República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Nacional Bolivariana (U. N. E. F. A. N. B) Núcleo Miranda, Extensión Santa Teresa del Tuy Carrera: Ingeniería Civil Semestre: 5to Sección: 01 Asignatura: Dinámica.
Ingeniero:
Estudiantes:
Pedro Rivas.
Daniellhe Charles. C.I.:24.284.848. Santa Teresa del Tuy 18/10/2018.
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U) El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es el movimiento que describe un cuerpo o partícula a través de una línea recta a velocidad constante. Es decir: El movimiento es lineal en una única dirección La velocidad de desplazamiento es constante
POSICIÓN La posición del cuerpo después de un tiempo se calcula a partir de la posición inicial y de la velocidad del cuerpo: 𝒙 = 𝒙𝒐 + 𝒗. 𝒕 → 𝑺𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒙𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒕𝒐 𝒗 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒚 𝒕 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐. VELOCIDAD DE UN CUERPO La velocidad de un cuerpo en un MRU es constante y viene definida como el cociente entre el incremento de espacio y el incremento de tiempo. 𝒗=
𝒅𝒙 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 = → 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙𝟎 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒕𝟎 𝒅𝒕 𝒕𝟏 − 𝒕𝟎
𝒙𝟏 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒕𝟏 ACELERACIÓN La velocidad de un cuerpo en un MRU es constante y viene definida como el cociente entre el incremento de espacio y el incremento de tiempo.
𝒂=
𝒅𝒗 𝒗𝟏 − 𝒗𝟎 𝟎 = = = 𝟎 → 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒅𝒕 𝒕𝟏 − 𝒕𝟎 𝒕 𝟏 − 𝒕𝟎
𝒗𝟎 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒕𝟎 𝒚 𝒗𝟏 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒕𝟏 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A) El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es el movimiento
de una partícula
o
cuerpo
por una
línea
recta
con
una aceleración constante. Es decir:
La partícula se desplaza por el eje de coordenadas.
La velocidad aumenta (o disminuye) de manera lineal respecto al tiempo. Es decir, la aceleración es constante.
En este ejemplo vemos como el objeto va aumentando su velocidad uniformemente conforme va pasando el tiempo y avanza por su trayectoria. POSICIÓN La posición de la partícula en el tiempo t aumenta (o disminuye) exponencialmente en función de la aceleración. 1 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0 . 𝑡 + 𝑎. 𝑡 2 → 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 2 𝑣0 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, "a" la aceleración y t el tiempo
VELOCIDAD La velocidad del cuerpo o partícula cambia linealmente en el transcurso del tiempo. Es decir, para un mismo incremento de tiempo se produce
un
mismo
incremento
de velocidad por
la
constancia
de
la aceleración. 𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂. 𝒕 → 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒗𝟎 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 , "a" la aceleración y t el tiempo En el siguiente gráfico podemos observar como el incremento de la velocidad es igual cuando transcurre el mismo tiempo por su linealidad. 𝒂=
𝒅𝒗 𝒅𝒕
= 𝟐𝒎/𝒔𝟐
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Un modo de describir y estudiar los movimientos es mediante gráficas
que
representan distancia-tiempo (distancia
en
función
del
tiempo), velocidad-tiempo (velocidad en función del tiempo) y aceleracióntiempo (aceleración en función del tiempo). Debemos anotar que los vocablos distancia, espacio y desplazamiento se usan como sinónimos. DISTANCIA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO El espacio (distancia o desplazamiento) recorrido en un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) puede representarse en función del tiempo. Como en este movimiento el espacio recorrido y el tiempo transcurrido son proporcionales la
gráfica
es
siempre
una
recta cuya inclinación
(pendiente) es el valor de la rapidez (velocidad) del movimiento. Independientemente del sentido (ascendente o descendente en la gráfica) del movimiento los espacios que recorre el móvil son siempre positivos. Ecuación de la recta en el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Tenemos el siguiente gráfico:
Gráfica de posición en función del tiempo (posición contra tiempo) Los cambios de posición con respecto al tiempo son uniformes
Dijimos (y así lo vemos arriba) que la gráfica que representa la posición o el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es una línea recta. También sabemos que la expresión matemática de una recta es: y = b + mx Dónde: b es la intersección con el eje vertical. m es la pendiente de la recta.
