Movimiento En Dos Dimensiones

Un proyectil es un objeto que es lanzado en el aire y que se mueve predominantemente bajo la influencia de la gravedad. Al estudiar el movimiento de los proyectiles haremos dos simplificaciones: a) se despreciará la variación de la de la dirección o magnitud de la aceleración gravitacional, lo cual implica no tomar en cuenta la curvatura terrestre, y por lo mismo, será válido en proyectiles cuyos movimientos verticales y horizontales son pequeños comparados con el radio terrestre; b) se despreciará la resistencia del aire; en objetos pesados que se mueven relativamente despacio, es despreciable, pero en objetos muy ligeros que se muevan a poca o a mucha velocidad o en los muy pesados que se muevan a gran velocidad, la resistencia del aire tiene gran influencia sobre el movimiento. Para describir el movimiento de un proyectil, es conveniente escoger un sistema de coordenadas en el cual el eje de las y es verticalmente hacia arriba, siendo el eje de las x horizontal y en la dirección de la componente horizontal de la velocidad inicial del proyectil. Por lo que analizaremos el movimiento solo en dos dimensiones, en el plano x-y. Además, la única aceleración será la de la gravedad, cuando el objeto sea lanzado: hacia arriba en forma vertical o con cierta inclinación, en forma horizontal, o hacia abajo con cierta inclinación. Cuando el objeto sea lanzado hacia abajo en forma vertical o se deje caer: Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, la velocidad inicial es positiva mientras que la aceleración de la gravedad es negativa. Todos los vectores con sentido hacia arriba son positivos y los que van hacia abajos son negativos. Por ejemplo, supongamos que una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de ¿Qué altura tendrá para diferentes valores del tiempo si despreciamos la resistencia del aire? En este caso ; la expresión que nos permite calcular la altura para cualquier tiempo es de la altura con respecto al tiempo, utilizamos el Matematica con la instrucción:

, mientras que Para obtener los diferentes valores

Observamos que a los 2 segundos se alcanza la altura máxima de 19.6 metros, y que a los 4 segundos la pelota pasa por el mismo nivel de lazamiento y al continuar descendiendo las alturas son negativas por estar abajo del nivel del lanzamiento. Para conocer las diferentes velocidades de la pelota en función del tiempo, utilizamos la expresión ; sustituyendo los valores:

Gráfica de la velocidad:

; graficando en el Mathematica :

Se observa que a los 2 segundos la velocidad de la pelota es cero, lo cual indica que alcanzó la altura máxima que en este caso es de 19.6m, y a los 4 segundos la velocidad es de lo cual significa que la pelota pasa por el mismo nivel de lanzamiento con la misma velocidad con la que fué lanzada pero en movimiento hacia abajo.

Cuando una pelota se deja caer desde cierta altura, al mismo tiempo en que otra pelota es lanzada horizontalmente del mismo punto con una velocidad de , se observa que al cabo se 1 seg ambas pelotas han descedido 4.9m, pero la lanzada horizontalmente se ha desplazado 5m hacia la derecha; a los 2 seg ambas han descendido 19.6m y la lanzada horizontalmente se ha desplazado 10m hacia la derecha; a los 3 seg ambas descienden distancias iguales pero la lanzada se ha desplazado hacia la derecha una distancia de 15m.

Analizando el movimiento de la pelota que se deja caer, como es caída libre sin resistencia del aire y con velocidad inicial cero, la expresión que determina la distancia descendida en función del tiempo, es la gravedad es positiva, por lo que sustituyendo valores tenemos:

; en este caso la aceleración de

Se observa que la distancia que desciende es positiva. Analizando ahora el movimiento de la pelota que es lanzada horizontalmente con velocidad inicial de

, la expresión que

nos permite calcular la distancia que desciende en función del tiempo, es ; siendo la componente vertical de la velocidad inicial. Tenemos que este caso la aceleración de la gravedad es negativa, al igual que en el caso en el cual la pelota se lance hacia arriba y se toma como nivel de referencia el punto de lanzamiento, siendo las distancias positivas arriba del nivel de lanzamiento y negativas por debajo del nivel de lanzamiento, este hecho es muy importante tenerlo en cuenta cuando se requiera determinar la distancia que desciende un objeto por debajo del nivel de lanzamiento, pues en este tipo de problemas la ecuación planteada debe considerar que la altura h es negativa. Sustituyendo valores se tiene:

Mientras la pelota desciende verticalmente, en forma simultánea también se mueve horizontalmente pero con velocidad constante y la distancia horizontal que recorre se calcula con la expresión , que es equivalente a debido a que cos(0)=1; siendo la componente horizontal de la velocidad. Por lo que sustituyendo valores tenemos:

. Se observa que la distancia horizontal que recorre la pelota se calculó de manera independiente al desplazamiento vertical, sin embargo, el resultado de los dos movimientos independientes combinados: un movimiento horizontal con rapidez constante de y un movimiento vertical que inicia con velocidad vertical cero, producen un camino curvo que se llama trayectoria del proyectil y la forma de la curva descrita es una parábola. A grandes velocidades la resistencia del aire tiene importancia, pero para fines prácticos consideraremos que la resistencia del aire es despreciable cuando se trete de un cuerpo pesado cayendo a unos 200 metros o menos.

