Op Fin Interes Compuesto

MATEMÁTICA FINANCIERA

NOTA DE CÁTEDRA:

OPERACIONES FINANCIERAS A INTERÉS COMPUESTO OPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN

Preparada por: Cra. Susana Hernández - Ushuaia 2001 -

UNPSJB Fac. de Ciencias Ecoómicas

Cra. Susana Hernandez

INTERÉS COMPUESTO Se dice que un capital ha sido colocado a interés compuesto, cuando se conviene que el interés simple producido por el, al final de cada intervalo de tiempo previamente determinado, llamado período de capitalización, se suma a dicho capital para producir nuevos intereses. 0

1

2

3

C0------>C0 + I(0,1)= C1 C1------>C1+I(1,2)= C2 C2------>C2+I(2,3)= C3 Deducción de la fórmula del MONTO Dado un capital (Co), colocado a interés compuesto a la tasa periódica i, durante n períodos; hallaremos el monto final considerando para cada período, el capital inicial (Co) y los intereses simples ganados. PERIODO CAP INICIAL

INT.DEL PER. MONTO AL CABO DEL PERIO.

1

C0

C0 i

Co+Coi= Co(1+i)

2

Co(1+i)

Co(1+i)i

Co(1+i)+Co(1+i)i = Co (1+i)(1+i) = Co (1+i)2

3

Co (1+i)2

iCo(1+i)2

Co (1+i)2 + i Co(1+i)2 = Co(1+i)2 (1 + i) = Co (1+i)3

n

Co(1+i)n-1

Co(1+i)n-1i Co(1+i)n-1 + Co(1+i)n-1i = Co(1+i)n-1(1+i) =Co(1+i)n

podemos escribir:

Cn = Co (1+i)n Esta fórmula para poder aplicarla, exige la misma condición que vimos al referirnos al int. simple, respecto a que la unidad de tiempo en que se expresa el plazo, y la

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unidad de tiempo a que está referida la tasa, debe ser la misma; es decir sincrónicas; y además, que esa unidad sea el período de capitalización. Ejercicios: 1. Calcular el monto que se obtendrá depositando $ 3.000 durante 90 días, al 5 % de interés cada 30 días, con capitalización cada 30 días. R.: .......... .-

2. En diciembre de 19x3 se efectuó una inversión de $ 5.000 al 5 % anual capitalizable anualmente. Cuánto podrá retirarse en diciembre de 19x7?. R.: .............. .-

Fórmulas derivadas En la fórmula del monto se vinculan: Co, n, i y Cn; dados tres de esos valores, podemos calcular el cuarto. Le propongo estos problemas: 1. ¿ Cuál fue el depósito original que a la tasa del 12 % mensual, produjo un monto de $ 1.973,82 al cabo de 6 meses?.

Escriba en este recuadro resolver el problema:

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la

fórmula

que

le

permitió

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Esta fórmula le conociendo i, n y C.

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permite

hallar

el

CAPITAL

INICIAL,

2. Se desea conocer que tasa de interés, ha redituado un capital de $ 1.000 que colocado durante 6 meses permitió obtener $1.973,82 de monto.

Deduzcamos a partir de Cn = Co(1+i)n la fórmula resolver el problema y escríbala en el recuadro:

para

También podríamos despejar i, aplicando logaritmos de la siguiente forma: Cn = Co(1+i)n log Cn = log Co + n log (1+i) log Cn - log Co ---------------- = log (1+i) n Llamaremos A al primer termino de la igualdad; y haremos: antilog A = 1 + i

luego:

( antilog A ) - 1 = i

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3. Durante cuánto tiempo habrá estado colocado un capital de $ 700 si produjo un monto de $ 911,58 a la tasa del 4,5 % mensual ?.

