Matematika

DIMENSI Dalam penggunaan umum, dimensi berarti parameter atau pengukuran yang dibutuhkan untuk mendefinisikan sifat-sifat suatu objek—yaitu panjang, lebar, dan tinggi atau ukuran dan bentuk. Dalam matematika, dimensi adalah parameter yang dibutuhkan untuk menggambarkan posisi dan sifat-sifat objek dalam suatu ruang. Dalam konteks khusus, satuan ukur dapat pula disebut "dimensi"—meter atau inci dalam model geografi, atau biaya dan harga dalam model ekonomi. Sebagai contoh, untuk menggambarkan suatu titik pada bidang (misalnya sebuah kota pada peta) dibutuhkan dua parameter— lintang dan bujur. Dengan demikian, ruang bersangkutan dikatakan berdimensi dua, dan ruang itu disebut sebagai bersifat dua dimensi. Menggambarkan posisi pesawat terbang (relatif terhadap bumi) membutuhkan sebuah dimensi tambahan (ketinggian), maka posisi pesawat terbang tersebut dikatakan berada dalam ruang tiga dimensi (sering ditulis 3D). Jika waktu ditambahkan sebagai dimensi ke-4, "kecepatan" pesawat terbang tersebut dapat dihitung dengan membandingkan waktu pada dua sembarang posisi.

Dimensi fisis Dimensi fisis adalah parameter-parameter yang dibutuhkan untuk menjawab pertanyaan di manakah dan bilamanakah sesuatu terjadi; misalnya: Kapankah Napoleon meninggal? — Pada tanggal 5 Mei 1821 di pulau Saint Helena (15°56′LS 5°42′BB). Dimensi fisis memainkan peran mendasar dalam persepsi seseorang terhadap sekitarnya.

Dimensi ruang Teori-teori fisika klasik mendeskripsikan tiga dimensi fisis: dari titik tertentu dalam ruang, arah pergerakan dasar yang mungkin adalah ke atas atau ke bawah, ke kiri atau ke kanan, dan ke depan atau ke belakang. Sembarang pergerakan dapat diungkapkan dengan hanya tiga dimensi tersebut. Bergerak ke bawah samalah dengan bergerak ke atas secara negatif. Bergerak diagonal ke depan atas samalah dengan bergerak dengan kombinasi linear ke depan dan ke atas. Dimensi fisis ruang dapat dinyatakan paling sederhana sebagai berikut: suatu garis menggambarkan satu dimensi, suatu bidang datar menggambarkan dua dimensi, dan sebuah kubus menggambarkan tiga dimensi. (Lihat Sistem koordinat Cartesian.)

Waktu Waktu sering disebut sebagai "dimensi keempat".Hal ini menyediakan jalan bagi pengukuran perubahan aspek-aspek fisika. Hal ini dilihat secara berbeda bahwa dari tiga dimensi spasial hanya ada satu dimensi, dan pergerakannya terlihat selalu memiliki nilai pasti dan sejajar dengan waktu (searah). Persamaan-persamaan yang digunakan oleh ahli fisika untuk menyatakan model realitas seringkali tidak memperlakukan waktu sebagaimana manusia memandangnya.Misalnya,

persamaan klasikal mekanik yang adalah T-simetri (bersimetri dengan waktu) dengan persamaan dari mekanika kuantum sebenarnya bersimetri jika waktu dan kuantitas lain (seperti C-simetri (charge)) dan fisika paritas dibalikkan.Pada model ini, persepsi waktu mengalir kesatu arah adalah artefak dari hukum-hukum termodinamika.(Kita melihat waktu mengalir kearah peningkatan (entropi). Orang yang paling terkenal memandang waktu sebagai dimensi adalah Albert Einstein dengan teori relativitas umum yang memandang ruang dan waktu sebagai bagian dari dimensi ke empat.

Dimensi tambahan Teori fisika seperti teori untai (string theory) meramalkan bahwa ruang tempat kita hidup sesungguhnya memiliki banyak dimensi (sering disebutkan 10, 11, atau 26), namun semesta yang diukur pada dimensi-dimensi tambahan ini berukuran subatom. Akibatnya, kita hanya mampu mencerap ketiga dimensi ruang yang memiliki ukuran makroskopik.

Satuan Dalam ilmu-ilmu fisis dan teknik, dimensi suatu besaran fisika adalah ekspresi atas kelas satuan fisika besaran tersebut. Contohnya, dimensi kecepatan adalah panjang dibagi waktu. Dalam sistem SI, dimensi dimiliki oleh tujuh besaran dasar. Lihat Analisis dimensi.

Dimensi matematika Dalam matematika, tidak ada satupun definisi yang adekuat/meyakinkan untuk menyatakan konsep dalam segala situasi, dimana mungkin kita akan menggunakan nya.Konsekuensinya, para ahli matematika membagi sejumlah definisi dimensi kedalam tipe-tipe yang berbeda.Semuanya didasari oleh konsep dimensi Euclidean n-spasi E n. • • •

Titik E 0 adalah 0-dimensional. Garis E E 1 adalah 1-dimensional. Bidang E 2 adalah 2-dimensional.

