Matematika

MATEMATIKA

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN D3

TIPE BILANGAN

Tipe bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika. Ada berbagai jenis bilangan. Bilangan-bilangan yang paling dikenal adalah bilangan bulat 0, 1, -1, 2, -2, ... dan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3, ..., keduanya sering digunakan untuk berhitung dalam aritmatika. Himpunan semua bilangan bulat dalam buku-buku teks aljabar biasanya dinyatakan dengan lambang Z dan sedangkan himpunan semua bilangan asli biasanya dinyatakan dengan lambang N. APROKSIMASI PEMBULATAN Aproksimasi ialah hasil bilangan pembulatan/pendekatan/hampiran dari suatu bilangan eksak yang ditulis dalam bentuk bilangan desimal.Bilangan-bilangan aproksimasi dinyatakan dengan bilangan yang mempunyai derajat ketelitian. Misalny bilangan π diaproksimasikan menjadi 3,1416 teliti hingga empat tempat desimal atau 3,14159265 teliti hinnga enam tempat desimal. Sementara itu nilai eksak dari π adalah desimal tak terbatas sehingga tidak mungkin dapat ditulis. Angka-angka yang menyatakan suatu bilangan disebut angka-angka signifisikan.Jadi bilangan-bilangan 3,1415;0,66667 dan 1,2345 masing-masing memuat lima angka signifikan.Bilangan 0,0023 hanya mempunyai dua angka signifikan yaitu 2 dan 3,karna 0 hanya menentukan tempat dari titik decimal. Seringkali diinginkan untuk memotong/menyingkat penulisan bilangan-bilangan yang tersusun panjang yang terdapat di belakang tanda koma “,” (versi indonesia) atau tanda “.” (versi western) misalnya 12,34567891234 (versi Indonesia) atau 12.345678912344 (versi western) yang memiliki 12 angka dibelakang tanda koma seperti versi indonesia.Proses pemotongan seprti itu disebut pembulatan.Secara umum,bilangan-bilangan yang dibulatkan mengikuti aturan berikut :

Untuk membulatkan suatu bilangan sampai ke n angka signifikan,hilangkan semua bilangan yang ada setelah angka n+1. Apabila bilangan tepat ke n+1 yang dihilangkan berkondisi :

➢ Kurang dari 5 (setengah satuan),maka angka ke n tidak berubah (tetap). ➢ Lebih besar dari 5 (setengah satuan) maka angka ke n bertambah satu (satu satuan). ➢

Tepat 5 (setengah satuan) maka angka ke n bertambah satu,

Bilangan yang dibulatkan teliti sampai ke n angka signifikan. Contoh; Bilangan-bilangan berikut dibulatkan sampai empat angka disignifikan :

• • • •

1,6583

ke

1,658

30,0567

ke 30,06

0,859378 ke

0,8594

3,14159

3,142

ke

SISTEM BILANGAN

Pengertian sistem bilangan Sistem bilangan adalah sekumpulan aturan/simbol yang digunakan dalam perhitungan matematika dan dalam menjalankan aritmatika. Atau suatu cara untuk mewakili besaran dari sutau fisik. Sistem bilangan menggunakan suatu bilangan dasar/disebut juga basis ( base/radix ) yang tertentu. Macam-macam sitem bilangan : 1.

2. 3. 4. 5.

Sistem desimal Sistem binari Sistem octal Sistem duodesimal Sistem heksadesimal

Basis /Base/Radix

• • • • •

Sistem bilangan desimalmenggunakan basis 10. Sistem bilangan desimal menggunakan 10 macam symbol bilangan yaitu :0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Sistem bilangan binari menggunakan basis 2. Sistem bilangan binari menggunakan 2 macam symbol bilangan yaitu : 0 dan 1. Sistem bilangan oktal menggunakan basis 8. Sistem bilangan oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan yaitu : 0,1,2,3,4,5,6,7. Sistem bilangan duodesimal menggunakan basis 12. Sistem bilangan duodesimal menggunakan 12 macam symbol bilangan yaitu : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,X,Λ. Sistem bilangan hexadesimal menggunakan basis 16. Sistem bilangan hexadesimal menggunakan 16 macam symbol bilangan yaitu : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

1. Sistem bilangan desimal Sistem bilangan desimal adalah system bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan seharihari.Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal ( decimal integer ), dan dapat juga berupa pecahan desimal ( decimal fraction ). Sistem ini merupakan sistem dasar dimana besar dan kecilnya kuantitas dapat disajikan dengan menggunakan simbol-simbol 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9 bersama nilai tempat sesuai dengan posisinya. Sebagai contoh memiliki nilai tempat

