Resistencia de Materiales
INDICE
CAPITULO I. EQUILIBRIO ESTATICO PROBLEMAS D.C.L CAPÍTULO II ESFUERZO Y DEFORMACIONES ESFUERZO CLASES DE ESFUERZOS ESFUERZOS NORMALES TRACCIÓN O COMPRESIÓN ESFUERZOS DE FLEXIÓN DIRECTOS O CIBALLADURA ESFUERZO DE APLASTAMIENTO FUERZAS EN CADA BARRA DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES ESFUERZOS DE COMPRESION Y/O TRACCION RESISTENCIA DE MATERIAL RESISTENCIA OBTENIDAS ENSAYO DE TRACCIÓN PURA ESFUERZO DE DISEÑO Y FACTOR DE SEGURIDAD FACTOR DE SEGURIDAD (F.S) ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES
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DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES TRAMO: AB TRAMO: BC TRAMO: CD DIAGRAMA DE TRACCION ESFUERZOS FACTOR DE SEGURIDAD CALCULO DE LAS DEFLEXIONES CALCULO DE δ E CALCULO DE X EN LOS TRIANGULOS MEE’ Y MDD’ SISTEMAS HIPERESTATICOS ESFUERZO EN BC : (COMPRESIÓN) ESFUERZOS TERMICOS ANALISIS PROPORCIONAL TRANSMISION DE POTENCIA MEDIANTE FAJAS CINEMATICA DINAMICA RELACIÓN DE TENSIONES TRANSMISION DE POTENCIA MEDIANTE CADENA TORQUE EN EL PIÑÓN MOTRIZ. TORQUE POTENCIA TORQUE EN EL EJE DEL LA CATALINA. TORQUE EN EL PIÑÓN MOTRIZ TORQUE – POTENCIA TRANSMISIÓN DE POTENCIA TORSIÓN
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ESFUERZO CORTANTE DE TRACCION ANGULO DE TORSION DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES ESFUERZOS CORTANTE MAXIMO ANGULO DE TORSION DE LA SECCION E RESPECTO A LA SECCION A. ANGULO φE/A FACTOR SEGURIDAD CORTANDO LA BARRA CASOS PARTICULARES SECCION CIRCULAR PROBLEMA DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOS FLECTORES DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES MOMENTOS FLECTORES UBICACIÓN DE FN Ó FC CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA I
BIBLIOGRAFÍA
S D F D F
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CAPITULO I. EQUILIBRIO ESTATICO: ∑F=0
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
ó FR = 0 d = 0
∑ Fz = 0
ΣM 0 x − x = 0 ∑ F 0 = 0 ΣM 0 y − y = 0 ΣM z − z = 0 0
∑F=0
PROBLEMA N° 1 Calcular la reacción en A.
∑ Fx = 0 -Ax+10Kn = 0 A.
10 KN.
B
10Kn = Ax. Sentido asumido es correcto.
D.C.L A
B
10 KN.
Las fuerzas actúan en pares.
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PROBLEMA N° 2 Calcular la reacción en A y el momento de empotramiento.
20 KN.
Solución: DoCol
A
B
20 KN. MA
200 mm
A Ay
B
200 mm
∑ Fx = 0
No se aplica, porque no hay fuerzas en “X”.
∑ Fy = 0
Ay – 20KN = 0 Ay = 20 KN.
∑ F 0A = 0 M A –20Knx200 mm = 0 M A = 4000 KN.mm
PROBLEMA N° 3 Calcular las reacciones en A y C. Solución: 5 KN. 2m
A
A y C son apoyos.
1m
B
C es apoyo mobil. No existe momento de empotramiento
C
en los apoyos.
Do Col 5 KN. 2m
A
∑ Fx = 0
No se aplica
∑ Fy = 0
-Ay + 5KN-Cy = 0
1m
B
Ay Prof. Ing. Martínez Del Castillo
C
5 KN = A y + C y... (1) Cy
5
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- 5 Kn.2m + Cy.3m = 0
∑M 0A = 0
Cy = 5KN . 2 m 3m Cy = 3 1/3 KN = 3,3 KN
⇒
Ay + Cy = 5KN Ay = 5KN – 3 1/3 KN = 1 2/3 KN Ay = 1,6 KN.
PROBLEMA N° 4 Calcular las reacciones en A y C además calcular las fuerzas que actúan en cada barra. Solución: D.C.L de toda la estr. Cy C
600 mm
10 KN
A
B
Ay
10 KN
D A
800 mm
B
D
1200 mm 800 mm
∑F x = 0
1200 mm
∑F y = 0 No se aplica. Cy.800 mm – 10KNx2000 mm = 0
∑F y = 0
Cy = 10 KN 2000 mm -Ay + Cy – 10KN = 0 Cy – Ay = 10 KN ... (1)
800 mm Cy = 25 KN. Sentido asumido es correcto. Cy = 25 KN.
En (1) 25 KN – Ay = 10 KN 15 KN = Ay.
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25 KN
Do Col en C/barra
C
Barra BC ∑F y = 0
25 KN – By = 0 By = 25 KN
B
15 KN
By
Las fuerzas de acción y reacción tienen la misma intensidad y sentidos contrarios. No se acumulan porque actúan en puntos diferentes.
10 KN
D
A
PROBLEMA N° 5 Calcular las reacciones en A y D además las fuerzas que actúan en cada barra.
De toda la estructura D.C.L. 4 KN Ay
500 mm
A
B
Ax
C
4 KN 800 mm
B
500 mm C
A
53° 600
600 mm
D
53°
Dx D
D Dy
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La fuerza F es colineal con la barra DB. Cuando una barra tiene solo fuerzas en los extremos, dichas fuerzas son iguales de sentidos contrarios y COLINEALES con la barra. F B
F
∑Fx = 0 -Ax + Dx = 0 ...(1)
∑Fy = 0 Ay + 4 KN – Dy = 0 ...(2)
∑ M 0A = 0 -Dx.600 mm + 4 KN.1300 mm = 0 Dx = 4KN.1300 mm 600 mm Dx = 8,67 KN.
En (1)
En el punto D Dy = tg 37° Dx
D
Ax = Dx Ax = 8,67 KN
Dy
)
Dy = tg 37° 8,76KN
37°
Dx = 8,67 KN
Dy = (tg 37°)(8,67 KN) Dy = 6,5 KN
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Resistencia de Materiales
En (2) Ay + 4KN – 6,5 KN = 0 Ay = 2,5 KN.
