Poligonal Minimos Cuadrados Arreglado (1).doc

Topografía 2 Profesor: Ing. Pablo Daniel Barreto Ruiz ECUACIONES CONDICIONALES PARA POLIGONACIÓN

Donde: l = longitud medida en el campo θ = azimut calculado con los datos de campo dl = corrección a la distancia dθ = corrección al azimut Proyección sobre X PX = l sen θ + dl.senθ +l.cosθ.dθ Proyección sobre Y Py = l cos θ + dl. cosθ – l.senθ.dθ Las proyecciones de todos los lados de la poligonal en Y, serían: Py1 = l1 cosθ1+d11.cosθ1 – l1.senθ1.dθ1 Py2 = l2 cosθ2+dl2.cosθ2 – l2.senθ2.(dθ1+ dθ2) Py3 = l3 cosθ3+dl3.cosθ3 – l3.senθ3.(dθ1+ dθ2+ dθ3) … Pyn = ln cosθn+dln.cosθn – ln.senθn.(dθ1+ dθ2+ …+dθn)

Sumando todas las proyecciones:

Además como se sabe que:

Donde

. Entonces tenemos que:

De manera similar se procederá con X.

Y finalmente tenemos una ecuación condicional mas debido a que la suma de todas las correcciones a laos azimuts debe ser igual a la corrección total angular.

δθ = ∑ dθi

PROBLEMA Se tiene una poligonal abierta con control angular y horizontal. Partiendo del punto A se llega al punto E. En la partida y la llegada, se referenció a direcciones notables (AS y E-S’ ) cuyos azimuts son conocidos. Se ha trabajado con un teodolito a los 10 segundos de precisión y en distanciometría se trabajó con un equipo de 1 cm de precisión por medición lineal efectuada. Los datos de campo son: AZIMUT DE PARTIDA (A-S) = 20º 09’ 00” VERTICE DE PARTIDA A( 80,00 Este, 400,00 Norte) AZIMUT DE LLEGADA (E-S’)= 11º 44’ 25”

VERTICE DE LLEGADA E( 2248,20 Este, 1033.33 Norte) ANGULOS A LA DERECHA A = 29º 50’ 50” B = 250º 10´50” C = 90º 00´30” D = 252º 32’40” E = 89º 00’10”

DISTANCIAS (mts.) A-B = 420,123 B-A = 420,121 B-C = 650,345 C-B = 650,347 C-D =1002,392 D-C = 1002,390 D-E = 800,00 E-D = 800,000

Solución: Los azimuts propagados calculados a partir de los datos de campo: ZA-B = 20º 09’ 11”+ 29º 50’ 50” = 49º 59’ 50” ZB-C = 120º 10’ 40” ZC-D = 30º 11’ 10” ZD-E =102º 43’ 50” ZE-S’= 11º 44’ 00” Las coordendas aproximadas de los puntos se calculan en base A los azimuts propagados y las distancias promedio. VERTICE X A 80,00 B 401,819 C 964,023 D 1468,036 E 2248,369

Y 400,00 670,065 343,146 1209,609 1033,316

Error de cierre en X = 2248,369-2248.20 = 0,169 Error de cierre en Y = 1033,316-1033,33 = -0,014 Error en ángulos = 11º 44’ 00” – 11º 44’ 25” = -25” Con estos valores se puede chequear si estamos dentro de los rangos permitidos, para así proceder a la compensación. Cuadros de diferencias finitas en ordenadas y absisas: En X Punto o Coordenadas Punto o Δx ΣΔx lado

A A-B B B-C C C-D D D-E

aproximadas

lado

80,00 321,819

2168,369

401,819 562,204

1846,550

504,013

1284,346

780,333

780,333

964,023 1468,036 2248,369

A A-B B B-C C C-D D D-E D

En Y Coordenadas aproximadas

Δy

ΣΔy

400,00 270,065

633,316

-326,919

363,251

866,463

690,170

-176,293

-176,293

670,065 343,146 1209,609 1033,316

Lado ij A-B B-C C-D D-E

Θij 49º 59’50” 120º 10’40” 30º 11’10” 102º 43’50”

