x5-7x3+2x2-8x r(x)= 7x6-9x4+6x2-12 s(x)= 12x4-9x3+5x
-p(x) = -q(x) = -r(x) = -s(x) =
h(x)= -8x5+7x4-5x3+8
-h(x) =
7
Opuesto
Sustracción de polinomios: Para hacer la diferencia de dos polinomios, sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, cambiamos de signo el polinomio que restamos (el segundo) y se lo sumamos al otro (el primero). Por ejemplo, sean los polinomios A(x) = -5x4+2x3-7x+12 y B(x)= -2x5+7x3-9x2+12x+7; vamos a calcular A(x) - B(x). El opuesto de B(x) es -B(x) = 2x5-7x3+9x2-12x-7; así pues
+ A(x) -B(x) =
2x5 2x5
- 5x4 +2x3 - 7x +12 3 2 -7x +9x -12x - 7 4 - 5x -5x3 +9x2 -19x + 5
Realiza los siguientes cálculos con los polinomios del apartado anterior : a) h(x)-p(x) ; b) r(x)-s(x) ; c) q(x)-h(x) ; d) s(x)-q(x) ; e) p(x)-r(x)+h(x) ; f) -s(x)+h(x)-q(x).
Multiplicación de polinomios: Vamos a distinguir varios casos. Empezaremos multiplicando monomios, que son polinomios de un solo término, como por ejemplo 7x4. a) Producto de monomios.- Para multiplicar monomios multiplicamos sus coeficientes y sumamos sus grados. OBSERVA:
( 3x 4 ) ⋅ ( 5x 2 ) = ( 3 ⋅ 5) x 4+ 2 = 15x 6
Aunque lo puedes hacer directamente, es decir, -7x6.9x =63x7.
Realiza los siguientes cálculos:
-2x5 . (-7x) = 12x . (-3x)= 9x3 . 7x2 =
13x2 . 5x6 = 5x2 . (-2) = -125x3 . (-3x7) =
b) Producto de un monomio por un polinomio.- En este caso se multiplica el monomio por cada término del polinomio, sumándose los resultados. Vamos a calcular el producto del polinomio 7x45x2+3x-8 por el monomio 2x3. OBSERVA: 7x4
- 5x2
X 14x7
-10x5
+ 3x
-8 2x3 + 6x3 -16x3
Como puedes observar, es conveniente dejar un hueco donde falten términos.
c) Producto de dos polinomios cualesquiera.- En este caso lo que se hace es repetir lo hecho en el caso anterior con cada uno de los términos del polinomio que multiplica, sumando al final los resultados. Vamos a multiplicar los polinomios A(x) = 2x4-7x3+5x-8 y B(x) = x2-7x+2. OBSERVA: En primer lugar colocamos un polinomio sobre otro: X
2x4 - 7x3
x
2
+ 5x - 8 - 7x + 2
Empezamos ahora multiplicando el primer polinomio por 2. OBSERVA:
2x4 - 7x3
+ 5x - 8
x2
X
- 7x + 2 4x -14x +10x -16 Una vez que hemos multiplicado por +2, seguimos multiplicando por -7x, colocando los resultados en la línea siguiente, de modo que los términos de igual grado estén en columna. OBSERVA: 4
3
2x4 - 7x3 X
x 4
4x -14x
-14x5 +49x4
Ahora OBSERVA:
continuamos
2
3
+ 5x - 8 - 7x + 2 +10x -16
-35x2 +56x multiplicando
2x4 - 7x3
por
el
término
x2.
+ 5x - 8 X x - 7x + 2 4 3 4x -14x +10x -16 5 +49x4 2 -14x -35x +56x 6 5 3 2x -7x +5x -8x2 Ya sólo nos queda sumar los resultados obtenidos paso a paso. OBSERVA: X
2x4 - 7x3 4x4 -14x3
-14x5 +49x4 2x6 - 7x5 +5x3
2
+ 5x - 8 x - 7x + 2 +10x -16 2 -35x +56x - 8x2 2
5 4 3 2 2x6 -21x +53x - 9x - 43x + 66x -16