2 DA FORMA: Ay
4 KN
Ax
800 mm
B
A
C
ρ D .480 mm – 4KN.1300 mm = 0 ρ D = 4KN.1300 mm
600 mm
53°
4800 mm ρ D = 10,8 KN
Dx D
D
500 mm
37° Dy
En el punto “D” Σ Fx = 0 Ax – Dx = 0
D
Ax = Dx Dy
)
37° Dx
Σ Fy = 0
Ay + 4 KN – Dy = 0 Ay = 6,5 KN – 4 KN Ay = 2,5 KN
Dy = 10,8 KN.Sen 37° Dy = 6,5 KN
Dx = 10,8 KN.Cos 37° Dx = 8,67 KN
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DCL de cada barra. 4 KN Ax
A
B C Acción y Reacción
2,5 KN
PROBLEMA N° 1 Calcular las reacciones en los apoyos A y B haciendo el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura además calcular las fuerzas que actúan en cada barra. (1)
(2) D
A
2 KN
400 mm C
B
300 mm
600 mm
300 mm
C
B
D
A 400 mm
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200 mm
10
3 KN
Resistencia de Materiales (4) (3) A
B
600 mm
30°
90°
C 10 KN
C
B
(
(
500 mm
800 mm
D 1,2 KN
(5) A
300 mm
500 mm
B
C
400 mm
E
D
500 mm 30 KN
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1) DESARROLLO:
D.C.L de la 2 KN
estructura
D
400 mm C RB
B 300 mm 600 mm
RA
A
ΣM 0B = 0
⇒ 2KNx 400 − R A .600 = 0 R A = 1,3 KN Sentido asumido es correcto. ΣM 0A = 0
⇒ 2KNx1000 − R B x 600 = 0 RB =
2 x1000 = 3,3KN 600
D.C.L DE C/ BARRA 2KN
D
3,33KN
3,33KN
3,33KN C
1,33KN
B
A
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2) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE TODA LA ESTRUCTURA: A
A
300 mm
Ax
Ay
3KN Bx 37° (
B
D
C
B By 400 mm
200 mm
ΣM 0B = 0 3 KN x 600 mm – Ax x 300 mm = 0 Ax = 3 KN x 600 mm = 6 KN
∴ Ay = 6 KN x Tg 37° = Ay = 4,52 KN
300 mm A
Por < de 37° y tg. de 37° tenemos que Ay = Ax tg 37°
Ay 37°(
Ax
ΣFy = 0
ΣFx = 0
Ay – By – 3 KN = 0
Ax – Bx = 0
By = -3 KN + Ay
Ay = Bx –
By = 1,52 KN
By = 6 KN
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Fuerzas que actúan en c/barra.
A
C 3KN
4,52 KN B
6KN
6KN
D
C
1,52 KN
3) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE TODA LA ESTRUCTURA.
By = Tg α Bx A
By = Tg α Bx Tg α Bx – Ay = 1,2 1:0 - α - 37 – 53
(
37°
(90 - α) C
A
B
90 - α
D
)α
) 37° 1,2KN
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1. En un cuerpo en equilibrio de reposo o de movimiento (v = constante) Se cumplen:
∑Fx = 0
∑ F en cualquier dirección = 0
∑Fy = 0
solo para el equilibrio estático.
∑Fz = 0
(Respecto a cualquier punto)
∑F0 = 0
(preferentemente se toman los puntos donde hay fuerzas desconocidas).
2. Cuando en un cuerpo o estructura actúan 3 fuerzas NO COLINEALES dichas fuerzas forman un triángulo y además pasan por un mismo punto. R
β
A
Q
α
β C
r(
P
a
R
α
(
P R Q = = sen α sen α sen β
C
α
P
También: P R Q = = C a b
b Q
3. Equilibrio del nudo: * R
∑Fx = 0
∑M0 = 0
Q β α
-R Sen β + Q Sen α = 0
C
*
∑Fy = 0
No se puede aplicar.
-R Sen β + Q Sen α = 0 P
Por ejemplo nudo “C”.
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4. Las fuerzas actúan en pares.
Q
P Q=P
5. Si en una barra actúan fuerzas solo en ambos extremos dichas fuerzas son colineales con la barra (actúan en el eje de la barra).
P
-P NO SE ACEPTA EL SGT ESQUEMA P Aquí
la
girando
barra
estaría
en
sentido
antihorario. -P
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CAPÍTULO II
ESFUERZO Y DEFORMACIONES ESFUERZO: F
Unidades
Area = A
Lbs = Psi. Pu lg 2 0
Kg − f cm 2
Fuerza Esfuerzo = Area
N 2 m
= 1 Pa
Sistema Ingles.
Sistema Métrico.
Sistema Internacional
MÚLTIPLOS:
CLASES DE ESFUERZOS
1 MPa = 106 Pa
1) Esfuerzos Normales
1 Gpa = 109 Pa 1 Gpa = 103 MPa
Al área.
1.1 Tracción o Compresión: P
Equivalencias:
P
1 MPa = 145 Psi. 1 MPa = 1 N/mm 2 1 MPa =
10Kg − f cm 2
σ
P
σ
Esfuerzo de Tracciòn
=
P A
σ : Se lee sigma σ : esfuerzo de tracción P : Fuerza A : Area de la sección transversal.
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Resistencia de Materiales
Ejemplo: P = 5 KN A = 200 mm 2
σ = 5000 N 200 mm 2
σ = 25 N/ mm 2 σ = 25 MPa
Significa que: En cada mm 2 actúa una fuerza de 25 N Cuando es compresión:
P = 8 KN
P = 8 KN A = 400 mm2
8 KN
σ = (-)
8000 N 2 400mm
σ = 8−)20 N/mm 2 = ( −) 20 MPa
Significa que: En cada mm 2 actúa una fuerza de 20 N.
1B Esfuerzos de flexión:
M
M
M = momento flector
Esfuerzo de tracción Fibra Neutra
Esfuerzo de compresión
M
6 de compresión ( - ) max Prof. Ing. Martínez Del Castillo
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Resistencia de Materiales
(2) Esfuerzos cortantes o tangenciales:
2.A Directos o Ciballadura.
P P
P
δ = Se lee Tau δ = Esfuerzo Cortante
V= P
Aquí
V A
V = Coeficiente A = Área α = Coeficiente 4 = para sección circular. 3
P Esta zona actúa el δ máx
δ =α
←← ←← ← ← ←← ←←
=
δ=0
3 para sección rectangular. 2
ESFUERZO DE APLASTAMIENTO: Es un esfuerzo de compresión en la zona de contacto de 2 elementos. Tomando el perno de la figura anterior.
t1
P
d
P
t2 d
Galast =
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P Area proyectada 19
Resistencia de Materiales
En la zona de contacto del
P
Gaplast =
d{. t . Area de un rectángulo.
Gaplast =
perno con la plancha superior.
P d − t2
En la zona de contacto del perno con la plancha inferior.
PROBLEMA N° 1 Calcular los esfuerzos de tracción Y/o compresión en las barras, los esfuerzos cortantes directos en los pernos y los esfuerzos de aplastamiento en los pernos y agujeros de la estructura.
100 mm
Pernos de 10 mm φ Platinas de 80 x 10 mm
800 mm
60 mm
200 mm
2 platinas
12 KN 60 mm
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Solución: Calculo de Reacciones:
ρ A
600 mm Ay
53° Ax 800 mm
200 mm
C Cx 53° ( Cy
B
ρ C
D 12 KN
Trabajando con componentes: ΣMy = 0
ΣM C0 = 0 12 KN.800 mm – Ax.800 mm = 0
Ay = Cy – 12 KN = 0
Ax = 12 KN
16 KN – 12 KN = Cy.
Ay = Ax Tg 53°
Cy = 4 KN
Ay = 12 KN.
