Meccanica Matriciale

Meccanica Matriciale

Storicamente alla Meccanica Quantistica si è arrivati per due vie: quella della Meccanica Ondulatoria di De Broglie e Schrödinger e quella della Meccanica Matriciale di Heisemberg, Born e Jordan. Riprendiamo, ora, l’ equazione che descrive l’ evoluzione di una generica variabile dinamica nella descrizione di Heisemberg, ovvero i

[

]

dAˆ (t ) = Aˆ (t ), Hˆ (t ) . Supponiamo che il dt

sistema abbia un solo grado di libertà, l’ operatore Aˆ (t ) si può, allora, esprimere come funzione dei due operatori fondamentali xˆ (t ) , pˆ (t ) . Si avrà pertanto:

Aˆ (t ) = A[ xˆ (t ), pˆ (t )] in particolare:

pˆ 2 (t ) Hˆ = + V ( xˆ (t )) 2m con

[ xˆ (t ), pˆ (t )] = i Introdotto l’ insieme {| n >} degli autostati di Hˆ , cioè:

Hˆ | n >= En | n > all’ operatore Aˆ (t ) e quindi all’ osservabile ad esso corrispondente, si può associare la matrice infinita seguente:

 A00 (t )   A (t ) Q (t ) =  10 A (t )  20  A30 (t )

A01 (t ) A11 (t ) A21 (t ) A31 (t )

A02 (t ) ...   A12 (t ) ...  A22 (t ) ...   A32 (t ) ... 

avendo posto:

Amn (t ) =< m | Aˆ (t ) | n > Dalla proprietà di autoaggiuntezza di Aˆ (t ) si ha inoltre:

A*nm (t ) = Amn (t ) ovvero la matrice Q (t ) è una matrice Hermitiana. A questo punto si possono scrivere le seguenti equazioni tra matrici:

dQ (t ) = [Q (t ), H ] dt Q (t ) = A( x (t ), p(t )) i

MM-1)

p 2 (t ) H= + V ( x (t )) 2m [ x (t ), p(t )] = i I

dove con I si è indicata la matrice Unità, cioè la matrice di elementi δmn, e con H la matrice associata all’ operatore Hˆ . La matrice H risulta diagonale, si ha cioè MM-2) Hmn = En δmn pertanto la MM-1) diventa: dAmn (t ) 1 = ( En − Em ) Amn (t ) dt i

Posto MM-3)

ν mn =

Em − En h

si ha: Amn (t ) = Amn e 2πν mnt

ed in particolare: xmn (t ) = xmn e 2πν mnt pmn (t ) = pmn e 2πν mnt

Osserviamo che la quantità νmn, a parte il segno, rappresenta secondo Bohr la frequenza della radiazione emessa o assorbita per effetto di una transizione del sistema dal livello En al livello Em o viceversa. Per quello che riguarda la determinazione dei livelli energetici ed il valore delle frequenze della radiazione emessa o assorbita dal sistema, la meccanica quantistica può essere, allora, riformulata nel modo seguente:

•

Postulati della Meccanica Matriciale

1. Ad ogni grandezza Osservabile è associata una Matrice Hermitiana infinita Q (t ) . 2. La Matrice associata all’ energia è Diagonale. 3. Tutte le matrici Q (t ) possono essere espresse in funzione delle matrici x(t) ed p(t). 4. Le matrici x(t), p(t) soddisfano la regola di commutazione seguente [x(t), p(t)] = i I . 5. L’ evoluzione temporale di Q (t ) è determinata dalla equazione MM-1). 6. I livelli Energetici sono dati dai valori En definiti dalla equazione MM-2). 7. Le frequenze delle radiazioni emesse o assorbite sono date dal modulo delle quantità definite dall’ equazione MM-3). Nell’ insieme dei precedenti Postulati, consisteva l’ originaria meccanica matriciale abbozzata da Heisemberg e perfezionata da Born e Jordan. Veniva anche ammesso che l’ espressione seguente: 4 e2  dE  4 | xmn |2 ( 2πν mn )   = 3 dt 3 c  ν mn

rappresentasse l’ intensità della radiazione emessa dalla particella in corrispondenza della transizione dal livello En al livello Em.