Mecanica De Materiales Ii

Centroides y Momentos de inercia

Apuntes Mecánica de Materiales II

Alumno: Hernández Valverde Rubén Profesor: Ing. Cortez Olivera Ricardo Grupo: 5MM4

1

Índice

Centroides y Momentos de inercia ……………………………………………………………………………………………………………………………..1 Reacciones ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3 Flexión asimétrica ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4 Deformación en vigas ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….12 Método de superposición de efectos ………………………………………………………………………………………………………………..……..23 Primer Teorema de Mohr ……………………………………………………………………………………………………………………………………..….27 Segundo Teorema de Mohr ………………………………………………………………………………………………………………………………………27 Método de la viga conjugada ……………………………………………………………………………………………………………………………………28 Vigas Continuas ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..36 Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas …………………………………………………………………………….36 Esfuerzos combinados ………………………………………………………………………………………………………………………………………………46 Columnas …………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………..56

Centroides y Momentos de inercia

Centroides y Momentos de Inercia Problema: Determinar el momento de inercia (momento centroidal) de la figura que se muestra a continuación


  
     

  
   

    
     




  
    

  
  

    
    


 
 

  



   


 
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1
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1

Centroides y Momentos de inercia

Problema: Determinar el centroide y los momentos de inercia centroidales de la figura que se muestra.   3 ,    + !

,  !

  +*++% ! " "  4 ' 51 ! % !  /   % ! )  4 ' 51+ !  !  /  )  + ! 2

2

Área +*++% ! % ! + ! *++% !

FIgura 1 2 3 Total 6 



7 89 ""#

# 1  /  6 78 #:$""; 



X 8 in 0.5 in 8 in  &*** ! 


  " >? " , >@ "  > ! " , > ! "  " " " **+ !"
 


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Y 8 in 7.5 in 0.5 in < 

AX &% !) % !)  !) ++% !)

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# 1  /  < 78 #:$"";

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  &*&%%& !"  %+*&& !"  +& !"
  &%* !"

2

Reacciones en una viga (repaso)

Reacciones Carga ABCDEFGEHI

JJCKHGECI

Figura

L 

L

M 

M 

O 4

Figura

2do grado

N

O ) 4

2do grado

3er grado

Problema: Calcular las reacciones en los apoyos de la siguiente figura

7 N8  

PQ R  PQSR R +R  &PQ T R  U

VWSX  X

Y *&&&&&R , Z?[= \R  

PQ T R  PQ T R  &PQ T R  +%PQ T R , Z?[= \R   ?[= 

$######VWTX  /  ?[= :X

] 7 ^=  

,PQ , PQSR R ,

 *++PQ

VWSX  X

 ? =  

*++PQ , PQ , +PQ , %PQ  ? =   ? =  &&PQ

3

Flexión asimétrica

Flexión Asimétrica La flexión simple se genera con respecto aun eje principal, donde los momentos se aplican en un plano paralelo a dicho eje. Sin embargo por lo común los momentos se aplican en planos o ejes no paralelos a los ejes principales lo que se conoce como flexión asimétrica. La forma más sencilla de flexión asimétrica se presenta en vigas que tienen por lo menos un eje de simetría y están sometidas a momentos como se indica en la siguiente figura:

En la figura se observa que el momento se aplica sobre un eje en el plano X,Y, el cual tiene un ángulo _ con respecto al eje X.

Para poder analizar este problema, el movimiento aplicado se tendrá que descomponer sobre cada uno de los ejes principales y aplicar la ecuación de esfuerzo normal para que posteriormente utilizando la superposición de efectos se encuentre el resultado.

Para determinar la ecuación que utilizaremos en el análisis de nuestra viga, tomemos como referencia la siguiente figura, la cual tiene un momento aplicado sobre el eje “B” y tiene un ángulo _ con respecto al eje “Z”. Si se determinan las componentes del momento sobre el eje “Y” y “Z”, se tendrá: N`  Na bcd _ N=  Na d-. _ N` g N= h ef f
`
=

En la última figura se observa q se genera un eje i, en el cual los esfuerzos tendrán un valor igual a cero, para esta condición de carga este es el eje neutro, por lo cual es esfuerzo resultante es igual a cero. Se observa que tiene también un ángulo j con respecto al eje “Z” el cual se puede determinar con la siguiente fórmula.
` kl. j  m n kl. _


=

4

Flexión asimétrica

Problema: La sección rectangular que se muestra en la figura está sometida al momento flexionante indicado, el cual tiene un valor de 25 kN/m. Determinar el esfuerzo normal en cada uno de los vértices del elemento.

No  N d-. _ 1 %PQ T R d-. +%   %&PQR

N=  N bcd _ 1 %PQ T R bcd +%p  %&PQR


` 

 X  X    1  

e` 

###:)VWTX  X

qr = 1 )  $)))'tu Xu sr


= 

e= 

 X  X    1  

qv ` sv

1

 &%%*&&& ' (" R"

 &%%*&&& ' (" R"

###:)VWTX  X

)  $)))'tu Xu

 **%

 **%

VW X;

VW X;

En el punto A (tensión, compresión) VW

**% X; , **%

VW X;

VW

  X;

En el punto B (tensión) VW

VW

VW

**% X;  **% X;  &%+% X; En el punto C (tensión, compresión) VW

VW

VW

**% X; , **% X;   X; En el punto C (compresión) VW

VW

VW

,**% X; , **% X;  ,&%+% X;

5

Flexión asimétrica

Problema: En la figura que se muestra, una viga sobre la que actúa un momento de 15 Klb*ft, determinar el esfuerzo flexionante en los puntos A y B si la flexión es asimétrica como se indica. Cálculo del centroide   4 ' 51 !  !  /     !  4 ' 51 !  !  /   + ! Figura 1 2 Total w6 

< 

Áreas  ! + ! &+ !

7 8`  1  /  w6 78 )"; 7 8=

#: 1  /  < 78 )";

Z AZ % ! % !) % !  !)  !)

 % !

Y AY % ! % !)  ! ++ !)  !)

 + !

Cálculo del momento de inercia        *&&&& !"         
w    ** !"  


w 


 

w   ! w   !