COS θij 0.642825 -0.502685 0.864397 -0.220366

SEN θij 0.766013 0.864470 0.502810 0.975417

Ecuaciones de ángulo y lado en cuadro para calcular las ecuaciones correlativas

dθAB dθBC dθCD dθDE DθE dlAB dlBC dlCD DlE 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Θ -2168.369 -1846.550 -1284.346 -780.333 0 0.642825 -0.502685 0.864397 -0.220366 Y 633.316 353.251 690.170 -176.293 0 0.766013 0.864470 0.502810 0.975417 X Ing. PABLO BARRETO RUIZ: PROFESOR DEL CURSO (sólo para uso del curso)

K 0.000121203 0.014 -0.169

Ponderando por pesos: En los lados:

En los ángulos:

Cambio de variable

Θ Y X

d’θAB

d’θBC

d’θCD

d’θDE

4.848e-05

4.848e-05

4.848e-05

4.848e-05

d’θE

-0.105125

-0.089523

-0.062267

-0.037832

0

0.004545

-0.003554

0.0061122

-0.001558

0.014

0.030740

0. 017611

0.0334604

-0.008547

0

0.0054165

0.0061127

0.0035554

0.0068972

-0.169

0.000048481

dl’AB 0

dl’BC 0

dl’CD 0

dl’DE 0

K 0.000121203

Así por ejemplo las ecuaciones correlativas serán: d’θAB = d’θBC = d’θBC = y así

0.0000485λ1-0.105125λ2+0.030740λ3 0.0000485λ1-0.089523λ2+0.017611λ3 0.0000485λ1-0.062267λ2+0.0334604λ3 sucesivamente...

Cálculo de las ecuaciones normales:

(1.17522E-08)λ1-(1.42897E-07)λ2+(3.55021E-06)λ3 = 0.000121203 -(1.42897E-05)λ1+(2.44472E-02)λ2-(6.55061E-03)λ3 = 0.014 (3.52671E-06)λ1-(6.55061E-03)λ2+(2.55556E-03)λ3 =-0.169

Resolviendo: λ1 = 22327.587404 λ2 = -37.7951 λ3 = -193.176922 Reemplazando en las ecuaciones correlativas: d’θAB d’θBC d’θCD d’θDE d’E d’AB d’BC d’CD d’DE

0.0000485λ1-0.105125λ2+0.030740λ3 = -0.8756 = 1.15765 = -3.02791832 4.163391 = = 1.08247201 = -1.2181448 = -1.046494 = -0.917833732 = -1.27349430 =

Realizando el cambio de variable, para calcular las correcciones sin ponderar: dθAB dθBC dθCD dθDE dE dAB dBC dCD dDE

-4.245052E-05 rad = -8.7” 5.612448E-05 rad = 11.6” = = -1.467976E-04 rad =-30.3” 2.018469E-04 rad = 41.6” = = 5.247973E-05 rad = 10.8” = -0.009 m. = -0.007 m. = -0.006 m. = -0.009 m. =

Corrigiendo las distancias: A-B = 420.122- 0.009 = 420.113

B-C = 650.339 C-D =1002.385 D-E = 799.991 Corrigiendo los azimuts: ZA-B = 49º 59’ 50” –8.7” = 49º 59’ 41.3” ZB-C = 120º 10’ 40”- 8.7”+ 11.6”= 120º 10’ 42.9” ZC-D = 30º 11’ 10”- 8.7+ 11.6”- 30.3”= 30º 10’ 42.6” ZD-E =102º 43’ 50” - 8.7+ 11.6”- 30.3” + 41.6”= 102º 44’ 04.2 ZE-S’= 11º 44’ 00” - 8.7+ 11.6”- 30.3” + 41.6”+ 10.8” = 11º 44’ 25” Calculando las coordenadas corregidas de los puntos, con los valores corregidos de la distancia y azimuts. Punto o Distancias AZIMUT Coordenadas Coordenadas Δx Δy lado A A-B B B-C C C-D D D-E E

corregidas

corregido

corregidas en X 80,000

420,113

49º 59’ 41.3”

321,800

270.073

650,339

120º10’ 42.9”

562.194

-326.923

1002.385

30º 10’ 42.6”

503.894

866.525

799.991

102º 44’04.2”

780.312

-176.345

Corregidas en Y 400,000

401,800

670,073

963.994

343.150

1467.888

1209.675

2248.200

1033.33