Numeros Reales

TEMA I NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES INTRODUCCION En este capitulo, observaremos al conjunto de Números Reales R, sus propiedades, teoremas, inecuaciones y valor absoluto. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA NUMÉRICO ¿Cuáles son los números reales? Para dar respuesta a esta interrogación, empezaremos identificando a los siguientes conjuntos: •

Números Naturales N N = { 1, 2, 3, 4, . . . . . . .}

•

Números Enteros z 1, 2, 3,. ............. z= { . . . . -3,- 2, -1, 0,        } N

Z = z ∪ {0 } ∪ z -

•

Números Racionales q Q={

•

N⊂z +

m / m∈Z∧ n∈z , n≠0} n

Números Irracionales q’ o i Es el conjunto de los números No Racionales, es decir, aquellos números que no m pueden expresarse como fracciones de la forma , con m y n ∈ z , n ≠ 0. n Ejemplo: 2 3

1 5

3

1  1 5 ...,−π ,....,3 ,...,−e,...,−2 ,...,− 2 ,...,− 9 ,..., ,...,   ,..., ,..... 2 3 2 3

3

1

Por tanto, El conjunto de números Reales R, es la reunión de los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir: R = N∪z∪q∪i

ó

R = q ∪ q’

De modo que, Calculo I, realiza los análisis y operaciones en base a los números reales. NÚMEROS REALES 1

Definimos números reales, como el conjunto R, al cual asociamos las operaciones de la adición, multiplicación, relaciones de orden (<) y de igualdad ( = ) Observación.- (Axioma es una proposición Verdadera evidente por si misma que no requiere o precisa demostración, ni argumentación alguna.) En este caso, los axiomas es mejor llamarlas propiedades, las mismas constituyen el sostén básico de los Teoremas. Estas propiedades son las siguientes: Si a, b, c ∈ R A1:

a +b = b+a

Conmutatividad de la suma

A2:

a +( b + c ) = ( a + b ) + c

Asociatividad de la suma

A3:

a + 0= a

Existencia del neutro aditivo (0)

A4:

a + (–a) = 0

Existencia del opuesto aditivo(–a)

A5:

a∙b = b∙ a

Conmutatividad del producto

A6:

a∙(b∙ c) = (a∙b)∙c

A7:

a ∙ 1= a

Existencia del neutro multiplicativo (1)

A8:

a ∙ (a -1) = 1

Existencia del inverso multiplicativo (a -1), a ≠ 0

A9:

a(b+c)= a∙b+a∙c

Distributividad de producto a suma

Asociatividad del producto

A10: a es positivo (a > 0) a es cero (a = 0) a no es positivo (a < 0)

Ley de tricotomia

A11: a > 0, b >0 ⇒ a + b > 0

Clausura de la suma

A12: a > 0, b >0 ⇒ a ∙ b > 0

Clausura del producto

TEOREMA DE LOS NUMEROS REALES Un teorema es una proposición que para ser aceptada como verdadera, antes debe ser demostrada. Entre los teoremas más importantes esta: T1: Si a + c = b + c ⇒ a = b T2: Si a c = b c ⇒ a = b T3: Si a + x = b

⇒x=b–a

T4: Si a + x = a ⇒ x = 0 T5:

a∙0 = 0

T6:

a b= 0 ⇒a=0 o b=0

2

T7:

a (– b ) = – (a b) = ( –a ) b

T8:

– (– a ) = a

T9:

( a b ) = (– a ) ( – b )

T10:

a(b–c)= ab – a c

T11:

ax= b , a≠0 ⇒x= b/a

T12:

( a b )-1 = a -1 b-1

T13:

a +a =2a

T14:

– a = ( –1 ) a

T15:

a0 = 1

T16:

a ∙ a = a2

T17:

a -n = 1 / an

T18:

( am ) ( an ) = am+n

T19:

