Numeros Reales 2.docx

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;[1] y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes[2] (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.[2] Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[3] En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Sumando Números Reales

Objetivos de Aprendizaje  Sumar dos o más números reales con el mismo signo.  Sumar dos o más números reales con signos diferentes.  Simplificar usando la propiedad de identidad del 0.  Resolver problemas de aplicación que requieren la suma de números reales. Introducción La suma de números reales sigue las mismas reglas que la suma de números enteros. El número 0 tiene algunos atributos especiales que son muy importantes en el álgebra. Saber cómo sumar estos números puede ser útil en situaciones reales así como en situaciones algebraicas. Reglas para Sumar Números Reales Las reglas para sumar enteros son válidas para los números reales, incluyendo los números racionales.

Para sumar dos números con el mismo signo (ya sea positivo o negativo)  Suma sus valores absolutos.  Asigna a la suma el mismo signo. Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo)  Calcula la diferencia de sus valores absolutos. (Observa que cuando encuentras la diferencia de los valores absolutos, siempre restas el valor menor al valor mayor.)  Asigna a la suma el mismo signo que el número con el valor absoluto mayor. Recuerda — para sumar fracciones, necesitas que tengan el mismo denominador. Esto también es necesario cuando una o más fracciones son negativas.

Ejemplo Problema

Calcula

y

Este problema tiene tres sumandos. Suma los primeros dos, y luego suma el tercero. Como los signos de los dos primeros son los mismos, encuentra la suma del valor absoluto de las fracciones. Como ambos sumandos son negativos, la suma es negativa.

y

Ahora suma el tercer sumando. Los signos son diferentes, entonces encuentra la diferencia de sus valores absolutos.

Como , el signo de la suma final es el mismo signo que Respuesta

.

Ejemplo Problema Calcula Los signos son diferentes, entonces encuentra la diferencia de sus valores absolutos.

y

Primero reescribe como una fracción impropia, luego reescribe la fracción usando un común denominador.

Ahora sustituye la fracción reescrita en el problema. Resta los numeradores y mantén el mismo denominador. Simplifica si es posible. Respuesta Como , el signo de la suma final es el mismo que el signo de

.

Cuando sumas decimales, recuerda que debes alinear los puntos decimales para que sumes las decenas con las decenas, las centenas con las centenas, etc.

Ejemplo Problema

Calcula 27.832 + (−3.06). Como los sumandos tienen signos diferentes, resta los valores absolutos.

|−3.06| = 3.06 La suma tiene el mismo signo que 27.832 que tiene el valor absoluto mayor. Respuesta

27.832 + (−3.06) = 24.772

Calcula −32.22 + 124.3. A) 19.79 B) 44.65 C) 92.08 D) 156.52

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La Identidad Aditiva Las reglas para sumar números reales aplican cuando los sumandos son positivos o negativos. Pero el 0 no es positivo ni negativo. No debería sorprendernos que sumas el 0 como siempre lo has hecho — sumar 0 no cambia el valor. 7+0=7

−7 + 0 = −7

0 + 3.6 = 3.6 x+0=x

0+x=x

Observa que x + 0 = x y 0 + x = x. Esto significa que no importa que sumando esté primero. El número 0 se llama identidad aditiva. La propiedad de identidad de la suma dice que sumar 0 a otros números no cambia su valor. Puedes pensar en esto de la siguiente forma: sumar 0 te permite mantener la identidad del número.

¿A qué equivale 0 + y, cuando y = 3?

A) −3 B) 0 C) 3

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Aplicaciones de la Suma Hay muchas situaciones en las que usamos números negativos. Por ejemplo, temperaturas más frías que 0° normalmente se describen con números negativos. En los torneos de golf, los puntos de los jugadores se reportan como un número encima o debajo de un par, en lugar del número total de toques necesarios para poner la pelota en el hoyo. (Un Par es el número esperado de golpes necesarios para completar un hoyo.) Un número debajo del par es negativo, y un número sobre el par es positivo. Los siguientes ejemplos muestran lo útil que puede ser la suma de números reales, incluyendo números negativos.

