Numeri Reali

NUMERI REALI L’introduzione dei numeri reali nasce dall’esigenza di poter risolvere equazioni del tipo: 𝑥2 = 2 Non essendo 2 un quadrato perfetto, è evidente che le soluzioni dell’equazione non possono essere interne all’insieme dei numeri razionali. Anticamente si pensava che tutti i segmenti fossero commensurabili, cioè che il rapporto tra le lunghezze di due segmenti qualsiasi fosse esprimibile mediante un numero razionale. Tale concezione entrò in crisi quando i Greci si accorsero del fatto che il rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e la lunghezza del suo lato non è esprimibile mediante un numero razionale, bensì: 𝑑 = 2 𝑙

d l La dimostrazione del fatto che il numero 2 ∉ ℚ risale ai Pitagorici: non esiste alcun numero il cui quadrato è 2. Proposizione: Il numero 2 non è razionale. Dimostrazione: Per dimostrare la proposizione si procederà per assurdo. Si supponga infatti che 2 sia un numero razionale, di conseguenza si potrà esprimere mediante una frazione: 2=

𝑚 𝑛

in cui 𝑛 ≠ 1 e 𝑀. 𝐶. 𝐷. 𝑚, 𝑛 = 1, ovvero si suppone che la frazione sia ridotta ai minimi termini. Eleviamo al quadrato ambo i membri della precedente relazione: 2=

𝑚2 𝑛2

si avrà che: 2𝑛2 = 𝑚2

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1

ovvero che 𝑚2 è un numero pari. Ma se 𝑚2 è un numero pari, anche m è pari e quindi esiste un numero 𝑘 ∈ ℤ − 0 tale che 𝑚 = 2𝑘 . Sostituendo quest’espressione di m nella precedente relazione si ottiene: 2𝑛2 = 2𝑘

2

⟹ 2𝑛2 = 4𝑘 2 ⟹ 𝑛2 = 2𝑘 2

e, di conseguenza, 𝑛 è un numero pari. Essendo adesso m ed n numeri pari, il loro M.C.D. non può essere 1 e ciò va contro la nostra ipotesi; pertanto l’assurdo nasce dall’aver supposto che 2 ∈ ℚ. □ STIMA DI 𝟐 Per dare una stima della 2, è necessario costruire una successione di numeri decimali tali che i loro quadrati approssimino il numero 2 per eccesso e per difetto. I approssimazione Di certo vale la relazione 1 2  4

e quindi

1 2  2 II approssimazione Consideriamo adesso tutti i numeri compresi tra 1 e 2 con una sola cifra decimale e prendiamone i quadrati; otteniamo: n n2

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61

2 4

Poiché si ha che 1,96  2  2, 25



1, 4 

2

 2  1,5

2

allora 1, 4  2  1,5

III approssimazione Allo stesso modo consideriamo tutti i numeri aventi due cifre decimali compresi tra 1,4 e 1,5 e prendiamone i quadrati; otteniamo: n 1,4 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5 2 n 1,96 1,9881 2,0164 2,0449 2,0736 2,1025 2,1316 2,1609 2,1904 2,2201 2,25

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2

Poiché si ha che 1,9881  2  2, 0164



1, 41

2

 2  1, 42 

2

allora 1, 41  2  1, 42

Approssimazioni successive È possibile continuare il procedimento all’infinito, pervenendo alla costruzione delle due successioni, una crescente e l’altra decrescente: S1

1

1,4

1,41

1,414 1,4142 1,41421

…

S2

2

1,5

1,42

1,415 1,4143 1,41422

…

Si nota che la scrittura 1,41421… è la scrittura decimale di un numero che non è razionale e non è periodico. Tale numero quindi decimale illimitato non periodico. Definizione: Si definisce numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non periodico. L’insieme di tali numeri prende il nome di insieme dei numeri irrazionali e si indica con il simbolo ℚ𝑐 . Nell’insieme dei numeri irrazionali si opera la distinzione tra algebrici e trascendenti. In generale i primi sono quelli che si ottengono tramite una combinazione di operazioni algebriche tra le quali l’estrazione di radice, mentre i secondi sono si possono ottenere come appena detto, quindi trascendono (cioè “vanno oltre”) l’algebra. Esempi: Sono irrazionali anche i seguenti numeri: log 2 ,  , e . Definizione: L’unione dell’insieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri irrazionali prende il nome di insieme dei numeri reali e si indica con il simbolo ℝ.

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CARATTERISTICHE DI ℝ L’insieme dei numeri reali risulta essere un’estensione dell’insieme dei numeri razionali. Anch’esso è un insieme infinito e totalmente ordinato; inoltre è denso come ℚ, ma rispetto a quest’ultimo completa la retta. Per tale ragione quando si rappresentano i numeri reali si parla spesso di “retta reale”. Tale identificazione è lecita in quanto esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei punti appartenenti ad una retta orientata, intendendo per retta orientata quella retta in cui è stato fissato un verso di percorrenza.

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