2

7

6

5

,

3

2

110

103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 => basis 10 1000 100

10

1

110 1100

11000

Dalam hal ini nilai tempat adalah pangkat-pangkat dari 10, yang diberi nama desimal untuk system ini. Sistem denari (desimal) disebut memiliki basis 10. Tentu saja sangat kenal dengan system bilangan,akan tetapi sistem ini juga untuk menuntun ke system lain yang memiliki jenis struktur yang sama tetapi menggunakkan nilai tempat yang berbeda. Contoh : Bilangan desimal 8598 dapat diartikan :

Absolute value Position value 8 × 103 = 8000 5 × 102= 500

101= 90 8 × 100 = 8 + 9×

8598 Dalam contoh di atas disebutkan absolute value dan postion value. Setiap symbol da lam system bilangan desimal memiliki absolute value dan position value.absolute value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan position value adalah nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan table di bawah ini.

Posisi digit ( dari kanan ) 1 2 3 4 5

Position value

100= 1 101= 10 102= 100 103= 1000 104= 10000

dengan begitu maka bilanagan desimal 8598 bisa di artikan sebagai berikut : 859810 = ( 8 × 1000 ) + ( 5 × 100 ) + ( 9 × 10 ) + ( 8 × 1 ) System bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal,misalnya : 183,75 yang dapat di uraikan/artikan sebagai berikut : 1×

102

= 100

101 = 80 3 × 100 = 3 7 × 10-1 = 0,7 5 × 10-2 = 0,05 + 8×

183,75

2.

Sistem bilangan Binari Sistem bilangan binary adalah system yang menggunakan basis 2. Sistem bilangan binary ada 2 macam symbol 0 dan 1. Sistem ini banyak digunakan dalam semua bentuk aplikasi pensaklaran. Symbol yang digunakan disini hanyalah 0 dan 1 dan nilai tempatnya adalah pangkat-pangkat dari 2,dengan kata lain memiliki basis 2.Sistem ini juga dapat dikonversikan ke system bilangan desimal. 1001

1 × 20 = 1 0 × 21 = 0 0 × 22 = 0 1 × 23 = 8 9 Position value dalam system bilangan binary merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada table berikut :

Posisi digit (dari kanan)

Position value

1 2 3 4 5

20=1 21=2 22=4 23= 8 24= 16

Berarti bilangan binary 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut : 10012 = (1 × 8) + (0 × 4) + (0 × 2) + (1× 1) Atau dengan rumus sebagai berikut :

an-12n-1 + an-22n-2 + A + a0 Contoh bilangan binary 101101 dapat dilihat nilainya dalam system bilangan desimal menggunakan rumus di atas sebagai berikut : Sebagai contoh memiliki nilai tempat : 1

0

23

22

1

1

21

, 1

20

0

12

2-1 2-2

2-3

Dengan system bilangan desimal : 8

4

2

1

12

14

18

Jadi dalam system bilangan biner : 1

0

1

1

1

0

1

=1×8 =

8

0×4 +

0

1×2 +

2

1 × 12

1×1 +

1

0 × 14

12

+

+

0

1×8

18

+

= 1158 = dalam system binary. Oleh sebab itu 1011,1012 = 11,62510 Subskrip kecil 2 dan 10 memperlihatkan basis kedua system tersebut. Dengan cara yang sama, ekuivalen binary dari 1 1 0 1 , 0 1 12 …….. ( 13,37510 ) Karena 1

0

4

+ 0

=

8

=

1338 = 13,37510

3.

+

1

1 ,

0

+ 1 + 0

+

1

12

14

+

18

system oktal ( basis 8 )

System ini menggunakan symbol-simbol 0,1,2,3,4,5,6,7 Dengan nilai tempat yang berupa pangkat-pangkat dari 8. Contoh dalam sistem oktal Memiliki nilai tempat Yang berarti Jadi

3

3

5

7

82

81 8

64 5

7

5×8

7×1

,

3

=

3×64

=

192

=

239209512 = 239,408210

+ 40 + 7

2

3×18 2×164 +

,

3

2

1

80

8-1

8-2

1

18

164

8-3 1512

18 1×1512

38 + 132 + 1312

Metode di atas sangat mirip dengan metode yang sebelumnya,satu-satunya perubahan ialah pada basis dari nilai tempatnya.