Ejemplo Problema

Boston es, en promedio, 7 grados más caliente que Bangor, Maine. La temperatura de un día frío de invierno en Bangor fue de −13° F. ¿Qué temperatura se registrará en Boston ese mismo día? Si la temperatura en Bangor es x, la temperatura en Boston es x + 7.

x = −13

En ese día, la temperatura de Bangor fue −13°.

La temperatura de Boston es −13 + 7

Sustituye −13 por x para obtener la temperatura de Boston. Suma los enteros. Como uno es positivo y el otro es negativo, debes encontrar la diferencia de |−13| y |7|, que es 6. Como |−13| > |7|, la suma final es negativa.

−13 + 7 = −6

Respuesta

La frase "7 grados más caliente" significa que sumas 7 grados a la temperatura de Bangor para estimar la temperatura de Boston.

Se esperaría que la temperatura de Boston sea de −6 grados.

Ejemplo

Problema

Antes de que Joanne pudiera depositar el cheque de su salario de $802.83, sobregiró su cuenta de cheques. El balance era de −$201.35. ¿Cuál es el balance después de depositar el cheque? −201.35 + 802.83 −201.35 + 802.83 = 601.83

Al depositar su cheque, Joanne está añadiendo dinero a su cuenta. El nuevo balance es la suma del viejo (−201.35) con el pago del cheque. Como los números tienen signos diferentes, encuentra la diferencia con −201.35. Como |802.83| > |−201.35|, la suma es positiva.

Respuesta

El nuevo balance es $601.48.

Cuando fuerzas u objetos trabajan en direcciones opuestas, algunas veces es útil asignarles un valor negativo y un valor positivo a cada uno. Esto se hace frecuentemente en física o ingeniería, pero puede aplicarse también a otros contextos, como el futbol o estirar la cuerda.

Ejemplo Problema

Dos personas compiten estirando una cuerda. Están una frente a la otra, cada una tomando un extremo de la cuerda. Ambas tratan de mover el centro de la cuerda hacia su lado. Aquí hay una ilustración de la situación. La persona de la derecha está tirando en la dirección positiva, y la persona de la izquierda está tirando en la dirección negativa.

En cierto momento de la competencia, la persona de la derecha tiraba con 122.8 libras de fuerza. La persona de la izquierda tiraba con 131.3 libras de fuerza. Entonces, las fuerzas en el centro de la cuerda, fueron de 122.8 lbs y −131.3 lbs. a) ¿Cuál fue la fuerza neta (total) en el centro de la cuerda? b) ¿En qué dirección se movió la cuerda? Fuerza neta = 122.8 +( −131.3)

La fuerza neta es la suma de las dos fuerzas aplicadas a la cuerda.

Respuesta

Fuerza neta = −8.5

Para encontrar la suma, suma la diferencia de los valores absolutos de los sumandos |−131.3| > 122.8, la suma es negativa.

La fuerza neta es de −8.5 lbs (o 8.5 lbs hacia la izquierda). El centro de la cuerda se movió hacia la izquierda (en la dirección negativa).

Observa que tiene sentido que la cuerda se mueve hacia la izquierda, porque la persona de la izquierda está tirando con más fuerza.

Después de que la temperatura en Bangor bajó a −13°, la temperatura volvió a subir pero sólo 4 grados para el resto del día. ¿Cuál fue la temperatura máxima ese día? A) −17 B) −9 C) 9 D) 17

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Sumario Al igual que con los enteros, la suma de números reales se realiza siguiendo dos reglas. Cuando los signos son iguales, sumas los valores absolutos de los su mandos y usas el mismo signo. Cuando los signos son diferentes, restas los valores absolutos y usas el mismo signo del sumando que tiene el valor absoluto mayor. Sumar con 0, que no es ni positivo ni negativo, se hace usando la identidad aditiva de la suma: x + 0 = x y 0 + x = x, para cualquier valor de x.