Dan secara umum E n adalah n-dimensional.

TEOREMA Teorema adalah sebuah pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui. Dalam logika, sebuah teorema adalah pernyataan dalam bahasa formal yang daat diturunkan dengan mengaplikasikan aturan inferensi dan aksioma dari sebuah sistem deduktif. Teorema dari sejumlah fungsi memiliki nama lain: 1. Identitas - digunakan untuk teorema yang menampakkan persamaan antara 2 pernyataan matematika. 2. Lema - pra-teorema. Pernyataan yanproposisi yang diikuti dengan bukti yang sedikit atau tidak ada sama sekali dari sebuah teorema atau definisi lain. Yaitu, proposisi B adalah korolar proposisi A jika B bisa dideduksikan dari A. 3. Proposisi - pernyataan yang tak dikaitkan dengan "teorema" apapun. 4. Klaim - hasil menarik yang diperlukan atau bebas. 5. Aturan - digunakan untuk teorema tertentu seperti aturan Bayes dan aturan Cramer, yang mendirikan formula yang berguna Banyak matematikawan yang juga menggunakan nama lain untuk teorema, seperti postulat, sublema, dll. Konjektur adalah sebuah pernyataan yang terbukti namun dianggap benar. Sebagai contoh konjektur Goldbach. Konjektur terkenal lainnya termasuk konjektur Collatz dan hipotesis Riemann.

KRIGING Kriging adalah metode geostatistik yang digunakan untuk mengestimasi nilai dari sebuah titik atau blok sebagai kombinasi linier dari nilai conto yang terdapat disekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari hasil variansi estimasi minimum dengan memperluas penggunaan semi-variogram. Estimator kriging dapat diartikan sebagai variabel tidak bias dan penjumlahan dari keseluruhan bobot adalah satu. Bobot inilah yang dipakai untuk mengestimasi nilai dari ketebalan, ketinggian, kadar atau variabel lain. Kriging memberikan lebih banyak bobot pada conto dengan jarak terdekat dibandingkan dengan conto dengan jarak lebih jauh, kemenerusan dan anisotropi merupakan pertimbangan yang penting dalam kriging, bentuk geometri dari data dan karakter variabel yang diestimasi serta besar dari blok juga ditaksir.

Sifat-sifat Kriging : 1. Struktur dan korelasi variabel melalui fungsi γ(h) 2. Hubungan geometri relatif antar data yang mencakup hal penaksiran dan penaksiran volume melalui (Si,Sj) (hubungan antar data) dan sebagai (Si,V) (hubungan antara data dan volume) 3. Jika variogram isotrop dan pola data teratur, maka sistem kriging akan memberikan data yang simetri 4. Dalam banyak hal hanya conto-conto di dalam blok dan di sekitar blok memberikan estimasi dan mempunyai suatu faktor bobot masing-masing nol 5. Dalam hal ini jangkauan radius conto yang pertama atau kedua pertama tidak mempengaruhi (tersaring). 6. Efek screen ini akan terjadi, jika tidak ada nugget effect atau kecil sekali ε = C0/C 7. Efek nugget ini menurunkan efek screen 8. Untuk efek nugget yang besar, semuai conto mempunyai bobot yang sama. 9. Conto-conto yang terletak jauh dari blok dapat diikutsertakan dalam estimasi ini melalui harga rata-ratanya

KRIPTOGRAFI Kriptografi, secara umum adalah ilmu dan seni untuk menjaga kerahasiaan berita [bruce Schneier - Applied Cryptography]. Selain pengertian tersebut terdapat pula pengertian ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, serta autentikasi data [A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone - Handbook of Applied Cryptography]. Tidak semua aspek keamanan informasi ditangani oleh kriptografi. Ada empat tujuan mendasar dari ilmu kriptografi ini yang juga merupakan aspek keamanan informasi yaitu : •

•

•

•

Kerahasiaan, adalah layanan yang digunakan untuk menjaga isi dari informasi dari siapapun kecuali yang memiliki otoritas atau kunci rahasia untuk membuka/mengupas informasi yang telah disandi. Integritas data, adalah berhubungan dengan penjagaan dari perubahan data secara tidak sah. Untuk menjaga integritas data, sistem harus memiliki kemampuan untuk mendeteksi manipulasi data oleh pihak-pihak yang tidak berhak, antara lain penyisipan, penghapusan, dan pensubsitusian data lain kedalam data yang sebenarnya. Autentikasi, adalah berhubungan dengan identifikasi/pengenalan, baik secara kesatuan sistem maupun informasi itu sendiri. Dua pihak yang saling berkomunikasi harus saling memperkenalkan diri. Informasi yang dikirimkan melalui kanal harus diautentikasi keaslian, isi datanya, waktu pengiriman, dan lain-lain. Non-repudiasi., atau nirpenyangkalan adalah usaha untuk mencegah terjadinya penyangkalan terhadap pengiriman/terciptanya suatu informasi oleh yang mengirimkan/membuat.