 





w  
w     

  
w   


  
    w

  
  w





  

 



 *&&&&& !"

     



 * !"

   +%**+ !    !


w  *&&&& !"   ! +%**+ !

  ** !"  + !  !


w  &%& !"  &%%*& !"
w  %**%+ !"


  *&&&&& !"   !  !

  * !"  + !  !


  *&&&&& !"  * !"
  &&&& !" Cálculo del esfuerzo flexionante N  %Px4 T yz ;

%Px4 T yz  ! Syz

 *Px4 T ! { *x4 T !

N`  N bcd _ 1*x4 T ! bcd &p  /  N`  %%**+%x4 T ! N=  N d|. _ 1*x4 T ! d|. &p  /  N=  x4 T !

6

Flexión asimétrica

Punto A e` 

e= 

$$" }T $$ "

qr = 1 $#$:"u sr qv ` sv

1

:}T 

:))))u }





)$  } ;

":   $} ; }

}

/ &%*%% ; , +%* ;  ,&%%+% ; ~R€@‚ ƒ!

Punto B e` 

e= 

$$" }T :#"#

qr = 1 sr $#$:"u qv ` sv

1

:}T 

:))))u

/ ,*+&

} ;



:$"# } ;

, *%+%%

} ;



$" )} ;

 ,&*&

} ~R€@‚ ;

ƒ!

7

Flexión asimétrica

Problema: Se aplica un par de 20 kNm a la sección transversal de una viga como se indica en la figura. Determinar el esfuerzo en el punto A, punto B y en el punto D: N  PQ T R { Q T R N`  N bcd _  Q T R bcd &p  /  N`  &%**QR N=  N d|. _  Q T R d|. &p  /  N`  QR   4 ' 51R R  /    + ' () R  4 ' 51*R R  /   +* ' () R )  4 ' 51R R  /  )  + ' () R

Figura Área 1 + ' () R 2 +* ' () R 3 + ' () R Total * ' () R w6 

Z R R R

7 8` # $'tu X 1  /  w6 78 # $'t X;


w 


w 


w) 


 



) 

        

     



 



 

 X  X 

 R



 X   X



7 8= # $'tu X 1  /  < 78 # $'t X;

 &&+%&&& ' (# R"

 ** ' ($ R"  * ' (# R"

 Z$'t X \#X

  X   X

< 

 ** ' ($ R"

 Z$'t X\#X    X  X 

AZ Y AY +R +% ' (" R) + ' (" R) R +* ' (" R) +* ' (" R) (" ) R ++ ' ( R) + '  R (" ) * '  R  * ' (" R) 

 %&&&& ' (: R"

 * ' (# R"

 R

w  R w  R w)  R    +R   R  )  ,+R


w  
w     

  
w   

  
w)   )  )


  
    w

  
  w

  
)   ) w)




w  ** ' ($ R"  + ' () R +R

  &&+%&&& ' (# R"  +* ' () R R


w  +++ ' ( R"  &&+%&&& ' (# R"
w  ++&& ' ( „"
  * ' (# R"  + ' () R R

  %&&&& ' (: R"  +* ' () R R


   ' ( R"  %&&&& ' (: R"
  %&& ' ( R"

8


  0++&& '

( „"


  +***& ' ( R"

 %&& '

( R"



Flexión asimétrica

Punto A e` 

e= 

) $$WTX X

qr = 1 "#":))'t… †u sr qv ` sv

WTX X

 &%%&*& W

W ‡R€@‚ X;

1 #:))'t… Xu  +*++ X; ‡R€@‚ ƒ!

ƒ!

W

W

/ ,&%%&*& X; , +*++ X;  ,&*+&‡R€@‚ ƒ!

Punto B e` 

e= 

) $$WTX X

qr = 1 "#":))'t… †u sr qv ` sv

1

WTX X

#:))'t… Xu

/ +*++

W X;

W

 &%%&*& X; ‡R€@‚ ƒ!

 +*++

, &%%&*&

W X;

W z!‚ X;

 +&*

ƒ!

W z!‚ X;

ƒ!

Punto D e` 

e= 

) $$WTX $$X

qr = 1 "#":))'t… †u sr qv ` sv

WTX "X

 &&%+*% W

W z!‚ X;

1 #:))'t… Xu  +*** X; z!‚ ƒ!

W

/ &&%+*% X;  +***

W X;

ƒ!

W

 &%%%*& X; z!‚ ƒ!

9

Flexión asimétrica

Problema: Una viga en ménsula de 3 m de longitud con la sección transversal mostrada, soporta dos cargas inclinadas como se indica. Determinar: a.) Inclinación de la línea neutra en el empotramiento b.) Esfuerzos máximos de tensión y compresión.

N`  ,+PQ bcd &p R , &PQ d-. +%p &R

N`  ,*&&PQ T R , &&&PQ T R N`  ,&+PQ T R

N=  ,&PQ bcd +%p &R  +PQ d-. &p R

N=  ,&&&PQ T R  +PQ T R N=  ,&&&PQ T R Cálculo del centroide

w6 

Z  %R  %R

Áreas & ' () R + ' () R  ' () R

Figura 1 2 Total

 'tu X 't X;

 %R

< 

AZ % ' (" R) & ' () R) %% ' (" R) )'t X 't X;

Y .21 m .1 m

AY & ' (" R) + ' (" R) & ' () R)

 ++*%R

Cálculo del momento de inercia
w 


w 

  

  





X  X  

 X  X  

  ' ( R"

 &&& ' ( R"

10


 




 

 





X   X



 X   X



 %% '  R (#

Flexión asimétrica

"

 &&&& ' ( R"


w   ' ( R"  & ' () R *%+R

  &&& ' ( R"  + ' () R ++*%R


w  %&+ ' ( R"  % ' ( R"
w  &+%*%+ ' ( „"
  %% ' (# R"  & ' () R R

  &&&& ' ( R"  + ' () R R


  %% ' (# R"  &&&& ' ( R"
  %%*&& ' (# R" Cálculo del esfuerzo Compresión máxima = 59126.31386 Kpa e` 

e= 

) : #" #VWTX  $" :X

qr = 1 )"$"'t… †u sr qv ` sv

1

 )#):#)VWTX X

$))'t‰ Xu

 *&&+++ VW

 &*+ X;