( am )n = am∙ n

Demostración de algunos teoremas: Demostración .- T1: Si a + c = b + c ⇒ a = b a+c = b+c

Partimos

a + c + (– c) = b + c + (– c)

Sumando el opuesto aditivo

a + [c + (– c)] = b + [c + (– c)]

Asociatividad de la suma

a+0 = b+0

Existencia del opuesto aditivo

a = b

Existencia del Neutro aditivo

Demostración .- T2: Si a c = b c ; c≠0 ⇒ a = b a c = b c

Partimos

a c ( c-1) = b c ( c-1 )

Inverso Multiplicativo

a ( c c-1) = b ( c c-1 )

Asociatividad del producto

a∙1 = b∙1 a = b Definición.-

Existencia del inverso multiplicativo Existencia del Neutro multiplicativo

Para todo a y b en R

a + (– b) = a – b

3

Demostración .- T3: Si a + x = b

⇒x=b–a

a+x = b [a + x ]+ (– a) = b + (– a)

Opuesto aditivo

[x + a ]+ (– a) = b + (– a)

Conmutatividad

x + [a + (– a)] = b + (– a)

Asociatividad

x + 0 = b + (– a) x = b + (– a) x = b–a Demostración: T5:

Opuesto aditivo Neutro aditivo Por definición.

a∙0 = 0 0+0 = 0

a(0+0)= a∙0 a ∙ 0 + a ∙0 = a ∙ 0 [a ∙ 0 + a ∙0] +(– a ∙ 0) = a ∙ 0 + (– a ∙ 0) a ∙ 0 + [a ∙ 0 +(– a ∙ 0)] = a ∙ 0 + (– a ∙ 0) a∙0+0= 0 a∙0= 0 Demostración. (– a)](– b) = a b (– a)](– b) = [(–1) a] [(– 1) b] = (–1) [a (– 1) b] = (–1) [(– 1) a b] = – [– a b] = ab DESIGUALDADES Para realizar operaciones con los signos de desigualdad (> mayor, < menor) es importante tomar los axiomas A10, A11 , A12 e incluir las siguientes definiciones: Def. 1 . Si a > b ; a – b > 0 , (a – b) ∈R+ Def. 2 .

a < b ; a – b < 0 , (a – b) ∈R-

Def. 3 .

a≥b; a >b

o

a = b

Def. 4 .

a≤b; a
o

a = b

4

TEOREMA DE DESIGUALDADES b>c ⇒a>c

TD1 :

Si a > b ,

TD2 :

Si a > b

TD3 :

Si a > 0 ⇒ a2 > 0

TD4 :

Si a > b ⇒ – a < – b

TD5 :

Si a b > 0

⇒a+c >b+c

⇒a>0 y b>0 ⇒a<0

TD6:

(Ley de transitividad)

y b<0

Si a > b ,

c>0 ⇒ac>bc

a>b ,

c<0 ⇒ac d ⇒ a + c > b+ d

TD7:

Si a > b ,

TD8 :

Si 0 < a < b ⇒ a2 < b2

TD9 :

Si 0 ≤ a < b ; 0 ≤ c < d ⇒ a c < d b

TD10 :

Si b ≥0 ⇒ a2 > b ⇔ a >

TD11 :

Si b >0 ⇒ a2 < b ⇔ – b < a <

Demostración.

TD1 :

b>c

a–b>0

b–c>0

(a – b) ∈R+

(b – c) ∈R+

b

b>c ⇒a>c

Si a > b ,

a>b

(a – b) + (b – c) ∈R+

b ,a< – b

Por definición

Por clausura de la suma

a (– b + b) – c ∈R+ (a – c) ∈R+ a–c>0 ⇒a>c Demostración.