Deduzca a partir de Cn = Co(1+i)n la fórmula que aplicó para resolver el problema y escríbala en el recuadro:

...COMBINEMOS FORMULAS ... Ud. podrá resolver problemas deduciendo otras fórmulas con facilidad, sólo es necesario tener claro los conceptos del tema. Veamos otros problemas para demostrar la afirmación expuesta. 4. ¿ Cuál fue el interés ganado en una colocación al 5 % mensual, durante un año; si el monto obtenido es de $ 2.693,78 ?. Recordemos que:

I = Cn – Co Cn = Co(1+i)n

y

Cn Co = -----(1+i)n

¿ SE ANIMA A COMBINAR RESOLVER EL PROBLEMA ?:

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ESTAS

FORMULAS

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PARA

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Fórmula que permite hallar el INTERÉS en función del MONTO. Ahora resuelva el planteo:

También podemos hallar el INTERÉS en función del CAPITAL; y con el mismo razonamiento que hicimos en el punto anterior, llegamos a: I = Co{(1+i)n - 1]

Le recuerdo que en esta asignatura, debemos siempre tener en cuenta que uno de los objetivos, es suministrar instrumental que simplifique los cálculos; de manera que nunca pierda de vista como puede combinar fórmulas para lograrlo.

... CONSTRUYAMOS TABLAS ... !

CONSTRUCCIÓN Y USO DE TABLAS FINANCIERAS

El uso de las Tablas Financieras ofrecen la ventaja de facilitar los cálculos, sobre todo en tareas rutinarias, aunque actualmente el uso de las calculadoras y computadoras con su desarrollo han desplazado su utilización. Pero, aún así, es indudable que quien tenga la posibilidad de utilizar una P.C. para los cálculos, debe necesariamente conocer como se usa una tabla y fundamentalmente como se construye. De allí deviene la importancia de aprender su construcción y uso. Comenzaremos construyendo la TABLA DE MONTOS. Esta tabla se construye para capitales de $ 1, para una tasa i dada y haciendo variar el tiempo expresado (n) en número entero de períodos de capitalización. Tomando Co = 1 tenemos Cn = (1+i)n;construyamos para 5 períodos y para i = 10 %. PERIODO 1 2 3 27/3/01

(1,10)1 (1,10)2 = 1,10 x 1,10 = (1,10)3 = 1,21 x 1,10 =

MONTO 1,10 1,21 1,331 -6-

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(1,10)4 = 1,331 x 1,10 = (1,10)5 = 1,4641 x 1,10 =

4 5

1,4641 1,61051

Como se observa, la Tabla de Montos, resulta de multiplicar en forma recurrente los valores obtenidos, por (1+i). Para su aplicación en la fórmula: Cn = Co (1+i)n Como la tabla tiene tabulado el valor de (1+i)n para un Co = 1; bastará con buscar para la tasa y tiempo expresados en el problema el valor de (1+i) y multiplicarlo por el capital inicial. Las tablas con las que nos manejamos, vienen calculadas para distintos valores de i y con un número máximo de 60 períodos de capitalización; con lo que si en un problema se nos presentan por ejemplo 135 períodos de capitalización, podemos recurrir a la aplicación de la propiedad de las potencias de igual base, descomponiendo el factor de capitalización en exponentes que estén tabulados. Co (1+i)135 = Co (1+i)60 (1+i)60 (1+i)15

o bien:

Co (1+i)135 = Co (1+i)45 (1+i)45 (1+i)45 = = Co {(1+i)45]3 esta última expresión nos permite trabajar con un sólo valor tabular y simplificar el cálculo. Construyamos ahora la TABLA DE VALORES ACTUALES o CAPITAL INICIAL Se construye para montos unitarios, para una tasa i dada y haciendo variar el tiempo n, expresado en número entero de períodos. Tomando Cn = 1 tenemos:

Co = vn

1 Co = ------(1+i)n

, o bien:

1 pues v = ------(1+i)n

Igual que en el caso de la Tabla de Montos, construyamos la Tabla para i = 0,10 en 5 períodos: PERIODOS

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CAP.INICIAL

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1 2 3 4 5

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1/(1+i)1 1/(1+i)2 1/(1+i)3 1/(1+i)4 1/(1+i)5

= = = =

0,909090/1,10 0,826446/1,10 0,751314/1,10 0,683013/1,10

= = = =

0,909090 0,826446 0,751314 0,683013 0,620921

Como se observa, a partir del período 1 se obtienen los valores, dividiendo sucesivamente por (1+i). La fórmula del Capital Inicial podemos escribirla: Co = Cnvn y la del monto:

Cn = Cov-n

Conviene aclarar que resulta aconsejable construir ambas Tablas en forma conjunta, pues la de Valores Actuales es simplemente la inversa de la de Montos. Asimismo, valen las mismas consideraciones vistas para n > z , siendo z el último período tabulado en la Tabla.