También con el Mathematica se puede obtener la gráfica de la altura con respecto al desplazamiento horizontal, de la pelota que se lanza en forma horizontal con velocidad inicial de el desplaxamiento horizontal: tiene

como

en esta expresión sustituímos a t por

, obteniendo primero la expresión que nos relaciona la altura con , pues no hay componente vertical de la velocidad inicial, se siendo

debido a que la velocidad de salida es puramente horizontal, entonces

la componente horizontal de la velocidad inicial y ; por lo que sustituyendo se tiene

La gráfica de esta expresión es:

Gráfica de la altura en función del alcance:

Para graficar la expresión que nos relaciona la altura con el tiempo de la pelota lanzada horizontalmente, partiendo de instrucción:

; como

pues no hay componente verical, entonces graficamos la expresión

mediante la

ECUACIONES DE TIRO PARABOLICO

2.2.1

...(1)

2.2.2

;sustituyendo

se tiene:

..(1)

2.2.3

..(3)

..(4)

8)

2.2.4. Cuando y es máxima

..(5)

..(6) ;

..(7)

2.2.5.

2.2.6.

..(8) ;

..(9)

PROBLEMA 2.3.1.- Una manguera arroja agua en A formando un ángulo de

con la horizontal. a) Si la manguera

arroja agua con una velocidad inicial de , determinar a qué distancia cae el chorro de agua; verificar que el agua rebasa el borde de la azotea( que ). b) Determinar las velocidades máxima y mínima de la salida del agua para que esta caiga sobre la azotea,esto es, para que

Paso1. Cuando la distancia del chorro de agua sea de

, la altura debe ser de y=7-1.5=5.5m.

Paso 2. Sabiendo que ; se debe calcular el tiempo que tarda el chorro en alcanzar la altura de 5.5m, y posteriormente con ese tiempo calcular la distacia

Paso 3. Utilizando la ecuación

considerando que la altura y es positiva, que g es negativa.

Sustituyendo los datos se tiene:

;

Paso 4. Con el tiempo de 0.12 seg, la distancia horizontal que se recorre es de: Resulta

, que es el resultado correcto, lo que indica que cuando y=5.5m,

Con el tiempo de 0.528 seg , se obtiene

. Resp.

, y no llega al punto B de la azotea.

Paso 5. Otra forma de resolver el problema consiste en utilizar una expresión que relacione a x,y: partiendo de sustituyendo el valor de t, de

simplificado:

sustituyendo valores : ; despejando:

;

Siendo el resultado x=15.94m, lo cual significa que cuando la altura del chorro es de 5.5m, la distancia horizontal correspondiente es de 15.94m.Resp. Mientras que en x=3.96m no llega al borde B de la azotea. Paso 6. Para verificar que el chorro sí rebasa el borde B de la azotea, nos debemos asegurar que cuando la distancia horizontal recorrida por el chorro sea de 5, su altura sea mayor de 5.5m. Por lo que el tiempo empleado en recorrer horizontalmente los 5m es: tiempo la altura del chorro es de:

; en este

con lo que resulta y=6.44m, por lo que sí rebasa el borde B de la azotea. Resp.

Gráfica de la altura con respecto al alcance:

Paso 7. Para determinar la velocidad de salida que debe tener el chorro de agua para que pegue justo en el borde D de la azotea, que en este caso será la velocidad máxima, se debe encontar primero el tiempo necesario para que el chorro de agua recorra horizontalmente la distancia de 25m y verticalmente la altura de 5.5m, y luego calcular la velocidad de salida con éstos valores obtenidos. Paso 8. Tiempo en recorrer horizontalmente los 25m, xD=25, es: 5.5m, y=5.5 , en la expresión:

; en este tiempo se debe alcanzar la altura de

Se desconocen txD , y vo ; por lo que sustituímos el valor de vo : ; simplificando:

sustituyendo valores:

;

;

con este tiempo, la velocidad inicial es de:

Resp.

Paso 9. Para calcular la velocidad de salida que debe tener el chorro de agua para que pegue justo en el punto B de la azotea, se debe considerar que esto se logra cuando la distancia horizontalmente recorrida sea de 5m, xB=5, y la altura sea de 5.5m, y=5.5m, para ello, se debe realizar un análisis semejante al anterior:

; sustituyendo:

; sustituyendo valores y despejando el tiempo:

Velociad inicial para que el chorro alcance justo en el punto B, es: Gráfica de la velocidad con respecto al alcance:

Resp.