TD2 :

Por definición

Si a > b

⇒a+c >b+c

a>b a–b>0

Por definición

(a – b) ∈R+ (a – b + c – c) ∈R+ (a + c ) – (b + c) ∈R+

5

(a + c ) – ( b + c) > 0 a+c > b+c Si a < b y c < d ⇒ a + c < b + d

Demostración. •

a
Aplicando TD2 tenemos: a + c < b + c

•

c
Aplicando TD2 tenemos: c + b < d + b

Aplicando TD1 a+c < b+c

(Ley de transitividad) y

b+c < b+d

⇒ a+c
Por tanto queda demostrado.

Si a > b ⇒ – a < – b

Demostración.

Observación.- Decir a > b

significa decir

b
Prosiguiendo con la demostración tenemos: a rel="nofollow">b ( – a) + a + ( – b) > ( – a) + b + ( – b) [( – a) + a ]+ ( – b) > ( – a) + [b + ( – b)] 0 + ( – b) > ( – a) + 0 –b> –a –a<–b Ejemplo: –2x+1<2 –2 x + 1 – 1 < 2 – 1 –2 x + 0 < 1

Dividiendo por (– 1)

2x> –1 2 ∙ 2–1 x > – 1 ∙ 2–1 x> –½ REPRESENTACION GRAFICA Los números reales R son representadas en una recta real. R–

–∞ . . . . . .

-3

-2

∞

R+ -1

0

1

2

3

. . . . . .

6

INTERVALOS Es un conjunto de números considerados dentro de una recta real. Intervalo abierto.- Esta determinado por dos puntos a y b donde a < b (no incluye a sus extremos), definido por el siguiente conjunto. ( a, b) = { x / a < x < b } = ] a,b[ a

b

Intervalos Cerrado.- Esta determinado por dos puntos a y b donde a < b ( incluye a sus extremos), definido por el siguiente conjunto. [ a, b ] = { x / a ≤ x ≤ b } a

b

Intervalos Semiabiertos.- ( o semicerrados) ( a, b ] = { x / a < x ≤ b } [ a, b ) = { x / a ≤ x < b } Intervalos Infinitos.( – ∞, a ] = { x / x ≤ a} ( – ∞, a ) = { x / x < a} [ a, + ∞ ) = { x / x ≥ a} ( a, + ∞ ) = { x / x > a} (– ∞, + ∞ ) = { x / x ∈ R} INECUACIONES Las inecuaciones, son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad poseen signos de desigualdad. Ejemplo:

x+8>5 x >5–8 x>–3

7

+∞

Por tanto : Cs = { x / x > –3}= (–3. ∞ )

a Ejemplo.–3≤2x+5<4 – 3 – 5 ≤ 2 x + 5 –5 < 4 – 5 –8 ≤2x < –1

Dividiendo entre 2

–4≤ x < –½

-4

-½

Cs = { – 4 ≤ x < – ½ } = [ – 4, – ½ [ Ejemplo: x2 – 5x < –6 x2 – 5x + 6< 0 ( x – 3 ) (x – 2) < 0 i)

(x–3)<0

y

(x – 2) > 0

x<3

x>2

2

3

Csi = { x/ 2 < x < 3 } = (2, ∞) ∩ (– ∞, 3 ) = ( 2, 3 ) ii)

(x–3)>0

y

(x – 2) < 0

x>3

x<2

2

3

Csii = ( – ∞, 2 ) ∩ (3, +∞ ) = Ø Luego la solución será: Cs = Csi ∪ Csii = ( 2, 3 ) ∪ Ø = ( 2, 3 ) = { x / 2 < x < 3 }

8

Ejemplo: x2 +10 x ≥ 1 ( x + 5)2 ≥ 1 Si b ≥0 ⇒ a2 > b ⇔ a >

Aplicando teorema TD10 : x+5 ≥ 1

b

o

a< – b

x+5≤– 1

o

x ≤ –1 – 5

x ≥ –5 +1

x ≤–6

x ≥ –4

-4

-6

Csii = ( – ∞, – 6 ) ∪ (– 4, ∞ ) VALOR ABSOLUTO Definición.- El valor absoluto de un número real a, denotado por a , esta definido:

a

Ejemplo:

