Retta Tangente Ad Una Parabola In Un Suo Punto
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RETTA TANGENTE AD UNA PARABOLA IN UN SUO PUNTO Proposizione: Il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola di equazione π¦ = ππ₯ 2 + ππ₯ + π nel suo punto π π₯0 , π¦0 Γ¨ uguale a π = 2ππ₯0 + π. Dimostrazione: Per determinare il coefficiente angolare, consideriamo il sistema formato dallβequazione della parabola e dallβequazione del fascio di rette passante per il punto π: π¦ = ππ₯ 2 + ππ₯ + π π¦ β π¦0 = π π₯ β π₯0 ovvero: π¦ = ππ₯ 2 + ππ₯ + π π¦ = ππ₯ β ππ₯0 + π¦0 Utilizzando il metodo del confronto si ha: ππ₯ 2 + ππ₯ + π = ππ₯ β ππ₯0 + π¦0 PoichΓ© il punto π appartiene alla parabola, le sue coordinate ne soddisfano lβequazione, cioΓ¨: π¦0 = ππ₯02 + ππ₯0 + π e, sostituendo nellβequazione precedente, si ottiene: ππ₯ 2 + ππ₯ + π = ππ₯ β ππ₯0 + ππ₯02 + ππ₯0 + π da cui, semplificando: ππ₯ 2 + π β π π₯ + ππ₯0 β ππ₯02 β ππ₯0 = 0 AffinchΓ© la retta e la parabola siano tangenti, il discriminante di questa equazione deve essere nullo, cioΓ¨: β= π β π
2
β 4π ππ₯0 β ππ₯02 β ππ₯0 = π 2 β 2ππ + π2 β 4πππ₯0 + 4π2 π₯02 + 4πππ₯0 = π2 β 2π π + 2ππ₯0 + π 2 + 4πππ₯0 + 4π2 π₯02 = π2 β 2π π + 2ππ₯0 + π + 2ππ₯0 = π β 2ππ₯0 + π 2 = 0
2
Si ottiene: π β 2ππ₯0 + π
2
= 0 βΉ π β 2ππ₯0 + π = 0 βΉ π = 2ππ₯0 + π ο£
Erasmo www.matematica.blogscuola.it
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β 4π ππ₯0 β ππ₯02 β ππ₯0 = π 2 β 2ππ + π2 β 4πππ₯0 + 4π2 π₯02 + 4πππ₯0 = π2 β 2π π + 2ππ₯0 + π 2 + 4πππ₯0 + 4π2 π₯02 = π2 β 2π π + 2ππ₯0 + π + 2ππ₯0 = π β 2ππ₯0 + π 2 = 0
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Si ottiene: π β 2ππ₯0 + π
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Erasmo www.matematica.blogscuola.it
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