Mds - Teoria Tecnica Delle Travi - Formule

TEORIA TECNICA DELLE TRAVI STATICA E CINEMATICA DELLE TRAVI Equazioni indefinite di equilibrio: dF +f =0 ds dM + m + et × F = 0 ds Equazioni di discontinuit` a:  + − F (si ) − F (si ) + F i = 0 − M (s+ i ) − M (si ) + Mi = 0 Equazioni di equilibrio al contorno:  F (0) = −F 0 M (0) = −M0  F (l) = F l M (l) = Ml Equazioni indefinite di equilibrio della trave piana: dN − cN + p = 0 dz dT + cN + q = 0 dz dM +m−T =0 dz Spostamenti dei punti della sezione retta: uP = u + ϕ × (P − O) u = uex + vey + wet ϕ = ϕx ex + ϕy ey + ϑet Spostamento relativo per unit` a di linea (prima equazione di congruenza linearizzata): γ + εet =

du − ϕ × et ds

du · ex − ϕy ds du γy = · ey + ϕx ds Curvatura (seconda equazione di congruenza linearizzata): γx =

K=

dϕ ds

K = K f + θet = Kx ex + Ky ey + θet Equazioni di congruenza nel caso della trave piana ad asse rettilineo: K=

dϕ dz

1

dw dz dv γ= +ϕ dz   dα d2 v Kl = =− 2 dz dz ε=

Principio dei lavori virtuali per le travi spaziali deformabili: Z l
Le = N ε + T · γ + Mt θ + M f · K f ds = Li 0

LEGAME COSTITUTIVO Dilatazione della generica fibra longitudinale: εp ez = εez + K f × (P − G) εp = ε + Ky yP − Ky xP Scorrimento della generica fibra longitudinale: γ P = γ + θez × (P − G) γxP = γx − θyP γyP = γy + θxP Vettore di deformazione: D = {ε Kx Ky θ γxC γyC }T Vettore delle caratteristiche della sollecitazione: S = {N Mx My MC Tx Ty }T Principio dei lavori virtuali (nuova formulazione): Z Li = S · D ds = Le l

Lavoro di deformazione: Z l Z l n X
dLd = (f · du + m · dϕ) ds + F i · du(si ) + Mi · dϕ(si ) = S · dD ds 0

0

i=0

Lavoro di deformazione totale lungo un percorso:  Z l Z l2 S · dD ds Ld = 0

l1

Energia elastica di deformazione per unit` a di linea: dφ = S · dD = N dε + T · γ c + MC dθ + M f · dK f Energia elastica di deformazione totale per unit` a di linea nel caso di elasticit` a lineare: φ=

1 1 S · D = D · E[D] 2 2

2

Energia elastica di deformazione totale per unit` a di linea nel caso della trave piana inflessa:
1 φ= EAε2 + EJKf2 2 Energia complementare elastica totale per unit` a di linea nel caso di elasticit` a lineare: ψ=

1 S · C[S] 2

Energia complementare elastica totale per unit` a di linea nel caso della trave piana inflessa:   M2 1 N2 + ψ= 2 EA EJ Teorema di Clapeyron: 1X Ld = F i · ui 2 i Teorema di Betti: X (a) (b) X (b) (a) Lab = F i · ui = F j · uj = Lba i

j

Teorema di Castigliano: ∂Ld (Fi , F ) ut = ∂F F =F Potenziale delle forze: Z n X V (u, ϕ) = (f · u + m · ϕ) ds + (F i · ui (si ) + Mi · ϕ(si )) l0

i=0

Energia potenziale totale: Z Π(u, ϕ) = φ(u, ϕ) ds − V (u, ϕ) l0

Variazione del funzionale energia potenziale totale: ∆Π = Π(u2 , ϕ2 ) − Π(u1 , ϕ1 ) Incremento di energia potenziale totale: ∆Π(δu, δϕ) = Π(u + δu, ϕ + δϕ) − Π(u, ϕ) Variazione prima: Z Z n X dΠ (f = − ·δu+m·δϕ) ds+ (F (S ·δD) ds δΠ = ·δu (s )+M ·δϕ(s ))+ i i i i i dα α=0 l0 l0 i=0 PROBLEMA DI SAINT-VENANT Caratteristiche della sollecitazione:   N = Fz Mx = Mx − Fy (l − z)  My = My + Fx (l − z)

3

Problema di Saint-Venant: Dato un corpo cilindrico B caricato solo alle estremita si determini un campo di tensioni σ, di deformazioni ε e di spostamenti u tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni nel volume B:  divσ = 0    ε = 12 grad u + (grad u)T 1 ε = E {(1 + ν)σ − ν(tr σ)I}    σx = σy = τxy = 0 le seguenti condizioni al contorno locali sulla superficie laterale: σn = 0 e le seguenti condizioni di equivalenza statica sulle sezione rette: R  F = RA σ ez dA M = A (P − G) × σ ez Equazioni di Beltrami: (1 + ν)∇2 σ +

∂2 (tr σ) = 0 ∂xi ∂xj

Energia complementare elastica per unita di linea: Z Z 2 2 τxz + τyz σz2 ψl = dA + dA 2G A 2E A Soluzione del problema di Saint-Venant in termini di tensioni normali: σz =

N Mx My + y− x A Jx Jy

PROBLEMA DELLA TORSIONE Campo di spostamenti:   u = −θ(y − yc )z v = θ(x − xc )z  w = θωc (x, y) Campo di deformazione: (
γxz = θ ∂ω −y ∂x γyz = θ

∂ω ∂y

+x

o γ = θ grad ω + R π (P − G) n

2

Campo di tensione: (
τxz = Gθ ∂ω −y ∂x τyz = Gθ ∂ω +x ∂y o n τ = Gθ grad ω + R π (P − G) 2

Funzione di ingobbamento (problema di Neumann per l’equazione di Laplace):  2 ∇ ω=0 ∂ω = ynx − xny ∂n

4

Fattore torsionale di rigidezza:  Z  ∂ω ∂ω 2 2 Jt = x− y+x +y dz ∂y ∂x A Equivalenza statica: Mt = GJt θ Energia complementare elastica per unita di linea: ψl =

Mt2 2GJt

Funzione delle tensioni: τ = RTπ grad F 2

 gradω = RTπ 2

Jt grad F + (P − G) Mt



Funzione delle tensioni (problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson) (condizione di integrabilit` a di ω):  2 t ∇ F = −2 M in A Jt F = 0 su ∂A Condizione di integrabilit` a di ω per sezioni pluriconnesse: Z Z ∂ω ds = grad ω · t ds = 0 ∂Ai ∂s ∂Ai Condizione equivalenza statica: Z Mt = 2

F dA − A

X

! F i Ai

i

ESTENSIONE DEL PROBLEMA DI SAINT-VENANT Centro di taglio: xc = − yc =

1 Jx Z

1 Jy

Z ωy dA A

ωx dA A

5