La pendiente de la recta (m) se encuentra mediante:
En nuestro gráfico, entonces, la pendiente es:
En una gráfica de posición contra tiempo (x - t), la pendiente de la recta me indica la velocidad (V), por lo tanto.
La ecuación de la recta se encuentra a partir de despejar x de la fórmula para la pendiente
También se la conoce como ecuación del movimiento rectilíneo uniforme (uniforme debido a que la velocidad no cambia, siempre es la misma, es una constante). VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Al realizar la gráfica de velocidad en función del tiempo en el MRU obtenemos una recta paralela al eje X. Podemos calcular el desplazamiento como el área bajo la línea recta.
Gráfica de la velocidad en función del tiempo. Otro camino de razonamiento sobre las gráficas en el MRU Ya aprendimos que un movimiento rectilíneo uniforme es aquel en el que la trayectoria es una línea recta y su velocidad es constante. La fórmula para conocer la velocidad (rapidez) de un móvil es:
Entonces, para conocer el espacio recorrido (d) en un MRU basta con despejar d de la expresión de la velocidad:
Pero también sabemos que en un MRU el espacio recorrido (d) , es igual a la posición final (x) , menos la posición inicial (x 0 ) :
Si despejamos x, queda
Entonces, x indica la posición final del móvil, que si la identificamos como (s), nos queda:
Ecuación que se corresponde con la ecuación de la recta o ecuación del movimiento rectilíneo : y = b + mx
Donde La incógnita (y) es la posición final del móvil (s) La intersección en el eje y (b) corresponde al origen del movimiento (x 0 ) o posición inicial. El valor de la pendiente (m) corresponde al valor de la velocidad del móvil (v). Las siguientes gráficas posición-tiempo (posición en función del tiempo) representan dos casos de movimientos rectilíneos uniformes: 1) Gráfica partiendo del origen
El móvil parte del origen y se aleja de él a una velocidad constante de 5m/s. La gráfica es una recta ascendente. Como x 0 = 0 , la posición del móvil, en cada instante, será: x = 5 • t .
2) Gráfica partiendo de un punto situado a cierta distancia del origen.
El móvil parte de un punto situado a 80 m del origen y se acerca a él a 10 m/s. La gráfica es una recta descendente. Como x 0 = 80 m , la posición, en cada instante, será: x = 80 – 10 • t . Nótese que 10 (valor de la rapidez) es negativo porque el móvil se está acercando al origen , aunque mantiene su velocidad constante y su aceleración es cero. Recordemos que si la pendiente en la gráfica es ascendente, significa que el móvil se aleja del origen, y que si la pendiente es descendente el móvil se acerca al origen.
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Un modo de describir y estudiar los movimientos es mediante gráficas
que
representan distancia-tiempo (distancia
en
función
del
tiempo), velocidad-tiempo (velocidad en función del tiempo) y aceleracióntiempo (aceleración en función del tiempo). Debemos anotar que los vocablos distancia, espacio y desplazamiento se usan como sinónimos. Espacio (distancia o desplazamiento) en función del tiempo El espacio (distancia o desplazamiento) recorrido en un Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) puede representarse en función del tiempo. La gráfica es una parábola cóncava ascendente.
Independientemente de la forma de la parábola (cóncava o convexa en la gráfica) del movimiento los espacios que recorre el móvil son siempre positivos.
VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO En un Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) la velocidad varía proporcionalmente al tiempo, por lo que la representación gráfica v-t (velocidad en función del tiempo) es una recta ascendente.
ACELERACIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO Tal como lo dice su nombre, en el Movimiento uniformemente acelerado la aceleración es constante, por lo que la gráfica a-t (aceleración en función del tiempo) es una recta paralela al eje del tiempo, por encima de esta (la fuerza responsable de la aceleración es constante) .
