Mds - Sistemi Di Travi - Formule

SISTEMI DI TRAVI ANALISI STATICA E CINEMATICA DEI SISTEMI DI TRAVI RIGIDE Decomposizione di un moto rigido: u = uC + ϕ × (P − C) Centro assoluto di rotazione O: uC + ϕ × (O − C) = 0 u = ϕ × (P − O) Centro relativo di rotazione O12 : ϕ2 × (O12 − O2 ) − ϕ1 × (O12 − O1 ) = O Relazione tra centri di rotazione di tre corpi I, II e III: - Se O1 = O12 6= O2 allora II `e fisso. Se un primo corpo `e fisso e un secondo in moto, il centro assoluto del primo corpo non esiste mentre il centro assoluto del secondo coincide con il centro relativo perch´e in tal caso il moto relativo del secondo corpo rispetto al primo coincide con il moto assoluto. - Se O1 = O2 6= O12 allora non c’e moto relativo tra I e II. Nel caso di moto rigido di 2 corpi con moto relativo tra i due, i tre centri, che necessariamente esistono, sono tutti e tre distinti e allineati oppure coincidono. - Se O1 , O2 , O12 sono distinti non allineati allora I e II sono fissi. Se due corpi subiscono un moto rigido relativo viene definito anche un centro relativo, altrimenti i due corpi si muovono come un unico corpo e i due centri non assoluti coincidono. - Se O12 , O23 , O13 sono distinti non allineati allora non c’e moto relativo tra I, II e III. Si dimostra l’allineamento dei centri relativi si tre corpi in moto. - Se O12 = O13 6= O23 allora non c’`e moto relativo tra II e III. - Se i possibili centri relativi e assoluti vengono determinati in modo univoco, fissata la rotazione (traslazione) di uno dei due corpi restano automaticamente determinate le rotazioni (traslazioni) degli altri corpi, ossia l’insieme dei corpi rigidi possiede un grado di libert` a. Se invece la posizione dei centri assoluti e relativi dipende da n parametri si hanno n+1 gradi di libert` a. Lavoro virtuale esterno: L e = R · uC + M · ϕ Principio dei lavori virtuali per il corpo rigido: R = 0, M = 0

=⇒

Le = 0

Le = 0 ∀u virtuale rigido

=⇒

R = 0, M = 0

Vettore degli spostamenti (generalizzati) impediti dai vincoli:    r1  ... r=   rv

1

(h)

ri = ri

(h)

∨ ri = ri

(k)

+ ri

Vettore degli spostamenti indipendenti del sistema svincolato (lagrangiane)  (1) s      ... s= s(h)    ...   (n) s

     

s(h)

    

 (h) uO1    (h)   uO2    (h) uO3 = (h)  ϕ  1   (h)   ϕ2   (h) ϕ3

                

Matrice cinematica: r = As Condizione di non labilit` a del sistema di travi: As = 0 cA = g Vettore delle reazioni vincolari (generalizzate):    R1  ... R=   Rv Vettore delle forze applicate (generalizzate):  (1) S      ... S= S (h)    ...   (n) S

     

S (h)

    

 (h) Fx    (h)   Fy    (h) Fz = (h)  MOx    (h)   MOy   (h) MOz

                

Condizione di equilibrio di un sistema di travi: BR+S =0 cB = C 0 Dualit` a statico cinematica: B = AT

