Metodo De Minimos Cuadrados

Instituto de Física – Facultad de Ciencias Introducción a las Ciencias de la Tierra y el Espacio 1 – Curso 2007

ANEXO – PRÁCTICA 0 “TRATAMIENTO DE DATOS Y ERRORES”

Método de Mínimos Cuadrados 1 Hasta ahora hemos aprendido a medir magnitudes físicas y a expresarlas correctamente. Ahora vamos a aprender algo más interesante, vamos a tratar de hacer algo que es un objetivo primario para los físicos en serio.. intentar establecer .interdependencias causales entre dos variables. Por ejemplo, ustedes conocen la relación entre la longitud de un resorte (l) y la fuerza que aplicada (F): F = -k. l, donde k es una constante llamada constante elástica. Alguien debió deducir esta relación que no es caprichosa, es decir, a partir de l y F conocer su relación. La relación es de la forma lineal. Noten que se parece a la ecuación de una recta y = b x + a, donde F= y, b=- k, x= l, y a= 0 (recta por el origen). Supongamos que postulamos una relación de este tipo para dos variables cualesquiera de las cuales tenemos una serie de medidas hechas en el laboratorio y queremos determinar a y b. Notamos que debido a los errores experimentales (de origen estadístico, instrumental, etc..), los puntos ( xi , y i ) no estarán perfectamente alineados. Para determinar los coeficientes a y b debemos encontrar la recta de mejor ajuste, que sea la más cercana a todas las parejas ( xi , y i ). Si definimos ε i = y i − (bx i + a) vemos que para cada par ( xi , y i ) esa diferencia en general no va a ser nula (ver figura). Vamos a imponer que la suma de los cuadrados de esas diferencias ( ε i ) sea la menor posible. ¿Se acuerdan como hacíamos? Sí! Derivábamos e igualábamos a 0 para encontrar el mínimo, pero recuerden que es una función de dos variables ( a y b; las incógnitas que queremos determinar), así que hay que hacer derivadas parciales. Nuestra función es:

y desarrollando los términos del paréntesis:

1

Extraído d el repartido “Tratamiento de Datos y Errores” del Laboratorio de Física I para la Licenciatura en Bioquímica (2006), con ligeras modificaciones.

Para hallar el mínimo:

Esto se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones con a y b como incógnitas a determinar:

La solución de este sistema será:

Con este método podemos relacionar magnitudes físicas a través de su determinación experimental. Pero en muchos casos podemos sospechar que la relación no es lineal; por ejemplo, podría ser del tipo exponencial: y = be ax Para confirmar esto por mínimos cuadrado, y en tal caso hallar a y b, debemos llevar esta ecuación (exponencial) a la de una recta (lineal). A este proceso se le llama linealización. Para linealizar esta ecuación, aplicamos el logaritmo a ambos lados de la ecuación. Obtenemos: Nuestras nuevas variables a graficar serán: ln y vs x, y esta gráfica sí nos da una recta con pendiente a y ordenada en el orígen ln b (ver figura). ¿Cuáles serán las constantes a determinar si linealizamos la siguiente relación?

Respuesta: 1/ a pendiente, b/ a: ordenada en el origen, graficando 1/ y vs x. Coeficiente de correlación : Existe un parámetro que nos dice que tan acertada fue la elección de la recta como curva de mejor ajuste. Se denomina coeficiente de correlación ( r) y toma valores entre 0 y 1. Cuánto mejor sea la aproximación por una recta más cercanos a 1 serán los valores del coeficiente r. Su expresión viene dada por: