Numeri Complessi

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DEL MOLISE Centro Ricerca e Servizi di Ateneo per la Formazione “G. A. Colozza” Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario

Laboratorio di strumenti a supporto della didattica A.A. 2008/09 - II Anno - A047

Funzioni goniometriche con l’ausilio di Geogebra STUDENTE

ZANCHIELLO UMBERTO

MATRICOLA

137468

CLASSE DI CONCORSO

A047

FIRMA

Funzioni goniometriche con l’ausilio di Geogebra I software didattici nell’ambito della matematica, così come anche in quello della fisica, rappresentano un supporto indispensabile al docente che si

propone

di

semplificare

e

rendere

più

intuitivo

e

stimolante

l’apprendimento da parte dei propri allievi. In tali discipline spesso si devono illustrare argomenti per i quali il ricorso alla lezione frontale di tipo tradizionale, non incontrerebbe in alcun modo il gradimento degli alunni che, ad eccezione forse dei più talentuosi, finirebbero ben presto con l’essere frustrati dall’impossibilità di cogliere in maniera intuitiva gli argomenti trattati e non sarebbero in grado di comprendere l’utilità pratica di simili argomentazioni. Sono queste le motivazione alla base della scelta dello scrivente di impostare la dissertazione sulle funzioni goniometriche per una terza classe di un liceo scientifico facendo ricorso al una lezione interattiva di verifica di un problem solving assegnato agli allievi sulla rappresentazione di suddette funzioni da svolgersi nel laboratorio informatico mediante l’impiego del software Geogebra, un software freeware di matematica dinamica per la didattica. Pertanto, il lavoro presentato in questa tesina realizzato con Geogebra “Pre-Release”, una vesione del software in continuo aggirnamento e dotata anche della possibilità di applicare ai vari oggetti delle animazioni, è nata dalla convinzione che la rappresentazione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica non può non essere messa in relazione alla loro rappresentazione con riferimento ad un sistema di assi cartesiani OXY. Di qui la scelta di visualizzare in un unica vista grafica, gli andamenti delle seguenti funzioni: 2

1) seno 2) coseno 3) tangente 4) cotangente 5) secante 6) cosecante sia sulla circonferenza goniometrica sia rispetto ad un sistema di assi OXY come mostrato nella figura sottstante:

Con tale realizzazione si consente agli alunni di valutare le relazioni che legano tali funzioni di coglierne il senso anche da un punto di vista squisitamente analitico. Dai grafici infatti si possono facilmente individuare per ciascuna

funzione

il

dominio,

il

codominio, i limiti, i punti di massimo, minimo e flesso, gli asintoti. Inoltre si fornisce ai discenti la possibilità da un lato di analizzare l’andamento delle funzioni goniometriche una per volta, dall’altro

di

visualizzare

e 3

confrontare solo gli andamenti di determinate funzioni, a titolo di esempio si riportano due figure che illustrano rispettivamente soltanto gli andamenti delle funzioni seno e coseno e delle funzioni secante e cosecante. Di seguito si illustrano i passaggi che occorrono per realizzare questo lavoro: N.

Nome

1 Punto A

Definizione

Algebra

Punto[asseX]

A = (-4, 0)

2 Punto B Punto su asseX 3 Circonferenza Circonferenza per B di c centro A 4 Angolo α

Punto[asseX]

B = (-3, 0)

Circonferenza[A, B]

c: (x + 4)² + y² = 1

5 Punto P

B ruotato di un angolo α

Ruota[B, α, A]

6 Angolo β

Angolo tra B, A, P Angolo[B, A, P] Retta per A perpendicolare a Perpendicolare[A, asseX Punto di intersezione tra c e asseX] Intersezione[c, a, 2] a Retta per C perpendicolare a Perpendicolare[C, a] a Retta per P perpendicolare a Perpendicolare[P, b] b Retta per P perpendicolare a Perpendicolare[P, a] a Retta per B perpendicolare a Perpendicolare[B,

7 Retta a 8 Punto C 9 Retta b 10 Retta d 11 Retta e 12 Retta f 13 Retta g 14 Retta h

Punto su asseX

Comando

asseX Retta per A e P

α = 0°

asseX] Retta[A, P]

P = (-3, 0) β = 0° a: x = -4 C = (-4, 1) b: y = 1 d: x = -3 e: y = 0 f: x = -3 g: y = 0 h: x = -3

19 Segmento j

Tangente a c per P Tangenti[P, c] Punto di intersezione tra a e Intersezione[a, h] h Punto di intersezione tra b e Intersezione[b, g] g Punto di intersezione tra a e Intersezione[a, e] e Punto di intersezione tra d e Intersezione[d, asseX asseX] Segmento [G, P] Segmento[G, P]

20 Segmento i

Segmento [P, H]

Segmento[P, H]

i=0

21 Segmento l

Segmento [C, E]

Segmento[C, E]

l non definito

22 Segmento n

Segmento [A, D] Segmento[A, D] Punto di intersezione tra h e Intersezione[h, asseX asseX] Segmento [I, A] Segmento[I, A]

15 Punto D 16 Punto E 17 Punto G 18 Punto H

23 Punto I 24 Segmento m 25 Punto J

D = non definito E = non definito G = (-4, 0) H = (-3, 0) j=1

n non definito I = (-3, 0) m=1 J = (-4, 2)

26 Punto K

Punto su asseX

Punto[asseX]

K = (-2, 0)

27 Punto L

Punto su asseX

Punto[asseX]

L = (-6, 0)

28 Punto M

Punto su a

Punto[a]

M = (-4, -2)

29 Vettore u

Vettore[L, K]

Vettore[L, K]

u = (4, 0)

30 Vettore v

Vettore[M, J]

Vettore[M, J]

v = (0, 4)

31 Punto N

Punto su asseX

Punto[asseX]

N = (-1, 0)

32 Punto O

Punto su asseX

Punto[asseX]

O = (8, 0)

33 Punto P1

Punto su asseY

Punto[asseY]

P1 = (0, -4)

34 Punto Q

Punto su asseY

Punto[asseY]

Q = (0, 4)

35 Vettore w

Vettore[N, O]

Vettore[N, O]

w = (9, 0)

36 Vettore z

Vettore[P1, Q]

z = (0, 8)

Intersezione[f, g]

F = (-3, 0)

38 Segmento k

Vettore[P1, Q] Punto di intersezione tra f e g Segmento [F, B]

Segmento[F, B]

k=0

39 Retta q

Retta per P con direzione u

Retta[P, u]

q: y = 0

37 Punto F

4

40 Retta r

Retta per G e P

Retta[G, P]

r: y = 0

41 Numero sinβ

y(P)

y(P)

sinβ = 0

42 Punto S

(β, sinβ)

(β, sinβ)

S = (0, 0)

43 Numero cosβ

x(P)

x(P)

cosβ = -3

44 Punto R

(β, 4 + cosβ)

(β, 4 + cosβ)

R = (0, 1)

45 Numero tanβ

y(F)

y(F)

tanβ = 0

46 Punto T 47 Numero cotanβ 48 Punto U

(β, tanβ)

(β, tanβ)

T = (0, 0)

x(E)

x(E)

cotanβ non definito

(β, 4 + cotanβ)

(β, 4 + cotanβ)

U non definito

49 Numero secβ

x(I)

x(I)

secβ = -3

N.

Nome

Definizione

Comando

Algebra

50 Punto V 51 Numero cosecβ 52 Punto Z

(β, 4 + secβ)

(β, 4 + secβ)

V = (0, 1)

y(D)

y(D)

cosecβ non definito

(β, cosecβ)

(β, cosecβ)

Z non definito

53 Punto A1

Punto su asseY

Punto[asseY]

A1 = (0, 1)

54 Punto B1

Punto su asseY Retta per A1 perpendicolare a z Retta per B perpendicolare

Punto[asseY]

B1 = (0, -1)

55 Retta p 56 Retta s

1

57 Punto C1

az Punto su asseX

58 Punto D1 59 Punto E1 60 Punto F1

Perpendicolare[A1, z] p: y = 1 Perpendicolare[B1, z] s: y = -1 Punto[asseX]

C1 = (1.571, 0)

Punto su asseX

Punto[asseX]

D1 = (3.142, 0)

Punto su asseX

Punto[asseX]

E1 = (4.712, 0)

Punto su asseX

Punto[asseX]

F1 = (6.283, 0)

