Mds - Meccanica Dei Solidi Elastici - Formule

MECCANICA DEI SOLIDI ELASTICI CINEMATICA E DINAMICA Quantit` a di moto: Z P = ρv dV V

Momento della quantit` a di moto: Z L= ρr × v dV V

Equazioni di bilancio in forma integrale: Z Z X dP F (∂V ) + F (V ) = −→ t dS + (f − ρv) ˙ dV + Fi = 0 dt ∂V V i M (∂V ) + M (V ) =

dL −→ dt

Z

Z r × t dS + ∂V

˙ dV + r × (f − ρv) V

Equazioni di equilibrio (equazioni cardinali della statica): Z Z X t dS + f dV + Fi = 0 ∂V

V

i

Z

Z r × t dS + ∂V

r × f dV + V

X

ri × F i = 0

i

ANALISI DELLA TENSIONE Tensione: F (S) S

tS (P ) = lim

S→P

Principio di azione e reazione: − t+ S (P ) = −tS (P )

Ipotesi di Cauchy: tS (P ) = t( P, n) Equazione di Cauchy: t = σn Divergenza di σ: R divσ = lim

∂V

V →x

(divσ)i =

σ n dS V

X ∂σij ∂σix ∂σiy ∂σiz = + + ∂x ∂x ∂y ∂z j j

Equazione del moto: divσ + f = ρv˙

1

X i

ri × F i = 0

Equazione indefinita di equilibrio: divσ + f = 0 Equazione di equilibrio al contorno: σ n = p su ∂B Significato fisico delle componenti del tensore degli sforzi di Cauchy:   σx τxy τxz [σ] =  σxy σy τyz  σxz σyz σz σz = ez · t(ez ) τxz = ex · t(ez ) τyz = ey · t(ez ) ANALISI DELLA DEFORMAZIONE Gradiente degli spostamenti:  ∂u/∂X ∂u/∂Y [Gradu] =  ∂v/∂X ∂v/∂Y ∂w/∂X ∂w/∂Y

 ∂u/∂Z ∂v/∂Z  ∂w/∂Z

[Gradu] = ε + ω Tensore di deformazione infinitesima: o 1n ε= Grad u + (Grad u)T 2   1 ∂ui ∂uj εij = + 2 ∂xj ∂xi Tensore di rotazione infinitesima: o 1n ω= Grad u − (Grad u)T 2   1 ∂ui ∂uj ωij = − 2 ∂xj ∂xi ωa = ϕ×a   0 −ϕz ϕy 0 −ϕx  [ω] =  ϕz −ϕy ϕx 0    ωzy  ωxz [ϕ] =   ωyz Dilatazione di una linea: εr ≈ r0 · ε r0 Scorrimento tra due linee inizialmente ortogonali: γrs ≈ 2(r0 · ε s0 )

2

Siginificato fisico delle componenti del tensore di deformazione:   εx 1/2γxy 1/2γxz εy 1/2γyz  [ε] ≈  1/2γxy 1/2γxz 1/2γyz εz Vettore di deformazione: ε r0 = εr r0 + γ r /2 Coefficiente di dilatazione cubica: θ=

dV − dV0 ≈ εx + εy + εz = tr ε = div u dV0

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Principio dei lavori virtuali: Z Z Z Lve = p · u dS + f · u dV = σ · ε dV = Lvi ∂B

B

B

Principio dei lavori virtuali nell’ipotesi di piccoli spostamenti: Z Z Z Lve = p · u dS + f · u dV = σ · ε dV = Lvi ∂B0

B0

B0

DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE Equazione caratteristica del tensore degli sforzi:   σx − λ τxy τxz σy − λ τyz  = 0 det  τxy τxz τyz σz − λ λ3 − σI λ2 + σII λ − σIII = 0 Invarianti di tensione: σI = tr σ = σx + σy + σz 2 2 2 σII = (σx σy − τxy ) + (σy σz − τyz ) + (σx σz − τxz )

