Fungsi Invers Dan Turunannya.pptx

Fungsi Invers dan Turunannya

Teorema A: Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki invers Bukti : Misalkan x1 dan x2 adalah dua bilangan dalam daerah asal f, dengan 𝑥 1 < 𝑥 2 . Karena f monoton, 𝑓(𝑥 1 ) < 𝑓 𝑥 2 atau 𝑓 𝑥 1 > 𝑓(𝑥 2 ) . Bagaimanapun 𝑓(𝑥 1 ) ≠ 𝑓(𝑥 2 ) Jadi 𝑥 1 ≠ 𝑥 2 berarti 𝑓 𝑥 1 ≠ 𝑓 𝑥 2 , yang bermakna bahwa 𝑓 adalah fungsi satu-satu dan karenanya mempunyai invers.

Contoh soal : Perlihatkan bahwa 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 + 2𝑥 + 1 memiliki invers. Penyelesaian : 𝑓 𝑥 = 5𝑥 4 + 2 > 0 untuk semua 𝑥. jadi 𝑓menaik pada seluruh garis real sehingga 𝑓 memiliki invers di sana.

Jika 𝑓 memiliki invers 𝑓 −1 maka 𝑓 −1 memiliki infers, yakni 𝑓. Jadi, kita boleh menyebut 𝑓 dan 𝑓 −1 merupakan pasangan fungsi-fungsi invers. Satu fungsinmembatalkan (atau membalikkan) apa yang dilakukan yang lainnya; yaitu ,

𝑓 −1 𝑓 𝑥

= 𝑥 dan 𝑓(𝑓 −1 (𝑦)) = 𝑦

Contoh: perlihatkan bahwa 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6 memiliki invers, cari rumus untuk 𝑓 −1 𝑦 dan periksa kebenaran hasilhasil dalam kolom kotakdi atas. Penyelesaian: Oleh karena𝑓 fungsi naik, maka mempunyai invers. Untuk mencari 𝑓 −1 (𝑦), kita pecahkan 𝑦 = 2𝑥 + 6 𝑦−6 untuk 𝑥, yang memberikan 𝑥 = = 𝑓 −1 (𝑦). 2 Akhirnya, perhatikan bahwa 2𝑥 + 6) − 6 −1 −1 𝑓 𝑓 𝑥 = 𝑓 2𝑥 + 6 = =𝑥 2 Dan 𝑦−6 𝑦−6 −1 𝑓 𝑓 𝑦 =𝑓 =2 +6=𝑦 2 2

Teorema B : Teorema Fungsi Invers

Misalkan 𝑓 terdiferensialkan dan monoton murni oada interfal I. jika 𝑓′(𝑥) ≠ 0 di suatu x tertentu dalam I , maka𝑓 −1 dapat didiferensialkan di titik yang berpadanan 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam daerah hasil 𝑓 1 dan 𝑓 −1 𝑦 = 𝑓′(𝑥)

Kesimpulan Teorema B seringkali di tuliskan dalam lambang sebagai 𝑑𝑥 1 = 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Contoh soal : Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 + 2𝑥 + 1, seperti dalam contoh 1. Carilah 𝑓 −1 ′ 4 Penyelesaian : Walaupun kita tidak dapat mencari rumus untuk 𝑓 −1 dalam kasus ini, kita perhatikan bahwa 𝑦 = 4 berpadanan dengan 𝑥 = 1, dan karena 𝑓 ′ 𝑥 = 5𝑥 4 + 2, 1 1 1 −1 ′ 𝑓 4 = = = 𝑓′(1) 5 + 2 7