Mru
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- Words: 1,518
- Pages: 9
El movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) Al registrar el desplazamiento de una persona que camina se obtienen lo siguientes resultados: Distancia (m)
15
30
45
60
75
Tiempo (s)
10
20
30
40
50
El análisis de estos datos nos muestra que para recorrer cada tramo de 15 metros emplea 10 segundos y que la velocidad en cada tramo es siempre de 1,5 m/s. Estas dos características: •
El móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales,
•
La velocidad es constante,
son propias del movimiento uniforme. También notamos que para recorrer el doble de una distancia requiere el doble de tiempo; el triple de distancia el triple de tiempo, etcétera o sea que la distancia recorrida está en proporción directa con el tiempo que se emplea para recorrerla Entonces podemos establecer que: MOVIMIENTO UNIFORME es aquel en que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerlo Cuando un movimiento es uniforme, en base a la fórmula de la velocidad v ∆x
v. ∆t
∆ ∆
Resultan: y
∆t
∆x v
lo cual permite resolver diversos problemas, tales como: Ejemplo 1: Un tren se desplaza a 60 km/h. durante 5 horas. Calcular La distancia recorrida: ∆x R
v. ∆t
60
km . 5h h
300 km
300 km
Ejemplo 2: Un avión se desplaza a 180 km/h. ¿Qué tiempo tarda en recorrer 450 km?
∆t
R
450 km km 180 h 2h 30 min ∆x v
2,5 h
2h 30 min
Ecuación horaria del M.R. U. La ecuación horaria permite calcular el espacio recorrido por un móvil en un cierto intervalo de tiempo Consideremos el siguiente caso: •
Deseamos conocer el espacio recorrido (x) hasta las 11,00 h (t), por un avión
que circula con movimiento uniforme a una velocidad (v) de 300 km/h, sabiendo que dicho avión pasó por el km 20 (x0) a las 9,00 h (t0). ‐ Los datos consignados son: v= 300 km/h
t0= 9,00 h
t= 11,00 h
x0= 20 km/h
‐ La incógnita es x (espacio recorrido). •
Como en el movimiento uniforme la v
∆ ∆
= constante, resulta:
Por lo tanto: x= x0 + v . (t – t0) (1) x
Sabiendo que ∆x
x y ∆t
t
t
reemplazar en (1) tenemos: x‐x0= v . (t – t0) Por lo tanto: x= x0 + v . (t – t0) Entonces, reemplazando por los datos consignados: x
20km
300
km . 11,00h h
9,00h
620 km
La ecuación x= x0 + v . (t – t0) recibe el nombre de ecuación horaria del movimiento uniforme. Cuando t0 = 0, la ecuación resulta: x= x0 + v . t Si, además, x0=0 es: x= v . t
Representación gráfica del espacio en función del tiempo En el caso del movimiento uniforme resulta útil representar gráficamente el espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo A modo de ejemplo, construiremos el gráfico correspondiente a la siguiente tabla: Movimiento uniforme de un tren Tiempo (h)
1
2
3
4
Espacio (km)
60
120
180
240
Primero, se traza un sistema de coordenadas, constituido por el eje de la abscisa y el
ordenada
eje de la ordenada (la longitud de ambos ejes debe ser similar).
abscisa
Luego, sobre el eje de la abscisa, se coloca la escala correspondiente al tiempo y sobre el eje de la ordenada los valores correspondientes al espacio.
Espacio (km)
240 180 120 60 0
1
3 2 Tiempo (h)
4
A continuación se procede a determinar los pares relacionados:
Espacio (km)
240 180 120 60 0
1
3 2 Tiempo (h)
4
Finalmente se unen los puntos hallados, obteniéndose la representación gráfica del movimiento uniforme que hemos tomado como ejemplo:
Espacio (km)
240 180 120 60 0
1
3 2 Tiempo (h)
4
La observación de este gráfico nos muestra que todos los puntos hallados están sobre una misma recta, que suele denominarse recta representativa. Entonces, podemos señalar que En el movimiento uniforme, la representación gráfica del espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo es una línea recta Asimismo, se observa que: ‐ La recta obtenida pasa por el origen 0, porque en el instante cero (t=0), el espacio recorrido es cero (x = 0). ‐ Como t=0 y x= 0, la ecuación horaria resulta x= v . t ‐ El espacio recorrido es función creciente del tiempo. (El espacio se incrementa a medida que transcurre el tiempo.)