4 . 3
Ay =) 16 KN
ΣFx = 0 -Ax + Cx = 0 Cx = Ax Cx = 12 KN
2DA FORMA: ρ Calculo: de A ΣM C0 = 0
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Resistencia de Materiales
ρ A A
480 mm 53º (
C
600mm
200mm 12 KN
A.480 mm – 12KN.800 mm = 0 A = 12 KN.800 mm = 20 KN 480 m.
FUERZAS EN CADA BARRA: 20 KN A
ρ C = 12 2 + 4 2 = 12,6KN
B 20 KN
20 KN
C
12 KN
4 KN
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B
D 12 KN
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Resistencia de Materiales
GRAFICANTE
Escala: 6 mm = 2 KN ρ A
20 KN
37° 12 KN
ρ F 12 ,8 KN
ρ C
DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES:
20 KN
A
B 20 KN
C
12 KN
12 KN
B
C
B
C
(-) 12KN (Compresión)
(-)
C
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ESFUERZOS DE COMPRESION Y/O TRACCION
La sección más débil es aquella donde hay agujeros. Para esfuerzos de tracción:
Se descuenta el área del agujero
Donde K:
σ máx. =
K.fuerza Area neta
Factor de concentración de esfuerzos cuando hay agujeros o cambio de sección.
Para esfuerzos de compresión:
No se considera los agujeros
σ máx. =
Fuerza Area
BARRA AB Sección A. Sección B (Son críticos los más débiles porque tienen agujeros).
σmax = (tracción)
80 mm
20 KN
10 mm A
10 mm
σ max = K
Fuerza A. neta
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(tracción)
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Resistencia de Materiales
Asumiendo K = 2 σ máx. = 2.
20000 N =57,14 N / mm 2 = 57,14MPa. 2 (80 − 10)10mm
BARRA CBD: Hay compresión: σ máx. = (-)
1200 N =(−)15 N / mm 2 (−)15MPa. 2 80 x10mm
PERNO A:
σ max = α
V A
α = 4/3 para sección circular. V = Fuerza cortante = 20 KN A = área de la sección. A = πr 2 = π. (5 mm) 2
σ max =
4 20000 N . 3 π(5mm) 2 PERNO “A”
σ max =
Aquí hay corte directo. (una sección)
PERNO B: σ máx. = qué en “A”
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Resistencia de Materiales
PERNO D:
σ máx. = 4 12000 N 3 2 [π (5 mm) 2 ]
Dos secciones de corte
2 secciones: Hay corte doble.
6 KN
6 KN
RESISTENCIA DE MATERIAL:
Las diferentes resistencias de los materiales se obtienen en los ENSAYOS DE LABORATORIO.
Resistencia Obtenidas:
•
Límite de fluencia a la tracción
•
Límite de fluencia a la compresión S y C
•
Límite de rotura a la tracción
S u t = Su.
•
Límite de rotura a la compresión
Suc
•
Límite de fluencia al corte
Ssy
•
Límite de rotura al corte
Ssu
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S y T = Sy.
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ENSAYO DE TRACCIÓN PURA γ
Sut Syt Mat. frágil
Para material dúctil
Zona elast.
Zona plast.
ε
Elongación
σ = Esfuerzo;
F σ= A δ ε= L
F = fuerza.
A = Área ε = deformación unitaria δ = estiramiento L = Longitud original. A F
F δ
L
ELONGACIÓN: Es el valor de “ε ” cuando la proveta llega a la rotura.
Para material dúctil como: Acero, Cobre, Zinc, Aluminio , etc. ε>5 % ε > 0,05 Para material frágil como: Fierro fundido. ε≤5% ε ≤ 0,05
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Resistencia de Materiales
De los ensayos se ha obtenido: Para material dúctil:
Syt = Syc = Sy Sut = Suc = Su
Para material frágil:
Sy : No existe Sut = Suc = Su
También en los ensayos de corte Ssy = 0,6 Sy
ESFUERZO DE DISEÑO Y FACTOR DE SEGURIDAD σ Su Sy σd
E σ d = esfuerzo de diseño σ max = esfuerzo máximo σ d = esfuerzo de trabajo σ adm. = esfuerzo admisible ó permisible
σ d = σ máx = σ t = σ adm
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Resistencia de Materiales
FACTOR DE SEGURIDAD: (F.s) Para un material dúctil: •
Respecto a la fluencia
F.S. =
Sy σmax
•
Respecto a la rotura
F.S. =
Su σmax
•
Cuando se trata de esfuerzos cortantes el factor de seguridad al corte es: F.S. =
δ máx. = Cortante máx. δ máx. = δadmisible = δdiseño
Ssy 0,6Sy = σmax σmax
Para material frágil Factor de seguridad para la tracción
F.s = Sut σ máx.t
Factor de seguridad para la compresión
F.s = Suc σ máx.c
Donde: σ máx. ⇒ Esfuerzo máx. de tracción. σ máx. ⇒ Esfuerzo máx. de compresión. 1,5 < F.s < 4 a 6 ... 15
ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES: σ
Su Sy Línea recta
σ β
E E
Zona elástica En la zona elástica se cumple la Ley de Hooke que dice.
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Resistencia de Materiales
El esfuerzo es directamente proporcional (D.P) a la deformación unitaria.
σ D.P. = ξ También se escribe: σα ξ
α = alfa
α : Significa directamente proporcional La relación matemática es: σ : esfuerzo
σ = Eξ
ξ : deformación interior. E = Modulo de elasticidad ó Mod. de Young. E = 200 GPa ó 200 x 10 3 MPa para aceros yes = 110 GPa ó 110.10 3 MPa para cobre.
Siendo: σ=
P δ = E. A L
δ=
PxL ExA
A = Area de sección P
Fatiga = P
L
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δ = Estiramiento ó deformación.
δ
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Resistencia de Materiales
PROBLEMA N° 1 Calcular la deformación que se produce en la barra de acero.
12 KN
12 KN
2 cm φ
δ
300 mm Solución:
δ=
(12000 N )(300mm ) PL = N EA 2 3 π(10mm ) 200.10 2 mm
(
)
δ = 0,0573mm
PROBLEMA N° 2 Calcular la deformación total de la barra
Cobre 20 mm φ
Acero 10 mm φ
C
D
B
A
80 KN
50 KN
70 KN 200 mm
100 mm 150 mm
Problema: Calcular la deformación que se produce en la barra.
12 KN
300 mm
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12 KN
2 cm φ δ
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Resistencia de Materiales
Sol:
δ=
PL (12000 N )(300mm ) = N EA 2 3 π.(10mm ) 200 x10 2 mm
(
)
δ = 0,0573 m.m.
Prob.: Calcular la deformación total de la barra. Cobre 20 mm φ
Acero 10 mm φ
C
B
A
D 70 KN
200 mm
80 KN
100 mm
50 KN
150 mm
Solución: D.C.L. de la barra y reacción en A.