61 Testo testo1

testo1 = "π/4"

62 Testo testo2

testo2 = "π/2"

63 Testo testo3

testo3 = "3π/4"

64 Testo testo4

testo4 = "π"

65 Testo testo5

testo5 = "5π/4"

66 Testo testo6

testo6 = "3π/2"

67 Punto G1

Punto su asseX

Punto[asseX]

G1 = (0.785, 0)

68 Punto H1

Punto su asseX

Punto[asseX]

H1 = (2.356, 0)

69 Punto I1

Punto su asseX

Punto[asseX]

I1 = (3.927, 0)

70 Punto J1

Punto su asseX

Punto[asseX]

J1 = (5.498, 0)

71 Testo testo7

testo7 = "7π/4"

72 Testo testo8

testo8 = "2π"

73 Testo testo9

testo9 = "1"

74 Testo testo10

testo10 = "1/2"

75 Testo testo11

testo11 = "-1/2"

76 Testo testo12

testo12 = "-1"

77 Testo testo13

testo13 = "3/2"

78 Testo testo14

testo14 = "2"

79 Testo testo15

testo15 = "5/2"

80 Testo testo16

testo16 = "-3/2"

81 Testo testo17

testo17 = "-2"

82 Testo testo18

testo18 = "-5/2"

83 Testo testo19

testo19 = "0"

84 Testo testo20

testo20 = "π/2"

85 Testo testo21

testo21 = "π"

86 Testo testo22

testo22 = "3π/2"

5

87 Retta t 88 Retta a1 89 Retta b1 90 Retta c1 91 Valore booleano d1 92 Valore booleano e1 93 Valore booleano f1 94 Valore booleano g1 95 Valore booleano h1 96 Valore booleano i1 97 Testo testo23

Retta per C1 perpendicolare a asseX Retta per D1 perpendicolare a asseX Retta per E perpendicolare 1

a asseX Retta per F1 perpendicolare a asseX

Perpendicolare[C1, asseX] Perpendicolare[D , 1

asseX] Perpendicolare[E1, asseX] Perpendicolare[F , 1

asseX]

Nome

99 Punto K1 10 Punto L1 0 10 Punto M1 1 10 Punto N1 2 10 Punto W 3 10 Punto Q1 4 10 Punto R1 5 10 Punto O1 6 10 Punto S1 7 10 Punto T1 8 10 Testo testo25 9 11 Testo testo26 0 11 Testo testo27 1 11 Testo testo28 2 11 Testo testo29 3 11 Testo testo30 4 11 Testo testo31 5 11 Punto U1 6 11 Punto V1 7

a1: x = 3.142 b1: x = 4.712 c1: x = 6.283 d1 = true e1 = true f1 = true g1 = true h1 = true i1 = true testo23 = "3"

98 Testo testo24 N.

t: x = 1.571

testo24 = "-3" Definizione

Comando

Algebra

Punto su asseY

Punto[asseY]

K1 = (0, 2)

Punto su asseY

Punto[asseY]

L1 = (0, 2.5)

Punto su asseY

Punto[asseY]

M1 = (0, 3)

Punto su asseY

Punto[asseY]

N1 = (0, 0.5)

Punto su asseY

Punto[asseY]

W = (0, 1.5)

Punto su asseY

Punto[asseY]

Q1 = (0, -1.5)

Punto su asseY

Punto[asseY]

R1 = (0, -2)

Punto su asseY

Punto[asseY]

O1 = (0, -0.5)

Punto su asseY

Punto[asseY]

S1 = (0, -2.5)

Punto su asseY

Punto[asseY]

T1 = (0, -3) testo25 = "0"

"senα = " + i

"senα = " + i

testo26 = "senα = 0"

"cosα = " + j

"cosα = " + j

testo27 = "cosα = 1"

"tgα = " + k

"tgα = " + k

"cotgα = " + l

"cotgα = " + l

"secα = " + m

"secα = " + m

"cosecα = " + n

"cosecα = " + n

Punto su w

Punto[w]

testo28 = "tgα = 0" testo29 = "cotgα = non definito" testo30 = "secα = 1" testo31 = "cosecα = non definito" U1 non definito

Punto su asseX

Punto[asseX]

V1 = (0, 0

6