Model Teori Antrian

Model simulasi Create by Luke

Model Teori Antrian Create by Luke

Pendahuluan Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian antrian atau baris baris penungguan. Contoh contoh kasus antrian : 1. Para pembelanja yang berdiri didepan kounter di supermarket. 2. Mobil-mobil yang menunggu di lampu merah. 3. Pasien yang menunggu diklinik rawat jalan. 4. Pesawat yang menunggu lepas landas dibandara udara. 5. mesin-mesin rusak yang menunggu untuk diperbaiki

oleh petugas

perbaikan mesin. 6. Surat yang menunggu diketik oleh seorang sekretaris. 7. Program yang menunggu untuk diproses oleh komputer digital. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelangan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya karena jika bisa diketahui, pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu. Tujuan mempelajari pengoprasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acaka dalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari. Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah berkaitan dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan, dalam antrian kedatangan pelanggan umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution) Faktor faktor penting dalam pengembangan model antrian : •

Cara memilih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan ¾ FCFS ( first come first served)

Model simulasi Create by Luke ¾ LCFS ( last come first served) ¾ SIRO ( served in random order) •

Berkaitan dengan rancangan sarana dan pelaksanaan pelayanan ¾ Parralel served ¾ Serial served ¾ Random served

•

Berkaitan dengan rancangan sarana tersebut dan pelaksanaan pelayanan.

•

Berkaitan dengan ukuran antrian yang diijinkan.

•

Berkaitan dengan sifat sumber yang meminta pelayanan.

Unsur unsur dasar model antrian bergantung pada faktor : 1. Distribusi kedatangan( kedatangan tunggal atau kelompok ) 2. Distribusi waktu pelayanan ( pelayanan tunggal atau kelompok ) 3. Rancangan sarana pelayanan (stasiun serial, paralel atau jaringan ) 4. Peraturan pelayanan(FCFS, LCFS, SIRO) dan prioritas utama. 5. Ukuran antrian( terhingga atau tidak hingga ) 6. Sumber pemanggilan(terhingga atau tidak terhingga) 7. Perilaku manusia( perpindahan, penolakan atau pembatalan).

Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial Siatuasi antrian dimana kedatangan dan keberangkatan(kejadian) yang timbul selama interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut : Kondisi 1 :Probabilitas dari sebuah kejadian( kedatangan atau keberangkatan) yang timbul antara t dan t +s bergantung hanya pada panjang s, yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0,t). Kondisi 2 : Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h adalah positif tapi kurang dari satu. Kondisi 3 : Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang sangat kecil h.

Model simulasi Create by Luke

Ketiga kondisi diatas menjabarkan sebuah proses dimana julah kejadian selama satu interval waktu yang diberikan adalah Poisson, dan karena itu interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut turut adalah eksponensial. Dengan kasus demikian, kita katakan bahwa kondisi kondisi tersebut mewakili proses Poisson. Didefinisikan :

pn(t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t Berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang timbul selama t + h adalah

p0(t + h) = p0(t)p0(h) Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukan bahwa 0 < p0(h) < 1 berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan :

p0(t) = e-αt

,t≥0

dimana α adalah konstanta positif. Diperlihatkan bahwa untuk proses yang dijabarkan dengan pn (t) , interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut turut adalah eksponensial. Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara eksponensial dan poisson, kita lalu menyimpulkan bahwa pn(t) pastilah poisson. Anggaplah f(t) = fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari interval waktu t anta pemunculan kejadian yang berturut turut, t > 0. Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir, maka pernyataan probabilitas berikut ini berlaku : P{waktu antar kejadian melebihi T } = P {Tidak ada kejadian sebelum T } Pernyataan ini dapat diterjemahkan : ~

∫ f (t )dt = p (T ) 0

T

Model simulasi Create by Luke dengan mensubtitusikan p0(t) sebagaimana diturunkan diatas, kita memperoleh ~

∫ f (t ) dt = e

−αt

, T>0

T

atau ~

∫ f (t ) dt = 1 − e

−α t

,T>0

T

Dengen mengambil turunan dari kedua ruas kita peroleh :

f(t) = αe-αt , T ≥ 0 (eksponensial ) yang merupakan sebuah disrtibusi eksponensial dengan mean E{t} = 1/α unit waktu. Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi eksponensial, maka pn(t) adalah distribusi Poison, yaitu :

(αt)n e−αt , pn (t) = n!

n = 0, 1, 2, … (Poisson)

Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n|t} = αt kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian.

Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut turut adalah eksponensial dengan mean 1/ α unit waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah poisson dengan laju pemunculan rata-rata(kejadian per unit waktu) α , demikian pula sabaliknya.