Gráfica de la aceleración en función del tiempo para un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE RETARDADO En los movimientos uniformemente decelerados o retardados la velocidad disminuye con el tiempo de manera constante. Están, pues, dotados de una aceleración que aunque negativa es constante (la fuerza responsable de la deceleración es constante) . Por ello, todas las fórmulas cinemáticas usadas para los movimientos uniformemente
acelerados
sirvan
para
describir
los
movimientos
uniformemente retardados, sólo que en estos casos llevan el signo negativo. ESPACIO (DISTANCIA O DESPLAZAMIENTO) EN FUNCIÓN DEL TIEMPO En los movimientos decelerados, la gráfica espacio-tiempo crece con el tiempo, pero cada vez más lentamente. La gráfica que lo representa es una parábola convexa descendente.
VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO En un movimiento uniformemente decelerado o retardado su pendiente disminuye de un modo uniforme, lo que da lugar a una gráfica velocidad-tiempo decreciente y rectilínea.
DECELERACIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO En este tipo de movimientos la deceleración es constante, por lo que la gráfica a-t (en este caso deceleración en función del tiempo) es una recta paralela al eje del tiempo, por debajo de esta.
En resumen, y comparando las gráficas del Movimiento Uniforme y el Uniformemente Acelerado o Decelerado: x-t
v-t
a-t
recta
recta con
recta que coincide con t
Gráfica Movimiento Uniforme
pendiente # 0 Movimiento
parábola
recta con
recta con pendiente 0,
pendiente # 0
paralela a t, por sobre ella
Recta con
recta con pendiente 0,
Uniformemente
pendiente
paralela a t, bajo ella
Decelerado
negativa
Uniformemente Acelerado Movimiento
parábola
DEMOSTRACIÓN POR DEFICIÓN DE LAS FORMULAS CINEMÁTICAS Hallando las ecuación de movimiento cuando la aceleración es constante 𝒂=
𝒗 𝒕 𝒕 𝒅𝒗 𝒗 → ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂 𝒅𝒕 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒗 {𝒗 = 𝒂 ∫ 𝒅𝒕 𝟎 𝒅𝒕 𝒗𝟎 𝟎 𝟎
𝒗 𝒕 𝒗 {𝒗 = 𝒂. 𝒕 { → 𝒗 − 𝒗𝟎 = 𝒂(𝒕 − 𝟎) → 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂. 𝒕 𝟎 𝟎
𝒗=
𝒅𝒙 𝒅𝒙 → = 𝒗𝟎 + 𝒂. 𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕
𝒙
𝒕
∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝒗𝟎 + 𝒂. 𝒕)𝒅𝒕 𝒙𝟎
𝟎
𝒕 𝒕 𝒕 𝒙 𝒙 𝒕 𝒙 {𝒙 = ∫ 𝒗𝟎 𝒅𝒕 + ∫ 𝒂. 𝒕 𝒅𝒕 → 𝒙 {𝒙 = 𝒗𝟎 𝒕 { + 𝒂 ∫ 𝒕. 𝒅𝒕 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
𝒕𝟐 𝒕 𝒙 𝒕 𝒙 {𝒙 = 𝒗𝟎 𝒕 { + 𝒂. { 𝟎 𝟎 𝟐 𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂.
𝒕𝟐 𝒕𝟐 → 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂. 𝟐 𝟐
Asignación dada por el ingeniero Pedro Rivas el jueves 11 de octubre del 2018 𝒎
𝒗( 𝒔 )
0 (+8)
4
8
12
16 𝒕(𝒔)
(-8)
Las directrices del ingeniero fueron sumar 8seg en el origen en el punto A de coordenadas [0,0] y restar 8 a 2 segundos en el punto B de coordenadas [2,8]. 𝟖𝒔𝒆𝒈 + 𝟎𝒔𝒆𝒈 = 𝟖𝒔𝒆𝒈 𝟐𝒔𝒆𝒈 − 𝟖𝒔𝒆𝒈 = −𝟔𝒔𝒆𝒈 𝟖𝒔𝒆𝒈 − 𝟔𝒔𝒆𝒈 = 𝟐𝒔𝒆𝒈 → 𝑳𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅
𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒏 𝟐 𝒔𝒆𝒈 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏. Por lo tanto reescribiéndose de la siguiente manera: 𝒎
𝒗( 𝒔 )
0
4
8
12
16 𝒕(𝒔)
Interrogantes a resolver: Ecuación de la Recta del Tramo. La pendiente de la recta del tramo. La velocidad en el tramo. Aceleración en el tramo. Tiempo recorrido en el tramo.