Ax
A
80 KN
B
C
D
50 KN
10 KN
∑F x ⇒ Ax = 40KN
Deformación de la barra
δAD = δAB + δBC + δCD
δ AD =
PAB .L AB PBC .L BC PCD .L CD + + E AB A AB E BC A BC E CD A CD
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................ (1)
................ (2)
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Resistencia de Materiales
DIAGRAMA DE CARGAS AXIALES
40 KN A
B
70 KN 80 KN
C
50 KN
D
TRAMO: AB.
40 KN
40 KN (sale de la sección es función) P AB = 40 KN
A
TRAMO: BC.
70 KN 30 KN
40 KN
(entrar a la sección es compresión) P AB = 30 KN
TRAMO: CD.
40 KN
50 KN
70 KN 80 KN
40 KN
(saliendo de la P CD = 50 KN sección es tracción)
50 KN
+
+ C A
D
B
80 KN
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Resistencia de Materiales
Reemplazando en (2) 3 3 3 ( 40.10 N )(200mm ) ( − 30.10 N.)(100mm ) ( 50.10 N )(150 mm ) δ AD = + + 3 N 2 2 3 N 2 2 3 N 2 2 200.10 (π.5 mm ) 10.10 (π.10 mm ) 110.10 (π.10 mm ) 2 2 2 mm
mm
mm
δ AD = 0,6395 mm
•
Chequeo: Si la barra está dentro del rango elástico del material.
DIAGRAMA DE TRACCION δ
En la zona elástica se cumple la
Ley Su Rotura de Hoocke.
Sy σ = E. ξ
Y por lo tanto la fórmula de la Zona elástica
Zona plástica
“PELEA” δ =
P.L. EA
Luego: Si el esfuerzo σ que actúa en sección es igual o mayor que el límite de fluencia Sy la fórmula de la pelea NO SE CUMPLE. Osea todos los cálculos de deformaciones no valen. En el tránsito AB (acero). Esfuerzo σ AB =
F 4000 N = A π.5 2.mm 2
σ AB = 509,29 MPa.
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Resistencia de Materiales
Si el acero es corriente o estructural Sy = 250 MPa; los cálculos hechos no valen. 509,29MPa > 250 MPa.
Luego el acero de esta barra debe tener Sy >> 509,29 MPa. En el tramo co Cobrexx
σ CD =
5000 N = 159,15MPa. π.10 2 mm 2
Para los cálculos sean válidos el cobre debe tener Sy > 159,159 MPa. Nota: El Sy del cobre es como 190 MPa.
PROBLEMA N° 3 Calcular los esfuerzos de tracción de compresión en las barras verticales. Así como las deflexiones de los puntos B,D,E,. La barra BDE es rígida (No se deforma). Para esfuerzos de tracción. Considerar K = Z.
A A
Agujeros φ 20mm
600 mm
100 mm
Cobre 10 mm E = 110 Gpa Sy = 190 MPa
100 mm aluminio
400 mm
B
Sy = 240 MPa
10 mm espesor E = 70GPa
E
D
30 KN
200 mm
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400 mm
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Resistencia de Materiales
D.C.L. De toda la estructura. Cy Ay
Cy = Dy Ay = By
By Dy
B
Dy
D
E
By
30 KN
200 mm
400 mm
EN LA BARRA BDE Hay 2 incógnitas: By, Dy Necesito 2 ecuaciones de la ESTÁTICA. ∑ M 0B = 0 ........ (1) 30 KN x 600 mm – Dy x 200 mm = 0 Dy = 90 KN ∑My = 0 ....... (2)
By – 90 KN + 30 KN = 0 By = 60 KN
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36
Resistencia de Materiales
ESFUERZOS: BARRA AB: σ AB
60.10 3 N = (-) 100.10mm 2
σ AB = (-) 60 MPa < Sy = 190 MPa.
BARRA CD:
σ CD = (-) 2
90 000 N 10(100 − 20)mm 2
σ CD = 225 MPa < 240 Ma = Sy
EN LA SIGUIENTE GRÁFICA
SIENDO EN AMBAS BARRAS σ < Sy SE CUMPLE LA FORMULA DE LA PELEA σ Su Aluminio = 240 MPa Cobre
= 190 MPa.
Acero
= 400 MPa.
Sy
225 MPa Aluminio
FACTOR DE SEGURIDAD: 60 MPa Cobre BARRA AB:
FsAB =
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E
Sy 190 = = 3,17 σ AB 60
37
Resistencia de Materiales
Barra CD:
Fs.CD =
Sy 240 = = 1,07 σ CD 225
La barra CD está más cerca de una posible falla por fluencia.
CALCULO DE LAS DEFLEXIONES: B’
X D
δB
M
E
δD
D’
δE
200 mm
400 mm
E’
Se asume que los desplazamientos de los puntos B,D,E, son verticales. “DEFLEXIÓN ES EQUIVALENTE A DESPLAZAMIENTO”.
DEFLEXION DEL PUNTO B
= Desplazamiento del punto B = δB = Deformación de la barra AB = δ AB
∴ δB = δ AB
SIENDO LA PELEA
δ=
PL EA 400 mm
B B’ 60 KN
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38
Resistencia de Materiales
δB = δ AB =
PAB xL CD (60000 N )(600mm) ⇒ δ CD = N E CD xA CD 3 100 x10mm 2 70 x10 2 mm
(
)
δ CD = 0,7714mm
CALCULO DE δE : CALCULO DE X Tg θ =
δB δ = D 200 − x X
0,2182 0,7714 = 200 − x x
154,28 – 0,7714x = 0,2182X X = 155,9 mm
EN LOS TRIANGULOS MEE’ Y MDD’ Tg θ =
σD σE = x 400 + x
σE 0,7714 = 155,9 400 + 155,9
OJO: σx = desplazamiento de x σyx = deformación de barra yx.
∴ δE = 2,75 mm
SISTEMAS HIPERESTATICOS: Ecuaciones de la estática (∑F x = 0; ∑F y = 0; ∑M 0 = 0) no son suficientes para resolver el problema y se deben plantear las ecuaciones de desplazamientos:
PROBLEMA N° 1 Calcular
los esfuerzos en las barra verticales (K = 2), los factores de
seguridad y los desplazamientos de los puntos B, D y F.
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39
Resistencia de Materiales
400 mm
300 mm
D
20 KN
500 mm
F
E
B
600 mm
400 mm
Barra rígida
Cobre 80 x 20 mm Sy = 190 MPa
C
A Agujeros 20 mmφ Acero 100 x10 mm Sy = 400 MPamm
SOLUCION: D. C. L. De cada barra: Ey
B
E
D
F Fijo
By
20 KN
Dy
By Dy D
B
C
Fijo
Cy = Dy
A Fijo Ay = By
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40
Resistencia de Materiales
EN LA BARRA B D E F Hay 3 incógnitas By; Dy, Ey Se puede plantear. ∑F y = 0
2 ecuaciones
∑M 0 = 0
1 ecuación de desplazamiento.