σIII = det σ Equazione caratteristica del tensore di deformazione:   εx − λ γxy 1/2γxz det  1/2γxy εy − λ 1/2γyz  = 0 1/2γxz 1/2γyz εz − λ λ3 − εI λ2 + εII λ − εIII = 0 Invarianti di deformazione: εI = tr ε = εx + εy + εz     2  2  γyz γxy γ2 + εy εz − + εx εz − xz εII = εx εy − 4 4 4

3

εIII = det ε Valori principali di tensione:   q σx + σy 1 σξ 2 = ± (σx − σy )2 + 4τxy σµ 2 2 Valori principali di deformazione:   q 1 εx + εy εξ 2 ± (εx − εy )2 + γxy = εµ 2 2 Direzioni principali di tensione: tan αξ =

σξ − σx τxy

Direzioni principali di deformazione: tan αξ = 2 ·

εξ − εx γxy

Componenti di un vettore: {v ∗ } = [R]T {v} Componenti di un tensore: [A∗ ] = [R]T [A][R] Componenti del tensore rotazione: c∗ Rij = ei · R ej = cos ij STATI ELEMENTARI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE Trazione (compressione) semplice:   0 0 0 σ≡ 0 0 0  0 0 p Dilatazione semplice:   0 0 0 ε≡ 0 0 0  0 0 εz Compressione (trazione) uniforme:   p 0 0 σ ≡  0 p 0  = pI 0 0 p Dilatazione uniforme:   ε 0 0 ε ≡  0 ε 0  = εI 0 0 ε

4

Taglio semplice:  0 0 σ≡ 0 0 0 T

 0 T  0

Scorrimento semplice:   0 0 0 0 1/2γ  ε≡ 0 0 1/2γ 0 Stato di tensione piano:   σx τxy 0  σ ≡  τxy σy 0 0 0 Stato di deformazione piano:  εx 1/2γxy εy ε ≡  1/2γxy 0 0

 0 0  0

` LINEARE ELASTICITA Legame costitutivo elastico lineare: σ = E [ε] X σij = Eijhk εhk hk

Eijhk = Ejihk Eijhk = Eijkh {σ} = [E]{ε} σ = {σx σy σz τyz τxz τxy }T ε = {εx εy εz γyz γxz γxy }T Equazione fondamentale:     1 div E +f =0 grad u + (grad u)T 2 Lavoro di deformazione: Z Z p · du dS + dLd = ∂B0

Z f · du dV = B0

σ · ε dV B0

Energia elastica di deformazione per unit` a di volume: dφ = σ · dε Z Z ε φ= σ ∗ · dε = 0

1 0

 1 1 λ dλ σ · ε = σ · ε = ε · E[ε] 2 2

Energia elastica di deformazione: Z dφ dV dLd = dΦ = V0

5

Ld = Φ =

1 2

Z σ · ε dV = V0

Teorema di Betti: Z Z Lab = p(a) ·u(b) dS0 + ∂B0

Z

1 2

ε · E[ε] dV V0

Z

Z

f (a) ·u(b) dV0 =

p(b) ·u(a) dS0 +

B0

∂B0

f (b) ·u(a) dV0 = Lba B0

Energia complementare elastica per unit` a di volume: dψ = ε · dσ = d(σ · ε − φ) 1 σ · C[σ] = φ(C[σ]) 2

ψ(σ) = σ · ε − σ = σ · C[σ] − φ(C[σ]) = Potenziale delle forze: Z Z V (u) = f · u dV + B0

p · u dS ∂B0

Energia potenziale totale: Z

Z

π(u) = Φ(ε) − V (u) =

Z

φ(ε) dV − B0

f · u dV − B0

p · u dS ∂B0

Incremento dell’energia potenziale totale: ∆π(δu) = π(u + δu) − π(u) Variazione prima dell’energia potenziale totale: π = π(u + δu) Z Z Z dπ dV − · δu dV − δπ = = −δV + δΦ = δφ(ε) f p · δu dS0 0 0 dα α=0 B0 ∂B0 B0 δφ = σ · δε = δε · E[ε] o 1n δε = gradδu + (gradδu)T 2 ` LINEARE ISOTROPA ELASTICITA Legge di Hooke (in termini di costanti di Lam´e): σ = λ(trε)I + 2µε 