... CAPITALICEMOS SUBPERIODICAMENTE ... !

CAPITALIZACIÓN SUBPERIÓDICA

Recordemos que cuando realizamos la deducción del monto, insistimos en la exigencia de la unidad de tiempo del plazo y de la tasa, y agregamos que esa unidad sea el período de capitalización; como condición de aplicabilidad de la fórmula. Por esta razón, cuando en los problemas prácticos si el enunciado nos es dado en los términos expresados en el párrafo anterior, no tenemos dificultad para aplicarla. Pero ello no ocurre siempre así; lo que en la realidad sucede, es que nos dan una tasa para un período, generalmente anual, con períodos de capitalización menores al año. La capitalización subperiódica, entonces, se presenta cada vez que el período de la tasa es mayor que el período de la capitalización. Como el período de la tasa no coincide con la capitalización, debemos encontrar la tasa que corresponde al subperíodo. Veamos el problema planteado gráficamente:

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i = anual |-------------------|------------------...--| capitaliz.mensual ¿tasa que corresponde al subperíodo? La cuestión se resuelve con la tasa proporcional, que se obtiene dividiendo la tasa periódica i, por el número de subperíodos que tiene el año, que se representa con la letra m. Para nuestro gráfico m = mensual para la tasa anual.

12

pues

la

capitalización

es

i ---- = tasa proporcional para el mes 12 Ejercicio Para una tasa anual del 60 %, encontrar la proporcional semestral; la proporcional cuatrimestral y la proporcional bimestral. i Proporc.semestral ------ = m i Proporc. cuatrimest ------ = m Proporc.bimestral

i ------ = m

De manera que el número de subperíodos de capitalización, siendo n el número total de años, lo obtenemos haciendo n.m, entonces la fórmula del monto a aplicar resulta: Cm.n = Co.(1+i/m)m.n

Resolvamos un problema: Encontrar el monto que a la tasa del 20 % anual con capitalización semestral produce un capital de $21.400 al cabo de: a) 1 año; b) 4 años.

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¿ si la capitalización fuera cada 15 días, con los datos anteriores, cuál sería el monto ?. Trabajo con interés exacto, esto es, año de 365 días.

Cada vez que nos presenten capitalización en días, trabajaremos con año civil, pues en las operaciones bancarias, financieras, esa es la forma de trabajar, obteniendo así el interés exacto. Si bien en el comercio se conviene en utilizar para los cálculos el año de 360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno, con el sólo motivo de favorecer la rapidez, hoy en día con el uso de las calculadoras y procesadoras electrónicas no existe inconveniente en trabajar con año de 365 días, con lo que podemos decir que ha desaparecido la causa de la convención comercial. Resolvamos resultados.

otro

ejercicio

para

luego

comparar

Datos: C = n = i = Cn=

1.000 1 año 1,20 anual ¿?

Supuestos: a)capitaliz.anual b)capital.semestral c)capit.trimestral

Solución Para a) Capitalización anual i = 1,20

Cn = Co(1+i)n

Cn = 1.000(1+1,20) =2.200

Para b) Capitalización semestral i/m = 1,20/2 = 0,60

Cm.n = Co (1+i/m)m.n

Cm.n = 1.000 (1+0,60)2.1 = 2.560

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los

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Para c) capitalización trimestral Cm.n = Co (1+i/m)m.n

i/m = 1,20/4 - 0,30

Cm.n = 1.000 (1+0,30)4.1 = 2.856,10 El monto obtenido para el mismo capital, la misma tasa enunciada y el mismo tiempo de colocación, observamos que resulta superior cuando existen capitalizaciones subperiódicas, que al que se obtiene con capitalización periódica. Demostraremos fórmulas, esto es: (A) Co(1+i)n (B) Co(1+i/m)m.n

