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MOVIEMIENTO EN DOS DIMENSIONES Son aquellos movimientos en los cuales se involucran 2 dimensiones (horizontal y vertical). Entre estos movimientos tenemos: a) Movimiento Semiparabólico b) Movimiento Parabólico c) Movimiento Circular Uniforme (M.U.C) A) MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO: Sea una partícula la cual es lanzada horizontalmente con una velocidad inicial Vo a una cierta altura con respecto al suelo. Las ecuaciones cinemáticas que describen el movimiento de la misma son:

a y =+⃗g ⃗

Y(-)

⃗ VO

X(-)

X(+)

VY + ⃗

EJE X (M.U. R)

EJE Y (M.U.A)

⃗x=0 a a y =+⃗g ⃗ ⃗ Vx=+ ⃗ Vo

⃗ Vy=+ ⃗g t

⃗ ⃗ X =+ V ot ⃗ Vo

+ ⃗g t ⃗ Y= 2

2

⃗ Vo

VY + ⃗

⃗ Vo (+)

Y(+)

⃗ +V Y

B) MOVIMIENTO PARABÓLICO: Sea una partícula, la cual es impulsada con una velocidad inicial Vo, formando un ángulo θ con la horizontal. La descripción del movimiento seguido por la partícula es como sigue:

Y (+)

a y=¿ −⃗g ¿⃗

⃗ + Vy =0

⃗ X

θ

⃗ Vo

Voy Vox cos θ= Vo Vo VoSenθ=Voy VoCosθ=Vox

Senθ=

EJE X (M.U.R)

EJE Y (M.U.A)

ax=0 ⃗

ay=−⃗g ⃗

⃗ Vx=⃗ + Vo cos θ

⃗ Vy=−⃗g t+ ⃗ Vo Sen θ

⃗ ⃗ X =+ V o t cos θ

−⃗g t ⃗ ⃗ Y= + Vo t Sen θ 2

C) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.):

2

Es el que posee un cuerpo rígido, cuando gira alrededor de un eje de rotación, describiendo cada uno de sus puntos, una circunferencia contenida en el plano perpendicular a dicho eje. Éste movimiento no se da en una sola dimensión como en el caso del movimiento rectilíneo, sino que el objeto describe una trayectoria circular que forma un plano, por tal razón a este movimiento se le conoce como movimiento en un plano, similar al movimiento semi-parabólico y parabólico. Se llama movimiento circular uniforme y se simboliza por M. C. U, el realizado por un objeto cuya trayectoria es una circunferencia y con una rapidez constante. V ac ac V

V

Asociado con este movimiento M. C. U, hay unas propiedades o conceptos físicos que lo caracterizan y son los siguientes: 

CICLO - OSCILACIÓN – VUELTA – REVOLUCIÓN - VIBRACIÓN

Un ciclo u oscilación o vuelta, etc., es un viaje completo de ida y regreso que realiza un objeto a lo largo de un camino. No tiene unidades físicas y simplemente se expresa como un número puro. 

FRECUENCIA

Su símbolo es f, y se define como el número de ciclos que realiza un cuerpo en la unidad de tiempo (segundos)

f=

N ° ciclos tiempo

−1

La frecuencia tiene una unidad de expresión que es el S ó Hertz, en honor al físico Alemán HEINRICH RUDOLF HERTZ, quien fue el primero que trabajó e introdujo en la física este útil e importante concepto:

f=



PERIODO

N ° ciclos n −1 = =S =( Hz ) tiempo S

Su símbolo es T y se define como el tiempo (segundos) que tarda un objeto en realizar un ciclo completo. Matemáticamente expresa como:

T=

tiempo =Segundos ( s ) N ° ciclos

Integrando estas dos relaciones tan importantes, podemos deducir la relación que existe entre ellos así:

f⋅T = Se deduce que: NOTA:

N ° ciclos tiempo ⋅ =1 tiempo N ° ciclos

f ⋅ T =1 ⇒ 1 1 ). f = T 1 2 ). T = f ¿ ¿

¿

¿

¿ ¿ ¿

{¿

Esto significa que los dos conceptos son recíprocamente inversos multiplicativos. 

VELOCIDAD ANGULAR O FRECUENCIA ANGULAR (ω)

En la gráfica podemos observar que un cuerpo que realiza un movimiento circular, se ha movido desde el punto A hasta el punto B en un cierto intervalo de tiempo t, θ en el interior del círculo. En esta circunstancia y ha descrito un ángulo podemos decir que el objeto se ha movido con una velocidad angular ω . La velocidad angular es el ángulo barrido por el radio vector r en la unidad de tiempo.

ω=

Angulos ( radianes ) θ ( rad ) = tiempo ( Segundos ) t (s )

El ángulo

θ

se expresa en radianes y el tiempo t se expresa en segundos.

Si el objeto que comienza su movimiento en el punto A, realiza un giro completo a θ=2 π rad , y el lo largo de la circunferencia, entonces el ángulo descrito será tiempo t de giro será su periodo, esto es, t = T de modo que la magnitud de la velocidad angular será:

ω=

T=

Además, sabemos que también velocidad se puede escribir como:

ω= 

2π T ,

1 f , de modo que la magnitud de la

2π =2 π⋅f T ,

VELOCIDAD TANGENCIAL V

V

V

V

La velocidad tangencial es la tendencia que experimenta un objeto a salirse por la tangente cuando este se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea, y particularmente a lo largo de una trayectoria circular. La velocidad tangencial es un vector tangente a la trayectoria.

De la figura, S, representa el arco de circunferencia o de trayectoria θ , si el movimiento fuera de una vuelta completa, correspondiente al ángulo entonces el arco correspondiente sería de una circunferencia competa y equivalente a: S = 2π .r (Arco para una circunferencia completa) t = T (Tiempo del objeto en realizar una vuelta completa). De modo que: la velocidad tangencial será en forma escalar (rapidez tangencial):

V t= O también se puede expresar como:

2 π .r T

V t=

2π ⋅r =ω⋅r T

( )

V t =ω⋅r NOTA: Es importante anotar que la velocidad tangencial está permanentemente cambiando de dirección y sentido, aunque su magnitud (RAPIDEZ), permanece constante porque su movimiento es circular uniforme. 

ACELERACIÓN CENTRÍPETA

La aceleración centrípeta aparece en el M.C.U como una consecuencia de la variación de la velocidad, y está dirigida vectorialmente hacia el centro.

ac ⃗ V

Se calcula mediante la expresión

a c=

t2

r

NOTA: 2

ac =

Vt r

ac =

(ω . r )2 r

como Vt = ω.r

=

2

ac =ω . r

POLEAS A-) UNIDAS POR BANDAS:

ω2 .r 2 r

RB

RA

Va Vb Va = Vb (LA MISMA RAPIDEZ TANGENCIAL)

B-) CONCENTRICAS:

w1 = w2 = w v2 > v1

El punto más exterior va más rápido. La dirección del vector velocidad varía más rápidamente que la del punto interior.

v2

v1 v1

v2 j

C-) ENGRANAJES: VA

VB

Como su velocidad angular es la misma ambos puntos giran el mismo ángulo en un tiempo t, pero el más exterior recorre un mayor espacio sobre su trayectoria (mayor velocidad lineal).

A

B

Va = Vb (LA MISMA RAPIDEZ TANGENCIAL)