ˆW  X;

Tensión máxima = 61329.65371 kpa e` 

e= 

) : #" #VWTX "" $X

qr = 1 sr )"$"'t… †u qv ` sv

1

 )#):#)VWTX X

$))'t‰ Xu

ˆW

 %+&++%+ X;  VW

 +%* X;

11

Deformación en vigas

Deformación en vigas Cuando se realiza el diseño de una viga, es importante determinar la deformación que ésta puede tener al aplicarle cargas dado que se generar varios problemas si se tiene una gran deformación. La deformación que se puede tener en una viga se puede dividir en: • •

Deformación angular, la cual se conoce como la pendiente de la viga Deformación lineal, la cual es perpendicular el eje longitudinal de la viga y se conoce como la flecha de la misma

Cálculo de vigas en relación a su rigidez Algunas ocasiones el diseño de una viga depende más de su rigidez que de su resistencia, por tal motivo se debe hacer que a parte de no sobrepasar los esfuerzos máximos establecidos, la flecha de la viga no debe sobrepasar cierto valor pues de lo contrario se tendría problemas, esto es muy importante en maquinaria de precisión como en tornos, cepillo y en un ámbito mas completo, en células de manufactura. Para poder determinar la deformación de una viga se tienen varios métodos de los cuales vamos a analizar tres. a) Método de la doble integración. El cual toma como referencia la ecuación de momentos de una viga integrando una vez para obtener la pendiente y se integra una segunda vez para obtener la flecha. b) Método del área de momentos. En este método se toma como referencia el diagrama de momentos de la viga y utilizando los teoremas de Mohr se determina la pendiente y la flecha. c) Método de la viga conjugada. Se genera una viga de las mismas dimensiones de la vida real y se carga con el diagrama de momentos de la viga real, obteniéndose la flecha y la pendiente de la viga utilizando los teoremas de Mohr. Los métodos B y C son métodos semigráficos por lo cual se tiene que tomar varias consideraciones para poder aplicarlos.

Ecuación diferencial de la elástica de la viga Para determinar esta ecuación tomaremos como referencia una viga en voladizo como se indica en la figura.

La cual se somete a una carga en el extremo B de la misma, generándose una deformación como se indica.

12

Deformación en vigas

Al aplicar la carga P, el eje longitudinal se flexiona tomando la forma de una viga curva. Esta forma se conoce como elástica de la viga, así mismo se observa que hay un desplazamiento lineal el cual se conoce como flecha de la viga y un desplazamiento angular conocido como pendiente de la viga. El ángulo que gira a la sección transversal con respecto a su posición original se denomina pendiente de flexión angular.

Para determinar la ecuación de la elástica de la viga tomemos como referencia un tramo de la viga, el cual tiene las siguientes condiciones:

Š‹Œ4 1Š4‡

‘ Ž ‘ Ž z_     /    Ž  Ž Œ4  x1 Œ  ’1 ‡  ’1 ‡  gXŽ9 q= e  “”1 e 

s ‘• • ‘}  – 1 ”  } • —˜™ ‘• –—˜™  ‘} • ‘• –—˜™ š “  “ • ‘} q–—˜™ ‘• e“  s ‘} –—˜™ š “ • s N •



q–—˜™ / s

N 

›—˜™ ššs œ

–—˜™

Basados en ecuaciones diferenciales, el valor del radio es:

’ como: Ÿ

)

 ž  Ÿ   ¡   

    { 1 ’    

Sustituyendo en la ecuación que tenemos para momentos se llega a lo siguiente.  N   “


13

Deformación en vigas

Obteniendo así la “Ecuación diferencial de la elástica de la viga” “


 N 

La deformación en las vigas comúnmente será en el eje Y negativo, por lo tanto la ecuación anterior será afectada en el momento con un signo negativo para que al calcular las deformaciones si el valor es positivo esta sea hacia abajo. “


  ,N 

  _ g  ^x‡5Œ 

14

Deformación en vigas

Problema: Para la viga mostrada en la figura determinar la deformación que se tiene sobre el punto C.

¢ £Na  ,¤Q R  ?8 %R , *¤Q &R , *¤Q R  

?8 

 ˆWšX¥ "ˆWšX¥$ˆWšX 



""ˆWšX 

 **¤Q

£^–  ,¤Q  **¤Q , *¤Q , *¤Q  ?a   ?a  ¤Q

N9  , ,    ** ,   , * , &  , “


“


‘; = ‘9 ;

‘= ‘9

  ,   , ** ,    * , &  



“
g 

9( ;

9(  #

,

,

Si x = 1 ; g8 = 0 ; 



"9(" ;

(  #

(  #

,

$$9( ;

$$9(  #





$9() ;

$9()  #





"9("  #

"9(" u

"

"9(" ;

 ~ ššššššššššš 

 ~   ~ šššš 

Sustituimos en la ecuación 2

$$(  #



$()  #



"(" u

"

, ~   ~    &

 ~   ~ 

15

Deformación en vigas

Si x = 6 ; ga = 0 ; 



#(  #

#(  #

, ,

$$#(  # $$#(  #

 

$#()  # $#()  #

 

"#(" u

" "#(" u

"

~ 

 ~   ~ 

 ~   ~   +

§

 (  ¦ ¦;§¨     © © # 

 +

~ 

§

 (  ¦ ;§¨¦ #    © © # 

 ,+&

NOTA. La primera integral nos determina la pendiente de la viga o deformación angular, mientras que la segunda integración nos determina la flecha de la viga o deformación lineal.   _  L! !z g  ^x‡5Œ  Q š R     @Œ  ªQ« ¬ R" 

R g


9  +( R"  “  ­LŒ

Si x = 3 ; _® =? ; ‘=

“
‘9 

)( ;

,

$$)( ;

“
_®  ¤Q š R



$)() ;



")("  #

Q š R)   R ªQ« ¬ R"  R

 +

#9 WšX;

_®  "#9t… Xu  ¯°Ž  %(" @Œ  &p

Si x = 3 ; g® =? ; “
g 

)(  #

,

$$)(  #

“
g  +¤Q š R)



#"9 WšX Xu  ¯°Ž

g®  "#9t…

$)()  #



")(" u

"