Problema 2.3.2.- Un hombre sobre un puente a 10 m sobre el agua lanza una piedra en dirección horizontal. Sabiendo que la piedra golpea el agua en un punto situado a 30 m a partir del punto sobre el agua directamente debajo del hombre. Determinar : la velocidad inicial de la piedra, la velocidad de la piedra al llegar al agua,el ángulo con el cual la piedra hace contacto con el agua.

Paso 1. La ecuación de movimiento que se debe utilizar de acuerdo con los datos del problema, es : ; pero como el lanzamiento fué de manera horizontal, entonces la componente vertical de la velocidad de salida es cero, por lo que la ecuación se reduce a: Con esta expresión se calcula el tiempo que tardó la piedra en descender los 10m, tomando en cuenta que el nivel de referencia es el punto de lanzamiento:

; este tiempo es el que trada es descender 10m y en recorrer horizontalmente los 30m; por lo que la velocidad horizontal de salida es: treyectoria. Resp.

; y esta velocidad se mantiene constante en toda la

Paso 2. La velocidad vertical con la cual la piedra llega al agua, se determina con la ecuación:

; como no hay

componente vertical en la velocidad e salida, se reduce a: esta es la velocidad vertical con la cual la piedra golpea al agua, y la velocidad con la cual la piedra llega al agua, es: Resp. Paso 3. El ángulo con el cual la piedra llega al agua, es: Resp.

Gráfica de la altura con respecto a alcance:

PROBLEMA 2.3.3.- Sale agua de un tanque a presion por A, con una velocidad horizontal Vo. ¿Para qué intervalo de valores Vo el agua pasará por la abertura BC?

Paso 1. El Chorro de agua simultáneamente recorre 2m horizontalmente y desciende 1m al pasar por el punto B, en la abertura BC. La ecuación que se utiliza para determinar la velocidad de salida horizontal, es:

; pero como la salida es

horizontal, la velocidad no tiene componente vertical, por lo que la ecuación se reduce a: ; para realizar el cálculo más rápido, sustituímos el tiempo por la relación : ; siendo en este caso x=2m , y la velocidad horizontal de salida que se mantiene constante en toda la trayectoria; por lo que se tiene:

; despejando:

valores y considerando que la altura que desciende el chorro así como la

aceleración de la gravedad son negativas:

Resp.

Paso 2. Para que el chorro pase por el punto C de la abertura BC, la velocidad

horixontal de salida se determina con la misma expresión: por lo que sustituyendo valores:

Resp. Por lo que el intervalo de valores que se pide, es: Resp.

;

; sustituyendo

Trayectoria del chorro de agua al pasar por el punto B:

Trayectoria del chorro de agua al pasar por el punto C:

PROBLEMA 2.3.4.- Un proyectil se dispara con una velocidad de y con cierto ángulo, se observa que tiene un alcance horizontal de 3000m, como lo indica la figura. Determinar la altura máxima alcanzada y el ángulo de disparo.

Paso 1. Primero se debe determinar el ángulo de disparo, utilizando la ecuación: el tiempo de la componente horizontal de la velocidad en x:

;

; simplificando: consiste en multiplicarla por

; una forma de resolver la ecuación para

:

;

, se tiene:

Resp.

Paso 2. La otra forma de resolver la ecuación para aplicar la identidad :

,

; sustituyendo los valores del problema:

; con lo cual se obtiene: aplicando la identidad:

; en la cual se sustituye

:

; consiste en sustituir ;

sutituyendo los valores del problema:

;

resolviendo la ecuación ; se obtiene

siendo la respuesta cualesquiera de los dos ángulos.

Gráficas de la ecuaciones y=200Sen23.56o t -4.9t2 ; x=200Cos23.65o t

por

,y

PROBLEMA 2.3.5.- Una pelota se deja caer verticalmente sobre el punto A de un plano inclinado a con la horizontal, la pelota rebota formando un ángulo de con la vertical. Sabiendo que el próximo rebote tiene lugar en el punto B, calcular: a) la velocidad con la cual rebota la pelota en A; b) el tiempo necesario para que la pelota se mueva de A a B.

Paso 1. Determinamos la altura YB que desciende : Paso 2. Determinamos ahora el tiempo que tarda en descender 1.73m que es el tiempo que tarda en recorrer horizontalmente los

3m:

como

se

desconoce

la

velocidad

inicial,

sustituímos

esta

de

la

ecuación

Paso 3. Sustituyendo valores, y notando que la pelota forma un ángulo de 40o con la horizontal, así como la altura YB que desciende es negativa por estar abajo del nivel del rebote en A: con lo que resulta: t=0.93 seg. Resp. Paso 4. Para calcular la velocidad con la cual rebota la pelota en A, utilizamos la ecuación de la componente horizontal del movimiento parabólico: Gráfica de la ecuación

Resp. que nos indica la trayectoria de la pelota al desplazarse de A a B.