En la barra B D E F Hay 3 incógnitas: By; Dy; Ey S ___________________________
By + Dy – Ey + 20 KN = 0
.......... (1)
By + 700 + Dy 300 – 20 KN x 500 = 0 7 By + 3 Dy = 100 KN B’ δB φ
E
fijo
R δF
D
Pi
Tgθ = B
700
=
δB δD = 700 300 0
300
⇒ 3 3
B
AB
=7
D
=7
CD
Usando la pelea
3 B y x 600m 3 3 N x10 x10m 2 200 x10 m2
P L PAB .L AB = 7 CD CD E AB xA AB E CD A CD
D y x 400mm = 7 3 N x 60 x 20m 2 110 x10 m2
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41
Resistencia de Materiales
9 x 10 -6 By = 1,6 x 10 -5 Dy By =
1,6 x10 −5 Dy 9 x10 −6
By = 1,78 Dy
PROBLEMA N° Calcular las reacciones en A y C Acero 100 x 20 mm A
B
300 mm
40 KN
C
100mm
Solución: D.C.L.
Ax
B 40 KN
A
Cx C
∑F x = 0 Ax + Cx – 40 KN = 0 Ax + Cx = 40 KN
Análisis:
.............. (1)
Existe una ecuación y 2 incógnitas. Luego es un problema estáticamente Indeterminado ó Hiperestático.
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42
Resistencia de Materiales
Se necesita una ecuación de desplazamiento la cual puede ser la siguiente: “La deformación de la barra es CERO”. δ AC = 0 δ AB + δ BC = 0
Usando la pelea en cada tramo.
P xL PAB xL AB + BC BC E AB xA AB E BC xA BC
.......... (2)
Para las fuerzas P AB y P BC necesitamos el diagrama de cargas axiales. Ax
B Bx40 KN
A
Ax A
Cx C
P AB
Ax
B
A
40 KN PBC
Ax (+)
A
B
C (-)
Ax – 40000 N
En tramo AB : σ AB = A X Reemplazamos todos los valores en la ecuación (2)
En Tramo BC: P BC = A X – 40
KN
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43
Resistencia de Materiales
A x .300mm (Ax − 40000)(100mm) = 0 + N N 3 100.20mm 2 200.10 3 100.20mm 2 200.10 2 2 mm mm
(
)
(
)
Ax.300 mm = (-) (Ax – 40000) 100 mm 3Ax = 40 000 – Ax 4 Ax = 40 000 Ax = 10000 Sentido asumido correcto. Cx = 30000 N.
COMPROBAMOS SI USTED CUMPLE LA PELEA Esfuerzo en AB: (Tracción) σ AB =
K.PAB Area Neta
σ AB =
2.10000 N = 11,1MPa << Sy = 250MPa (100 − 10)20mm 2
ESFUERZO EN BC : (Compresión) σ Bc = PBC A. Neta σ BC =
30000 N =15MPa << Sy = 250MPa. 100 x 20mm 2
El elemento esta dentro del rango elástico. ∴ Se cumple la pelea.
OBSERVACIONES: 1 ra La ecuación (2) se puede simplificar Siendo: E AB = E BC ; A AB = A BC
La ecuación (2)
P .L PAB .L AB + BC BC = 0 E AB .A AB E BC .A BC P AB -L AB + P BC . LBC = 0
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44
Resistencia de Materiales
2 da El punto B se desplaza? Si se desplaza Calculamos su desplazamiento.
δ B = δ{A + δ AB 0
δ B = δ AB La fórmula de la pelea δB =
P AB .L AB E AB .A AB
δ B = (10 000N) 300 mm 200.10 3 N. 100.20 mm 2 mm 2 δ B = 0,0075 mm
Nota: Cual es la deformación de BC δ BC = - δ AB = (-) 0,0075 mm Se contrae Fijo
Fijo B
A
... B’
C
LAB
Problema: En el problema anterior calcular el desplazamiento del punto M y Q
10 KN
A
.M
B 40 KN ,Q30 KN C
180 mm 120 mm 60 mm 40 mm
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45
Resistencia de Materiales
Prob: En el problema anterior calcular el desplazamiento del punto M y Q Q B A
C
40 KN
.M
180 mm
Q
30 KN
60 mm
300 mm
180mm
Solución:
δM = δ A + δ AM . { 0
δM = δ AM . δM = (10000N) (180mm) 200 x10 3 N/m 2 (100 x 20 mm)
También: δM = δ B .
180m = 300m
* δa = δ A + δ AQ . { 0
P AB = 10000 N P BQ = (-) 30000 N
δQ = δ AB = δ AB + δ BQ
ESFUERZOS TERMICOS Conecderemosxx una barra libre, la cual calentamos un ∆TºC.
L .
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∆L
46
Resistencia de Materiales
La dilatación limelnxx esta dado por L = Longitud original de la barra. ∆T = cambio de temperatura α = Coeficiente de dilatación lineal. = 12.10 -6 1/ºC (Acero) = 18.10 -6 1/ºC (Cobre)
De La Formula (1) ∆L = α.∆.T L.
ε T = α. ∆ .T
Donde E T =
...............(2)
∆L es la deformación unitaria térmica L
AHORA SI LA BARRA NO ESTA LIBRE
P
L
∆L
Aparece una fuerza P que impide que la barra se deforme “∆L” es equivalente decir que la fuerza produce la deformación “∆L” y por la PELEA.
∆L = δ =
PL EA
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47
Resistencia de Materiales
∆L P = L E.A. ET =
P E.A.
Por la ecuación (2)
α.∆T =
P E.A.
E.α.∆T =
P A
Pero
P = σ es el esfuerzo anual A
∴
σ = E. α . ∆ T
........... (3)
Esta es la fórmula del esfuerzos térmico donde: E = Módulo de elasticidad del material.
ANALISIS PROPORCIONAL σ D.P. E σ D.P. α σ D.P. ∆ T
Prob: Si es barra de acero ∆ T = 80°C
Sol: σ = 200 x 10 3
N 1 x 12.10 -6 .80°C 2 °C mm
σ = 192 N / mm 2
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192 N/mm 2 < Sy = 250 MPa.
48
Resistencia de Materiales
Prob: Si la barra de cobre ∆ T = 100°C Sol: σ = E. α . ∆ T. σ = 110.103 N/mm 2 . 18.10 -6
1 = 100°C °C
σ = 198 MPa
TRANSMISION DE POTENCIA
1. MEDIANTE FAJAS:
Motor
Máquina
Polea Motriz
Polea Conductora
A Flujo de P otenci a
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49
Resistencia de Materiales
V
V
r
V Qm
QC
n1
n2
r
V
r
V
C
CINEMATICA η 1 = RPM de la polea motriz. η 2 = RPM de la polea conducida
η1> η2
•
Relación de Transmisión
R relación =
•
η1 η2
R relación ≥ 1
Velocidad tangencial V=
πdn 1 πDn 2 = 6000 6000
D 0 D : en (m.m) V : en (m/seg)
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50
Resistencia de Materiales
La velocidad tangencial es la misma en las dos poleas:
De la relación anterior se deduce:
dn 1 = Dn 1
⇒
n1 D = n2 d
Luego la relación de transmisión es:
DINAMICA: Las fuerzas que actúan en cada polea.