 +&  +

 *&() R  *&RR

16

Deformación en vigas

Problema: Se tiene una viga de madera como se indica en la figura. Determinar la ecuación de la elástica así como la deformación en el extremo libre. Se sabe que el Emadera=12GPa

£^–   ,¤Q , ¤Q , *¤Q  ?8›   ?8›  ¤Q ¢ £N8  ¤Q %R  ¤Q &%R  *¤Q %R  ¤Q š R N9   ,   ,  ,   ,  , %  , ‘; =

)9(  ;

“
‘9 ;  , ,     ,     , %   ‘=

“
‘9  , “
g  ,

9( ;

9(  #

  ,   



:9( ;



#9( ;

#9(  #





,

)9(" ;

)9(  ;

)9(   #

)9(  u

"



,

,

)9(" ;

)9("  #

)9(" u

"

 ~ šššššššššš 

 ~   ~ šš 

Si x = 0 ; g8 = 0 ;

Sustituimos en la ecuación 2 y aplicando las ecuaciones de singularidad

Si x = 0 ; _8 = 0 ;

Sustituimos en la ecuación 1

~   ~  

Si x = 7.5 ; ga = ? ;

“
ga  ,

  #

Sustituimos en la ecuación 2 

: ;

":9 WšX Xu  ¯°Ž

ga  #9t



##  #



) u

"

,

)) u

"

 %    +¤Q š R)

 R  RR

17

Deformación en vigas

Si x = 7.5 ; _a = ? ;

“
_a  ,

 ;

Sustituimos en la ecuación 1  %  

#:9 WšX; Xu  ¯°Ž

_a  #9t

## ;



)  #

,

 @Π p

))  #

   %¤Q š R

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos así como la deformación al centro de la misma en función de EI.

?8±  ?a±

?8›  ?a›  &¤Q

¢ £N8  ¤Q R  &¤Q +R  %¤Q R , ?a› *R , N8  Na   N9  ?8›  ,   , N8  ,   ,  ,   , & , +  , % ,  

“


‘; = ‘9 ; ‘=

 ,?8›  ,    N8  ,     ,    & , +   % ,  

“
‘9  ,

“
g  ,

²› 9( ;

²› 9(  #

 N8  ,   



q² 9( ;



9( ;

9(  #





)9(" ;

)9("  #





9( ; ~  

9(  #

 ~   ~  

18

Deformación en vigas

Si x = 0 ; g8 = 0 ;

Sustituimos en la ecuación 2

Si x = 0 ; _8 = 0 ;

Sustituimos en la ecuación 1

Si x = 8 ; ga = 0 ;

Sustituimos en la ecuación 2

~   ~  

,

²› $  #



q² $ ;



#  #



)"  #

,*%&&?8›  &N8  ,&&  &

Si x = 8 ; _a = 0 ; “
_a  ,

²› $ ;



  #

 *  

Sustituimos en la ecuación 1  N8 *  

,&?8›  *N8  ,+  +

# ;



)" ;



 ;



,*%&&?8›  &N8  ,&&

,&?8›  *N8  ,+ ?8›  %¤Q

N8  &¤Q š R

?8›  ?a›  &¤Q

%¤Q  ?a›  &¤Q

?a›  &¤Q , %¤Q  %+*¤Q

¢ £N8  ¤Q R  &¤Q +R  %¤Q R , ?a› *R , N8  Na  

  ¤Q R  &¤Q +R  %¤Q R , %+*¤Q *R , &¤Q š R  Na Na  +**¤Q š R

19

Deformación en vigas

Calculo de deformación al centro de la viga Si x =4 ; g® = ? ; “
g®  ,

 "(  #



):#"( ;

“
g®  %%+¤Q š R 



"(  #

"#9 WšX s



)9"("  #



"(  #

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los empotramientos

7 ^=  

?8=  ?a= , ¤Q ,

Z)ˆW«X\)X ;

)X

?8=  ?a=  +%¤Q …….(1)



)9(# ;

9(#  9()     N8  , *  )

 9()  )9(# ;

9(#  ‘; = , , , N8  , *  “
;  ,?a=  ,    Na  ,     ,    )

 ‘9  9( ;

9( ; 9() u )9(# 

9(# u ‘=  Na  ,     , , , N8  , *   ~ ………..(2) “
 , ³v

  # "$ ‘9 ³v 9(  q 9( ;

9(  9() … )9(# u

9(# … q 9($ ;  ³   , , , ²   ~   ~ …………(3) “
 , #

# #

"

"

N9  ?a=  ,   , Na  ,   ,  ,   ,

Si   1ga   sustituyendo en (3) y aplicando funciones singulares

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20

Deformación en vigas

Si   1_a   sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares

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~  

 Na  ,    ~

Si   *1g8   sustituyendo en (3) ,

³v $(  #



q³ $( ;



$(  #



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Si   *1_8   sustituyendo en (2) ,

³v $( ;

 Na * ,   

$( ;

*Na , &?a=  ,&*&% ………...(5)



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$() u  

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$(# …

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$(# u "$

, N8 * , * 

Planteando y resolviendo el sistema de ecuaciones con (4) y (5) < ?a=  ,+&% &Na , *% & *Na , &?a=  ,&*&%

´ ©(")# ($)© ($") ")$ ()$)## () Na   ()")))))#  %%¤QR ´ ) ($) © © $ () ) (")# © © (# )$ #"  ()")))))#  *&+¤Q ?a=  $ ) ()$)## ´ ($) © © $ ()

Sustituyendo en (1) ?8=  *&+¤Q  +%¤Q ?8=  *% Problema: Para la viga en voladizo mostrada, determinar la pendiente la pendiente en el extremo A. Considerar que µ  ¶·¸¹º» ¼I½

;

:9‰ } Y U Y ; $)))); ¾¿ ; 

U


9 

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21

Deformación en vigas

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Si   1_8  sustituyendo en (2) y aplicando funciones singulares ‘=

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Si   1g8  dÄdk-kÄÅ|.Æc|.& y aplicando funciones singulares (  ,     # #:###9 }¾¿   *yz "")9tu ¾¿ u "#9à }« ;

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22

Deformación en vigas

Método de superposición de efectos Uno de los métodos prácticos para calcular las reacciones en vigas hiperestáticas es considerar que las vigas soportan diversas cargas las cuales pueden ser reacciones, con los cual se elimina la condición de estáticamente indeterminado, como se indica en la figura.