1 [σ] = λ(εξ + εη + εζ )  0 0

0 1 0

  εξ 0 0  + 2µ  0 0 1

0 εη 0

 0 0  εζ

σ ij = λ(trε)δij + 2µεij Tensore di elasticit` a lineare isotropa espresso  λ + 2µ λ λ 0  λ λ + 2µ λ 0   λ λ λ + 2µ 0  [E] =  0 0 0 µ   0 0 0 0 0 0 0 0 Moduli tecnici: σz = Eεz

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mediante le costanti di Lam´e:  0 0 0 0   0 0   0 0   µ 0  0 µ

εx = εy = −νεz τxy = Gγxy Legge di Hooke (in termini di moduli tecnici):   ν σ = 2G ε + (trε)I 1 − 2ν Alcune relazioni: G=ν ν 1 − 2ν E 3λ + 2µ = 1 − 2ν E G= 2(1 + ν) Rappresentazione principale di σ mediante le costanti di Lam´e: λ = 2G

σ s = (3λ + 2µ)εs σ d = 2µεd Rappresentazione principale di σ mediante i moduli tecnici: trσ =

E trε I 1 − 2ν

σ d = 2Gεd Modulo di elasticit` a volumetrica: E 3(1 − 2ν) Legge di Hooke inversa (in termini di moduli tecnici): ε=

1 {(1 + ν)σ − ν(trσ)I} E

Limitazioni dei moduli tecnici: E>0 G>0 1 2 Energia elastica di deformazione:   1 ν 2 (trε) φ = ε · E[ε] = G ε · ε + 2 1 + 2ν   1−ν 2 2ν 1 2 2 2 φ=G (εx + ε2y + ε2y ) + (εy εz + εx εz + εx εy ) + (γyz + γxz + γxy ) 1 − 2ν 1 − 2ν 2 −1 < ν <

Energia complementare elastica: ψ=

1  1 σ · C[σ] = (1 + ν)σ · σ − ν(trσ)2 2 2E

ψ=

ν 1 1 2 2 2 (σx2 + σy2 + σz2 +) − (σy σz + σx σz + σx σy ) + (τyz + τxz + τxy ) 2E E 2G

7

CRITERI DI SNERVAMENTO Asse idrostatico (o ottaedrico): σξ = ση = σζ Piano deviatorico: σξ + ση + σζ = 0 Piano individuato da un generico tensore σ ∗ : σξ + ση + σζ = tr σ ∗ Coordinate sul piano deviatorico:  q
3  σξ ∗ 2 − 13 trσ ∗    q2
3 σ ∗ − 1 trσ ∗  q2 η 3 
 3  σζ∗ − 31 trσ ∗ 2 Criterio di Rankine (o della massima tensione normale):  max {σx u, ση , σζ } = σs0 max {σx u, ση , σζ } = −σs00 Criterio di Grashof (o della massima dilatazione):  maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} = σs0 maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} = −σs00 Criterio di Huber - von Mises: (tr σ)2 − 3σII = σs2 Criterio di Tresca: max {|σξ − ση |, |σζ − ση |, |σx i − σζ |} = σs Criterio di Hill:   1 1 1 max σξ − (ση + σζ ) , ση − (σξ + σζ ) , σζ − (ση + σξ ) = σs 2 2 2 Criterio di Drucker - Prager: p αtr σ + (tr σ)2 − 3σII = (α + 1)σs Criterio di Mohr - Coulomb: |τn | = c − σn tan φ Verifiche di sicurezza alle tensioni ammissibili: σs σa = s  max {σx u, ση , σζ } ≤ σa0 max {σx u, ση , σζ } ≤ −σa00  maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} ≤ σa0 maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} ≤ −σa00 p 2 2 2 (tr σ)2 − 3σII = σx2 + σy2 + σz2 − σx σy − σx σz − σy σz + 3(τxy + τxz + τyz ) ≤ σa max {|σx i − ση |, |σζ − ση |, |σξ − σζ |} ≤ σa

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