F1
F2 γ
n1
γ
n1
γ
Polea motriz
F1
•
Polea conducida
F2
Torque o momento torson en la polea motriz. Por equilibrio dinámico el torque que produce el motor es igual al torque de oposición que producen las fuerzas F 1 y F 2 . Torque motriz = Tm = F 1 .
Tm = (F 1 -F 2 )
d 2
d d -F 2 . 2 2
................ (2)
RELACIÓN DE TENSIONES
F1 = e fgm / sen(α / 2 ) F2 Prof. Ing. Martínez Del Castillo
................ (3)
51
Resistencia de Materiales
f = Coef. De fricción.
0m = Angulo de abrazamiento en la polea motriz θm = π . 2γ D−d γ = sen-1 2C C = Distancia entre centros.
α = 180° para faja plana. α = 38° - 42° para faja en V.
α
Relación entre torque y potencia: Tm =
9550000.(Pot. en kw) n1
...........(4)
Tm = Torque en la polea motriz en (N.mm) n 1 = RPM de la polea motriz. * Esta se cumple para las transmisiones ya sea con fajas, endemas, engranajes, etc.
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52
Resistencia de Materiales
TRANSMISION DE POTENCIA:
2. Mediante cadena:
MOTOR
MAQUINA
Flujo de Potencia
CATALINA CONDUCIDA
PIÑON MOTRIZ
D
n1 d n2
C
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53
Resistencia de Materiales
CINEMATICA Relación de Transmisión Z 1 = # dentes del piñón.
n D Z R = 1 = = 2 ≥1 n 2 d Z1 Dinámica:
Z 2 = # dientes de la catalinas.
F
F
n1
n2
Polea motriz
Torque en el piñón motriz. Tm = F.
d 2
................ (4)
Torque potencia: La misma forma (4)
Tm =
950000(Pot. en kw) n1
Torque en el eje del piñón motriz.
Torque en el eje del la catalina. Tc =
950000(Pot. en kw) n2
Torque en el eje del piñón motriz.
La potencia es en si la misma que en el piñón, la diferencia son las pérdidas.
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54
Resistencia de Materiales
MOTOR
MAQUINA Flujo de Potencia Flujo de Potencia
Engranaje conducido
d n2
n1
D
CINEMATICA
R=
n1 D Z 2 = . ≥1 n 2 d Z1
DINAMICA
Fa = Ft.tg Ψ Ft
Ft
Fr = Fa n1
Fr
Fa
Ft .Tgφ Cosψ
n2
Ft = Fuerza tangencial
Fr.
Fa = Fuerza axial Fr = Fuerza radial
Motriz
Conducido
Ψ = ángulo de la Hélice φ = ángulo de la presión.
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55
Resistencia de Materiales
Torque en el piñón motriz
Tm = Ft.
d 2
Ft: Es la única produce potencia.
Torque – potencia La misma forma (4) Tm =
950000(Pot. en kw) n1
Torque en el eje del piñón motriz.
Torque en el eje del engranaje conducido. TC =
950000(Pot. en kw) n2
Torque en el eje del piñón motriz.
La potencia es casi la misma que en el piñón; la diferencia son las pérdidas.
Nota: Para dientes rectos Ψ = 0° ⇒ Fa = 0
TRANSMISIÓN DE POTENCIA
Mediante engranajes cónicos
Piñón Motriz MOTOR
Engranaj e cónico. MAQUINA
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56
Resistencia de Materiales
CINEMATICA
R=
n1 D Z2 = . ≥1 n 2 d 2 Z1
DINAMICA
F r1
Fr = Ft. tgφ.cos β Fa = Ft. tgφ.sen β
F r1 F t1
φ = Ángulo de presión. β = Semi angulo del cono.
F a2
F r2
Ft 1 = Ft 2 Fr 1 = Fxx 2 Fr 1 = Fr 2
Torsión: La suma cilíndrica está sometida a un citado de tensión pura.
MT = Metodo Torsor o Torque. d
L
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57
Resistencia de Materiales
ESFUERZO CORTANTE DE TRACCION B
δmáx δF
F r
δmáx
MT
R
C
A E δmáx δmáx
D δmáx
δmax = Esfuerzo cortante máximo debido a la tracción. δmax = Es tangente a la circunferencia exterior de la barra. Es igual en todos los puntos de la periferie. En el punto F el esfuerzo cortante es menor y es proporcional al radio.
δF δ máx = r R
r δF = .δ máx R
El δ máx se calcula mediante la siguiente. Fórmula, para barras cilíndricas macizas. δ máx =
16MT πd 3
La fórmula general en: δ máx =
M T .C J
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58
Resistencia de Materiales
C=
d 2
J = Momento polar de inercia J=
MT. δmax =
πd 4 para bara cilíndrica maciza. 32
d 2
δ máx =
πd 4 32
16M T πd 3
PARA BARRA CILÍNDRICA HUECA.
δ máx d0
di
δ máx
C=
d0 2
J=
π do 4 − di 4 32
(
)
do 2 δ máx = 4 π / 32 do − di 4
δ máx =
16M T .do
(
π do 4 − di 4
)
MT.
(
)
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59
Resistencia de Materiales
CUANDO HAY CHAVETERO SE PRODUCE CONCENTRACION DE ESFUERZOS: δ máx
di
En este caso el cortante máximo es:
16 .M T δ max = 3 πd
Donde K = factor de concentración de esfuerzos. = 1,2 a 3.
PARA EJE HUECO: δ max
16 . M T . do =K 4 − d π Cdo
4
ANGULO DE TORSION: B φ B’
A’ φ A L
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60
Resistencia de Materiales
El ángulo de torsión:
φ=
M T .L G.J
L = Longitud de la barra G = Modulo de elasticidad transversal = 80 GPa para el acero. J=
πd 4 32
ó
π )(d 4 – di 4 ) 32
CUANDO EL TORQUE ES DIFERENTE EN VARIOS TRAMOS DE UN EJE φAE = φAB + φBC + φCD + φDE φAE =
MTAB .L AB MTBC .L BC MTCD .L CD MTDE .L DE + + + G AB .J AB G BC .J BC G CD .J CD G DE .J DE
DIAGRAMAS DE MOMENTOS TORSORES:
1er Caso:
MT = 10 KN MT = 10 KN DIAGRAMA DE TORQUE
MT = 10 KNx m
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61
Resistencia de Materiales
Si el eje gira a velocidad angular constante (W = constante) esta en equilibrio y entonces se cumple que Σ torques = 0
+ 10 KN.m –10KN,m = 0
2do Caso: 30 KN.m 8 KN.m 12 KN.m A
B
∑ torques = 0
10 KN.m
30 – 8 – 12 – 10 = 0
C
D
30 KN.m 8 KN.m
∑ torques = 0 30-8-12-10 =0
-12 KN.m 10 KN.m
-10 KN.m A
B
D
C
3er Caso: 20 KN.m 18 KN.m A
A
B
B
45 KN.m
C
7 KN.m
D
D
C 45 KN.m
20 KN.m
18 KN.m
38 KN.m
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62
Resistencia de Materiales
DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES: PROB. PROPUESTO Construir el diagrama de torque en cada caso: 20 KN.m 25 KN.m A
B
C
MT = 67
D
20 KN.m
E
47
12 25
12 KN.m
35
10
67
10 KN.
20
20
20
(2) 30 KN.m 45 KN.m 10 KN.m A
B
C
11 KN.m 60 KN.m
D
E
MT
F
15 54 10 5 15
54
54
6
30 KN.
30
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6
63
Resistencia de Materiales
(3) Ma 2Ma A
B
7 Ma
C
3Ma
D
MT’ = Ma
E
4Ma 3Ma Ma 4Ma Ma
Ma
Ma 2 Ma
3 Ma
Problema: Construir el diagrama de momentos torsores del eje AE. Calcular los esfuerzos cortantes máximos en cada tramo, considere que los engranajes están enchavetados (K = 2). Así mismo calcule el ángulo de torsión φ o/a (de la sección E respecto a la sección A)
Piñón 80 mmφ 120 mm φ Maquina N° 2 Consume 8 KW.