Model simulasi Create by Luke Dispribusi poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak(completely random process) karena memiliki sifat bahwa interval waktu yang tersisa sampai pemunculan berikutnya tidak tergantung pada interval waktu yang telah berlalu dari pemunculan kejadian terakhir. Ciri unik dari distribusi poisson adalah bahwa ini merupakan satu satunya distribusi dengan mean sama dengan variannya. Contoh soal : Sebuah mesin selalu memiliki unit cadangan untuk digunakan sebagai pengganti jika terjadi kerusakan. Waktu kerusakan mesin atau unit cadangannya itu adalah ekponensial dengan mean 10 jam. Kerusakan terjadi dengan laju 0.1 kejadian perjam, berapakah probabilitas kerusakan terjadi dalam 5 jam ? Jawab Mean = 1/ α = 10 sehingga α = 0.1 Untuk distribusi eksponensial : F(t) = 0.1 e-0.1t,

t>0

Untuk distribusi Poisson :

(0.1T)n e−0.1T pn (T) = n!

n = 0, 1, 2, 3, . . .

Anggaplah kita akan menghitung probabilitas bahwa kerusakan akan terjadi dalam 5 jam. Probabilitas ini diketahui :

5

P{t < 5} =

∫ f (t )dt 0

= 1 – e-0.5 = 0.393

Model simulasi Create by Luke Alternatif lain, probabilitas bahwa kegagalan akan terjadi setelah 6 jam dari sekarang dengan diketahui kerusakan terakhir terjadi 3 jam yang lalu, memanfaatkan sifat forgetfullnes dari distribusi eksponensial dan diketahui : P{t > 9 | t > 3} = e −0.1x 6 = 0.549 Hubunngan

antara

Poison

dengan

Eksponensial

diperlihatkan

dengan

menghitung probabilitas bahwa tidak ada kerusakan yang akan terjadi selama periode 1 hari (24 jam); yaitu :

(αt)n e−αt , pn (t) = n! (0.1x24)0 e−0.1x24 −2.4 p0 (24) = = e = 0.091 0! Amati bahwa po(24) adalah setara dengan memiliki waktu antara dua kegagalan yang setidaknya 24 jam yaitu : ~

P{t > T }=

∫

f (t ) dt = e −αt

T

~

P{t > 24 } =

∫ 0.1e

− 0.1t

dt = e − 2.4

T

Contoh Soal : Sebuah mesin selalu memiliki unit cadangan untuk digunakan sebagai pengganti jika terjadi kerusakan. Waktu kerusakan mesin atau unit cadangannya itu adalah

Model simulasi Create by Luke ekponensial dengan mean 15 jam. Kerusakan terjadi dengan laju 0.2 kejadian perjam ditanyakan : ™ Berapakah probabilitas kerusakan terjadi dalam 7 jam ? ™ Jika kerusakan terjadi setelah 8 jam dari sekarang dan dengan diketahui bahwa kerusakan terjadi 4 jam yang lalu, tentukan probabilitasnya ™ Tentukan hubungan antara poison dan eksponensial untuk menghitung bahwa tadak ada probabilitas yang akan terjadi selama periode 1 hari Proses kelahiran murni dan kematian murni Dalam bagian ini, kita mempertimbangkan dua proses khusus yaitu : ™ Para pelanggan tiba dan tidak pernah kembali lagi atau disebut kelahiran murni (pure birth) ™ Proses kedatangan dan penarikan terjadi dengan cara yang sepenuhnya random ini disebut kematian murni(pure death). Model Kelahiran murni Pertimbangkan situasi pengeluaran akte kelahiran untuk bayi bayi yang baru lahir. Akte kelahiran ini umumnya disimpan dikantor pusat yang diadministrasi oleh instansi pemerintah. Terdapat alas an untuk mempercayai bahwa kelahiran bayi bayi yang baru, dan karena itu pengeluaran akte kelahiran, merupakan proses yang sepenuhnya acak yang dapat dijabarkan dengan distribusi posison. Dengan materi sebelumnya dan mengasumsikan bahwa λ adalah laju pengeluaran

akte

kelahiran,

proses

kelahiran

murni

untuk

memiiki

n

kedatangan(akte kelahiran) selama periode t dapat dijabarkan dengan distribusi poison berikut ini :

Model simulasi Create by Luke

(λt)n e−λt pn (t) = , n!

n = 0, 1, 2, … (Kelahiran murni)

dimana λ adalah laju kedatangan per unit waktu dengan jumlah kedatangan yang diperkirakan selama t sebesar λt Contoh : Misalkan bahwa kelahiran dalam suatu keadaan tersebar sepanjang waktu sesuai distribusi eksponensial dengan satu kelahiran terjadi setiap 7 menit secara rata rata. Jawab Karena waktu antara kedatangan(antar kelahiran) rata rata adalah 7 menit, laju kelahiran dalam keadaan ini dihitung sebagai :

λ=

24 x60 = 205,7 kelahiran/hari 7

jumlah kelahiran dalam keadaan pertahun diketahui

λt = 205.7 x 365 = 75.080 kelahiran / tahun Probabilitas tidak adanya kelahiran dalam satu hari tertentu adalah sebesar

