02 Numeros Racionales Apunte.docx

LICEO TECNOLÒGICO ENRIQUE KIRBERG DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEGUNDO MEDIO

Taller PSU Números Racionales Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener. Operaciones de Números Racionales Las operaciones de Números Racionales Aquí vamos a discutir las operaciones de números racionales como la suma, resta, multiplicación, división: A) Fracciones: Suma y/o Resta de Fracciones Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar. Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso:

6 3 6+3 9 4 + = = =1 5 5 5 5 5 Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo: 1 6 5 24 5+24 29 9 1 6 + El MCM para ambos denominadores es el 20, 4 5 4 5 20 20 20 20 20

+ =

+

=

=

=1

Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior. Otra forma de sumar o restar fracciones con distinto denominador es:

𝑎 𝑐 𝑎∗𝑑±𝑏∗𝑐 ± = 𝑏 𝑑 𝑏∗𝑑

Ejemplo:

Al simplificarla quedará:

26 24

5 1 5 ∗ 6 − 4 ∗ 1 30 − 4 26 − = = = 4 6 4∗6 24 24

/2 =

13 12

Multiplicación de Fracciones La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera: 4 5 1 4 ∗ 5 ∗ 1 20 ∗ ∗ = = 3 6 2 3 ∗ 6 ∗ 2 36 En este caso el resultado puedo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes. 20 10 5 /2 = /2 = 36 18 9 En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, ejemplo: 1 1 3 1∗3 3 ∗3 = ∗ = = 5 5 1 5∗1 5

Profesor Raúl Valdés Villaseca Depto. Matemática

División de Fracciones Para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo: 5 2 5 ∗ 3 15 ÷ = = 4 3 4∗2 8 Como se puede notar, para dividir los números racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fracción no cambia de orden, pero los de la segunda fracción si lo hacen para lograr el resultado final. B) Decimales Adición y sustracción: Para sumar o restar números decimales escritos con notación decimal se siguen los siguientes pasos: 1. Se anotan los números en forma vertical, es decir, se anotan hacia abajo, de modo que las comas queden en la misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba. Ejemplo: 3,721

+

2,08 +

3,721 2,08

2. Si los números que se ordenaron no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se agregan a la derecha todos los ceros necesarios para que tengan igual cantidad. 3, 721 2, 080

+

3. Se suma o resta en forma normal, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega al resultado.

+

3, 721 2, 080 5, 801

2, 867 1, 344 1, 523

–

Multiplicación de un número decimal por un número natural: los pasos son los siguientes: 1. Se resuelve la multiplicación sin considerar la coma Ejemplo: •

1,322 2644

2

2. Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después de la coma (hacia la derecha) están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca la coma. Ejemplo: •

1,322 2,644

2

Los espacios decimales ocupados son tres (los espacios decimales son los números que están detrás de la coma). En el resultado, se cuentan tres espacios desde el 4 al 6, y se coloca la coma División: Los pasos son: 1.

Se resuelve la división de la forma acostumbrada.

Ejemplo:

–

19 15

÷

5

=

3

4 2. Como el resto es 4 (debe ser un número distinto de cero), se puede continuar dividiendo. Para esto se agrega una coma en el dividendo y un cero en el divisor.

–

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19 15

÷

4

0

5

=

3,

3. Se continúa dividiendo y agregando un cero al resto todas las veces que se quiere; de esto depende el número de decimales que se quiera obtener.

–

19 15

÷

4

0 40 0

5

=

3,8

Notación de mayor a menor: Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel que tenga el primer número mayor después de la coma; y si este es igual, será mayor aquel que tenga el siguiente número más grande. Ejemplos (ordenado de mayor a menor): 4,90000000123 4,78000008 4,69 4,67 4,64759 4,5678 4,45 4,32 4,0000786789 4,0000000000000234

Clasificación de los números decimales Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos:  



Números decimales exactos o Finitos- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo: Ejemplos: 0,75; 2,6563; 6,32889 Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por Ejemplo. 1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548… Números decimales periódicos mixtos o Semi-periódicos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en: Ejemplo: 9,36666666…; 45,3455555555555; 0,234525252525252

Transformar números fraccionarios a decimal Para transformar una fracción a número decimal basta dividir el numerador por el denominador. Ejemplos:

Otro:

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Transformar decimal a fracción Transformación de un decimal finito a fracción Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplo 1:

Se anota el número, en este caso 45. Se divide por 1.000, porque hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5 Ejemplo 2:

Transformación de un decimal infinito periódico en fracción Los pasos a seguir son los siguientes: 1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita) 2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica. Ejemplos 2,666666 … . . = 2, 6̅ 2, 6̅ =

26 − 2 24 = 9 9

Podemos simplificar la fracción Por lo tanto

2, 6̅ = 2

Otro ejemplo:

24 9

8

2

3

3

/3 = = 2

2 3

Expresar como fracción 57,18181818....

Transformación de decimal infinito semi-periódico a fracción 1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el ante-período, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”. 2) El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el ante-período. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto. Ejemplo: 2,46666666 … … . . = 2,46̅ 2,46̅ =

246 − 24 222 = 90 90

Podemos simplificar la fracción

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222 90

/6 =

37 15

=2

7 15