MOTOR 180 ROM 20 KW 30 mm φ
Engranaje 240 mm φ Maquina N° 1 Consume 12 KW.
80 mm
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64
Resistencia de Materiales
ESFUERZOS CORTANTE MAXIMO
δmax =
K16T πd 3
δ max D. P. T 3 δ max I. P. d
Para acero: Sy = 250 MPa.
SSy = 0,6 Sy
Fs =
SSy σmax
=
150 = 8,46 17,73
δ máx δ máx
δ máx
En A y C se presentan los cortantes máximos porque hay mayor torque y concentración de esfuerzos por chavetero.
δmax =
216 x111416,67 Nmm 3,1416 x (40mm) 3
δmax = 17,73MPa.
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65
Resistencia de Materiales
ANGULO DE TORSION DE LA SECCION E RESPECTO A LA SECCION A.
φ
φ
φ
=
E/A
E/A
= φA + φ +φ +φ +φ { 1 B4/ A 4 2 4 C4/3B 1 D4/ 4C 2 4 E4/3A =0 φ φ C/ A E/C
=φ
C/ A
+φ
E/C
T .L T .L = CA CA + EC EC E/A G .J G .J CA CA EC EC
1114167 x 220mm N π.(40)m 4 80x10 3 . 32 mm 2
= 0,002038 x
+
71625x 230mm N 80x10 mm 2 3
π.(40 )m . 32
4
= 0,002038 Rad.
180 π
= 0,117°
Problema:
Para el eje AE se pide: 1. Diagrama de momentos torsores 2. Esfuerzo de seguridad Si Sy = 250 MPa SSsy = 0’,6 Sy. 3. Angulo de torsión φ E / A G = 806 Pa.
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66
Resistencia de Materiales
ENGRANAJE 250 mm φ
MOTOR 1200 RPM 30 KW
38 mm φ
18 mm
C
D
40 mm φ
B D
50 mm φ
AA
36 mm φ
40 mm φ
30 mm φ
E 20 mm
80 mm
3
120 mm
4 90 mm
80 mm
80 mm
Salen 8 KW
.2 Salen 12 KW
Solución: Torques en los puntos 1, 2, 3, 4.
T1
1
A
M
B
C
30 KW conducido
N
D P.
E
3
4 Motriz
8 KW
2
T3 T2
RPMeje =
12 KW
Motriz
10 KW
Motriz T4
1200 x100mm = 480RPM 250mm
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67
Resistencia de Materiales
T1 =
9550000(Pot en Kw) m
T1 =
9550000x20kw = 1200
159166,67 Nmm
T2 =
9550000x6kw = 1200
47750 Nmm
T3 =
9550000x5kw = 1200
39791,67 Nmm
T4 =
9550000x9kw = 1200
71625 Nmm
111416.67Nm 71625Nm
CHAVETA
Prob. Construir el DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES de eje AE; calcular el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular de la sección E, respecto a la sección A.
Asumir K= 2; a = 806 Pa.
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68
Resistencia de Materiales
Piñón Helicolor 120 mmφ
Salen 9KW
Motor 20Kw 1800RPM
x
x
100
x
120
x 150
Salen 6KW
Salen JKW
Solución: RPM del eje AE: 1800RPMx
120m = 120RPM 180mm
TORQUES QUE ACTUAN EN LOS PUNTOS 1, 2, 3, 4.
T1
Conducido
9Kw 200 KW
Motriz
X
X A
B
C
Motriz
E
X
X 2
D
3 Motriz
T 2 6 KW
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SKN T 3
69
Resistencia de Materiales
ANGULO φE/A φE/A = φA + φM/A + φB/M + φC/B + φN/C + φD/N + φR/D + φE/P
=0
159166,67 x18mm 80x10 3 x
+
32
(30) 2
18958,33 x 50 3
80x10 x
32
+
(40)
80x10 3 x
32
80x10
3
32
(40)
+
159166,67 x 120mm
(38) 4
18958,33 x 60
+ 4
159166,67 x 62mm
+ 4
80x10 3 x
18958,33 x 20 80x10
3
32
(30)
32
(40) 4
+
18958,33 x 40mm 80x10 3 x
32
(40) 4
= 4
PROBLEMA PROPUESTO: En la siguiente transmisión: 1) Continuar el diagrama de momentos torsores ó torques. 2) Calcular el esfuerzo cortante máximo (K = 2) 3) Calcular el factor de seguridad respecto al corte si el material del eje es acero con Sy ) 320 MPa.
φE/A ; φC/A ; φD/B ; T1 =
9550000 x 30 kw = 480
596875 Nmm
T2 =
9550000 x 12 kw = 480
238750 Nmm
T3 =
9550000 x 5 kw = 480
159166,67 Nmm
T4 =
9550000 x 10 kw = 480
198958,33 Nmm
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70
Resistencia de Materiales
T3= 159166,67 Nmm A
T1 = T21 = 358125 Nmm B
M
C
T4 = 198958,33 Nmm
D
E
159166,67 Nmm
(+)
358125 Nmm
.C A
.N
.P
M (-)
-198958,33 Nmm
E
CORTANTE MAX: Puntos críticos donde hay chaveta: Mayor torque y menor φ:
δmax A = δmax E =
K.16T 2 x16 x159166,67 Nmm = = 60,04MPa. πd 3 π(30mm) 3 2 x16 x198958,33Nmm π(36 )
3
= 43,44MPa.
FACTOR SEGURIDAD: En (A). Fs =
Ssy 0,6250 = = 2,49 δmax 60,04
SOLUCION:
MF
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MF
71
Resistencia de Materiales
La barra deformada es:
M
MF
Punto de Corte
CORTANDO LA BARRA:
Tracción σ max.
MF Fibra Neutra
C1
Comprensión
C2 σ max.
σmax.+ = Esfuerzo máximo de tracción. σmax.C = Esfuerzo máximo de compresión.
Fibra Neutra: Fn No existe esfuerzo Fibra Centroidal: Fc
FC y FN COINCIDEN
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72
Resistencia de Materiales
PARA SECCIONES SIMETRICAS: C 1 = C 2 Como por ejemplo:
C=
FN
d 2
C=
FN
l
C
C
C=
l
FN
l 2
C=
l
C
C
ESTO NO OCURRE EN SECCIONES ASIMETRICAS COMO
C1
C1
C2
C2
FN
CALCULO DEL ESFUERZO MAXIMO DE FLEXION: σ max. t.