Algoritma Sandi algoritma sandi adalah algoritma yang berfungsi untuk melakukan tujuan kriptografis. Algoritma tersebut harus memiliki kekuatan untuk melakukan (dikemukakan oleh Shannon): • •

konfusi/pembingungan (confusion), dari teks terang sehingga sulit untuk direkonstruksikan secara langsung tanpa menggunakan algoritma dekripsinya difusi/peleburan (difusion), dari teks terang sehingga karakteristik dari teks terang tersebut hilang.

sehingga dapat digunakan untuk mengamankan informasi. Pada implementasinya sebuah algoritmas sandi harus memperhatikan kualitas layanan/Quality of Service atau QoS dari keseluruhan sistem dimana dia diimplementasikan. Algoritma sandi yang handal adalah algoritma sandi yang kekuatannya terletak pada kunci, bukan pada kerahasiaan algoritma itu sendiri. Teknik dan metode untuk menguji kehandalan algoritma sandi adalah kriptanalisa. Dasar matematis yang mendasari proses enkripsi dan dekripsi adalah relasi antara dua himpunan yaitu yang berisi elemen teks terang /plaintext dan yang berisi elemen teks sandi/ciphertext. Enkripsi dan dekripsi merupakan fungsi transformasi antara himpunanhimpunan tersebut. Apabila elemen-elemen teks terang dinotasikan dengan P, elemenelemen teks sandi dinotasikan dengan C, sedang untuk proses enkripsi dinotasikan dengan E, dekripsi dengan notasi D. Enkripsi : E(P) = C Dekripsi : D(C) = P atau D(E(P)) = P Secara umum berdasarkan kesamaan kuncinya, algoritma sandi dibedakan menjadi : • •

kunci-simetris/symetric-key, sering disebut juga algoritma sandi konvensional karena umumnya diterapkan pada algoritma sandi klasik kunci-asimetris/asymetric-key

Berdasarkan arah implementasi dan pembabakan jamannya dibedakan menjadi : • •

algoritma sandi klasik classic cryptography algoritma sandi modern modern cryptography

Berdasarkan kerahasiaan kuncinya dibedakan menjadi : • •

algoritma sandi kunci rahasia secret-key algoritma sandi kunci publik publik-key

Pada skema kunci-simetris, digunakan sebuah kunci rahasia yang sama untuk melakukan proses enkripsi dan dekripsinya. Sedangkan pada sistem kunci-asimentris digunakan sepasang kunci yang berbeda, umumnya disebut kunci publik(public key) dan kunci pribadi (private key), digunakan untuk proses enkripsi dan proses dekripsinya. Bila elemen teks terang dienkripsi dengan menggunakan kunci pribadi maka elemen teks

sandi yang dihasilkannya hanya bisa didekripsikan dengan menggunakan pasangan kunci pribadinya. Begitu juga sebaliknya, jika kunci pribadi digunakan untuk proses enkripsi maka proses dekripsi harus menggunakan kunci publik pasangannya.

algoritma sandi kunci-simetris Skema algoritma sandi akan disebut kunci-simetris apabila untuk setiap proses enkripsi maupun dekripsi data secara keseluruhan digunakan kunci yang sama. Skema ini berdasarkan jumlah data per proses dan alur pengolahan data didalamnya dibedakan menjadi dua kelas, yaitu block-cipher dan stream-cipher.

Block-Cipher Block-cipher adalah skema algoritma sandi yang akan membagi-bagi teks terang yang akan dikirimkan dengan ukuran tertentu (disebut blok) dengan panjang t, dan setiap blok dienkripsi dengan menggunakan kunci yang sama. Pada umumnya, block-cipher memproses teks terang dengan blok yang relatif panjang lebih dari 64 bit, untuk mempersulit penggunaan pola-pola serangan yang ada untuk membongkar kunci. Untuk menambah kehandalan model algoritma sandi ini, dikembangkan pula beberapa tipe proses enkripsi, yaitu : • • • •

ECB, Electronic Code Book CBC, Cipher Block Chaining OFB, Output Feed Back CFB, Cipher Feed Back

Stream-Cipher Stream-cipher adalah algoritma sandi yang mengenkripsi data persatuan data, seperti bit, byte, nible atau per lima bit(saat data yang di enkripsi berupa data Boudout). Setiap mengenkripsi satu satuan data di gunakan kunci yang merupakan hasil pembangkitan dari kunci sebelum.

Algoritma-algoritma sandi kunci-simetris Beberapa contoh algoritma yang menggunakan kunci-simetris: • • • • • • •

DES - Data Encryption Standard blowfish twofish MARS IDEA 3DES - DES diaplikasikan 3 kali AES - Advanced Encryption Standard, yang bernama asli rijndael