Para cargas básicas y condiciones de apoyos básicos, la deformación máxima lineal y angular ya se encuentran tabuladas, lo cual permite resolver de una forma sencilla algunas vigas hiperestáticas.

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los apoyos.

L  ?8= N8  LÇ N9  ?8=  ,   , N8  ,   N9  L ,   , LÇ ,   ‘; =

“
‘9 ;  ,L ,    LÇ ,   ‘=

(°9( ;  LÇ ,    ~

 °È9( ; (°9(

  ~   ~ #

“
‘9  “


Si    /  8  1_8   ~  1~  

23

Si   Ç /  a  q8É 1_8  _q8É 

Deformación en vigas

a  q8É  _q8É 

N9  ?8=  ,   , N8  ,   ,

Si    /  8  1_8   ~  1~  

ÊË ÊË ¥ ‰ ;

tÊË; ¥°È; ;

s

s



°È;

s



°È )s

Ì9( ;

ÌÈ;

Ì9( ; ÌÈ;  N9  MÇ ,  ,  ,   , ‘; = ÌÈ; Ì9( ; “
‘9 ;  ,MÇ ,     ,    (ÌÈ9( ; ÌÈ; Ì9(  ‘=   ,     ~ “
‘9 

#  ; u (ÌÈ9(

ÌÈ Ì9(

“
   , 

  ~  # "

"

?8=  MÇN8 

(

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Si   Ç /  a  q8É 1_8  _q8É

_q8É 

tÍË ÍË ÍË ¥ ¥ ; ; ‰

a  q8É 

s

(



ÌÈ #s

ÍËu ÍËu ÍËu ¥ ¥ ‰ u ;u

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ÌÈu $s

a  a , a  

ÌÈu °È , s $s ³v È ÌÈu  )s $s )ÌÈ ?a=À $

a 

  / L  ?a= 

7 ^=  ?8=  ?a= , MÇ  

?8=  MÇ ,

)ÌÈ $



¢ 7 N8  ,N8  N8 

ÌÈ;

,

ÌÈ $

ÌÈ; ,

; ; )ÌÈ ÌÈ  $s $s

?a= Ç  

24

Deformación en vigas

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar el valor de las reacciones y momentos

ga  Šq8É  ga  Šq8É 

ga  Šq8É  "ˆWX s

°Ž ; &Ç , #s )ˆWX s

°Ž ; &Ç #s

ga)  Šq8É  , ga  ga  ga  ga)   ´X

³v ") "ˆWX )ˆWX  , s s s ) ) < %&%¤QR , ?a= + &R  

?a=  +&¤Q

°È )s

Π

, Π ,

ˆW )X ; #s

#ˆW X ; #s

³v X  )s

,

&R , &

&R , %  ´X

³v ") s



Î 7 N8  ,% & ,  %  +   N8   Î N8  &¤QR

25

Deformación en vigas

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar las reacciones y momentos en los empotramientos

ˆW )X ; °; &+  &  &&%*¤Q &Œ  4

 X  È ; ; ˆW "X

°Ž +  &&   +&¤Q ?a   Œ  &4  X  È ; ; ˆW "X )X

°Ž  &+&*¤Q N8  È;  X ;

?8 

,Na  ,

°Ž È;

?8  ?a 

,

ÏÈ

N8  ,Na 



ˆW )X "X ; X ;

Z"ˆW«X\X

ÏÈ; 

 ,%*¤Q

 +¤Q

  &<¤QR

?8  ?8  ?8  &&%*¤Q  +¤Q  &%*¤Q ?a  ?a  ?a  +&¤Q  +¤Q  +&¤Q < ¤QR  &*¤QR N8  N8  N8  &+&*¤Q   & < ¤QR  %¤QR Na  ,Na , Na  %*¤Q   &

26

Deformación en vigas

Primer Teorema de Mohr El ángulo que forman las tangentes a la elástica (o deformada de la viga) entre un punto “x2” y otro “x1”, es igual al área de la ley de momentos flectores comprendida entre esos dos puntos, dividida por la rigidez (EI).

Ñ;

Ñ;

Р_   Рѧ

_«

ѧ

N   _ ,  _   _«

“


    @Œ “


Segundo teorema de Mohr Dados dos puntos pertenecientes a una línea elástica, la ordenada de B con respecto a la de A es igual al momento elástico con respecto a B del área de momentos reducidos comprendida entre A y B. El momento elástico recientemente mencionado puede calcularse en forma muy simple multiplicando el área total del diagrama de momentos reducidos comprendida entre A y B por la distancia de su centro de gravedad. Por otro lado, si la figura que representa el diagrama puede descomponerse en figuras elementales, tales como rectángulos, triángulos, parábolas etc. El momento elástico total resulta ser la suma de los correspondientes a cada una de las figuras elementales.

27

Deformación en vigas

Método de la viga conjugada Utilizando los teoremas de Mohr, se desarrollo un método denominado de la “Viga Conjugada”, el cual permite determinar la pendiente y la flecha en una viga, en puntos determinados sin que se tenga que desarrollar la ecuación de momentos. En este método, la pendiente se determina utilizando el primer teorema de Mohr, con lo cual se tiene que:

_

^ҁ@wŒ~@zŒ!zxŒÓ Œ~!ÔҍŒŒ “
_

Ó “


Mientras que la flecha es igual al momento elástico de la viga conjugada, con respecto al punto donde se desea determinar esta. Este método proporciona solamente valores absolutos, por lo que se tiene que tomar en cuenta las condiciones graficas de la viga para establecer los signos correspondientes.

Procedimiento de Análisis Para determinar la pendiente y la flecha por el método de la viga conjugada, se siguen los siguientes pasos: 1. Se determinan las reacciones en los apoyos. 2. Se establecen los diagramas de momentos que generan las reacciones y las cargas en la viga. 3. Aplicar a la viga conjugada los diagramas de cargas o momentos. 4. Determinar las reacciones de la viga conjugada. 5. Para determinar la pendiente, calcular el valor de la fuerza cortante en el punto deseado y dividirlo sobre la rigidez (EI). 6. Para calcular la flecha, determinar el momento estático del diagrama de momentos de las áreas que se tienen a la izquierda o derecha del punto y dividirlo entre la rigidez (EI).