Gráfica de la velocidad con respecto al alcance:

PROBLEMA 2.3.6.- Una banda transportadora arroja grava en A la cual cae en el motículo B. Determinar: a) el alcance horizontal x cuando desciende una altura

, si la velocidad de salida de la grava es de

y el ángulo de la banda

con respecto a la orizontal es de ; b) calcula el ángulo de salida para que la grava saliendo con una velocidad de tenga un alcance de x=8m, descendiendo YB =4m.

Paso 1. Para determinar el alcance x, utilizamos la ecuación anteriormente obtenida: sustituyendo valeres y despejando: ;

resulta:

;

; se

obtiene que x=2.77m es la respuesta. Paso 2. También se puede determinar el alcance encontrando primero el tiempo que tarda en descender los 4m, con la expresión :

;

3) En este tiempo, la distancia horizontal recorrida : Resp. Paso 4. Para calcular el ángulo de salida, con los datos proporcionados, la expresión que se utiliza es: ; se sabe que:

; por lo que sustituyendo esta identidad:

;

sustituyendo valores: ;

; con lo que resulta: ; con lo cual se tiene que el resultado,es :

con respecto a la horizontal. Resp.

Gráfica de las ecuaciones que nos indica la altura y la distancia horizontal en función de tiempo:

PROBLEMA 2.3.7.- Un proyectil es disparado con una velocidad inicial de . Encontrar: a) el ángulo del disparo para que el proyectil golpee a un blanco situado a 3000m, sobre el mismo nivel; b) la altura máxima alcanzada.

Paso 1. Cuando el proyectil se encuentre situado a 3000m medidos horizontalmente, su altura debe ser de cero metros, esto es, x=3000m ; y=0. 2 ) Utilizando la fórmula: resulta:

; sustituyendo el tiempo por la expresión ;

simplificando:

; sustituyendo

valores:

;

:

; sustituyendo

simplificando:

;

;

resolviendo: donde

;

; siendo el resultado cualesquiera de los dos ángulos. Resp.

Los valores de los ángulos también se pueden obtener con la instruccíon:

Los valores de a son en radianes.

Los valores de a son en radianes.

Gráfica de la altura con respecto al alcance:

Resolver los siguientes problemas de tiro parabólico: Problema 2.4.1.- Se lanza un chorro de agua con cierto ángulo desde una altura de 1.2m a una velocidad de y recorre una distancia horizontal de 10m para chocar con un muro. Determinar: a) la altura máxima que el chorro alcanza al golpear al muro; b) el ángulo mínimo para que el chorro de agua llegue a la base delmuro. Resp.( 4.12m; ). Ecuación de la parábola:

Problema 2.4.2.- Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de altura máxima y la distancia horizontal máxima que se alcanza.

y a un ángulo de

con la horizontal. Determinar la

Gráfica de la parábola:

Problema 2.4.3.- Una pelota de golf se golpea con una velocidad de . Determinar: a) la distancia máxima alcanzada x ; b) la velocidad con la que golpea al suelo en el punto B. Resp. (53.5m; 21m/seg) (Gráficas de

)

con la horizontal. Problema 2.4.4.- Se golpea una pelota en el punto A y sale con cierta velocidad formando un ángulo de Si toca al suelo en el punto B que está a 3m abajo de la horizontal del punto de lazamiento y a 10m medidos horizontalmente del punto de lanzamiento, determinar: a) la velocidad con la cual fué golpeada la palota; b) la velocidad con la cual llega al suelo en el punto B. Resp.

; (Gráfica de

)

Problema 2.4.5.- Se lanza un proyectil como lo indica la figura. Encuentra:a) la distancia horizontal que se alcanza. b) la velocidad con la cual golpea al piso y su ángulo de contacto. Resp.

Problema 2.4.6.- Si se laza un proyectil con una velocidad horizontal como lo indica la figura, determina: a) la altura desde la cual fué disparado, b) la velocidad con la cual llegó al suelo y su ángulo de llegada. Resp.

Problema 2.4.7.- Se lanza un proyectil en forma horizontal con velocidad desconocida, pero se sabe que la altura desde la cual fué lanzado es de 2m y que su alcance horizontal es de 5m. Determinar: a) la velocidad de salida; b) la velocidad con la cual llegó al piso y su ángulo de llegada con respecto a la horizontal. Resp.

Problema 2.4.8.- Se lanza un proyectil como lo indica la figura. Determina: a) la distancia horizontal alcanzada; b) la velocidad con la que golpea al piso y su ángulo que forma con respecto a la horizontal. Resp.