Numeros Reales

NU´MEROS REALES

Actividades de ampliacio ´n

1

a) Prueba que los tria ´ngulos u AED y u EFD son semejantes. b) Prueba que el tria ´ngulo u AEF es iso ´sceles. ¿Cua ´nto vale la distancia AF? c) Calcula el valor de la diagonal AD.

2 3 4 5

B

Ma ´s sobre el nu ´mero a ´ureo. Se considera un penta ´gono regular de lado 1 m.

Representa en la recta real el nu ´mero Prueba que

兹3

A

C F E

兹6.

D

no es un nu ´mero racional (y por tanto es irracional).

Determina, mediante un intervalo o semirrecta, el conjunto de nu ´meros reales x tales que verifican que x ⫹ W xW ⬍ 1. Se llama error absoluto de una medicio ´n a la diferencia entre el valor real y el medido. Asimismo, se llama error relativo de una medicio ´ n al cociente entre el error absoluto y el valor real. Al medir un trozo de madera se da como longitud de ella 1 m y posteriormente, por me ´todos que no vienen al caso, se sabe que se ha cometido un error absoluto de 0,5 mm. Asimismo, al medir la distancia entre dos ciudades se ha dado un resultado de 500 km cometiendo un error absoluto de 200 m. Halla los errores relativos de ambas mediciones. ¿Cua ´l de las dos mediciones puede considerarse ma ´s perfecta?

Solucionario

1

a) r AED ⫽ 108⬚ y como AE ⫽ ED r EAD ⫽ r EDA ⫽ 36⬚ Por otro lado, u EFD es iso ´sceles r FED ⫽ r FDE ⫽ 36⬚ Por tanto, los tria ´ngulos u AED y u EFD son semejantes. b) r EAF ⫽ 36⬚ y r AEF ⫽ 108⬚ ⫺ 36⬚ ⫽ 72⬚ AE ⫽ AF ⫽ 1 m.

3

r AFE ⫽ 72⬚

c) Aplicando el teorema de Tales y llamando x ⫽ AD: 1 ⫹ 兹5 AE AD 1 x ⫽ ⫽ x⫽⌽⫽ EF ED x⫺1 1 2

2

兹6 ⫽ 兹(兹2)2 ⫹ 22 y por lo tanto, la diagonal de un recta´ngulo de lados 兹2 y 2 medira ´ 兹6.

4

Para representarlo previamente debemos dibujar un cuadrado de lado 1 ya que su diagonal mide 兹2.

Supongamos que 兹3 es racional y que por tanto lo podemos escribir como una fraccio ´n irreducible: p 兹3 ⫽ q q兹3 ⫽ p 3q2 ⫽ p2 p2 es mu ´ltiplo de 3 p es mu ´ltiplo de 3. Sea p ⫽ 3n, sustituyendo q2 ⫽ 3n2 y por tanto q es mu ´ltiplo de 3. Por ser p y q mu ´ltiplos de 3 a la vez p/q no es irreducible, lo que supone una contradiccio ´ n y por tanto 兹3 no es racional. Para todos los x negativos es claro que se verifica. Para los x positivos se tendra ´ que cumplir que 2x ⬍ 1 o sea 1 x⬍ . 2 Por tanto, el conjunto buscado es la semirecta (⫺⬁; 0,5).

2 冪莦 6

5 冪莦 2 0

1 1

冪莦 6

0,5 ⫽ 0,0005. 1 000 200 Segunda medicio ´ n: error relativo ⫽ ⫽ 0,0004. 500 000 Por lo tanto, puede considerarse mejor medicio ´ n la segunda.

Primera medicio ´ n: error relativo ⫽