28

Deformación en vigas

× Ö  ØÙ × Ú  ÕÚ   ØÙ

ÕÖ  

29

Deformación en vigas

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar las pendientes en los poyos, así como la flecha en el punto “c”, utilizando el método de la viga conjugada.

?8  

% ,   

*

?  

    %

*

?8  *&%PQ

?  %PQ

   Û 45   Û * %

  *PQ , R

  Û 45   Û  

 *PQ , R

)  45   +   *PQ , R

"  

& &%

45   ! &

"  &%PQ , R

Î¥ £N8    ? *  &%% , *  * , *%&&&&  

?   ++&PQ , R

Î¥ £N    ,?8 *  * , *  * , &%%  

?8   %PQ , R

Pendientes en los apoyos: ¢ ÕÖ  

%PQ , R × Ö   ØÙ ØÙ

30

× Ú  ++&PQ , R Î ÕÚ    ØÙ ØÙ

Deformación en vigas

Flecha en el punto C    Û 45   Û + &%%  %PQ , R #   Û 45   Û    PQ , R

Î¥ £N®    ,?8 +  %&& , 

N®    ,%PQ , R)

Ü ®  

N®  %PQ , R)  “
“


31

Deformación en vigas

Problema: Para la viga mostrada en la figura, determinar la deformación o flecha en el extremo libre, en función de EI.

ÕÖ  

× Ö   ØÙ

   Û 45   Û * *

  &PQ , R

  Û& 45   Û& * +

 PQ , R

Î¥ £Na    ,  %&& , 

Na    ,%PQ , R) Ü a  

%PQ , R) Na   “
“


32

Deformación en vigas

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la flecha en el punto C.

E = 200GPa I = 1x10-3 m4

?8  

?a  

,  %  +%

 +*PQ 

$ ¥: ¥"



 &&%PQ

En el procedimiento de viga conjugada, cuando se tienen tramos en voladizos, estos se separan de la viga, analizándose por separado los efectos y posteriormente se superponen los mismos.    Û 45   Û  *%

  *%%PQ , R

  Û 45   Û % 

 %PQ , R

)   Û 45   Û & &%

)  &%PQ , R _a Ý  

?a “


Þ N8  ,*%%+  %%&&

 &%%  ?a   

?a  +%PQ , R _a 

+%) Q , R  %(" @Œ : LŒ() R"

33

Deformación en vigas

 Ý  kl._a  &(" R  &RR "   Û 45   Û    PQ , R N Ý     PQ , R)  ÝÝ  

N Ý ) PQ , R)  “
: LŒ() R"

 ÝÝ  &&&(# R

   Ý   ÝÝ  &(" R , &&&(# R  (" R

]   RR

Problema: Para la viga que se muestra en la figura, determinar la pendiente en los apoyos y la deformación en el punto C mediante el método de viga conjugada. E = 200GPa ; I = 2.5x10-3 m4 ¢ 7 Na  ?8 % ,   ,  & , &    

< ¤Q ?8  &

Î 7 N8  ?a % ,  % ,  +% 

,&%% 

< ¤Q ?a  &

34

Deformación en vigas

   Û 45   Û % %

  *%PQ , R

  Û 45   Û  

 &PQ , R

)   Û 45   Û & &  +%PQR "  45  &   &PQ , R

   Û& 45   Û    +PQ , R

¢¥ £N8   ,?a %  *%% , &%% , +%% , & , +

?a   *+&*PQ , R

¢¥ £Na   ?8 % , *%%  &  +%  &%  +%

?8   &PQ , R

_8  

_a  

&) Q , R ?8   *(" @Œ “
: LŒ%() R"

*+&*) Q , R ?a   *(" @Œ “
: LŒ%() R"

#   Û 45   Û +%   +PQ , R    Û 45   Û &   PQ , R N®  &+% , +%  

N®  PQ , R)

® 

N® ) Q , R)   +(" R  +RR “
: LŒ%() R"

35

Vigas continuas

Vigas Continuas En el diseño de elementos mecánicos, se cuenta con algunos de estos, los cuales se pueden analizar como vigas que tienen más de dos apoyos, entre estos se pueden mencionar las tuberías, algunas armaduras y algunos marcos. La determinación de las reacciones en los apoyos no se pueden establecer mediante la estática, por lo que se denomina hiperestáticos, teniéndose que recurrir a la mecánica de materiales para poderlos analizar.

En la figura se muestra que una viga continua, en un extremo puede tener un apoyo fijo o un empotramiento y posteriormente una serie de apoyos móviles; así mismo en cada apoyo actúan momentos los cuales surgen de la acción de un tramo de la viga sobre otro (denominaremos tramo a la distancia que hay entre dos apoyos). Los momentos que se generan en los apoyos pueden ser calculados por un procedimiento denominado “Ecuación de los Tres Momentos”. Conociendo estos momentos se pueden determinar las reacciones en los apoyos, diagramas de fuerzas cortantes y diagramas flexionantes, así como la deformación en la viga.

Método de la Ecuación de Tres Momentos para Vigas Continuas Para determinar la ecuación a utilizar en este método, tomemos en cuenta que se tiene una viga continua infinita con diferente tipo de carga en cada uno de sus extremos y tomemos de la misma dos tramos los cuales tienen longitud L1 y longitud L2 como se observa en la figura:

36

Vigas continuas

_  

_  _ Ý  _ ÝÝ _ ß  _ ßß

Tomemos por separado cada uno de estos tramos y se observa que las cargas externas producen un diagrama de momentos pero también aparecen momentos hiperestáticos al separar cada tramo de la viga. Los dos tramos tienen un punto común el cual se ubica en el apoyo No. 2 y en el cual se sabe que θ = 0. El ángulo que se genera en este punto debe ser igual a 0. También se observa que cada uno de los tramos es afectado por las cargas y los momentos. Tomando en consideración el teorema de área de momentos, la contribución de las cargas externas del tramo 1 a θ2´ es la siguiente: _ Ý  La contribución de los momentos hiperestáticos en θ2 es:

_ Ý 

 Œ< Ç “


N Ç N Ç 1 &“
“


 Œ< N Ç N Ç   Ç “
“
&“


37

Vigas continuas

La contribución del tramo 2 con sus cargas y momentos en θ2´ de forma similar seria: _ ÝÝ 

4< N Ç N) Ç)   Ç “
&“
“


Igualando θ´ con θ´´ y tomando en cuenta que el momento de inercia es constante, se tendrá lo siguiente: J¹ ๠ ¶J¶ ๠ ච  Já ච ,

´¶ ´ ¹ »â¶ 㠻⹠F , චà¹

Problema: Para la viga continua que se muestra en la figura, determinar los momentos hiperestáticos que se generan.

38

Vigas continuas

Tramo 1-2 N x  N x  x   N) x  ,

  Œ<  4< , x x

N +  N +    N)   ,

+   &

,  +

+N  N  N)  ,&& ä ä ä ä ä ä ä ä 

Tramo 2-3 N x  N) x  x)   N" x)  ,

 Œ<  ) 4<) , x x)

N   N)     N"   ,

 & * &

,  

N  +N)  N"  ,+% ä ä ä ä ä ä ä ä 

Si M1 y M4 son igual a 0 y resolviendo sistema con ecuaciones (1) y (2) tenemos: N  N)  ,&&

N  +N)  ,+%

N  ,PQ , R

N)  ,PQ , R

?  PQ

? Ý  &PQ

? ÝÝ  &&PQ ?) Ý  PQ

39

Vigas continuas

?) ÝÝ  PQ ?"  &&PQ

40

Vigas continuas

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar los momentos que se generan en los apoyos.

•

Tramos 1-3: N x  N x  x  N x   ,

  Œ<   4< , x x

L4 Ç , 4

Ç  +  , +

N   N   ,  N  N   , ä 

N   N   ,

•

Tramos 2-4:   Œ<  4< , x x LŒ Ç , Œ

N    N +  N)   , Ç    , 

N  +N  N)  ,  N  +N  N)   ,&&& ä 

N x  N x  x  N) x   ,

41

Vigas continuas

•

Tramos 3-5: N x  N) x  x)  N" x)   ,

N    N)   N" x)  ,

OÇ) +

N    N)   ,* %  ,

N  N)  +% ä &

 Œ<  ) 4<) , x x)

% ) +

Resolviendo el sistema de ecuaciones N   , N-m

N    ,%&N-m N)   ,+ N-m

Calculando las reacciones:

R1=16.523 kN R2’ =3.477 kN

R2’’=-0.6810 kN R3’=0.6810 kN

42

Vigas continuas

R3’’=14.628 kN R4’=15.372 kN

Por lo tanto: R1=16.523 kN

R2=2.796 kN

R3=15.309 kN

R4=19.372 kN

43

Vigas continuas

Problema: Para la viga que se muestra en la figura determinar los momentos hiperestáticos que se generan en los apoyos.

•

Tramos 1-3:

  Œ<  4< , x x åÇ) LŒ   +  N +    N)   , ž  Ç , Œ ¡ , #OÇ)  Ç + + + )     + ,  ¡ , #&  ) N  N)  , ž +

+ N  N)   , ä 

N x  N x  x  N) x   ,

•

Tramos 2-4:

 Œ<  ) 4<) , x x) N $ N    N)   N" %  ,#OÇ) , &4 , Ç

Ç + $ ) N    N)   N" %  ,#&  , &&

, %

% N  N)  %N"  ,** ä 

N x  N) x  x)  N" x)   ,

44

Vigas continuas

•

Tramos 3-5: N) x)  N" x)  x"  N x"   ,

 ) Œ<)  " 4<" , x) x"

N &Œ , Ç

Ç + N) %   N"   , & , %

% %N)  N"  ,+ ä &

N) %  N" %  ,

N   ,*&%QR

N)   ,+QR

N"   ,*QR

Calculando las reacciones:

R2’’=4.1127 kN R3’=4.8873 KN

R1=13.4119 kN R2’ =12.5881 kN

R3’’=0.5051kN R4’=-0.5051 kN

Por lo tanto: R1=13.4119 kN

R2=16.7014 kN

R3=5.3924 kN

R4=-0.5051 kN

45

Esfuerzos combinados

Esfuerzos combinados

En el 1 primer curso de mecánica de materiales se analizaron elementos sometidos a tensión, compresión, torsión y en lo que cabe en este curso sometido a flexión. Todos estos temas se manejan con condiciones idealizadas donde solo un efecto ocurre a la vez. Comúnmente esto es muy difícil dado que se pueden presentar 2 o mas efectos al mismo tiempo.

Como se puede ver en la siguiente figura:

46

Esfuerzos combinados

Problema: Un elemento se somete a una carga como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo que se presenta en el punto A y B del mismo.

æç  æ bcd %  &èé

æÅ  æ d-. %  èé

ê

ê

ìí î

æ & ' ) é   *æl ë  „

en los puntos A y B no existe momento flexionante

47

Esfuerzos combinados

Problema: Un eje de transmisión por carrera de 40mm de diámetro esta sometido a las fuerzas que se indican en la figura. Las fuerzas sobre la polea son horizontales y las que actúan sobre B son verticales. Determinar los esfuerzos resultantes, normal y cortante máximo.

¢ 7ïÖ  &%% , %% , ïÖ   ïÖ  &é„

¢ 7ïð  , %  & %  ïð  ïð  &é„

48

Esfuerzos combinados

Horizontalmente

Î 7 N®  ?ñ9 * , %    ?ñ=  %Q ¢ 7 Nñ  ?®9 * , %    ?®9  Q

49

Esfuerzos combinados

Î 7 N®  ?ñ= * , &    ?ñ=  Q ¢ 7 Nñ  ?®= * , &    ?®=  %Q

Para punto A

Para punto B

ïÖò  óïëô  ïëõ  0

 

ïÖò  *+*%é„

ïðò  óïô÷  ïõ÷  0

 &

ïðò  &&é„

öÖò  &é„ S

ìí îø

ý

þù î


e

ý



ìù

Tú u ‰u

 )#:)W(X  X



ûüüu u ‰u

þù

Tú u ;

)  †

Tüüu u ;

öðò  &é , „

 *NLŒ

&*+ïæl

50

Esfuerzos combinados

Problema: Diseñe un árbol circular para soportar las cargas en la figura. Si el cortante máximo es de 60 Mpa, el esfuerzo normal de 80 Mpa. Las correas de transmisión de A y B son horizontales y la polea E son verticales.