‐ Se pueden resolver problemas referidos a tiempos o distancias por interpolación. (Interpolación: Obtención de datos entre dos mediciones)
Representación gráfica de x en función de t, cuando x0 0 Consideremos el caso de un móvil que se desplaza con movimiento uniforme a una velocidad de 5 m/s y que en el instante cero (t=0) ya ha recorrido un espacio de 15 metros (x0 = 15 m). Los datos correspondientes al desplazamiento de dicho móvil se encuentran en la siguiente tabla: Tiempo (s)
0
Espacio (m) 15
1
2
3
4
20
25
30
35
Con estos datos podemos construir la siguiente representación gráfica x (m) 40 30 v . t 20 10 0
x0 1
2
3
4
t (s)
Como en el instante inicial t = 0 y x = 15 m, la ecuación horaria del movimiento resulta ser: x= x0 + v . t
Representación gráfica para dos móviles con igual t0 En un mismo sistema de coordenadas, representamos conjuntamente el espacio recorrido en función del tiempo de un tren que circula con M.U. a 60 km/h Y el de otro tren que parte a la misma hora, pero con velocidad 90 km/h:
1 x (km)
2 v= 90 km v= /h 6 0 km /h
240 180 120 60 0
1
3
2
t (h)
4
Observamos que la recta 1 posee mayor pendiente que la recta 2. Como están representadas en la misma escala ello se debe a la diferencia de velocidad
Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo En base a la siguiente tabla: Movimiento uniforme de un automóvil Tiempo (h)
1
2
3
4
5
6
Velocidad (km/h)
80
80
80
80
80
80
Efectuamos la representación gráfica, colocando el tiempo sobre el eje de las abscisas y la velocidad sobre el eje de ordenada v (km/h) 80
1
2
3
4
5
6
t (h)
La representación es una recta paralela al eje del tiempo porque la velocidad es constante. En el gráfico que hemos construido, consideremos un rectángulo limitado por los ejes de coordenadas, la recta representativa y una paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto A del eje del tiempo:
v (km/h) B
80
o
A 1
2
3
4
5
6
t (h)
El área del rectángulo delimitado permite calcular el espacio recorrido en el intervalo de tiempo entre O y A. El área del rectángulo OABC = Base. Altura = OA • AB Pero la base OA representa el tiempo (t) y la altura AB corresponde a velocidad (v). Entonces: Área OABC = v. t = x (espacio) En consecuencia, podemos deducir que: En la representación grafica de la velocidad en función del tiempo, el área del rectángulo determinado por los ejes de coordenadas, la recta representativa y la paralela al eje de las ordenadas que pasa por un cierto punto A del eje del tiempo, representa el espacio recorrido por el móvil en el intervalo de tiempo entre O y A
Actividades de reconocimiento Lea atentamente las siguientes afirmaciones. Cuando son verdaderas encierre con un círculo la "V". En caso contrario. Marque de igual modo la "F". Justifique La cinemática describe los movimientos
V
F
Para definir un movimiento se necesita un sistema de referencia
V
F
Trayectoria es el punto donde está el móvil
V
F
Posición es un punto fijo elegido como referencia
V
F
La abscisa representa la trayectoria rectilínea de un móvil
V
F
La velocidad indica el espacio recorrido en la unidad de tiempo
La fórmula de la velocidad es:
∆ ∆
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
El movimiento uniforme se caracteriza por tener velocidad constante La ecuación horaria permite calcular la velocidad en cierto intervalo de tiempo La velocidad es una magnitud vectorial 2) Teniendo en cuenta los siguientes gráficos: A
B v (m/s)
x (m)
t (s)
t (s)
C
D
x (m)
v (m/s)
t (s)
t (s)
Señale cuál: a) Indica que la velocidad es constante: ………………………………………………………………………. Justifique: …………………………………………………………………………………………………………………….. b) Corresponde a un móvil que está detenido: …………………………………………………………….. Justifique: …………………………………………………………………………………………………………………….. c) Muestra que la velocidad aumenta al transcurrir el tiempo: …………………………………….
Justifique: …………………………………………………………………………………………………………………….. d) indica que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerlo: …………………………………………………………………………………………………………………… Justifique: ……………………………………………………………………………………………………………………. 3) El siguiente gráfico representa los movimientos de dos automóviles sobre una misma carretera:
x (m)
B A
t (s) Observe, analice y responda: a) ¿Qué clase de movimiento presentan?: ………………………………………………………………… ¿Por qué?: …………………………………………………………………………………………………………………… b) ¿Cuál de los dos automóviles tiene mayor velocidad?: …………………………………………… ¿Por qué?: …………………………………………………………………………………………………………………… c) ¿Cuál es la ecuación horaria para calcular el espacio recorrido por el automóvil A?: ………………………………………….. Justifique:……………………………………………………………………………………………………………………… d) ¿El automóvil A puede alcanzar al B?: ……………………………………………………………………… Justifique: ……………………………………………………………………………………………………………………..