SECCIONANDO LOS TRAMOS 𝒎
𝒗( 𝒔 )
0
4
8
12
Tramo de (A-B). Coordenadas A (0,0) y B (2,0) Tramo (B-C). Coordenadas B (2,0) y C (4,8) Tramo (C-D). Coordenadas C (4,8) y D (10, 8) Tramo (D-E). Coordenadas D (10,8) y E (12, 4) Tramo (E-F). Coordenadas E (12,4) y F (18, 4)
16
TRAMO DE (A-B). COORDENADAS A (0,0) Y B (2,0) La velocidad en el tramo (A-B) El tramo A-B de la gráfica Velocidad en función del tiempo describe que para este tramo la velocidad es 0 m/seg. Aceleración en el tramo (A-B). En el tramo A-B de la gráfica velocidad tiempo al estar en reposo su aceleración también es igual a 0𝑚/𝑠𝑒𝑔2 La pendiente de la recta del tramo (A-B).
m= pendiente= inclinación. 𝜟𝒚 = los puntos del plano y. 𝜟𝒙 = los puntos del plano x. En el punto A y B tenemos las siguientes coordenadas: A (0, 0) y B (2,0) 𝒎=
𝜟𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟎𝒎/𝒔 − 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 = = = = 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝜟 𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟐𝒔𝒆𝒈 − 𝟎𝒔𝒆𝒈 𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈.
Como la pendiente nos dio 0 esto quiere decir gráficamente que una pendiente que tiene el valor 0 va a ser una línea paralela al eje de las abscisas. Y la pendiente de la recta vendrá a determinar lo anteriormente afirmado que la aceleración para este tramo es igual a 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐
Tiempo recorrido en el tramo (A-B). El tiempo que ha sido recorrido por en el tramo (A-B) viene a estar determinado por la gráfica velocidad vs tiempo mostrada anteriormente a lo cual es 2seg.
Ecuación de la recta en el tramo (A-B) Una vez hallada el valor de la pendiente de este tramo la cual es igual a 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 procedemos a hallar la ecuación de la recta en este tramo. Por consiguiente utilizamos la siguiente relación. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥1 ) → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 − 0 = 0(𝑥 − 0) Que también sería igual a 0. TRAMO (B-C). COORDENADAS B (2,0) Y C (4,8) La velocidad en el tramo (B-C)
La velocidad en el tramo estará definida en el promedio de las 2 velocidades tanto la del tramo “B” como la del tramo “C”.
𝑽 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 + 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 = 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟐
Aceleración en el tramo (B-C).
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 =
𝒗𝒇 − 𝒗𝟎 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 − 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 → = = 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 𝟒𝒔𝒆𝒈 − 𝟐𝒔𝒆𝒈 𝟐𝒔𝒆𝒈
La pendiente de la recta del tramo (B-C).
m= pendiente= inclinación. 𝜟𝒚 = los puntos del plano y. 𝜟𝒙 = los puntos del plano x.
En el punto A y B tenemos las siguientes coordenadas: B (2, 0) y C (4,8) 𝒎=
𝜟𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟖𝒎/𝒔 − 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 = = = = 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝜟 𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟒𝒔𝒆𝒈 − 𝟐𝒔𝒆𝒈 𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈.