(205.7x1)0 e−205.7x1 ≈0 p0 (1) = 0! anggaplah bahwa kita ingin menghitung probabilitas pengeluaran 45 akte kelahiran diakhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 35 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama. Kita amati bahwa karena kelahiran terjadi sesuai proses poisson, probabilitas yang diperlukan berkurang 45 – 35 = 10

Model simulasi Create by Luke kelahiran dalam satu ( = 3 –2 )jam. Dengan demikian diketahui λ = 60/7 =8.57 kelahiran/jam, kita peroleh

(8.57x1)0 e−8.57x1 = 0.11172 p10 (1) = 0! Rumus antrian serupa dengan yang diberikan diatas umumnya

melibatkan

perhitungan yang membosankan, karena itu perhitungan ini digunakan program komputer yang bias memodel kan masalah berikut. Hasil yang akan dilihat adalah pn(t) dan kumulatif pn(t) untuk berbagai nilai n. Model Kematian murni Pertimbangan situasi penyimpanan N unit barang diawal minggu untuk memenuhi

permintaan

pelanggan

selama

minggu

tersebut.

Jika

kita

mengasumsikan bahwa permintaan perlanggan terjadi dengan laju μ unit perhari dan bahwa proses permintaan tersebut sepenuhnya acak, probabilitas untuk memperoleh n unit yang tersisa dalam sediaan setelah waktu t diketahui dengan distribusi truncated poisson berikut :

( μt ) N − n e− μt pn (t ) = , ( N − n)!

n = 1, 2, …, N

N

pn (t) = 1− ∑ pn (t) n=1

( Kematian Murni )

Contoh : Diawal setiap minggu, 15 unit barang sediaan disimpan untuk dipergunakan selama seminggu tersebut. Penarikan dari sediaan hanya terjadi selama 6 hari pertama(kantor ditutup pada hari minggu) dan mngikuti distribusi poison dengan mean 3 unit/hari. Ketika tingkat sediaan mencapai 5 unit, pesanan baru sebesar

Model simulasi Create by Luke 15 unit diajukan untuk dikirimkan pada awal minggu berikutnya. Karena sifat barang tersebut, semua unit yang tersisa diakhir minggu dibuang. Jawab. Kita dapat menganalisis situasi ini dengan sejumlah cara. Seperti kita mengenali bahwa laju konsumsi adalah μ = 3 unit per hari. Anggaplah kita berminat untuk menghitung probabilitas 5 unit(titik pemesanan ulang) di hari t, yaitu

( 3t )15 − 5 e − 3 t p 5 (t ) = , t = 1, 2, …, 6 (15 − 5 )! sebagai ilustrasi dari perhitungan ini, hasil yang diperoleh secara komputer : dengan menggunakan μt = 3, 6, 9, …dan 18. .t(hari)

1

2

3

4

5

6

μt

3

6

9

12

15

18

0.0008

0.0413

0.1186

0.1048

0.0486

0.015

P5(t)

Catat bahwa p5(t) mewakili probabilitas pengajuan pemesanan ulang pada hari t. probabilitas ini memuncak di t = 3 daan lalu menurun sementara kita berlanjut melewati minggu tersebut. Jika kita berminat untuk menghitung probabilitas pemesanan ulang sebelum dan pada hari t, kita harus menghitung probabilitas kumulatif untuk memiliki 5 unit atau kurang pada hari t, yaitu : Pn≤ 5 (t) = p0(t) + p1(t) + …+ p5(t) Dengan menggunakan komputer didapatkan

Model simulasi Create by Luke

.t(hari)

1

2

3

4

5

6

μt

3

6

9

12

15

18

pn≤5(t)

0.0011

0.0839

0.4126

0.7576

0.9301

0.9847

Kita dapat melihat dari table bahwa probabilitas pengajuan pesanan sebelum dan pada hari t meningkat secara monoton dengan t. Satu butir informasi lain yang penting dalam menganalisis situasi ini adalah menentukan jumlah unit sediaan rata-rata yang akan dibuang diakhir minggu. Ini dilakukna dengan menghitung jumlah unit yang diperkirakan tersedia dihari 6; yaitu : E{n| t = 6 } =

15

∑ np (6) n=0

n

Table berikut meringkas perhitungan dengan diketahui μt = 18 n Pn( 6)

0

1

2

3

4

.079 .065 .050 .036 .024 2

5

9

8

5

5

6

7

8

9

10

11

.01 .008 .004 .001 .000 .000 .000 5

3

2

8

7

2

1

Dan pn(6) ≅ 0; untuk n = 12, 13, 14 dan 15 jadi dengan menghitung rata rata kita memperoleh : E{n | t = 6 } = 0.5537 unit Ini berarti bahwa, secara rata rata, kurang dari satu unit akan dibuang pada setiap akhir minggu.