esto,

desarrollando

por

Newton

ambas

de Capitalización periódica, y de Capitaliz.Subperiódica

Para Co = 1

n(n-1)i2 n(n-1)(n-2)i3 n (A) (1+i) = 1 + ni +-------- + ------------- +... 2! 3! mn(mn-1) i2 m.n (B) (1+i/m) = 1 + n.m.i/m + -------- -- + 2! m2 mn(mn-1)(mn-2) i3 + ----------------- -- + ... 3! m3 n(n-1/m) n(n-1/m)(n-2/m) = 1 + ni + -------- i2 + --------------- i3 + ... 2! 3!

Analicemos comparando (A) y (B). 1ª) los dos primeros términos son iguales. 2ª) el tercer termino de (B) es mayor que el tercero de (A) n - 1/m > n - 1 3ª) el cuarto termino de (B) es mayor que el cuarto termino de (A) n - 1/m > n - 1 ; n - 2/m > n - 2 4ª) Consideremos también que si n y m son enteros el desarrollo de (B) tiene más términos.

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Resulta entonces, que el desarrollo de (B) es mayor que (A), o sea que: Cm.n = Co (1+i/m)m.n

>

Cn = Co (1+i)n

En palabras: para un mismo capital y en el mismo tiempo, la capitalización subperiódica con tasa proporcional, produce un monto mayor que la capitalización periódica. También es dable observar que a medida que aumenta el número de subperíodos en el período de la tasa, aumenta el monto que se obtiene. Compare los resultados que se obtuvieron en los supuestos b) y c). Ejercicio: i = 1,20 anual C = 1.000 n = 1 año

a)capitalización c/15 días b) capitalización diaria

Solución:

... CUANDO EL TIEMPO NO ALCANZA ... !

TIEMPO FRACCIONARIO

Las fórmulas vistas para capitalización periódica y capitalización subperiódica, las hemos utilizado con números de períodos o subperíodos enteros; veremos ahora como podemos solucionar aquellos casos que tienen tiempos fraccionarios. Supongamos n = n' + p/q donde n' es entero y

p < q

Para resolver este planteo, existen dos convenciones: 1) Convención lineal

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En la que se calcula el interés compuesto para el tiempo entero y se toma el monto así calculado como capital inicial para calcular por la parte fraccionaria el interés simple. Cn'+p/q = {Co(1+i)n'](1+p/q.i) 2) Convención exponencial Se calcula el monto a interés compuesto durante todo el tiempo, incluido el fraccionario. Cn'+p/q = Co(1+i)n'+p/q Los montos obtenidos con cada convención son distintos. Es menor el obtenido con convención exponencial. En el punto siguiente veremos esto con mayor profundidad.

LAS COMPARACIONES SON NECESARIAS ... COMPARACIÓN ANALÍTICA Y GRAFICA DE LOS MONTOS A INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Para Co = 1

Ms = 1 + i.n

y

Cn = (1+i)n

Podemos observar: 1º) para n = 0

M s = Cn = 1

2º) para n = 1

M s = Cn = 1 + i

3º) para

desarrollaremos (1+i)n por Newton

0 < n < 1

n(n-1)i2 n(n-1)(n-2)i3 (1+i)n = 1 + n.i + -------- + -------------2! 3!

+ ...

Int.simple Siendo n < 1 ; son (n-1), (n-2), etc. todos negativos y la suma algebraica será negativa, con lo que: Ms = 1 + i.n

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y

Cn = (1+i.n) -

o sea

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M s > Cn 4º) Para

n > 1 ; será:

Ms = 1 + i.n

y

Cn = (1 + i.n) +

o sea

C n > Ms Estas conclusiones nos ayudan a graficar los montos: monto

Co

0

1

tiempo

y a confirmar que la convención lineal produce un monto mayor que la exponencial. Grafique Usted los intereses:

Interés

0

!

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1

tiempo

APLICACIONES EN LA CARPETA DE TRABAJOS PRÁCTICOS

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