15
30
45
60
75
Tiempo (s)
10
20
30
40
50
El análisis de estos datos nos muestra que para recorrer cada tramo de 15 metros emplea 10 segundos y que la velocidad en cada tramo es siempre de 1,5 m/s. Estas dos características: •
El móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales,
•
La velocidad es constante,
son propias del movimiento uniforme. También notamos que para recorrer el doble de una distancia requiere el doble de tiempo; el triple de distancia el triple de tiempo, etcétera o sea que la distancia recorrida está en proporción directa con el tiempo que se emplea para recorrerla Entonces podemos establecer que: MOVIMIENTO UNIFORME es aquel en que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerlo Cuando un movimiento es uniforme, en base a la fórmula de la velocidad v ∆x
v. ∆t
∆ ∆
Resultan: y
∆t
∆x v
lo cual permite resolver diversos problemas, tales como: Ejemplo 1: Un tren se desplaza a 60 km/h. durante 5 horas. Calcular La distancia recorrida: ∆x R
v. ∆t
60
km . 5h h
300 km
300 km
Ejemplo 2: Un avión se desplaza a 180 km/h. ¿Qué tiempo tarda en recorrer 450 km?
∆t
R
450 km km 180 h 2h 30 min ∆x v
2,5 h
2h 30 min
Ecuación horaria del M.R. U. La ecuación horaria permite calcular el espacio recorrido por un móvil en un cierto intervalo de tiempo Consideremos el siguiente caso: •
Deseamos conocer el espacio recorrido (x) hasta las 11,00 h (t), por un avión
que circula con movimiento uniforme a una velocidad (v) de 300 km/h, sabiendo que dicho avión pasó por el km 20 (x0) a las 9,00 h (t0). ‐ Los datos consignados son: v= 300 km/h
t0= 9,00 h
t= 11,00 h
x0= 20 km/h
‐ La incógnita es x (espacio recorrido). •
Como en el movimiento uniforme la v
∆ ∆
= constante, resulta:
Por lo tanto: x= x0 + v . (t – t0) (1) x
Sabiendo que ∆x
x y ∆t
t
t
reemplazar en (1) tenemos: x‐x0= v . (t – t0) Por lo tanto: x= x0 + v . (t – t0) Entonces, reemplazando por los datos consignados: x
20km
300
km . 11,00h h
9,00h
620 km
La ecuación x= x0 + v . (t – t0) recibe el nombre de ecuación horaria del movimiento uniforme. Cuando t0 = 0, la ecuación resulta: x= x0 + v . t Si, además, x0=0 es: x= v . t
Representación gráfica del espacio en función del tiempo En el caso del movimiento uniforme resulta útil representar gráficamente el espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo A modo de ejemplo, construiremos el gráfico correspondiente a la siguiente tabla: Movimiento uniforme de un tren Tiempo (h)
1
2
3
4
Espacio (km)
60
120
180
240
Primero, se traza un sistema de coordenadas, constituido por el eje de la abscisa y el
ordenada
eje de la ordenada (la longitud de ambos ejes debe ser similar).
abscisa
Luego, sobre el eje de la abscisa, se coloca la escala correspondiente al tiempo y sobre el eje de la ordenada los valores correspondientes al espacio.
Espacio (km)
240 180 120 60 0
1
3 2 Tiempo (h)
4
A continuación se procede a determinar los pares relacionados:
Espacio (km)
240 180 120 60 0
1
3 2 Tiempo (h)
4
Finalmente se unen los puntos hallados, obteniéndose la representación gráfica del movimiento uniforme que hemos tomado como ejemplo:
Espacio (km)
240 180 120 60 0
1
3 2 Tiempo (h)
4
La observación de este gráfico nos muestra que todos los puntos hallados están sobre una misma recta, que suele denominarse recta representativa. Entonces, podemos señalar que En el movimiento uniforme, la representación gráfica del espacio recorrido en función del tiempo empleado en recorrerlo es una línea recta Asimismo, se observa que: ‐ La recta obtenida pasa por el origen 0, porque en el instante cero (t=0), el espacio recorrido es cero (x = 0). ‐ Como t=0 y x= 0, la ecuación horaria resulta x= v . t ‐ El espacio recorrido es función creciente del tiempo. (El espacio se incrementa a medida que transcurre el tiempo.)