EQUAZIONI DELLA TEORIA TECNICA DELLE TRAVI Equazioni di congruenza: θez + K f =

dϕ ds

εez + γ c − θez × (C − G) =

du − ϕ × ez ds

Equazioni di equiibrio: d (N ez + T ) + f = 0 ds

d (Mc ez + (C − G) × T + M f ) + m + ez × T = 0 ds

2

Equazioni di equilibrio al contorno: Mc ez + (C − G) × T + M f s=0 = −M0

N ez + T |s=0 = −F 0

Mc ez + (C − G) × T + M f s=l = −Ml

N ez + T |s=l = F l Equazioni di discontinuit` a: (∆N ez + ∆T )i + F i = 0

(∆Mc ez + (C − G) × ∆T + ∆M f )i + Mi = 0

Legami costitutivi:  N = EAε M f = EJK f



Mc = GJt θ T = GAχ−1 γ c

Principio dei lavori virtuali: ( Rl P Le = 0 (f · u + m · ϕ) ds + F 0 · u0 + M0 · ϕ0 + F l · ul + Ml · ϕl + i (F i · ui + Mi · ϕi )  Rl Li = 0 N ε + T · γ c + Mc θ + M f · K f ds Energia elastica di deformazione:  1 φ= EAε2 + EK f · JK f + GJt θ2 + GAγ c · χ−1 γ c 2 Energia complementare elastica:   1 M2 1 1 N2 + M f · J −1 M f + c + T · χT ψ= 2 EA E GJt GA TRAVE DI TIMOSHENKO Equazioni di congruenza: ε=

dw dz

K=

dϕ dz

γ =ϕ+

dv dz

Equazioni indefinite di equilibrio: dN +p=0 dz

dT +q =0 dz

dM +m=T dz

Equazioni di equilibrio al contorno:   N (0) = −P0 T (0) = −Q0  M (0) = −M0

  N (l) = Pl T (l) = Ql  M (l) = Ml

Equazioni di discontinuit` a:   (∆N )i + Pi = 0 (∆T )i + Qi = 0  (∆M )i + Mi = 0 Equazioni di legame: N = EAε

M = EJK

3

T =

GA γ χ

Principio dei lavori virtuali: ( Rl P Le = 0 (pw + qv + mϕ) dz + P0 w0 + Q0 v0 + M0 ϕ0 + Pl wl + Ql vl + Ml ϕl + i (Pi wi + Qi vi + Mi ϕi ) Rl Li = 0 (N ε + M K + T γ) dz Energia elastica di deformazione:   1 GA 2 T φ= EAε2 + EJK 2 + 2 χ Energia complementare elastica:   1 N2 M2 T2 ψ= + +χ 2 EA EJ GA Equazioni fondamentali:   d dw EA +p=0 dz dz    d GA dv ϕ+ +q =0 dz χ dz     dϕ GA dv d EJ − ϕ+ +m=T dz dz χ dz Equazioni che permettono di imporre le condizioni al contorno: N = EA

dw dz

dϕ dz   GA dv T = ϕ+ χ dz

M = EJ

TRAVE DI EULERO-BERNOULLI Vincolo di trave inflessa: ϕ=−

dv dz

Equazioni di congruenza: ε=

dw dz

K=

dϕ dz

Equazioni indefinite di equilibrio: dN +p=0 dz

d2 M dm + +q =0 dz 2 dz

Equazioni di legame: N = EAε

M = EJK

Principio dei lavori virtuali: ( Rl P Le = 0 (pw + qv + mϕ) dz + P0 w0 + Q0 v0 + M0 ϕ0 + Pl wl + Ql vl + Ml ϕl + i (Pi wi + Qi vi + Mi ϕi ) Rl Li = 0 (N ε + M K) dz

4

Energia elastica di deformazione: φ=


1 EAε2 + EJK 2 2

Energia complementare elastica:   1 N2 M2 + ψ= 2 EA EJ Equazioni fondamentali:   d dw EA +p=0 dz dz     d2 d2 v dm EJ = q + dz 2 dz 2 dz Equazioni che permettono di imporre le condizioni al contorno:   d d2 v d2 v dv T −m=− EJ M = −EJ ϕ=− dz dz 2 dz 2 dz Condizioni al contorno:  0  EAw (0) = −P0 00 EJv (0) = M0  (EJv 00 )0 (0) = Q0 + m0 Coppie distribuite nulle:   d dw EA +p=0 dz dz   d d2 v T =− EJ dz dz 2

dw dz

 0  EAw (l) = Pl 00 EJv (l) = −M0  (EJv 00 )0 (l) = −(Ql + ml )

d2 dz 2 M = −EJ

d2 v dz 2



d2 v EJ dz 2

ϕ=−

Coppie distribuite nulle e sezione costante: EA

N = EA

d2 w +p=0 dz 2

EJ

5

d4 v =q dz 4



dv dz

=q N = EA

dw dz