Y la pendiente de la recta vendrá a determinar lo anteriormente afirmado que la aceleración para este tramo es igual a 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐
Tiempo recorrido en el tramo (B-C). El tiempo que ha sido recorrido por en el tramo (B-C) viene a estar determinado por la gráfica velocidad vs tiempo mostrada anteriormente a lo cual es 2seg en el cual la partícula aumenta su velocidad 4m/seg por cada segundo. Ecuación de la recta en el tramo (B-C) Una vez hallada el valor de la pendiente de este tramo la cual es igual a 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 procedemos a hallar la ecuación de la recta en este tramo. Por consiguiente utilizamos la siguiente relación. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥1 ) → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 − 0 = 4(𝑥 − 2)
𝑦 − 0 = 4(𝑥 − 2) → 𝑦 = 4𝑥 − 8 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: −4𝑥 + 𝑦 + 8 = 0 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 − 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 4𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
TRAMO (C-D). COORDENADAS C (4,8) Y D (10,8) La velocidad en el tramo (C-D) El tramo C-D de la gráfica Velocidad en función del tiempo describe que para este tramo la velocidad es constante y tiene un valor de 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 . Aceleración en el tramo (C-D).
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 =
𝒗𝒇 − 𝒗𝟎 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 − 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 → = = 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 𝟏𝟎𝒔𝒆𝒈 − 𝟒𝒔𝒆𝒈 𝟔𝒔𝒆𝒈
Esto determinado de esta manera puesto que la velocidad para este tramo C-D es constante por lo tanto la aceleración es igual a 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 La pendiente de la recta del tramo (C-D).
m= pendiente= inclinación. 𝜟𝒚 = los puntos del plano y. 𝜟𝒙 = los puntos del plano x. En el punto A y B tenemos las siguientes coordenadas: C (4, 8) y D (10,8) 𝒎=
𝜟𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟖𝒎/𝒔 − 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 = = = = 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝜟 𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟏𝟎𝒔𝒆𝒈 − 𝟒𝒔𝒆𝒈 𝟔𝒔𝒆𝒈
Y la pendiente de la recta vendrá a determinar lo anteriormente afirmado que la aceleración para este tramo es igual a 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐
Tiempo recorrido en el tramo (C-D). El tiempo que ha sido recorrido por en el tramo (C-D) viene a estar determinado por la gráfica velocidad vs tiempo mostrada anteriormente a lo cual es 6seg en el cual la partícula mantiene su velocidad 8m/seg. Ecuación de la recta en el tramo (C-D) Una vez hallada el valor de la pendiente de este tramo la cual es igual a 𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 procedemos a hallar la ecuación de la recta en este tramo. Por consiguiente utilizamos la siguiente relación. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥1 ) → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 − 8 = 0(𝑥 − 4) No obtendremos nada que se asemeje a una ecuación de la recta sin embargo 𝑦 − 8 = 0 TRAMO (D-E). COORDENADAS D (10,8) Y E (12, 4) La velocidad en el tramo (D-E)
La velocidad en el tramo estará definida en el promedio de las 2 velocidades tanto la del tramo “D” como la del tramo “E”.
𝑽 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =
𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 + 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 = 𝟔𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟐
. Aceleración en el tramo (D-E).
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 =
𝒗𝒇 − 𝒗𝟎 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 − 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 −𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 → = = −𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒈 − 𝟏𝟎𝒔𝒆𝒈 𝟐𝒔𝒆𝒈
Esto determinado de esta manera puesto que la velocidad para este tramo D-E va desacelerando en función a esto.
La pendiente de la recta del tramo (D-E).