C1
FN
C2 σ max. C.
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l 2
73
l 2
Resistencia de Materiales
ESFUERZO MAXIMO DE TRACCION
ESFUERZO MAXIMO DE COMPRESIÓN
M .C σmax.t = K F 1 I
M .C σmax.C = F 2 I
Siendo: Fs = Momento flector en la sección en la sección que se calcula. K = Factor de concentración de esfuerzos. I = Momento de inercia de la sección.
CASOS PARTICULARES: SECCION CIRCULAR
d
C1 =
d 2
C2 =
d 2
d MF. 2 σ máx .t = K 4 π.d / 64 32M F σ máx .t = K 3 π.d
32M F σ máx .C = 3 π.d
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74
Resistencia de Materiales
PARA SECCION RECTANGULAR:
C=
l 2
C=
l 2
FN
l
b
I=
bL3 12
b es paralela a FN Lxxx es perpendicular a la FN
M .L / 2 σ máx .t = K F 3 b L / 12 6M σ máx .t = K 2F bL
6M σ máx .C = 2F bL
PROBLEMA: Calcular: i) Los esfuerzos máximos de tracción y compresión debido a la flexión. (K = 2). ii) El factor de seguridad si la viga es de acero con Sy ) 250 MPa.
1200 mm
10KN 200 mm
A
B 20 mm
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75
Resistencia de Materiales
Solución: X
10KN
MX
10KN M x = 10 KN.Xmm M x = 10 X KN mm Mx = 10.103x Nmm Mx = 10 4 x
Nmm
Es función lineal y su gráfico es una recta.
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES Cuando X = 0
Mx = M B = 0
Cuando X = 1200
Mx = M A = 10 4 .1200 Nmm M A = 12.10 6 Nmm
A
B Momentos Flectores
12.106 Nmm = M F max.
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76
Resistencia de Materiales
La sección A es crítica porque en ella actúa el máx momento flector aquí se calcula σmax.t
∧
σmax.C
M F máx = 12.10 6 Nmm
DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOS FLETORES Problema: Construir el diagrama de fuerzas cortantes y momentos flectores de la viga mostrada.
10KN
8KN
Apoyo C
Móvil
D
A
B
800mm
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1200mm
1000m
77
Resistencia de Materiales
100mm 20mm
2 0 0 mm
20mm
Solución: CÁLCULO DE REACCIONES EN A Y B: D.C.L.
10KN
Ay
∑M
A 0
8KN
By
=0
10 KN.800 + 8KN.200 – By .3000 =0 8 + 16 – 3By =0 24 = 3By By = 8 KN
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78
Resistencia de Materiales
Hay dos posibilidades: aplicando: ∑ Fy = 0:
∑M
B 0
=0
Usando: ∑ Fy = 0 Ay – 10KN – 8KN + 8 KN = 0 ⇒ Ay = 10 KN
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES
10KN
8KN
C
D
A
B 8KN
VAC X
MAC
10KN
10KN c
V CD M CD
A x 10KN
10KN c
8KN D
V DB
A M DB 10KN
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X
79
Resistencia de Materiales
TRAMO AC: 0 ≤ X ≤ 800 Vac = Fuerzas cortante en la sección ubicada a una distancia x del punto A.
(+)
(-)
No depende de X VAC = 10 KN Es constante es decir es igual en todas las secciones del tramo AC.
TRAMO CD:
800 ≤ x ≤ 2000
V CD = 10 KN – 10KN = 0 Es constante porque no depende de x.
TRAMO DB:
V CD = 0
V CB = 10 KN – 10 K 0 8KN
VCB = (-) 8KN
Es constante porque no depende de x.
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES: 10KN (+) A
VCD =0 C
D
B (-)
(-)8KN
8000KNmm
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8000KNmm
80
Resistencia de Materiales
MOMENTOS FLECTORES:
TRAMO AC:
0 ≤ x ≤ 800
Mirando hacia la izquierda de la sección:
+
-
M AC = 10KN.x.mm
MAC = 10x KNmm
Es función lineal de x MA = 0
Si X = 0 M AC =
Línea Recta
: X = 800 M AC = M C M C = 10 KN.800 mm MC = 8000 KN mm
TRAMO CD:
800 ≤ x ≤ 2000
M CD = 10 KN . x mm + 10 KN (x – 800) mm M CD = 10 x – 10 x + 800 KN mm
MCD = 8000 KN mm
TRAMO DB:
Es constante o sea no es función de x
2000 ≤ x ≤ 3000
M DB = 10x – 10 (x – 800)-8(x-2000) M DB = 8000 – 8x + 16000
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MDB = 24000 – 8x
KN mm
81
Resistencia de Materiales
X = 2000 MDB = MD X = 3000 MDB = MB
= 24000 – 8x2000 = 8000 KN mm = 24000 – 8x3000 = 0 KN mm
Prob: En el problema anterior calcular: 1) Los esfuerzos máximos de flexión (tracción); (compresión). 2) El factor de seguridad sabiendo que el material es acero estructural con Sy = 250 MPa.
Solución: 1) Esfuerzos máximos de flexión: σmax = ?
Comprensión
Tracción
σmax =
M F .C I
M F (máximo) = 8000 KN mm = 8 x 10 6 Nmmm
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82
Resistencia de Materiales
100nm
Comprensión σmax.c
20mm
A2
C1
Y2
Fibra neutra
200mm
Y
Fibra lentroidal
Y1 C2
A1
UBICACIÓN DE FN ó FC ∑ Ai y1 y= ∑ Ai
y=
Ai y1 + A 2 y 2 A1 + A 2
(20.200mm )(100mm) + (100x20mm )(210mm) ⇒ 2
y=
2
(20x 200 + 100x 20)mm 2 ⇒
C 1 = 220 – 136,67 mm
y = 136,67mm
C 1 = 83,33 C 1 = 83,33
C2 = y
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA I Para un rectángulo I =
6L3 12
FN
FN
Ln
Ln
b
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83
Resistencia de Materiales
Para secciones compuestas de varios rectángulos:
bi h 3i I = ∑ + Ai d i2 12 d i = distancia del centro de gravedad del área Ai al centro de gravedad de la sección compuesta. Pero el área A 1 d 1 = 136,67 – 100 d1 = 36,67 mm Pero el área A 2 d 2 = 210 – 136,67 d2 = 73,33 mm 20x200 3 mm 4 2 2 2 I= + 20x200mm 36,67 m 12
(
Nota: Fs –Z
)(
100x20 3 mm 4 2 2 2 + + 100x20m 73,33 mm 121
)
(
)(
)
Siempre se toma el |σmáx| t ó C. el valor numérico que sea
mayor.
⇒ Fs =
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250 . | σ máx t ó C |
84
Resistencia de Materiales
Bibliografía
TIMOSHENKO
BEER JONSON
SINGER
SCHAUMS
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