‐ Se pueden resolver problemas referidos a tiempos o distancias por interpolación. (Interpolación: Obtención de datos entre dos mediciones)
Representación gráfica de x en función de t, cuando x0 0 Consideremos el caso de un móvil que se desplaza con movimiento uniforme a una velocidad de 5 m/s y que en el instante cero (t=0) ya ha recorrido un espacio de 15 metros (x0 = 15 m). Los datos correspondientes al desplazamiento de dicho móvil se encuentran en la siguiente tabla: Tiempo (s)
0
Espacio (m) 15
1
2
3
4
20
25
30
35
Con estos datos podemos construir la siguiente representación gráfica x (m) 40 30 v . t 20 10 0
x0 1
2
3
4
t (s)
Como en el instante inicial t = 0 y x = 15 m, la ecuación horaria del movimiento resulta ser: x= x0 + v . t
Representación gráfica para dos móviles con igual t0 En un mismo sistema de coordenadas, representamos conjuntamente el espacio recorrido en función del tiempo de un tren que circula con M.U. a 60 km/h Y el de otro tren que parte a la misma hora, pero con velocidad 90 km/h:
1 x (km)
2 v= 90 km v= /h 6 0 km /h
240 180 120 60 0
1
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t (h)
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Observamos que la recta 1 posee mayor pendiente que la recta 2. Como están representadas en la misma escala ello se debe a la diferencia de velocidad
Representación gráfica de la velocidad en función del tiempo En base a la siguiente tabla: Movimiento uniforme de un automóvil Tiempo (h)
1
2
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Velocidad (km/h)
80
80
80
80
80
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Efectuamos la representación gráfica, colocando el tiempo sobre el eje de las abscisas y la velocidad sobre el eje de ordenada v (km/h) 80
1
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5
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t (h)
La representación es una recta paralela al eje del tiempo porque la velocidad es constante. En el gráfico que hemos construido, consideremos un rectángulo limitado por los ejes de coordenadas, la recta representativa y una paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto A del eje del tiempo:
v (km/h) B
80
o
A 1
2
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t (h)
El área del rectángulo delimitado permite calcular el espacio recorrido en el intervalo de tiempo entre O y A. El área del rectángulo OABC = Base. Altura = OA • AB Pero la base OA representa el tiempo (t) y la altura AB corresponde a velocidad (v). Entonces: Área OABC = v. t = x (espacio) En consecuencia, podemos deducir que: En la representación grafica de la velocidad en función del tiempo, el área del rectángulo determinado por los ejes de coordenadas, la recta representativa y la paralela al eje de las ordenadas que pasa por un cierto punto A del eje del tiempo, representa el espacio recorrido por el móvil en el intervalo de tiempo entre O y A
Actividades de reconocimiento Lea atentamente las siguientes afirmaciones. Cuando son verdaderas encierre con un círculo la "V". En caso contrario. Marque de igual modo la "F". Justifique La cinemática describe los movimientos
V
F
Para definir un movimiento se necesita un sistema de referencia
V
F
Trayectoria es el punto donde está el móvil
V
F
Posición es un punto fijo elegido como referencia
V
F
La abscisa representa la trayectoria rectilínea de un móvil
V
F
La velocidad indica el espacio recorrido en la unidad de tiempo
La fórmula de la velocidad es:
∆ ∆
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
El movimiento uniforme se caracteriza por tener velocidad constante La ecuación horaria permite calcular la velocidad en cierto intervalo de tiempo La velocidad es una magnitud vectorial 2) Teniendo en cuenta los siguientes gráficos: A
B v (m/s)
x (m)
t (s)
t (s)
C
D
x (m)
v (m/s)
t (s)
t (s)
Señale cuál: a) Indica que la velocidad es constante: ………………………………………………………………………. Justifique: …………………………………………………………………………………………………………………….. b) Corresponde a un móvil que está detenido: …………………………………………………………….. Justifique: …………………………………………………………………………………………………………………….. c) Muestra que la velocidad aumenta al transcurrir el tiempo: …………………………………….
Justifique: …………………………………………………………………………………………………………………….. d) indica que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en recorrerlo: …………………………………………………………………………………………………………………… Justifique: ……………………………………………………………………………………………………………………. 3) El siguiente gráfico representa los movimientos de dos automóviles sobre una misma carretera:
x (m)
B A
t (s) Observe, analice y responda: a) ¿Qué clase de movimiento presentan?: ………………………………………………………………… ¿Por qué?: …………………………………………………………………………………………………………………… b) ¿Cuál de los dos automóviles tiene mayor velocidad?: …………………………………………… ¿Por qué?: …………………………………………………………………………………………………………………… c) ¿Cuál es la ecuación horaria para calcular el espacio recorrido por el automóvil A?: ………………………………………….. Justifique:……………………………………………………………………………………………………………………… d) ¿El automóvil A puede alcanzar al B?: ……………………………………………………………………… Justifique: ……………………………………………………………………………………………………………………..