m= pendiente= inclinación. 𝜟𝒚 = los puntos del plano y. 𝜟𝒙 = los puntos del plano x. En el punto A y B tenemos las siguientes coordenadas: D (10, 8) y E (12,4) 𝒎=
𝜟𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 − 𝟖𝒎/𝒔𝒆𝒈 −𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 = = = = −𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝜟 𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒈 − 𝟏𝟎𝒔𝒆𝒈 𝟐𝒔𝒆𝒈
Y la pendiente de la recta vendrá a determinar lo anteriormente afirmado que la aceleración para este tramo es igual a −𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐
Tiempo recorrido en el tramo (D-E). El tiempo que ha sido recorrido por en el tramo (D-E) viene a estar determinado por la gráfica velocidad vs tiempo mostrada anteriormente a lo cual es 2seg en el cual la partícula mantiene su velocidad desciende de 8m/seg a 4m/seg por lo tanto se cumple el valor de la desaceleración antes mencionada. Ecuación de la recta en el tramo (D-E)
Una vez hallada el valor de la pendiente de este tramo la cual es igual a −𝟐𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 procedemos a hallar la ecuación de la recta en este tramo. Por consiguiente utilizamos la siguiente relación. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥1 ) → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 − 8 = −2(𝑥 − 10) 𝑦 − 8 = −2(𝑥 − 10) → 𝑦 = −2𝑥 + 20 + 8 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: −2𝑥 − 𝑦 + 28 = 0 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 − 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 2𝑥 + 𝑦 − 28 = 0 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 TRAMO (E-F). COORDENADAS E (12,4) Y F (18, 4)
La velocidad en el tramo (E-F) El tramo E-F de la gráfica Velocidad en función del tiempo describe que para este tramo la velocidad es constante y tiene un valor de 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 . Aceleración en el tramo (E-F).
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 =
𝒗𝒇 − 𝒗𝟎 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 − 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 → = = 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝒕𝒇 − 𝒕𝟎 𝟏𝟖𝒔𝒆𝒈 − 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒈 𝟔𝒔𝒆𝒈
Esto determinado de esta manera puesto que la velocidad para este tramo E-F es constante por lo tanto la aceleración es igual a 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 La pendiente de la recta del tramo (E-F).
m= pendiente= inclinación. 𝜟𝒚 = los puntos del plano y.
𝜟𝒙 = los puntos del plano x. En el punto A y B tenemos las siguientes coordenadas: E (12, 4) y F (18,4) 𝒎=
𝜟𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 − 𝟒𝒎/𝒔𝒆𝒈 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈 = = = = 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 𝜟 𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟏𝟖𝒔𝒆𝒈 − 𝟏𝟐𝒔𝒆𝒈 𝟔𝒔𝒆𝒈
Y la pendiente de la recta vendrá a determinar lo anteriormente afirmado que la aceleración para este tramo es igual a 𝟎𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐
Tiempo recorrido en el tramo (E-F). El tiempo que ha sido recorrido por en el tramo (E-F) viene a estar determinado por la gráfica velocidad vs tiempo mostrada anteriormente a lo cual es 6seg en el cual la partícula mantiene su velocidad 4m/seg. Ecuación de la recta en el tramo (E-F) Una vez hallada el valor de la pendiente de este tramo la cual es igual a 𝒎/𝒔𝒆𝒈𝟐 procedemos a hallar la ecuación de la recta en este tramo. Por consiguiente utilizamos la siguiente relación. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥1 ) → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 − 4 = 0(𝑥 − 12) No obtendremos nada que se asemeje a una ecuación de la recta sin embargo 𝑦 − 4 = 0
CONCLUSIÓN
El estudio de la cinemática nos posibilita conocer y predecir en qué lugar se encontrará un cuerpo, que velocidad tendrá al cabo de cierto tiempo, o bien a que laso llegará a su destino. Hacer la descripción del movimiento de un cuerpo significa precisar, a cada instante, su posición en el espacio. La descripción del movimiento de cualquier objeto material, resulta útil interpretarlo como un partícula material en movimiento, como si fuera un solo punto en movimiento. Pues solo se pretende Facilitar la descripción de sus cambios de posición al supones que todas sus partes constitutivas están animadas del mismo movimiento. Cualquier cuerpo físico puede ser considerado como una partícula. La trayectoria de una partícula o el camino recorrido al pasar de su posición inicial a su posición final, puede ser recta o curva, resultando así los movimiento rectilíneos o curvilíneos, los cuales pueden ser uniformes o variados dependiendo de que la velocidad permanezca constante o no. La cinemática es de vital importancia para no solo entender el movimiento de un cuerpo sino cuantificarlo y hacerlo preciso.