7ïÖ  ,% +  +% + , ïÖ   ïÖ  *é , „

7ï  + + , &% + , ï   ï  é , „

7ïÚ   & ,  & , ïÚ   ïÚ  é , „

51

Esfuerzos combinados

Horizontalmente

Verticalmente

?a=  ,%Q ?ñ=  &Q

?a9  *%Q ?ñÉ  %Q

Para punto A

Para punto B

ö×  *é„

ï×  *QR ö×  *é„

Para punto C ï× 

0ïõ



ïô

0*

  ö×  *





 ++

Para punto D ï×  +é„ ö×  é„

52

Esfuerzos combinados

Para punto E ï×   ö×  QR Condición crítica en B

ö|  ó*   *   *&*%é„

ï|  ï×  ö|  *  *&*%  %%é„ 



þ

  Tù 

 ' # 

 $):$

Tù 

 $):$

  T#'‰  &„„  &„ 

Æ  „„ "ì

S  Tù 

" :: 

   T$'‰  &+„„  &+„ 

Æ  *„„

53

Esfuerzos combinados

Problema: En un elemento actúa una carga que se indica en la figura y tienen las dimensiones mostradas en cada uno de sus lados así como la ubicación del eje neutro.

N  & +  ¤Q

N  & +  ¤Q e 




 ' ) 

 *NLΠ   ' )



 +)  

 *& ' (" R" 


 

 )  +

 * ' ( R" 

e 

 ' )  *

 *NLΠ* ' (

e 

L & ' )

  *NLΠ&*+

e  e , e , e  * , * , *  &NLŒ

e[  ,e , e , e  ,* , * , *  ,&&NLŒ e~  ,e  e , e  *  * , *  ,NLŒ

54

Columnas

Columnas Una columna es un elemento cargado axialmente, sometido a compresión, el cual tiene su sección transversal muy pequeña comparada con su longitud, por lo que al aplicársele una carga, fallará primero por pandeo, antes que por aplastamiento. Las cargas que puede soportar una columna pueden ser concéntricas, cuando se aplican sobre su centroide, o excéntricas, cuando se aplican a cierta distancia de su eje centroidal .

P P e

P

P

Cuando se incrementa la longitud de una columna, disminuye su capacidad de soportar carga. Cuando la excentricidad es pequeña y la columna es corta, la flexión lateral es despreciable, comparada con el efecto de la compresión; por el contrario al aumentar la longitud, una pequeña excentricidad puede producir un gran esfuerzo de flexión. Las columnas se pueden clasificar en: a) cortas, las cuales simplemente se aplastan o comprimen y el esfuerzo se determina por la ecuación e  ʲ; b) intermedias y c) largas, para las cuales existen ecuaciones para analizarlas. Fórmula de Euler para Columnas Esta fórmula sólo es válida para columnas largas y permite determinar la carga crítica que puede soportar la columna antes de fallar. P P

M

Q P

P

55

Columnas

N  ,L

 “
  ,N  ,L 

 ,L   “


 L   “
 °

Suponiendo que: ¤   s, se tiene que:

   ¤   

Resolviendo la ecuación diferencial se tiene:  bcd ¤  [ d-. ¤

En la ecuación anterior se deben determinar las constantes de integración A y B, por lo que si tomamos las condiciones en la frontera, se tendrá lo siguiente: Si x=0; y=0

  bcd ¤  [ d-. ¤

  ä 

Si x=L; y=0

  [ d-. ¤Ç ä 

La ecuación 2 tiene valores característicos de kL, los cuales son: 0, T, 2T, 3T,…,nT; por lo que considerando el valor general de kL=n, se tendrá: G   à µ



G¶ ¶ µ

à¶

56

Columnas

P

P

P

P

P

P

> “
+> “
> “
L  L  L  Ç Ç Ç SI: L 

e

> “
Ç

L


 @ Para determinar el esfuerzo critico en una columna se tiene:

L 

> “ @ Ç

L > “@  Ç

> “ L   e Ç«@

57

Columnas

Problema: El esfuerzo que soporta una columna no debe sobrepasar el límite de proporcionalidad por lo que para un acero estructural con E=200 GPa y el σy=250 MPa, se tendrá una relación de esfuerzo contra la relación de esbeltez como se indica en la figura: > “

e 

È

Ç > “ Ÿ    e @

Ë

2;  = Á



È À$$$

2;  9Ã

9‰



Si:    )


 

)

/ @  @  @) Longitud Efectiva de la Columna

El efecto de las condiciones que se tengan de la columna en sus extremos afecta a la carga crítica y al esfuerzo crítico, como se indica a continuación:

58

Columnas

Probelema: Determinar la carga crítica para una columna cuadrada de 2x2 pulgadas, con una longitud de 10 pies. Si se fabrica de madera, la cual tiene un módulo elástico de 30x106 lb/in2, para: a) b) c) d)


Los dos extremos articulados Un extremo articulado y el otro empotrado Doblemente empotrada Empotrada en un extremo y libre en el otro.

45)  )   &&&&& !"  

Para:

a)

Ç  Ç

L 

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 &+x4 

L 

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 %%*x4   

b) Ç  Ç

c)

Ç  %Ç

L 

> &# &&&&

 &**x4 %  

L 

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 *&%x4   

d) Ç  Ç



Problema: Se tiene una columna articulada de 2.5 metros de longitud y con sección transversal circular, se fabrica de madera, suponiendo que el módulo elástico es de 13 GPa y el esfuerzo permisible de 12 MPa, así mismo usando un factor de seguridad de 3. Determinar: a) Las dimensiones de la columna en su sección transversal si debe soportar una carga de 110 KN.


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Columnas

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