Matrik Invers Dan Operasinya.docx

MATRIK INVERS

A. PENGERTIAN MATRIKS INVERS Definisi: Sebuah matrik bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A ditulis A-1, merupakan matriks bujur sangkar berordo n × n. Invers dari sebuah matriks adalah unik (tunggal atau hanya satu) dan berlaku sifat: (𝐴−1 )−1 = 𝐴.

Contoh 1: 3 Buktikan bahwa invers dari matriks A = [2 1 3 2 1 1 −1 0 1 𝐴𝐴−1 = [2 2 1] [−1 2 −1] = [0 1 1 1 0 −1 2 0

2 1 1 −1 0 2 1] adalah 𝐴−1 = [−1 2 −1] 1 1 0 −1 2 0 0 1 0] = 𝐼 (𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖) 0 1

Contoh 2: −3 −1 −2 −1 Buktikan bahwa invers dari matriks A = [ ] adalah B = [ ] 5 2 5 3 Bukti: −3 −1 −2 −1 ][ ] 5 2 5 3 6−5 3−3 = [ ] −10 + 10 −5 + 6 1 0 = [ ] 0 1

𝐴𝐵 = [

= I (terbukti)

B. MENGHITUNG MATRIK INVERS Ada banyak cara untuk menghitung matriks invers 1. Cara Perkalian Matriks Contoh 3:

Carilah invers dari matriks A = [

2 1 ] 0 3

𝑎1 Misalkan invers dari matriks tersebut adalah A-1 = [𝑎

3

1 0 AA-1 = [ ] 0 1 2 1 𝑎1 𝑎2 1 0 [ ] [𝑎 𝑎 ] = [ ] 0 3 3 4 0 1 2𝑎 + 𝑎3 2𝑎2 + 𝑎4 1 [ 1 ]=[ 3𝑎3 3𝑎4 0

𝑎2 𝑎4 ]

0 ] 1

Diperoleh 4 buah persamaan: 2a1 + a3 = 1 …………………(1) 3a3 = 0 ……………………...(2) 2a2 + a4 = 0 …………………(3) 3a4 = 1 ……………………...(4)

Dari 4 persamaan tersebut diperoleh: 1 1 1 𝑎1 = ; 𝑎2 = − ; 𝑎3 = 0; 𝑎4 = 2 6 3 1 -1

Jika A = [

2

0

1

−6 1 ] 3

Cara ini cocok dilakukan bila ordo matriks 2 × 2 2. Menggunakan Matriks Adjoint Misalkan diketahui matriks A = (𝑎𝑖𝑗 ). Kofaktor dari elemen 𝑎𝑖𝑗 adalah 𝐴𝑖𝑗 , maka transpose dari matriks (𝐴𝑖𝑗 ) disebut matriks Adjoint dari A 𝐴11 𝐴21 𝐴 𝐴 𝐴𝑖𝑗 . 𝐴 = [ …12 … 22 𝐴1𝑛 𝐴2𝑛

… 𝐴𝑛1 … 𝐴𝑛2 … …] … 𝐴𝑛𝑛

Dalam mencari matriks adjoin, kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk semua elemen. Tidak seperti dalam mencari determinan di mana hanya satu baris atau kolom yang diekspansi. Misalkan ada matriks bujur sangkar berorde 3, maka akan ada 9 elemen yang harus dicari kofaktornya. Invers suatu matriks A didefiniskan sebagai

𝐴−1 =

𝑎𝑑𝑗.(𝐴) det(𝐴)

dengan catatan det (A) ≠ 0

Contoh 4: Diketahui matriks A sebagai berikut: 1 0 𝐴 = [2 3 4 1

0 5] 3

Tentukan invers matrik tersebut Jawab: Kofaktor – kofaktor dari matriks A: 3 𝐴11 ∗ = (−1)1+1 [ 1 2 𝐴13 ∗ = (−1)1+3 [ 4 1 𝐴22 ∗ = (−1)2+2 [ 4 0 𝐴31 ∗ = (−1)3+1 [ 3 1 𝐴33 ∗ = (−1)3+3 [ 2

5 ]=4 3 3 ] = −10 1 0 ]=3 3 0 ]=0 5 0 ]=3 3

𝐴21 ∗ = (−1)2+1 𝐴23 ∗ = (−1)2+3 𝐴32 ∗ = (−1)3+2

Matriks Adjoint A adalah: 4 𝐴𝑑𝑗 (𝐴) = [ 14 −10 Determinan matriks A: 1 0 0 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = |2 3 5| 4 1 3 Ekspansi baris ke -1 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1 . [

3 5 ]=4 1 3

Invers matriks A adalah: 𝐴−1 =

𝑎𝑑𝑗. (𝐴) 𝑑𝑒𝑡(𝐴)

4 0 0 1 = 4 [ 14 3 −5] −10 −1 3

2 4 0 [ 1 1 [ 4 1 [ 2

𝐴12 ∗ = (−1)1+2 [

0 0 3 −5] −1 3

5 ] = 14 3 0 ]=0 3 0 ] = −1 1 0 ] = −5 5

1 0 7/2 3/4 =[ −5/2 −1/4

0 −5/4] 3/4

3. Menggunakan Transformasi Elementer Baris Cara lain mencari invers suatu matriks adalah dengan melakukan transformasi elementer baris sedemikian rupa sehingga dipenuhi skema berikut: 𝐻𝑖𝑗

[𝐴|𝐼] → [𝐼|𝐴−1 ]

Contoh 5: Carilah invers matriks pada contoh 4 diatas, dikerjakan menggunakan transformasi elementer baris Jawab: 1 0 𝐴 = [2 3 4 1

0 5] 3

1 [2 4

0 0|1 3 5|0 1 3|0

1 0 0| 1 0 ⇒ [0 3 5|−2 1 0 1 3|−4 0

1 [0 0

0 0|1 0 0 1 −1| 6 1 −2] 𝐻32 (−1) 1 3 |−4 0 1

1 [0 0

0 0 0| 1 6 1 | 1 −1 0 1 |−5/2 −1/4

1 [0 0

0 0| 1 1 0| 7/2 0 1|−5/2

0 0 𝐻 (−2) 1 0] 21 (−4) 0 1 𝐻31

1 0 0| 1 ⇒ [0 1 −1| 6 0 0 4 |−10

0 −2 ] (1) 3/4 𝐻23

0 0 3/4 −5/4] 𝐻3 (1/4) −1/4 3/4

1 0 3/4 𝐴−1 = [ 7/2 −5/2 −1/4

0 −5/4] 3/4

0 (−2) 0] 𝐻23 1

⇒

⇒

0 0 (1/4) 1 −2] 𝐻3 −1 3

⇒