Numeros Racionales Valeria

Números racionales Definición

El conjunto de los números que se pueden representar por expresiones de la a forma , con y números enteros, diferente de cero, se llama el conjunto b de los números racionales y se denota por Q.. Simbólicamente:

La expresión se llama fracción, " " se llama numerador y " " se llama denominador. Numerador: Indica la cantidad de partes iguales que se toman de la unidad. Denominador: Indica la cantidad de partes iguales en las que se divide la unidad.

Ejemplo Son números racionales los representados por cada una de las siguientes fracciones: 1 3 8 9 2 5 , , , , , 3 2 4 2 7 4

Representación gráfica de fracciones *Mediante esquemas

1 . Significa que “se divide la unidad” en dos partes 2 Iguales y se toma una de dichas partes.

9 Significa que “se divide la unidad” en cuatro partes iguales y se toman 4 nueve. Por lo tanto la fracción supera la unidad y no basta con una unidad para dicha representación.

*Mediante la recta numérica -----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|---

-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|---

1 2

9 4

Actividades 1) Representar gráficamente las siguientes fracciones: a)

4 3

b)

2 5

c)

3 4

d)

7 3

e)

5 2

2) Sin representar gráficamente una fracción ¿Cómo se sabe si es menor, mayor o igual que la unidad?

Fracciones equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de la unidad. Para obtener una fracción equivalente a una dada se puede amplificar o simplificar dicha fracción. Ejemplo: Las fracciones misma parte de la unidad.

2 4 y son equivalentes porque representan la 4 8

Amplificar 2 4

=

Simplificar 4 8

4 8

2 4

=

Actividades

1) Buscar la fracción equivalente que se indica en cada caso: Justificar

a)

25 ..... = 40 8

b)

3 12 = 9 .....

c)

..... 4 = 6 12

d)

5 15 = ..... 21

2) Comparar las fracciones de cada par e indicar cuál es mayor en cada caso. Justificar.

a)

3 2 y 4 5

b)

4 10 y 7 14

c)

5 4 y 7 5

d)

3 8 y 10 15

Operaciones con fracciones

*Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o restan los numeradores. Ejemplos:

a)

2 1 3 + = 5 5 5

b)

5 2 3 − = 8 8 8

*Para sumar o restar fracciones con distinto denominador se buscan Las fracciones equivalentes con igual denominador (conviene tomar el mcm de los denominadores) y después se suman o restan los numeradores de las fracciones obtenidas Ejemplos a)

2 1 8 3 11 + = + = 3 4 12 12 12

b)

2 1 6 5 1 − = − = 5 3 15 15 15

Actividad Calcular y en los casos que sea posible simplificar el resultado: a)

2 3 1 + − = 9 9 9

b) 1 + c) 1 −

d)

2 = 3

1 3 + = 4 16

3 1 − = 4 6

Respuestas: a) •

4 9

b)

5 3

c)

15 16

d)

7 12

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre si y se multiplican los denominadores entre sí. Ejemplos a)

7 2 14 7 . = = . 8 3 24 12

b)

2 6 9 108 18 . . = = 3 5 2 30 5

•

Para dividir fracciones se puede convertir la operación en una multiplicación y luego resolverse como tal: Ejemplos a)

2 3 2 4 8 : = . = 5 4 5 3 15

b)

1 7 1 5 5 : = . = 3 5 3 7 21

Actividad Calcular las siguientes operaciones simplificando cuando sea posible: a)

1 3 : = 2 4

b)

6 3 : = 5 10

c)

1 8 3 . : = 4 3 2

d)

2 10 5 . . = 5 6 4

e)

3 2 2 . : = 4 9 5

Respuestas: a)

2 3

b) 4

c)

4 9

d)

5 6

e)

5 12

Porcentaje Una fracción de denominador 100 expresa un porcentaje. Un 70% ( setenta por ciento) de un grupo es lo mismo que expresar dicho grupo.

70 de 100

Un 25% ( veinticinco por ciento) de un grupo es lo mismo que expresar

25 100

de dicho grupo.

Actividad ¿Qué porcentaje expresan cada una de las siguientes fracciones? a)

1 2

Respuestas

•

1 10

b)

c)

a) 50%

1 4

d)

b)10%

2 5

c(25%

e) 1

d) 40%

e) 100%

Para hallar la potencia y la raíz enésimas de los números racionales se distribuyen las operaciones a numerador y denominador desarrollando así los cálculos correspondientes.

Ejemplos 2

22 4 2 a)   = 2 = 9 3 3 3

13 1 1 b)   = 3 = 64 4 4 c)

d) 3

1 1 1 = = 9 9 3 27 = 8

3

27 3

8

=

3 2

Actividad: Calcular las siguientes potencias y las siguientes raíces:

1 = 16

a)

2

 3 b)   = 5 c)

4

81 = 16 3

1 d)   =  3

Respuestas

a)

1 4

b)

9 25

c)

3 2

d)

1 27

Guía de actividades

1) Representar gráficamente las siguientes fracciones: a)

1 6

b)

3 2

c)

4 5

d)

7 4

2) Responder:: a) ¿Qué fracción de la semana representan 4 días? b) Qué fracción de la hora son 15 minutos? c) Qué fracción del día constituyen 8 horas?

3) Comparar las siguientes fracciones de cada par e indicar cuál es mayor. Justificar a)

1 2 y 2 3

5 4 b) y 3 3

8 11 c) y 5 8

d)

4 7 y 9 12

4) Resolver los siguientes cálculos combinados. Justificar. 3

1 1 2 a)   ( 4 − 2) + .2 = 4 2

b)

1 2

+

3

1 3 2+  = 64 2

3 9 c) 1 + .( 2 ) 2 + = 4 16

2

1 1 1  d)  2 −  − 4 + = 2 81 3  4

1 1 1 1 e) +  : − = 4 2 4 16

Respuestas: a)

3 2

5 2

b)

c)

19 4

d)

9 4

5) Hallar el valor de x. Justificar 2

1 a) 2 x +   = 1 2

b) 3 x − 1 = 0 c)

d)

1 1 +x= 3 9 3x-1 =

1 2

2

1 1 e)   + x = 81  3

Respuestas:

a)

3 4

b)

1 3

c) 0

d)

1 2

e) 0

e)

1 ç 4

6) Resolver los siguientes problemas: a) En un partido de fútbol se llenaron

3 de las tribunas, que tienen una 4

capacidad de 50000 espectadores ¿Cuántas personas asistieron? b) Rafael tenía $45 y gastó

2 5 de su dinero en una remera y 9 9

en un

pantalón. ¿Cuánto le costó cada prenda? ¿Cuánto dinero le sobró? c) María tenía $30 y gastó en la librería

3 2 de su dinero – Luego gastó 5 3

de lo que le quedaba en un bazar. ¿Cuánto gastó en el bazar? ¿Cuánto dinero le sobró? d) Valeria pegó en su álbum

5 1 de las 210 figuritas que juntó. Si tiene 7 4

del álbum completo ¿Cuántas figuritas le faltan para llenarlo? e) Julia repartió

2 de sus caramelos. Si repartió 10, ¿Cuántos caramelos 7

tenía?

Respuestas: a) 37500 personas b) La remera le costó $10 y el pantalón 25 . Le sobraron $10 c) $ 8 y $ 4 d) 450 figuritas e) 35 caramelos