5 =5 ;

a ; a > 0  = 0 ; a = 0 − a ; a < 0  − 8 = −(−8) = 8

Propiedades: PA1: a = − a PA2: a ≤ a

y −a ≤ a

Teorema del valor absoluto.De acuerdo a la definición de valor absoluto se cumple los siguientes teoremas: TA1: a + b ≤ a + b TA2: a + b ≥ a − b TA3: a − b ≥ a − b

9

TA4: a − b ≤ a + b TA5: a ⋅ b = a ⋅ b TA6:

a a = b b

n TA7: a = a

n

TA8: a − b = b − a TA9: a = + a 2 TA10: x < a ⇒ − a < x < a TA11: x > a ⇒ −∞ < x < − a

; a<x<∞

TA1: a + b ≤ a + b

Demostración.-

i) Si a ≥ 0 ; b ≥ 0 a+b ≤ a + b ( a + b ) = ( a ) + (b ) V Se cumple la igualdad iii) Si a ≤ 0 ; b ≥ 0 ; a + b ≤ 0 a+b ≤ a + b − (a + b) ≤ (−a ) + (b) −b < b V Se cumple la igualdad Si a ≤ 0 ; b ≥ 0 ; a + b ≥ 0 a+b ≤ a + b (a + b) ≤ (−a ) + (b) a < −a V Se cumple la igualdad

(Desigualdad Triangular) ii) Si a ≤ 0 ; b ≤ 0 a+b ≤ a + b − (a + b) = ( −a ) + ( −b) V Se cumple la igualdad iv) Si a ≥ 0 ; b ≤ 0 ; a + b ≥ 0 a+b ≤ a + b ( a + b ) ≤ ( a ) + ( −b ) b < −b V Se cumple la igualdad Si a ≥ 0 ; b ≤ 0 ; a + b ≤ 0 a+b ≤ a + b − (a + b) ≤ (a ) + ( −b) −a
Como todos los casos son proposiciones verdaderas, se concluye como V (verdadera) el teorema.

10

Ejemplo: Ecuaciones en valor absoluto x + 8 = 10 i) x rel="nofollow">0

ii)

x<0

x + 8 = 10

x + 8 = 10

x + 8 =10

– x + 8 = 10

x =2

x = –2

Como x =2, reemplazando en x > 0 tenemos:

2 > 0 es V

Como x =−2, reemplazando en x < 0 tenemos:

–2 < 0 es V

Por tanto : Cs = {2, –2} Ejemplo: Inecuaciones en valor absoluto 3x − 1 < 2 x + 5 i)

3 x –1 ≥ 0 x≥⅓ 3 x –1 < 2 x + 5 x<6 ⅓

6

Csi = (x ≥ ⅓) ∩ ( x < 6) = { x / ⅓ < x < 6 } ii)

3 x –1 ≤ 0 x≤⅓ – (3 x –1) < 2 x + 5 – 3 x +1 < 2 x + 5 –5x <4 x > – 4/5 -4/5 Csii =

⅓ (x ≤ ⅓) ∩ ( x >–4/5) = { x / – 4/5 < x < ⅓ }

11

Por tanto: Cs = { x / ⅓ < x < 6 }∪{ x / – 4/5 < x < ⅓ }

-4/5

⅓

6

= { x / – 4/5 < x < 6 } De otra forma, resuelto el anterior ejemplo: 3x − 1 < 2 x + 5 Aplicando: TA10: x < a ⇒ − a < x < a – ( 2 x + 5 ) < 3 x –1 < 2 x + 5 – ( 2 x + 5 ) < 3 x –1

y

3 x –1 < 2 x + 5

–5x1<4

x<6

x > – 4/5

-4/5

6

Cs = { x / – 4/5 < x < 6 }

12